2019年衡阳市中考数学试题、答案(解析版)

2019年衡阳市中考数学试题、答案（解析版）本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.34-的相反数是( )A .34-B .34C .43-D .43 2.如果分式11x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .1x ≠-B .1x -＞C .全体实数D .1x =-3.2018年6月14日,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕距月球65 000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道,成为世界首颗运行在地月L2点Halo 轨道的卫星,用科学记数法表示65 000公里为 公里( )A .50.6510⨯B .36510⨯C .46.510⨯D .56.510⨯ 4.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )AB CD5.下列各式中,计算正确的是( )A .835a b ab -=B .235()a a =C .842a a a ÷=D .23a a a =6.如图,已知AB CD ∥,AF 交CD 于点E ,且BE AF ⊥,40BED ∠=︒,则A ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .80︒D .90︒7.某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中,成绩(单位：分)分别是86,95,97,90,88,这组数据的中位数是( )A .97B .90C .95D .88 8.下列命题是假命题的是( )A .n 边形(3n ≥)的外角和是360︒B .线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C .相等的角是对顶角D .矩形的对角线互相平分且相等9.不等式组23,42x x x ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是( )A .0B .1-C .2-D .110.国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力.2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意列方程得 ( ) A .9(1 2 )1x -=B .29(1 )1x -=C .9(1 2 )1x +=D .29(1 )1x +=11.如图,一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x=(m 为常数且0m ≠)的图象都经过(1,2),(2,1)A B --,结合图象,则不等式mkx b x+＞的解集是 ( )A .1x -＜B .10x -＜＜C .1x -＜或02x ＜＜D .10x -＜＜或2x ＞12.如图,在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,E 是AB 的中点,过点作AC 和BC 的垂线,垂足分别为点D 和点F ,四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动,点C 与点A 重合时停止运动,设运动时间为t ,运动过程中四边形CDEF 与ABC △的重叠部分面积为S .则S 关于t 的函数图象大致为( )ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.因式分解：228a -= .14.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a 个黄球,这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球,该球是黄球的概率为12,则a 等于 .15= .16.计算：111x x x +=-- .17.已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是 .18.在平面直角坐标系中,抛物线2y x =的图象如图所示.已知A 点坐标为(1,1),过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点A 1,过点A 1作12A A OA ∥交抛物线于点A 2,过点A 2作23A A x ∥轴交抛物线于点A 3,过点A 3作34A A OA ∥交抛物线于点A 4,……,依次进行下去,则点 2 019A 的坐标为 .三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)312|tan60(2019)2-⎛⎫++︒-- ⎪⎝⎭.20.(本小题满分6分)某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”的活动,推出了以下四种选修课程：A .绘画；B .唱歌；C .演讲；D .十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息,解决下列问题：课程选择情况的条形统计图课程选择情况的扇形统计图(1)这次学校抽查的学生人数是 ； (2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1 000名学生,请你估计该校报D 的学生约有多少人？21.(本小题满分8分)关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根. (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,求此时m 的值.22.(本小题满分8分)如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30︒,沿坡面向下走到坡脚C 处,然后向楼房方向继续行走10米到达E 处,测得楼房顶部A 的仰角为60︒.已知坡面10CD =米,山坡的坡度i =坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB 高度.(结果精确到0.1米)(1.73,1.41≈)23.(本小题满分8分)如图,点A ,B ,C 在半径为8的O 上.过点B 作BD AC ∥,交OA 延长线于点D .连接BC ,且30BCA OAC ∠=∠=︒. (1)求证：BD 是O 的切线； (2)求图中阴影部分的面积.24.(本小题满分8分)某商店购进A ,B 两种商品,购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元,并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等.(1)求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；(2)商店准备购买A ,B 两种商品共80个,若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍,并且购买A ,B 商品的总费用不低于1000元且不高于1 050元.那么商店有哪几种购买方案？25.(本小题满分10分)如图,二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -和点(3,0)B ,与y 轴交于点N ,以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ,点P 是x 轴上一动点,连接CP ,过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E . (1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P 在线段OB (点P 不与O ,B 重合)上运动至何处时,线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M ,连接MN ,MB .请问：MBN △的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M 的坐标；若不存在,请说明理由.26.(本小题满分12分)如图,在等边ABC △中,6AB = cm ,动点P 从点A 出发以1 cm/s 的速度沿AB 匀速运动.动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动,当点P 到达点B 时,点P ,Q 同时停止运动.设运动时间为t (s ),过点P 作PE AC ⊥于E ,连接PQ 交AC 边于D .以CQ ,CE 为边作平行四边形CQFE .. (1)当t 为何值时,BPQ △为直角三角形；(2)是否存在某一时刻t ,使点F 在ABC ∠的平分线上？若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由； (3)求DE 的长；(4)取线段BC 的中点M ,连接PM ,将BPM △沿直线PM 翻折,得B PM '△,连接AB ',当t 为何值时,AB '的值最小？并求出最小值.2019年衡阳市中考数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】34-的相反数是34；故选：B .【考点】绝对值的概念.2.【答案】A【解析】解：由题意可知：10x +≠,1x ≠-,故选：A . 【考点】分式有意义的条件.3.【答案】C【解析】解：科学记数法表示65 000公里为46.510⨯公里.故选：C . 【考点】科学记数法表示数.4.【答案】D 【解析】A 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误；B 、不是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误；C 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；D 、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.故选：D . 【考点】轴对称图形和中心对称图形. 5.【答案】D【解析】A 、8a 与3b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、235()a a =,故选项B 不合题意；C 、344a a a ÷=,故选项C 不符合题意；D 、23a a a =,故选项D 符合题意.故选：D . 【考点】整式的运算. 6.【答案】B【解析】解：∵BE AF ⊥,40BED ∠=︒,∴50FED ∠=︒,∵AB CD ∥,∴50A FED ∠=∠=︒.故选：B . 【考点】平行线的性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.7.【答案】B【解析】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97,所以这组数据的中位数为90分,故选：B . 【考点】中位数.8.【答案】C【解析】A 、n 边形(3n ≥)的外角和是360︒,是真命题；B 、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角,是假命题；D 、矩形的对角线互相平分且相等,是真命题；故选：C . 【考点】判断命题的真假,多边形的外角和,垂直平分线的性质,对顶角的概念,矩形的性质. 9.【答案】B【解析】2342x xx ⎧⎨+⎩＞①＞②解不等式①得：0x ＜, 解不等式②得：2x ＞-,∴不等式组的解集为20x -＜＜,∴不等式组2342x xx ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是1-,故选：B .【考点】解不等式组,求整数解.10.【答案】B【解析】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意得：29(1)1x -=,故选：B . 【考点】一元二次方程解应用题. 11.【答案】C【解析】解：由函数图象可知,当一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象在反比例函数2my x=(m 为常数且0m ≠)的图象上方时,x 的取值范围是：1x -＜或02x ＜＜,∴不等式mkx b x +＞的解集是1x -＜或02x ＜＜.故选：C .【考点】函数图象与不等式的关系.12.【答案】C【解析】解：∵在直角三角形90C ∠=︒,AC BC =, ∴ABC △是等腰直角三角形, ∵EF BC ⊥,ED AC ⊥, ∴四边形EFCD 是矩形, ∵E 是AB 的中点,∴12EF AC =,12DE BC =,∴EF ED =,∴四边形EFCD 是正方形, 设正方形的边长为A ,如图1当移动的距离a ＜时,图12212S EE H a t ='--正方形得面积△的面积；当移动的距离a ＞时,如图2,图222211(2)2222ACH S S a t t at a ==-=-+△,∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项,故选：C .【考点】等腰直角三角形的性质,正方形的性质,求图形的面积.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2(2)(2)a a +-【解析】22282(4)2(2)(2)a a a a -=-=+-. 【考点】因式分解. 14.【答案】5【解析】解：根据题意知1322a a =++,解得 5a =,经检验： 5a =是原分式方程的解, ∴ 5a =, 故答案为：5.【考点】频率与概率的关系,解分式方程. 15.【答案】【解析】原式==故答案为：. 【考点】二次根式的计算. 16.【答案】1 【解析】解：原式111x x x =--- 11x x -=- 1=.故答案为：1. 【考点】分式的计算.17.【答案】【解析】如图,圆半径为6,求AB 长.3603120AOB ∠=︒÷=︒连接OA ,OB ,作OC AB ⊥于点C , ∵OA OB =,∴2AB AC =,60AOC ∠=︒,∴sin606AC OA =⨯︒==,∴2AB AC ==故答案为：【考点】圆内接三角形的定义,等边三角形的性质,垂径定理,特殊角的锐角三角函数值. 18.【答案】21010,(1010)-【解析】解：∵A 点坐标为(1,1), ∴直线OA 为y x =,1(1,1)A -, ∵12A A OA ∥,∴直线A 1A 2为2y x =+, 解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩,∴2(2,4)A , ∴3(2,4)A -, ∵34A A OA ∥,∴直线34A A 为6y x =+,解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩, ∴4(3,9)A , ∴5A (3,9)- …,∴220191010,10()10A -,故答案为21010,(1010)-.【考点】探索规律,一次函数和二次函数的图象性质,函数图象的平移. 三、解答题19.【答案】解：原式821=+-9=【考点】实数的运算.20.【答案】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人), 故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人) 条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人), 故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人) 条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【考点】条形统计图,扇形统计图,样本估计总体. 21.【答案】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥,解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =, 而10m -≠,∴m 的值为32.【解析】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥,解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =, 而10m -≠,∴m 的值为32.【考点】一元二次方程根的判别式,不等式的解法.22.【答案】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i = ∴30DCG ∠=︒,∴152FP DG CD ===,∴CG == ∵60FEP ∠=︒,∴5FP =,∴EP =,∴1010DF GP ==+, ∵60AEB ∠=︒,∴30EAB ∠=︒, ∵30ADH ∠=︒, ∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF ==+, ∴15FH AF==+,∴10AH==+,∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=++⨯≈(米),答：楼房AB 高度约为23.7米.【解析】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i = ∴30DCG ∠=︒,∴152FP DG CD===,∴CG ==∵60FEP ∠=︒,∴5FP =,∴EP =,∴101033DF GP ==+=+, ∵60AEB ∠=︒,∴30EAB ∠=︒, ∵30ADH ∠=︒, ∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF ==+, ∴15FHAF ==+, ∴10AH==+,∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=++⨯≈(米), 答：楼房AB 高度约为23.7米.【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形面积公式,扇形的面积公式.23.【答案】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒, ∴90AEO ∠=︒, 即OB AC ⊥, ∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒, ∴BD 是O 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒, ∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD =∴2160π832π823603BDO AOB S S S ⨯⨯⨯==-=△阴影扇形. 【解析】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒, ∴90AEO ∠=︒, 即OB AC ⊥, ∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒, ∴BD 是O 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒, ∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD =∴2160π832π823603BDO AOBS S S ⨯⨯⨯==-=△阴影扇形. 【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形公式,扇形的面积公式.24.【答案】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元,依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意, ∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元. (2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤. ∵m 为整数, ∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个. 【解析】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元, 依题意,得：30010010x x=+,解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意,∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元.(2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤.∵m 为整数,∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【考点】分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用.25.【答案】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩, 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩, 故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；(2)∵(1,0)A -,点(3,0)B ,∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥,∴90OPE CPB ∠+∠=︒,90CPB PCB ∠+∠=︒,∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒,∴~POE CBP △△, ∴BC OP PB OE=, 设OP x =,则3PB x =-, ∴43x x OE=-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, ∵03x ＜＜, ∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916. 即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916. (3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,∵抛物线的解析式为223y x x =--,∴0x =,3y =-, ∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,∴13k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -,∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNH S S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭△△△, ∵102-＜, ∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩, 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩, 故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；(2)∵(1,0)A -,点(3,0)B ,∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥,∴90OPE CPB ∠+∠=︒,90CPB PCB ∠+∠=︒,∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒,∴~POE CBP △△,∴BC OP PB OE=, 设OP x =,则3PB x =-,∴43x x OE=-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, ∵03x ＜＜,∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916. 即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916. (3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,∵抛物线的解析式为223y x x =--,∴0x =,3y =-, ∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩, ∴13k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -,∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNH S S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭△△△, ∵102-＜, ∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【考点】待定系数法求二次函数的表达式,二次函数的图象与性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式.26.【答案】解：(1)∵ABC △是等边三角形,∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒,∴62(6)t t +=-,∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==,∵EF BQ ∥,∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒, ∴2EF EM =,∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形,∴60B A ∠=∠=︒,∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒,∴APK △是等边三角形,∴PA PK =,∵PE AK ⊥, ∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠,∴(AAS)PKD QCD ≅△△,∴DK DC =,∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==. (4)如图3中,连接AM ,AM '图3∵3BM CM ==,AB AC =,∴AM BC ⊥,∴AM =,∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3.【解析】解：(1)∵ABC △是等边三角形,∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒,∴62(6)t t +=-,∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==,∵EF BQ ∥, ∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒, ∴2EF EM =, ∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形,∴60B A ∠=∠=︒,∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒,∴APK △是等边三角形,∴PA PK =,∵PE AK ⊥,∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠,∴(AAS)PKD QCD ≅△△,∴DK DC =,∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==. (4)如图3中,连接AM ,AM '图3∵3BM CM ==,AB AC =,∴AM BC ⊥,∴AM =,∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3. 【考点】二次函数的图象与性质,勾股定理,三角形的面积,矩形的性质,平行四边形的性质.。