模糊控制系统的应用2

3.1 模糊推理基础

3.1.1 模糊集合

1．模糊集合定义

延用普通集合论的有关概念，设为论域，为元素，模糊集合定义：论域中元素的模糊集A是以：[0，1]为隶属函数表征的集合。隶属函数表征属于模糊集合A的程度或等级，亦称模糊特征函数，是用于描述普通集合的特征函数的扩展，其值域是从普通集合特征函数的{0，1}扩充到[0，1]区间的实数。若接近1，则表示属于A的程度高，反之，若接近0，则表示属于A的程度低。

2．集合表示方法

1）Zadeh(查德)表示法在论域U中，＞0的全部元素组成的集合，称为Fuzzy集合A的“台”，或“支集”。也就是说，当某个元素的隶属度为零时，它就不属于该Fuzzy集合。当Fuzzy集合A有一个有限的台时，A可表达为：

（3-1）

式中，并不代表“分数”，而是表示论域U中元素与其隶属函数之间的对应关系，称为“单点”；符号“+”也不表示“求和”，而是表示Fuzzy集合在论域U上的整体。可见，通过台来表示Fuzzy集合的Zadeh 表示法，实际上是将Fuzzy集合视为一些单点的集合，使Fuzzy集合的表达式更加简明、醒目，而不必再考虑那些不属于该集合的元素（尽管这些元素也确在论域U之中）。当Fuzzy集合A的台有无限多个元素时，应用Zadeh表示法，Fuzzy集合A可表达为：

（3-2）

式中，积分符号不代表普通的积分，也不意味着求和，而是表示无限多个元素与相应隶属度对应关系的一个总括。在这种情况下，式（3-2）中也不需加写算符。

2）向量表示法当Fuzzy集合A的台由有限个元素构成时，Fuzzy集合A还可表示成向量形式，即：

（3-3）注意，应用向量表示法时，隶属度等于零的项，在式（3-3）所示向量中必须以0代替，不能舍弃。例如，已知Fuzzy集合“几个”的Zadeh表示为：

A = 0.3/3 + 0.7/4 + 1/5 + 1/6 + 0.7/7 + 0.3/8

其中，论域U = {1，2，3，4，5，6，7，8，9}。写成向量表示形式为：

A= [0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 0]

向量表示法对于Fuzzy集合的运算十分方便。

3）隶属函数法给出隶属函数的解析表达式，也能表示出相应的Fuzzy集合。Zadeh曾以年龄为论域，取＝[0，100]，给出的一个“年轻人”Y模糊集合的隶属函数为：

（3-4）3．模糊集合的基本运算

定义：设A，B是论域U上的两个Fuzzy子集，规定A与B“并”运算（A∪B），“交”运算（A∩B）及“补”运算（，）的隶属函数分别为，，及，则对U上的每一个元素有：

（3-5）

（3-6）

（3-7）

（3-8）

其中，符号max[·]及∨表示取大运算，即取两个隶属度较大者作为运算结果；符号min[·]及∧表示取小运算，即取两个隶属度当中较小者作为运算结果。

3.1.2 模糊关系

关系是描述客观事物之间联系的重要概念。在普通集合理论中，关系R描述事物之间“有”与“无”的肯定关系。但有些事物之间不能简单地采用肯定或否定的词汇去表达，例如，“我不太了解他”，“我比较喜欢他”等诸如此类的关系则需用Fuzzy关系来描述，所谓Fuzzy集合A到Fuzzy集合B的一个Fuzzy关系，是指以直积A×B为论

域的一个Fuzzy子集，记为R。Fuzzy关系R由其隶属函数μR完全刻画。

模糊关系有以下的性质：

自反性设R是论域上X的一个模糊关系，若对于X均有μR (x，y)=1，则称R具有自反性，自反性的标志是其模糊关系矩阵主对角线上的元素=1(i=j)。

对称性设R是论域上X的一个模糊关系，若对于X，y Y均有，则称R具有对称

性。对称性的标志是其模糊关系矩阵元素=。

传递性设R是论域上X的一个模糊关系，若对于，y，z Z均有，则称R具有传递性，传递性的标志是其模糊关系矩阵元素：

（3-11）

具有自反性、对称性和传递性的模糊关系R，称为论域X上的模糊等价关系。只具有自反性和对称性模糊关系R，称为论域X上的模糊相似关系。

（3．模糊关系矩阵的运算

“并”运算

设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = ()(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，其“并”运算为：

T = R∪S

或

（3-12）

其中，T = () (i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)为R与S的“并”，仍为Fuzzy关系矩阵。

“交”运算

设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = (sij)(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，其中“交”运算为：

T = R∩S

或

（3-13）

其中，T =() (i=1，2，…，n；j = 1，2，…，m)为R与S的“交”，仍为Fuzzy关系矩阵。

“补”运算

Fuzzy关系矩阵R = () (i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)的“补”运算为：

（3-14）其中，为R的补矩阵，仍为Fuzzy关系矩阵。

相等

设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = ()(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，若总存在= ，则称R与S相等，写成R = S。

包含

设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = ()(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，若总存在≤，则称S包含R，或R包含于S，写成R≤S。

转置

将Fuzzy关系矩阵R = ()中的行与列相互交换，所得到的Fuzzy关系矩阵称为R的转置Fuzzy关系矩阵，或