微分方程练习题基础篇答案.docx
微分方程单元测试题(含答案)
微分方程单元测试题(含答案)题目一已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$,求出这个微分方程的通解。
答案:根据微分方程的定义,我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。
首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和$\frac{1}{2x}$,得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。
然后我们进行积分,得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。
将积分限写入,得到 $\int\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$(这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数)。
对于左边的积分,我们可以用换元法来进行计算,令 $u = 2x$,则$du = 2dx$。
将其代入积分式中,得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ (其中 $C_1$ 是常数)。
对于右边的积分,我们可以直接计算得到 $x + C_2$(其中$C_2$ 是常数)。
将左右两边的积分结果合并,得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$,进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$,其中$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。
对等式两边同时取指数函数,得到$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$,再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}e^{C_3}$。
最后取绝对值,得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$,进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。
因此,微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$,其中 $C_3$ 是常数。
题目二已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$,求出这个微分方程的特解。
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$,其中 $y(0)=1$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$,其中 $y(0)=1$。
3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。
4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。
答案解析1. 对微分方程两边同时积分,得到 $y = x^3+x+c$,其中$c$ 为任意常数。
由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$,所以 $y=x^3+x+1$。
2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$,得到 $y=Ce^{-x}$,其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$,设其特解为 $y=ax+b$,代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$,$b=\frac{1}{2}$。
因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$,所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。
3. 对微分方程两边同时积分,得到 $y = Ce^{2x}+2$,其中$C$ 为任意常数。
4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$,得到 $y=Ce^{-9x}$,其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$,由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合,所以采用常数变易法,设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$,代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$,$B=\frac{9}{82}$。
因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。
第六章微积分微分方程初步(含答案)
第六章微积分微分⽅程初步(含答案)微分⽅程初步⼀、单项选择题1.微分⽅程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是( b )A.4阶 B .3阶 C .2阶 D .1阶2.微分⽅程222y x dxdy x +=是( b ) A.⼀阶可分离变量⽅程 B.⼀阶齐次⽅程 C.⼀阶⾮齐次线性⽅程 D.⼀阶齐次线性⽅程3.下列⽅程中,是⼀阶线性微分⽅程的是( c )A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4.⽅程x y xy =-'满⾜初始条件11==x y 的特解是( a )A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25.微分⽅程y y x 2='的通解为( c )A .2x y =B . c x y +=2C . 2cx y =D .0=y6.微分⽅程y y x ='满⾜1)1(=y 的特解为( a )A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7. 设21,y y 是⼆阶常系数线性齐次⽅程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性⽆关的解,21,C C 是两个任意常数,则下列命题中正确的是( c )(A ) 2211y C y C +是微分⽅程的特解。
(B )2211y C y C +不可能是微分⽅程的通解。
(C )2211y C y C +是微分⽅程的通解。
(D )2211y C y C +不是微分⽅程的解。
8.微分⽅程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是( a )A ⼀阶微分⽅程B ⼆阶微分⽅程C 可分离变量的微分⽅程D ⼀阶线性微分⽅程9.微分⽅程2y xy '=的通解为( c )A .2x y e C =+B . x y Ce =C . 2x y Ce =D .22x y Ce =⼆、填空题1.微分⽅程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____;2.微分⽅程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=; 3.微分⽅程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=;4.微分⽅程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<;5. 微分⽅程03='+''y y x 的通解为 221xC C y +=; 6. n 阶微分⽅程的通解含有__n __个独⽴的任意常数。
7第七章 微分方程答案word精品文档12页
第 1 页微 分 方 程第一节 微分方程的基本概念 1.填空题(1) 微分方程0)'('''242=++y y y x 的阶是 3 (2) 若xe B Ax y )(+=是微分方程xxe y y =-'2''的一个特解,则=A 1- ,=B 32.写出下列问题所确定的微分方程(1)已知曲线)(x f y =过点)1,1(,其上任意一点),(y x 处的切线的斜率为x x ln 2,求)(x f 满足的微分方程. ⎩⎨⎧==21)1(ln 'y xx y (2000题531) (2)由曲线上任意一点引法线,它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍,求此曲线满足的微分方程.yy x x y -+=222'(2000题531)(3)设函数)(x f 在),1[+∞上连续,若由曲线)(x f y =,直线1=x ,tx =(1≥t )与x 周所围平面图形绕x 轴旋转一周所称的旋转体的体积为].1)([3)(2-=t f t t v π求)(x f 所满足的微分方程..023'22=+-x yxy y (北大习题586)第二节 可分离变量方程1. 填空题(1) 微分方程y y x y ln sin '=满足初始条件e y x ==2π的特解是2tanx ey =(2) 微分方程 yx ey 2'+=的通解为C ee yx =+-22(3) 微分方程)2sin()2sin('y x y x y +=-+的通解是C x y y +=-2sin |cot csc |ln2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)0sin tan =-xdy ydx解 分离变量得xdxy ydy sin sin cos =两边积分得 '|2tan|ln |sin |ln C xy +=第 2 页故原方程的通解为 )(2tan sin 'C e C xC y ±== (2)0)()(=++-++dy e e dx e ey y x x yx解 两边除以 yx e+,并分离变量得11+=--x x y y e dxe e dy e两边分别积分得方程的通解为 C e e yx=-+)1)(1( (3)dy x y x y ydx x )1(22222+--= 分离变量得dy yy dx x x 222211-=+ 两边分别积分得微分方程的通解为C y y x x +-=-2ln arctan 2(4))'('2y y a xy y +=- 分离变量可得x a dxayy ey +=-2两边积分求得的通解为 C x a ay yln )ln(|1|ln ++=-,即有 )(1x a C ay y+=-. 第三节 齐 次 方 程1.填空题(1) 微分方程0)(=-+ydx dy y x 的通解是yx Ce y = (2)已知函数)(x y 满足微分方程xy y xy ln'=,且在1=x 时,2e y =,则1-=x 时, y 1-2.求解下列微分方程 (1)xyx y y tan '=-解 令 ux y =,则有xdxu du =tan 两边积分得 Cx u =sin原方程的通解为 Cx xy=sin(2)0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x第 3 页解 方程可化为 xy x y x y y 2132)('2---= 令 ux y =,则有 12)1(32---=-u u u dx du x 分离变量解之得 321-=--Cx u u 原方程的通解为 C x yx x y =--322(3)yx yx y ++-=34'解 另ux y =,则有1)2(2++-=u u dx du u 分离变量两端积分得 21)2(ln +-=+u u Cx 原方程的通解为02)2(ln =+++xy xx y C (4) 2)1('+-=y x y解 另 y x u -=,则方程化为)2(+-=u u dxdu分离变量两端积分得x Ce u u22-=+ 故原方程的通解为x Ce y x yx 22-=+--第四节 一阶线性方程 1. 选择题(1) 下列为一阶线性方程的是( C ) A .ye yx y =+' B. y x y y =+2'C .x y e xy x=+' D.2'⎪⎭⎫⎝⎛=+x y x y y(2)*下列为伯努利方程的是( B) A .3)(y x dxdy+= B.2yx y x dy dx += C. 532y x y x dx dy y=+ D.3322y x y x dxdy=+ 2. 填空题(1) 0cos 2')1(2=-+-x xy y x 满足1)0(=y 的特解为11sin 2--=x x y (2)设x x e x f dt t f -=⎰)()(0,则=)(x f x e x )1(+3.求解下列微分方程第 4 页(1) 27)1(2')1(+=-+x y y x解 方程改写为 25)1(12'+=+-x y x y 由一阶线性微分方程通解公式,得])1([122512⎰+⎰+⎰=+-+--C dx ex ey dxx dx x])1(32[)1(232C x x +++= 即方程的通解为])1(32[)1(232C x x +++=(2)2y x y dx dy += 解 原方程可改写为y yxdy dx += 由一阶线性微分方程通解公式, )]([11C y y C yeex dy ydyy+=+⎰⎰=⎰---因此,方程的通解为 )(C y y x += (3)ydy ydx xdy ln 22=+解 上方程变形为yy x y dy dx ln 22=+ 由一阶线性微分方程通解公式,得)ln 2(22⎰+⎰⎰=-C dy e yy ex dyy dyy 221ln -+-=Cy y因此方程的通解为221ln -+-=Cy y x 4.求解下列微分方程(1)*xy y dxdyx2=+ 解 此方程为21=n 时的伯努立方程,两边除以y 可得到x y dxdyy x 2=+ 令 y z = 上方程化为xz x dx dz 121=+ 由一阶线性微分方程的通解公式得到)(1C x xz +=,因此,原方程的通解为 2)(1C x xy +=。
微分方程练习题基础篇答案
微分方程练习题基础篇答案常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解1.dyxy dx= 分离变量 dy xdx y =,22xy Ce =,C 为任意常数2.0xydx = 分离变量dy y =,y =C 任意常数3.ln 0xy y y '-= 分离变量1ln dy dx y y x=,x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量2211ydy xdx y x=+-,22(1)(1)y x C +-= 25.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+,22du dx u =+1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-,原方程变为11ydy x y dx x+=-,令y u x =,dy du u x dx dx=+,代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+,yu x=回代得通解2arctan ln y y x C x x =++7.0xy y '-=方程变形为0dy y dx x =+=,令y u x =dx x = arctan ln u x C=+,yu x=回代得通解arctan ln y y x C x x =++8.ln dy y xy dx x =,方程变形为ln dy y y dx x x =,令y u x =,(ln 1)du dx u u x=-,1Cx u e +=,1Cx y xe +=9.24dy xy x dx+=,一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+?210.2dy y x dx x-=,一阶线性公式法1123(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+?2211.(1)24x y xy x '++=,方程变形为2222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3214()13y x C x =++ 212.(6)20dyy x y dx-+=,方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+213.3y xy xy '-=,方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程,令12,dz dy z y y dx dx--==-代入方程得3dz xz x dx+=-一阶线性公式法再将z 回代得232113x Ce y -=- 41114.(12)33dy y x y dx +=-,方程变形为431111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程,令 34,3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dzz x dx-=-,一阶线性公式法再将z 回代得3121xCe x y=-- 15.560y y y '''++=,特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,通解2312x x y C e C e --=+16.162490y y y '''-+=,特征方程为2162490r r -+=,特征根为1,234r =,通解3412()x y C C x e =+17.0y y '''+=,特征方程为20r r +=,特征根为120,1r r ==-,通解12x y C C e -=+18.450y y y '''-+=,特征方程为2450r r -+=,特征根为122,2ri r i =-=+,通解212(cos sin )x y e C x C x =+219.()0x y dx xdy --=,全微分方程2()0x dx ydx xdy -+=,3()03x d d xy -=,通解33x xy C -= 320.()()0x y dx x y dy ---=,全微分方程3()0x dx ydx xdy ydy -++=,42()042x y d d xy d -+=,通解4242x y xy C -+=2221.()(2)0x y dx xy y dy +++=全微分方程22(2)0x dx y dx xydy ydy +++=,322()032x y d d xy d ++=,通解32232x y xy C ++=22.(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=,全微分方程(cos sin )(cos sin )0x ydy ydx xdy y xdx ++-=,(sin )(cos )0d x y d y x +=,通解 sin cos x y y x C +=2223.(3)(2)x y dx x y x dy C ++-=,22320x dx x ydy ydx xdy ++-=,积分因子21x μ=,方程变为2320ydx xdy dx ydy x -++=,230y d x dy d x +-=,通解23y x y C x+-=2224.()xdx ydy x y dx +=+,积分因子221x y μ=+,方程变为220xdx ydydx x y+-=+,221[ln()]02d x y dx +-=通解221ln()2x y x C +-= 2225.()0x y y dx xdy ++-=,22()0x y dx ydx xdy ++-=,积分因子221x y μ=+,方程变为220ydx xdy dx x y -+=+,arctan 0x dx d y +=,通解arctan x+= 326.sin x y e x ''=+,可降阶()()n y f x =型,逐次积分得通解3121sin 9x y e x C x C =-++ 227.1y y '''=+,可降阶令()p x y '=,原方程化为21p p '=+可分离变量型,得1tan()y p x C '==+,积分得通解12ln cos()y x C C =-++28.y y x '''=+,可降阶(,)y f x y '''=型,令()p x y '=,原方程化为p p x '-=,一阶线性非齐次公式法得11xy p C e x '==--,积分得通解21212x y C e x x C =--+ 329.y y y ''''=+,可降阶(,)y f y y '''=型,令(),dp p y y y pdy '''==,原方程化为3dpp p p dy=+ 即2[(1)]0dp p p dy -+=,0p =是方程的一个解,由2(1)0dpp dy-+=得1arctan p y C =-即1tan()y p y C '==-,通解为21arcsin x C y e C +=+30.24x y y y xe '''-+=,二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型,1λ=是特征方程2210λλ-+=的重根,对应齐次方程的通解为12()x Y C C x e =+,设特解为*2()x y x ax b e =+,代入方程得(62)4xxax b e xe +=,得2,03a b ==,故原方程的特解为*x y x e =,原方程通解为3122()3xx y C C x e x e =++231.x y a y e ''+=,二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型,特征方程220r a +=,特征值为1,2r ai=±,对应齐次方程的通解为12cos sin Y C ax C ax =+,1λ=不是特征根,设原方程特解为*x y Ae =,代入方程得2x x xAe a Ae e +=,得211A a=+则*21xe y a =+,原方程通解为122cos sin 1xe y C ax C ax a =+++32.cos y y x x ''+=+,对应齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+,设y y x ''+=的一个特解为1y Ax B =+代入此方程得1,0A B ==,故1y x =;设cos y y x ''+=的一个特解为2cos sin y Ex x Dx x =+代入此方程得10,2E D ==,故21sin 2y x x =;原方程通解为121cos sin sin 2Y C x C x x x x =+++ 33.69cos x y y y e x '''-+=,特征方程2690r r -+=,特征值为1,23对应齐次方程的通解为3312x x Y C e C xe =+,1i λ=±不是特征根,原方程特解设为*(cos sin )x y e a x b x =+代入方程得34,2525a b ==-,则*34(cos sin )2525x y e x x =-,原方程通解为331234(cos sin )2525x x x Y C e C xe e x x =++- 34.已知3222123,,x x x x xy e xe y e xe y xe =-=-=-是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解,则该方程的通解y =()答案:3212x x xy C e C e xe =+-,31323,x xy y e y y e -=-=是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是()()23x A y y y xe '''--= ()23x B y y y e '''--= ()23x C y y y xe '''+-= ()23x D y y y e '''+-=解析:特征根为121,2λλ==-,则特征方程为(1)(2)0λλ-+=即2 20λλ+-=,故对应齐次方程为20y y y '''+-=;*x y xe =为原方程的一个特解,1,λ=为单根,故原方程右端非齐次项应具有()xf x Ce =的形式。
微分方程练习题基础篇答案
微分方程练习题基础篇答案常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解dydyxdx?xy1.?Cey?2分离变量,C为任意常数,ydxdyx 2xx?12Cey?0?1?xdy?2.xydx,,分离变量 C任意常数2dxy2x?1dy1x dx??Ce?y0ln y3.xy??y分离变量,y ln yxydyxdx2222?y?y)(xdy?4.()?Cxy0?x)dx?y(1?)(1?x,分离变量22xy1?1?dydudy1u du25.?(2x?y?5)?2?5?2x?yu?arctan?x?C则令,,dx?1dxdxdx22?u22y1?dy2y?dyx1u1?duydyx??6.dxduxu?u,,令,代入得,原方程变为y dx2y?dxxx1?u dxxdx?1xyyy2arctan?ln x??C?u C?u2arctan?u?ln x回代得通解,xxx2yydy dxdu y220?1??u0y?y?x?7.xy?方程变形为,令,代入得??x xxdxx2??1?u yyy arctan?ln x??C?u C?arctan u?ln x回代得通解,xxxdudxdyydyyyy Cx?1?1?Cx?y ln?x8.ln u?y?xe e?u,,令,,,方程变形为x1)?u(ln uxxxdxxdxdy??xdx22xdx?2x??x?4?2xy9.4xedx?C)?e(?Ce?2y,一阶线性公式法dx11dyy??dxdx?223?x?210.??Cx)?x2xedx?y?e(C xx,一阶线性公式法dxx214x2x43?22??yy yx?C)?(?x4211.(xxy?1)y??一阶线性公式法,方程变形为2221x?x?11?x3dx311dy232yx Cyy?y?0?12.(y?6x)?2y,方程变形为一阶线性公式法dyy22dx1dy1dzdy21??2?3x?x??yz?y,?xy?313.yxy?代入方程得伯努利方程,令,方程变形为2ydxy dxdx311dz2xCe x3xz2z回代得一阶线性公式法再将y3dx1dy111dy114)x(1?2??y)?2x?y?14.(1,方程变形为伯努利方程,令43ydx3y3dx33dzdydz?4?3?z?2,x?1??3z?yy z回代得,一阶线性公式法再将代入方程得dxdxdx1x?Ce?2x?13y2r??2,r??3015.yy5?y??606r??5r?,通解,特征方程为,特征根为21?2x?3x e??yCeC213r?20?24y?916.16yy?0r?9??16r24,特征方程为,特征根为,通解1,243x e)x?C?y(C421x2eC?C?y1?0,r??r0y17.y??0??rr,通解,特征方程为,特征根为2121 2r?2?i,r?2?i0?5y18.yy??40?4r?5r?,通解,特征方程为,特征根为212x(C cos xe?C sin x)y?2133xx22dxy?Cxy)?0??d(0?(ydx?xdy)xdx?0?y)dx?xdy?19.(x通解,,,全微分方程3333dx?(ydx?xdy)?y)dy?0xydy?020.(xy?)dx?(x?,程微分方,全4242yyxxd?d(xy)?d?0?xy??C,通解42422222dx?2xydy)??(yydy?dy)dx?(2xy?y)?0x021.(xdx?y,全微分方程3232yyxx22d?d(xy)?d?0?xy??C,通解3232y sin x?sin y?x22.(x cos y?cos)y0,全微分方程(x cos ydy?sin ydx)?(cos xdy?y sin xdx)?0d(x sin y)?d(y cos x)?0,通解,x sin y?y cos x?C1?2222?0?xdy?dx?2xydy?ydx3dy?23.(3x?y)dx(2xy?x)?Cx,方程变,,积分因子2xydx?xdyyy22?0d3x?dy?d?03x?y??C3dx?2ydy?为,通解,2xxx1xdx?ydy?22?dx??0dx(x?y)24.xdx?ydy?,,方程变为,积分因子2222x?yx?y112222)?x?y?)]?dx?0ln(d[ln(xx?yC通解221?2222?0)dx?ydx?xdy?y25.(x??y)dx?xdy?0(x?y,方程变为,,积分因子22y?xydx?xdyxx?0dx?d arctan?0xdx??arctan?C,,通解22yyyx?13x3x(n)y?e?sin x?Cx?C??26.y?e?sin xy?f(x)型,逐次积分得通解,可降阶21922y)?p(x p?1?y27.y??1p可分离变,原方程化,可降阶令为量型,得?y??lncos(x?C)?C)Cx?p?tan(y?,积分得通解121p??yxx,yp)28.yp(?yy?xx)?f(,一阶线性非齐次,可降阶,原方程化为型,令12xx?x??x?Cy?Ce1??xy?p?Ce,积分得通解公式法得2112dpdp3pypp??p(y)?yp,3???)yyy,?f(yy29.y??,可降阶,原方程化为型,令dydydpdp22)?p0?)]?p[0(1?(1?p?0p?得由是方程的一个解,即,dydy x?Carcsin eCy)?Cp?tan(y?arctan py?Cy?,通解为即P(x)f(x)?exe4??30.yy?2y2?1?0?2型,,二阶常系数非齐次1?的是特征方2111?xx程mx*2x Y?(C?Cx)ey?x(ax?b)e,代入方,设特解为重根,对应齐次方程的通解为21223x*xx exy0?,a?b?xe?(6ax2e)b?4,原方程通,得,故原方程的特解为程得33.23xx x?eC?(?Cx)ey解为213?x2x??f(x)?eP(x)ey?ya?31.22型,,二阶常系数非齐次r??ai0a?r?特征值为特征方程,m,1,2Y?C cos ax?C sin ax?,?1不是特征根,设原方程特解为对应齐次方程的通解为21x e1*y?xx2x A?eaAe?Ae?x*则,得,原方程通解为Aey?,代入方程得22a?1a?1x ey?C cos ax?C sin ax?212a1xC sin?C cos x?Y?y?xx?cos32.yyx?y?的一个特解为对应齐次方程的通解为,设,21??xy??Ax?By?y?yA?1,B?0cos x的一个特解代入此方程得;设,故1111y??x sin xE?0,D x sin?Dxy?Ex cos x;原方程,故代入此方程得为22221Y?C cos x?C sin x?x?x sin x通解为122xcos xy?e?6y?33.y92r?309r??6r?对应齐次方程的通解为,,特征值为特征方程,1,23x3x xe?Y?CeC*x?(a cos x?b sin xy?e),i??1不是特征根,原方程特解设为213434,?b??a*x则,(cos x?sin yx?e)得程入方代25252525,原方程通解为343x3xx(xe?C??cos x sin x)YCe?e 2125253x2xx2x2x y?e?xe,y?e?xe,y??xe34.是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解,则该已知312y?(方程的通解)x3x2x y?Ce?Ce?xe答案:,21.3xx ey?,yy?y?e?是对应齐次方程两个线性无关的解3123x?2xx y?Ce?Ce?xe35.满足的一个微分方程是(函数)21xxxxe32y?y?y??2y?32y?3xexe(B)y(?yD?2y?3ey( C))(A)yy??y?1,222??00?2)(1)(??,故对应齐次方程即解析:特征根为,则特征方程为21*x??1,xeyy?y?2y?0为;为原方程的一个特解,为单根,故原方程右端非齐次项应具有x Ce?x)f(的形式。
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第十章 微分方程习题一.填空题:(33)1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根,则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题:(29)2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-,则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题:(59)3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题:(14)4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=,(其中0,0>>A k ), 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题:(2)5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487.在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解:.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解:设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490.根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=,(其中0,0>>A k ), 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解:依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491.在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解:依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492.试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解:设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微分方程习题和答案
微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.(1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22(2)⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数)(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数.)(1)1)(22=++y C x ;(2)x C x C y 2cos 2sin 21+=.3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
(1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
(2)曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,,PQ 为y 轴平分。
(3)曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,0)。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解(1)2211y y x -='-;(2)0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ;(3)23xy xy dxdy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2.求下列微分方程的特解(1)0 ,02=='=-x y x y e y ;(2)21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解(1))1(ln +='xy y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解(1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ;(2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程(1)2)(y x y +=';(2))ln (ln y x y y y x +=+'(3)11+-='yx y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为0,求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段,是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了染色,30分钟后剩下,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水,其中含盐10kg ,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1.求下列微分方程的通解(1)2x xy y =-'; (2)0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ;(3)0)ln (ln =-+dy y x ydx y ;(4))(ln 2x y y y -='; (5)1sin 4-=-x e dxdy y 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ; (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3.一 曲线过原点,在) ,(y x 处切线斜率为y x +2,求该曲线方程.4.设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ,求)(x ϕ. 5.设有一个由电阻Ω=10R ,电感H L 2=,电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路,合上开关,求电路中电流i 和时间t 之关系.6.求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' (2)x y x y y tan cos 4+='(3)0ln 2=-+y x x dydx y (4)2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
第一章微分方程函数单元测试题及答案
第一章微分方程函数单元测试题及答案问题:1. 请简要解释什么是微分方程函数。
2. 请解决以下微分方程:- (a) $$ \frac{dy}{dx} = 2x $$- (b) $$ \frac{d^2y}{dx^2} = -2y $$3. 将以下微分方程转化成标准形式:- (a) $$ 2yy' = x $$- (b) $$ y'' + xy' = 0 $$4. 将以下微分方程分类,并判断其类型:- (a) $$ \frac{dy}{dx} + y = e^x $$- (b) $$ \frac{d^3y}{dx^3} + 5\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 2y = 0 $$5. 求解以下线性常微分方程:- (a) $$ \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 $$- (b) $$ \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 $$答案:1. 微分方程函数是一种包含函数及其导数的方程,其中函数的导数描述了函数的变化率。
2.- (a) 对方程两边同时积分可得:$$ y = x^2 + C $$,其中C为常数。
- (b) 这是一个二阶齐次线性微分方程,它的特征方程为:$$ r^2 = -2 $$。
特征根为:$$ r = \pm \sqrt{2}i $$。
因此,通解为:$$ y = C_1e^{\sqrt{2}ix} + C_2e^{-\sqrt{2}ix} $$,其中C1和C2为常数。
3.- (a) 将方程重写为:$$ y' = \frac{x}{2y} $$。
- (b) 将方程重写为:$$ y'' + xy' = 0 $$。
4.- (a) 这是一个一阶线性非齐次微分方程,因为右侧是一个非常数的函数。
- (b) 这是一个三阶齐次线性微分方程。
5.- (a) 这是一个一阶线性非齐次微分方程,其齐次部分为:$$ \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 $$。
大学数学微分方程练习题及答案
大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科,它在科学和工程领域中有着广泛的应用。
掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。
以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答,希望对你的学习有所帮助。
题目一:求解一阶线性常微分方程给定微分方程:$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$,其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
求解该微分方程。
解答一:为了求解上述微分方程,我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。
首先将方程写成标准形式:$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$,其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$,其中$u(x)$是一个待定的函数。
将该通解代入原微分方程中,经过简化后得到:$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$,其中$C$是常数。
因此,该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。
题目二:求解分离变量的微分方程给定微分方程:$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$,其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。
求解该微分方程。
解答二:为了求解上述微分方程,我们可以利用分离变量的方法。
首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。
对两边同时积分,得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。
经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$,其中$C$是常数。
因此,该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。
题目三:求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程:$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$,其中$a$和$b$是已知的常数。
微分方程习题(附答案)
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.(1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22(2)⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数)(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数.)(1)1)(22=++y C x ;(2)x C x C y 2cos 2sin 21+=.3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
(1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
(2)曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,,PQ 为y 轴平分。
(3)曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,0)。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解(1)2211y y x -='-;(2)0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ;(3)23xy xy dxdy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2.求下列微分方程的特解(1)0 ,02=='=-x y x y e y ;(2)21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解(1))1(ln +='xy y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解(1)1 ,022=-==x y yx xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程(1)2)(y x y +=';(2))ln (ln y x y y y x +=+'(3)11+-='yx y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为0,求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段,是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了0.3g 染色,30分钟后剩下0.1g ,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏是否正常?9.有一容器内有100L 的盐水,其中含盐10kg ,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐?§3 一阶线性方程与贝努利方程1.求下列微分方程的通解(1)2x xy y =-'; (2)0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ;(3)0)ln (ln =-+dy y x ydx y ;(4))(ln 2x y y y -='; (5)1sin 4-=-x e dxdy y 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ; (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3.一 曲线过原点,在) ,(y x 处切线斜率为y x +2,求该曲线方程.4.设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ,求)(x ϕ. 5.设有一个由电阻Ω=10R ,电感H L 2=,电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路,合上开关,求电路中电流i 和时间t 之关系.6.求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' (2)x y x y y tan cos 4+='(3)0ln 2=-+y x x dydx y(4)2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
微分方程练习题基础篇答案
y
2
2
7、(1) f (x) (x 1)2 ;(2) l [ln(s s2 b2 ) ln b] ;(3) 6 ln 3 . g
5、计算题: 求下列方程的通解
1. dy xy dx
分离变量
dy
xdx
,
y
x2
Ce 2
,C
为任意常数
y
2.xydx
1 x2 dy 0 分离变量
dy y
x dx , y Ce 1x2 ,C 任意常数 1 x2
1 4
xe 2 x
;
2、(1)C;(2)B;(3)D;(4)B;3、(1) f (x) ecos x 4(cos x 1) , f (0) 1;(2) x2 (2 y2 ) 1 ,
提示:同乘以 x 化为伯努利方程,再令 z x2 ;(3) y y 2 y ex 2xex ;(4) f (x) 1 sin x x cos x ;
.
问至多需要经过多少年,湖泊中的污染物的含量降至 m0 以内(注:
设湖水中 A 的浓度是均匀的).
参考解析:
1、(1)
Ce
x2
;(2)
(
x
C
)
cos
x
;(3)
x
arctan
x
1 2
ln(1
x2
)
C1
x
C2
;
(4)
C1e x
cos
2x
C2e x
sin
2x
;(5)
y
2
y
2
y
0
;(6)
C1e 2 x
C2e2 x
y x
ln
x
y x
常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)
一、是非题第十二章 常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。
()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。
()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。
()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。
6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。
()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。
()8. y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。
( ) 9. dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。
()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是 。
② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是 。
③ x dy = y ⋅ l n y 是。
dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。
⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。
2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。
3. y ' = e -2x 的通解是。
4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。
5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。
6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。
51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中,不是微分方程的是( ) .(A)2xy y '=; (B)222x y C +=;(C)0y y ''+=; (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( ).(A)1; (B)2; (C)3; (D)4; 答(C).3. 下列所给的函数,是微分方程0y y ''+=的通解的是( ).(A)1cos y C x =; (B)2sin y C x =;(C)cos sin y x C x =+; (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中,可分离变量的方程是( ).(A)x y y e +'=; (B)xy y x '+=;(C)10y xy '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(A).5. 下列微分方程中,是齐次方程是微分方程的是( ).(A)x y y e +'=; 2(B)xy y x '+=;(C)0y xy x '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(D).二、填空题1.函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? . 答:是 .2.微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 . 答:2225x y +=. 3.微分方程23550x x y '+-=的通解是. 答:3252x x y C =++. 4.微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 . 答: Cx y e =.5'的通解是 . 答:arcsin arcsin y x C =+.6.微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是. 答:Cx y e x=. 三、解答题1.求下列微分方程的通解.(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=; (2) 2()y xy a y y '''-=+; 解: 解:(3) d 10d x y y x +=; (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解: 解:2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) 20,0x y x y e y -='==; (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==;解: 解: (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==; (4) d 10d x y y x+=. 解: 解:3*.设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x 的非积分表达式. 答:()ln 2x f x e =⋅. §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中,是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=; 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( ).(A) 齐次微分方程; (B)一阶线性微分方程;(C) 可分离变量的微分方程; (D)全微分方程. 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( ).(A)齐次方程; (B)一阶线性方程;(C)伯努利方程; (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1.微分方程d d x y ye x-+=的通解为 . 答:x x y Ce xe --=+. 2.微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 . 答:33x xy C -=. 3.方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 . 答:ln()x y x y C --+=. 三、简答题1.求下列微分方程的通解:(1) sin cos x y y x e -'+=; (2) d ln d y y x y x x=; 解: 解:(3) 232xy y x x '+=++; (4) tan sin 2y y x x '+=;解: 解: (5) 2d (6)20d y y x y x-+=; (6) (2)d 0y y e xe y y +-=; 解: 解:(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=.解:2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1) 0d 38,2d x y y y x=+==; (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==. 解: 解:3*.求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解. 解:§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=; (B)1cos C x y +=; (C)322121sin C x C x C x y +++=; (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=,21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-; (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭; (C)211(1)22y x =-+; (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+,以下做法正确的是( ).(A)令()y p x '=,y p '''=代入求解; (B)令()y p y '=,y p p '''=代入求解;(C)按可分离变量的方程求解; (D)按伯努利方程求解. 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ; (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe . 答(A).5. 下列方程中,二阶线性微分方程是( ).(A)32()0y y y '''-=; (B)2x y yy xy e '''++=;(C)2223y x y y x '''++=; (D)222x y xy x y e '''++=. 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解,则其通解是( ).(A)112y C y y =+; (B)1122y C y C y =+;(C)1122y C y C y =+,其中1y 与2y 线性相关;(D)1122y C y C y =+,其中1y 与2y 线性无关. 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ; 23(B),x x e e ;(C)sin ,cos x x ; 22(D),x x e xe . 答(A).二、填空题1.微分方程sin y x x ''=+的通解为. 答: 312sin .6x y x C x C =-++ 2.微分方程y y x '''=+的通解为. 答: 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1.求下列微分方程的通解. (1) 21()y y '''=+; (2) 21()2y y '''=. 解: 解:2.求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=,11x y ==-的特解.解:§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中,不是微分方程0y y ''+=的解的是( ).(A)sin y x =; (B)cos y x =;(C)x y e =; (D)sin cos y x x =+. 答(C).2. 下列微分方程中,通解是312x x y C e C e -=+的方程是( ).(A)230y y y '''--=; (B )25y y y '''-+=; (C)20y y y '''+-=; (D)20y y y '''-+=. 答(A).3. 下列微分方程中,通解是12x x y C e C xe =+的方程是( ).(A)20y y y '''--=; (B)20y y y '''-+=;(C)20y y y '''++=; (D)240y y y '''-+=. 答(B).4. 下列微分方程中,通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( ).(A)240y y y '''--=; (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=; (D )250y y y '''-+=. 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=,则方程的一个解是( ).(A)x ; (B)x e ; (C)x e -; (D)sin x . 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解,若00()0,()0f x f x '>=,则()f x 在0x x =处( ).(A)0x 的某邻域内单调减少; (B )0x的某邻域内单调增加; (C) 取极大值; (D) 取极小值. 答(C).二、填空题1.微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 . 答:412x y C C e =+.2.微分方程20y y y '''+-=的通解为 . 答:212x x y C e C e -=+.3.微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 答:2212x x y C e C xe =+.4.微分方程40y y ''+=的通解为 . 答:12cos2sin 2y C x C x =+.5.方程6130y y y '''++=的通解为 . 答:312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+.三、简答题1.求下列微分方程的通解:(1) 20y y y '''--=; (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=. 解: 解:2.求下列方程满足初始条件的特解. (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===; (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===.解: 解: §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( ).2(A)Ax ; 2(B)Ax Bx +;2(C)Ax Bx C ++; 2(D)()x Ax Bx C ++. 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( ).2(A)Ax ; 2(B)Ax Bx +;2(C)Ax Bx C ++; 2(D)()x Ax Bx C ++. 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( ).2(A)x Axe -; 2(B)()x Ax B e -+;22(C)()x Ax Bx C e -++; 2(D)()x x Ax B e -+. 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( ).2(A)x Ax e ; 2(B)()x Ax Bx e +;2(C)()x x Ax Bx C e ++; 2(D)()x Ax Bx C e ++. 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( ).(A)(cos sin )x e A x B x +; (B )s i n x A e x ;(C)(sin cos )x xe A x B x +; (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1.微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答:3*48x x y =-. 2.微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答:*()y x Ax B =+.3.微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答:*()x y Ax B e =+.4.微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答:3*()x y x Ax B e =+.5.微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答:*sin y A x =.6.微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答:*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1.求下列微分方程的通解.:(1) 22x y y y e '''+-=; (2) 5432y y y x '''++=-;解: 解:(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+.解:。
微分方程习题及答案
(2);
(3);
(4).
2、求连续函数,使得时有。
3、求以为通解得二阶微分方程、
4。某个三阶常系数微分方程有两个解与,求。
5、设有一个解为,对应齐次方程有一特解,试求:
(1)得表达式;
(2)该微分方程得通解.
6、已知可导函数满足关系式:
求。
7.已知曲线上原点处得切线垂直于直线,且满足微分方程,求此曲线方程.
5、长为6m得链条自桌上无摩察地向下滑动,设运动开始时,链条自桌上垂下部分长为1m,问需多少时间链条全部滑过桌面。
§7二阶常系数非齐次线性微分方程
1。求下列微分方程得通解
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
2。求下列微分方程得特解
(1);
(2)
3.设连续函数满足求。
4、一质量为得质点由静止开始沉入水中,下沉时水得反作用力与速度成正比(比例系数为),求此物体之运动规律、
(1);
(2).
5、 用适当得变换替换化简方程,并求解下列方程
(1);
(2)
(3)
(4)
6.求一曲线,使其任意一点得切线与过切点平行于轴得直线与轴所围城三角形面积等于常数、
7、设质量为得物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时速度为0,求物体速度与时间得函数关系、
8。有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能。正常胰脏每分钟吸收掉染色,现内科医生给某人注射了0、3g染色,30分钟后剩下0。1g,试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化得规律,此人胰脏就是否正常?
5。一链条悬挂在一钉子上,起动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12m,若不计摩擦力,求链条全部滑下所需时间。
微分方程练习题及解答
微分方程练习题一、一阶微分方程1.求 dy dx =2xy 的通解。
2.求微分方程x dy =y +�x 2+y 2 (x >0)满足y (1)=0的特解。
3.求微分方程 y ′−3x y =x 的通解。
4.求微分方程 y ′+y tanx =cosx 的通解。
5.求 x 2y ′+xy =y 2满足初始条件y (1)=1的特解。
6.求微分方程sec 2x coty dx −csc 2y tanx dy =0的通解。
7.求微分方程dy dx −2y x +1=(x +1)52的一个特解。
8.求微分方程xdy =yln y x dx 的通解。
9.求微分方程 dy dx =y x +y 3e y 的通解。
10求微分方程 y ′+y =e −x 的通解。
11.求微分方程xy 2dy =(x 3+y 3)dx 的通解。
12.求微分方程y =�1+(y ′)2 满足条件y (0)=1的特解。
13.求微分方程 xy ′+2y =x lnx 满足初始条件y (1)=−19的特解。
14.求微分方程 xy ′+y =x 2 y 2 lnx 的通解。
15.设f (x )=�f �t 2�dt +ln2,求f (x )的表达式。
2x 0二、高阶微分方程 1.求y ′′=1+(y ′)2的通解。
2.求 y ′′−2y ′−y =0的通解。
3.求 y ′′+2xy ′2=0,y (0)=1,y ′(0)=−12的特解。
4.求 y ′′−2y ′−5y =1的通解。
5.求 y ′′+y ′+y =8的通解。
6.求微分方程d 2y dx 2+w 2y =0的通解。
7.求微分方程 y ′′−3y ′+2y =xe x 的通解。
8.求微分方程 x 2y ′′+4xy ′+2y =x 的通解。
9.求微分方程 yy ′′+y ′2=y ′ 的通解。
10.求微分方程 x 2y ′′+3xy ′−3y =x 3的通解。
数学课程微分方程入门练习题及答案
数学课程微分方程入门练习题及答案微分方程是数学中重要的一门学科,广泛应用在物理、工程、经济等领域。
掌握微分方程的基本概念和解题方法对于学习和应用数学都至关重要。
本文将为您提供一些微分方程入门练习题及其答案,帮助您巩固基础知识和提高解题能力。
1. 练习题:一阶线性微分方程已知微分方程dy/dx + xy = 2x,求其通解,并满足初始条件y(0) = 1,求特解。
解答:首先,根据线性微分方程的一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x),我们可以将给定的微分方程转化为dy/dx + xy = 2x的形式,其中P(x) = x,Q(x) = 2x。
该方程是一阶线性齐次微分方程,我们可以使用常数变易法求其通解。
假设通解为y = e^(-1/2 * x^2) * u(x),其中u(x)为待定函数。
将通解代入原方程,可得:e^(-1/2 * x^2) * d(u(x))/dx + xe^(-1/2 * x^2) * u(x) = 2x对上式两边同时乘以e^(1/2 * x^2),并化简得:d(u(x))/dx + x * u(x) = 2x * e^(1/2 * x^2)利用一阶线性非齐次微分方程的常数变易法解法,我们可以通过求解齐次方程和利用常数变异法得到非齐次方程的一个特解。
首先求解齐次方程d(u(x))/dx + x * u(x) = 0,可以使用分离变量法得到:du(x)/u(x) = -xdx经过积分求解后可得齐次方程的通解为u(x) = Ce^(-1/2 * x^2),其中C为任意常数。
接下来,我们可以利用常数变异法来求解非齐次方程。
设特解为v(x) = A(x)e^(-1/2 * x^2),将其代入非齐次方程中,可得:dv(x)/dx + x * v(x) = 2x * e^(1/2 * x^2)对上式进行求导,并代入v(x) = A(x)e^(-1/2 * x^2),可得:A'(x)e^(-1/2 * x^2) = 2x * e^(1/2 * x^2)将上式中的e^(-1/2 * x^2)约去,并进行变量分离,可得:A'(x) = 2x对上式两边进行积分,并得到A(x) = x^2 + C1,其中C1为常数。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题一.填空题:(33)1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根,则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题:(29)2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-,则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题:(59)3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题:(14)4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=,(其中0,0>>A k ), 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题:(2)5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487.在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解:.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解:设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490.根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=,(其中0,0>>A k ), 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解:依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491.在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解:依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492.试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解:设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
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常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解dydyx 2Ce 2, C 为任意常数1.xy 分离变量xdx , ydxydy x dx , y Ce1 x22.xydx 1 x 2 dy 0 分离变量1 , C 任意常数yx 2dy 1 3.xy y ln y 0 分离变量dx , y Ce xy ln yx4.( xy 22y y)dy 0 分离变量 ydyxdx2)(12) Cx)dx ( xy 21 x2,(1yx15.dy(2 x y 5)2令 u2x y 5 则du2 dy , du2 dx , 1 arctan ux C 1 dxdxdx u 2 2 2dy x y dy 1 yy , dy u xdu,代入得 2x ,令 u 1 u du 1dx6.x ,原方程变为dxdxy1 y x dxdx 1 u 2xx2arctan u uln xC , uy x回代得通解2arctany xln xyxCdyy y 2y dudx 7.xy y x2y 20 dxxxx1 u 2x1 ,令 u,代入得arctanu ln x C, uy 回代得通解 arctan yln x y Cx xx8.xdyy lny,方程变形为dyyln y,令 u y du dx eCx 1,yxeCx 1,, udx xdx x x x u(ln u 1)x9. dy2xdx2 xdxdx C) Cex22xy 4x ,一阶线性公式法 y e( 4 xe2dx 10.dyy2x 21 ( 2x 2e1dx C) x 3Cxdxdxdx x11.( x 21)y2xy 4x 2,方程变形为 y2xy 4x 21 (43C)2x 2一阶线性公式法 y1 x2 xx 11312.( y 2 6x)dy2y0,方程变形为dx3 x1 y 一阶线性公式法 y 1 y2 Cy 3dxdy y2213. y 3xy xy2,方程变形为 1 dy3x1x 伯努利方程,令 z y 1,dzy 2dy代入方程得y 2 dxydxdxdz 3xz x 一阶线性公式法再将 z 回代得 13 x 2Ce2dxy1314.dy1 y1(1 2x) y 4 ,方程变形为 1 dy1 1 1 (1 2x) 伯努利方程,令 dx 33 y4 dx3 y 33zy 3, dz3y 4dy代入方程得 dzz 2x 1,一阶线性公式法再将z 回代得dx dxdx1 Ce x2x 1y 315.y5y 6 y 0 ,特征方程为 r 2 5r 6 0 ,特征根为 r 12, r 23 ,通解y C 1e 2x C 2e 3x16.16y 24y 9y0,特征方程为 16r224r 9 0 ,特征根为 r 1,23 ,通解43 xy(C 1 C 2 x)e 417.yy0 ,特征方程为 r 2 r 0 ,特征根为 r 1 0, r 2 1 ,通解 y C 1 C 2e x18.y4y5y 0 ,特征方程为 r 2 4r 5 0 ,特征根为 r 1 2 i, r 2 2 i ,通解y e 2 x (C 1 cos x C 2 sin x)19.( x 2 y)dx xdy0 ,全微分方程 x 2 dx ( ydxxdy)0 ,d x 3d( xy) 0 ,通解x 3xy C3320.( x 3 y)dx ( xy)dy 0 ,全 微 分 方程x 3dx ( ydx xdy ) ydy,d x 4d( xy)d y 20 ,通解 x 4xyy 2C424221.( x 2 y 2 )dx (2 xy y)dy 0 全微分方程 x 2dx( y 2 dx 2xydy ) ydy 0,d x3d ( xy 2) dy 20 ,通解x 3xy 2y 2 C3 2 3222.(x cosy cosx) y ysin x sin y 0 ,全微分方程( xcos ydy sin ydx) (cos xdyysin xdx)0, d( x sin y) d( y cosx) 0 ,通解xsin y y cosx C23.(3 x 2 y)dx (2 x 2 y x)dyC ,3x 2 dx 2x 2 ydyydx xdy 0 ,积分因子1x 2 ,方程变为 3dx 2ydyydx xdy 0 , d3x dy 2dy0 ,通解 3x y 2y Cx 2xx24.xdxydy( x2y 2)dx,积分因子1,方程变为xdx ydydx 0 ,2y 2x 2y 2xd[ 1ln( x2y 2)]dx 0 通解1ln( x 2 y 2 ) x C2225.( x 2 y 2y)dx xdy 0 , ( x 2 y 2 )dx ydx xdy 0 ,积分因子1,方程变为x 2y 2 dxydxxdy0 , dxxx Cx 2y 2d arctan0,通解 x arctanyy26. y e3xsin x ,可降阶 y( n)f (x) 型,逐次积分得通解 y1e 3 x sin x C 1x C 2927. y1 y2 , 可 降 阶 令 p( x)y , 原 方 程 化 为 p1 p2 可分离变量型,得yp tan( xC 1 ) ,积分得通解 y ln cos(x C 1 ) C 228.yyx ,可降阶 yf (x, y ) 型,令 p(x) y ,原方程化为 ppx ,一阶线性非齐次公式法得 y pC 1e x x 1 ,积分得通解 y C 1e x1 x2 x C 2229. y y 3y ,可降阶 yf ( y, y ) 型,令 p( y) y , y pdp,原方程化为 pdpp 3pdydy即 p[dp(1 p 2)]0 , p0 是 方 程 的 一 个 解 , 由dp(1 p 2 ) 0 得dydyarctan p y C 1 即 yp tan( y C 1) ,通解为 y arcsin e x C 2C 1xf (x) e xP m ( x) 型,1是特征方程230.y 2 y y 4xe ,二阶常系数非齐次2 10的重根,对应齐次方程的通解为 Y(C 1C 2 x)e x ,设特解为 y *x 2 (ax b)e x ,代入方程得 (6ax 2b)ex4xe x,得 a2, b 0 ,故原方程的特解为 y *2x 3e x ,原方程通33解为 y (C1C2 x)e x 2x3e x 331.y a y ex ,二阶常系数非齐次 f ( x)e m特征方程ra0 ,特征值为1,2ai2x P(x) 型,22r,对应齐次方程的通解为YC1 cosax C2 sin ax , 1 不是特征根,设原方程特解为y*Ae x Ae x a2 Ae x e x,得 A12则 y*e x2 ,原方程通解为,代入方程得1a 1 ay C1 cosax C2 sin axe x 1a232.y y x cosx ,对应齐次方程的通解为Y C1 cos x C2 sin x ,设y y x 的一个特解为y1Ax B 代入此方程得A1,B 0 ,故y1x ;设y y cosx 的一个特解为 y2Ex cos x Dx sin x 代入此方程得E0, D1,故y21xsin x ;原方程22通解为Y C cosx C sin x x1xsin x 12233.y 6 y9 y e x cos x ,特征方程r26r90 ,特征值为 r1,23,对应齐次方程的通解为Y C1e3x C2 xe3x,1i 不是特征根,原方程特解设为y*e x (a cos x b sin x)代入方程得a3, b4,则 y*e x (3cos x4sin x)25252525,原方程通解为Y C e3x C xe3x e x (3cosx 4sin x)12252534.已知y1e3 x xe2 x , y2e x xe2x , y3xe2 x是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解,则该方程的通解y()答案: y C1e x C2 e3 x xe2 x,y1y3e 3x , y2y3e x是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数 yC 1e x C 2 e 2x xe x 满足的一个微分方程是()( A) yy 2y 3xe x( B) y y 2 y 3e x(C ) yy 2 y 3xe x( D ) yy 2 y 3e x解析:特征根为 1 1,22,则特征方程为(1)( 2) 0 即22 0 ,故对应齐次方程为 y y 2 y0 ; y *xe x为原方程的一个特解,1,为单根,故原方程右端非齐次项应具有xf ( x) Ce 的形式。
36.微分方程 ( y x 3)dx 2xdy 0yx 16满足5 的特解为 ()yx 1 x 2答案:5 ,提示:一阶线性微分方程满足下列微分方程初始条件的特解37.xdxy dy 0, y x 0 0 ,分离变量y(1 y)dyx(1 x)dx,通解为1 y1 xy 2y 3 x 2x 2Cy xCy 2y 3 x 2 x 2 2 323,由 0得 ,所求特解为 232338.yxy, y2 ,令 uyudu dx1u 2ln x C ,将 u 回代得通解为yxx 1x 则原方程化为x 得 2y 22x 2(ln xC)由yx 12得 C 2 ,所求特解为 y 22x 2 (ln x2)39.y3y2y5, y x 01, y x 02 ,特征方程 r 2 3r 20 特征根为 r 1 1,r 22 ,对应齐次x2 x,y*5方程的通解为YC 1eC 2e2 为非齐次的一个特解,故原方程的通解为x 2x5C 1 C 2 5 17y C 1eC 2e2 ;由初始条件得2C 2 2解得C15,C 22 ,故所求特C 1 2x7 2 x5解为y5e2 e240.y y 4xe x , yx 0 0, y x 01 ,特征方程 r2 1 0 特征根为 r 1 1,r 21 ,对应齐次方程的通 解 为YC 1e xC 2 e x ,1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *xe x( AxB) 代 入 原 方 程 得 e x (4 Ax2 A 2 Bx) 4 xe x比较系数得A1,B 1,从而y *xe x ( x 1) , 因 此 原 方 程 的 通 解 为y C 1exC 2exxe x( xC 1 C 2 01),由初始条件得C1C 2 11解得C11,C 21,故所求特解为ye x e x xe x (x 1)。