模糊控制系统的应用2

3.1 模糊推理基础3.1.1 模糊集合1．模糊集合定义延用普通集合论的有关概念，设为论域，为元素，模糊集合定义：论域中元素的模糊集A是以：[0，1]为隶属函数表征的集合。

隶属函数表征属于模糊集合A的程度或等级，亦称模糊特征函数，是用于描述普通集合的特征函数的扩展，其值域是从普通集合特征函数的{0，1}扩充到[0，1]区间的实数。

若接近1，则表示属于A的程度高，反之，若接近0，则表示属于A的程度低。

2．集合表示方法1）Zadeh(查德)表示法在论域U中，＞0的全部元素组成的集合，称为Fuzzy集合A的“台”，或“支集”。

也就是说，当某个元素的隶属度为零时，它就不属于该Fuzzy集合。

当Fuzzy集合A有一个有限的台时，A可表达为：（3-1）式中，并不代表“分数”，而是表示论域U中元素与其隶属函数之间的对应关系，称为“单点”；符号“+”也不表示“求和”，而是表示Fuzzy集合在论域U上的整体。

可见，通过台来表示Fuzzy集合的Zadeh 表示法，实际上是将Fuzzy集合视为一些单点的集合，使Fuzzy集合的表达式更加简明、醒目，而不必再考虑那些不属于该集合的元素（尽管这些元素也确在论域U之中）。

当Fuzzy集合A的台有无限多个元素时，应用Zadeh表示法，Fuzzy集合A可表达为：（3-2）式中，积分符号不代表普通的积分，也不意味着求和，而是表示无限多个元素与相应隶属度对应关系的一个总括。

在这种情况下，式（3-2）中也不需加写算符。

2）向量表示法当Fuzzy集合A的台由有限个元素构成时，Fuzzy集合A还可表示成向量形式，即：（3-3）注意，应用向量表示法时，隶属度等于零的项，在式（3-3）所示向量中必须以0代替，不能舍弃。

例如，已知Fuzzy集合“几个”的Zadeh表示为：A = 0.3/3 + 0.7/4 + 1/5 + 1/6 + 0.7/7 + 0.3/8其中，论域U = {1，2，3，4，5，6，7，8，9}。

写成向量表示形式为：A= [0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 0]向量表示法对于Fuzzy集合的运算十分方便。

3）隶属函数法给出隶属函数的解析表达式，也能表示出相应的Fuzzy集合。

Zadeh曾以年龄为论域，取＝[0，100]，给出的一个“年轻人”Y模糊集合的隶属函数为：（3-4）3．模糊集合的基本运算定义：设A，B是论域U上的两个Fuzzy子集，规定A与B“并”运算（A∪B），“交”运算（A∩B）及“补”运算（，）的隶属函数分别为，，及，则对U上的每一个元素有：（3-5）（3-6）（3-7）（3-8）其中，符号max[·]及∨表示取大运算，即取两个隶属度较大者作为运算结果；符号min[·]及∧表示取小运算，即取两个隶属度当中较小者作为运算结果。

3.1.2 模糊关系关系是描述客观事物之间联系的重要概念。

在普通集合理论中，关系R描述事物之间“有”与“无”的肯定关系。

但有些事物之间不能简单地采用肯定或否定的词汇去表达，例如，“我不太了解他”，“我比较喜欢他”等诸如此类的关系则需用Fuzzy关系来描述，所谓Fuzzy集合A到Fuzzy集合B的一个Fuzzy关系，是指以直积A×B为论域的一个Fuzzy子集，记为R。

Fuzzy关系R由其隶属函数μR完全刻画。

模糊关系有以下的性质：自反性设R是论域上X的一个模糊关系，若对于X均有μR (x，y)=1，则称R具有自反性，自反性的标志是其模糊关系矩阵主对角线上的元素=1(i=j)。

对称性设R是论域上X的一个模糊关系，若对于X，y Y均有，则称R具有对称性。

对称性的标志是其模糊关系矩阵元素=。

传递性设R是论域上X的一个模糊关系，若对于，y，z Z均有，则称R具有传递性，传递性的标志是其模糊关系矩阵元素：（3-11）具有自反性、对称性和传递性的模糊关系R，称为论域X上的模糊等价关系。

只具有自反性和对称性模糊关系R，称为论域X上的模糊相似关系。

（3．模糊关系矩阵的运算“并”运算设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = ()(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，其“并”运算为：T = R∪S或（3-12）其中，T = () (i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)为R与S的“并”，仍为Fuzzy关系矩阵。

“交”运算设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = (sij)(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，其中“交”运算为：T = R∩S或（3-13）其中，T =() (i=1，2，…，n；j = 1，2，…，m)为R与S的“交”，仍为Fuzzy关系矩阵。

“补”运算Fuzzy关系矩阵R = () (i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)的“补”运算为：（3-14）其中，为R的补矩阵，仍为Fuzzy关系矩阵。

相等设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = ()(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，若总存在= ，则称R与S相等，写成R = S。

包含设有两个Fuzzy关系矩阵R = ()及S = ()(i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)，若总存在≤，则称S包含R，或R包含于S，写成R≤S。

转置将Fuzzy关系矩阵R = ()中的行与列相互交换，所得到的Fuzzy关系矩阵称为R的转置Fuzzy关系矩阵，或简称R的转置，记以RT。

合成设有Fuzzy关系矩阵R = () (i = 1，2，…，n；j = 1，2，…，m)及S = ()(j = 1，2，…，m；k = 1，2，…，l)，则R对S的合成运算指的是一个n行l列的Fuzzy关系矩阵T =()，其中T的第i行第k列元素等于R的第i行的元素与S的第k列对应的元素两两先进行取小运算，然后在所得结果中再进行取大运算，（3-15）注意，Fuzzy关系矩阵R对Fuzzy关系矩阵S进行合成运算，必须是R的列数与S的行数相同才有意义，其中算符号“”是合成运算符号。

）3.1.3 模糊推理1．假言推理在形式逻辑中，推理分为直接推理、演绎推理、归纳推理及类比推理等形式。

在科学研究工作中，最常用的推理方法是演绎推理中的假言推理，其基本规则是：如果已知命题A（即可以分辨真假的陈述句）蕴含B，即A→B（若A则B），如今确定A，则可得结论为B，其逻辑结构为：例如，如果A看成“小王住院”，B看成“小王生病”，则若“小王住院”真，“小王生病”也真。

2．Fuzzy假言推理上面谈及的假言推理，其中命题A、命题B都是对精确事件而言。

但在Fuzzy情况下A与B均为Fuzzy命题，代表Fuzzy事件，因此不能再应用传统形式逻辑中的假言推理方法进行推理。

对此，L.A.Zadeh提出了下述近似推理理论。

设X和Y是两个各自具有基础变量x和y的论域，其中Fuzzy集合A X及B Y的隶属函数分别为及。

又设是X×Y论域上描述Fuzzy条件语句“若A则B”的Fuzzy关系，其隶属函数为：（3-16）通过Fuzzy关系矩阵，Fuzzy关系RA→B可写成：（3-17）其中，E代表全域的全称矩阵。

近似推理情况下的假言推理具有如下逻辑结构：（3-18）其中，表征推理合成规则，算符“”代表合成运算。

推理合成规则是假言推理的近似推广。

3．模糊条件推理1）Fuzzy条件语句“if A then B else C”的Fuzzy条件推理设A是论域X上的Fuzzy子集，B及C为论域Y上的Fuzzy子集，则“if A then B else C”在论域X×Y 上的Fuzzy关系R为：（3-19）基于推理合成规则，根据Fuzzy关系R，由式（3-19）求得与已知Fuzzy集合对应的Fuzzy集合为：（3-20）所得Fuzzy集合B1便是在A = 及“if A then B else C”前提下，得到的Fuzzy条件推理结论。

在Fuzzy控制中，应用式（3-19），式（3-20）可计算出输入为A1时具有“if A then B else C”型控制规则的Fuzzy控制器的输出。

2）Fuzzy条件语句“if A and B then C”的Fuzzy条件推理设A，B和C分别是论域X，Y和Z上的Fuzzy集合，其中A，B是Fuzzy控制器的输入Fuzzy集合，C是其输出Fuzzy集合。

在这种情况下，由Fuzzy条件语句“if Aand B then C”所决定的为三元Fuzzy关系R，即（3-21）其中，为由Fuzzy关系矩阵构成的nm维列向量，n和m分别为Fuzzy集合A与B的论域元素数。

基于推理合成规则，根据Fuzzy关系式（3-21）求得与给定输入Fuzzy集合A1及B1对应的输出Fuzzy关系集合C1为：（3-22）其中，为由Fuzzy关系矩阵构成的nm维列向量，n和m分别为Fuzzy集合A与B的论域元素数。

3）“if A then B”是“if A then B else C”的一种特殊情况前已述及，Fuzzy条件语句“if A then B else C”所决定的Fuzzy关系R为：其中，A，B和C是论域X，Y和Y上的一元Fuzzy关系，而R是论域X×Y上的一个二元Fuzzy关系。

若将其中的Fuzzy集合C容许为全域时，则得：其中，E代表全域的全称矩阵。

这时，R的隶属函数为：考虑到式（3-16），便是“if A then B”所决定的Fuzzy关系，于是有：（3-23）式（3-23）表明，实际上，是把“若A则B”理解为“若A则B否则不问”，它是“若A则B否则C”的一种特殊情况。

3.2 模糊控制器设计3.2.1 模糊系统结构模糊控制可以被认为是在总结采用人类自然语言概念操作经验的基础上升华而发展起来的模仿人类智能的一类控制方法，即Fuzzy控制。

这类控制的核心是Fuzzy控制器，其作用是将控制误差等精确量模糊数学化为模糊量，然后根据基于语言控制规则或操作经验提取的模糊控制规则推理得到控制作用的模糊量，最后采用一定的清晰化（去模糊）算法将模糊控制量换算为精确控制量输入给执行机构，从而完成系统的Fuzzy控制调节过程。

这个过程实质上包含了精确数字与模糊数学集合的变换，语言变量的推理，即模糊逻辑推理过程。

由此可见模糊控制思想在系统设计实现中的合理性。

一般模糊控制系统（如Fuzzy控制系统）的基本结构组成如图3-3所示。

图3-3 Fuzzy控制系统框图动画讲解图片说明3.2.2 精确量Fuzzy化1．模糊控制器的语言变量Fuzzy控制器的语言变量是指其输入变量和输出变量而言，它们是以自然语言形式，而不是以数值形式给出的变量，因此有“模糊”一说。

此语言变量有时也称Fuzzy控制器的结构。