三角函数诱导公式记忆方法(打印版)

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(完整版)三角函数诱导公式总结

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三角函数诱导公式与同角的三角函数【知识点1】诱导公式及其应用公式一: sin()-sin αα-=; cos()cos αα-= ; tan()tan αα-=- 公式二: ααπ-sin sin(=+); ααπ-cos cos(=+); ααπtan tan(=+). 公式三: ααπsin sin(=-); ααπ-cos cos(=-); ααπtan tan(-=-) 公式四: sin(2sin παα-=-); cos(2cos παα-=); tan(2tan παα-=-)公式五: sin(2π-α) = cos α; cos(2π-α) = sin α. 公式六: sin(2π+α) = cos α; cos(2π+α) =- sin α.公式七: sin(32π-α)=- cos α; cos(32π-α) = -sin α.公式八: sin(32π+α) = -cos α; cos(32π+α) = sin α.公式九:απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k .(其中Z ∈k ). 方法点拨: 把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为:函数名不变,符号看象限公式(五)到公式(八)总结为一句话:函数名改变,符号看象限(原函数所在象限) 二、奇变偶不变,符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ,符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数,是奇数就改变函数名,偶数就不变例1、求值(1)29cos()6π= __________. (2)0tan(855)-= _______ ___. (3)16sin()3π-= __________.的值。

求:已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A .sin2-cos2B .cos2-sin2C .±(sin2-cos2)D .sin2+cos2例4、下列各式不正确的是【 】A . sin (α+180°)=-sin αB .cos (-α+β)=-cos (α-β)C . sin (-α-360°)=-sin αD .cos (-α-β)=cos (α+β) 例5、若sin (π+α)+sin (-α)=-m ,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)等于【 】 A .-23 m B .-32 m C .23 m D .32m例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】A .5B .-5C .6D .-6例7、试判断sin(2)cos()(9tan (5)2αππααπαπα-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭··cos 为第三象限角)符号 例8、化简3sin(3)cos()cos(4)25tan(3)cos()sin()22πααππαπαπααπ-⋅-⋅+-⋅+⋅-例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π),求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(α--α-πα-π+α-π例10、若1sin()3πθ-=,求[]cos()cos(2)33cos()1cos sin()cos()sin()22πθθππθθθπθπθπ+-+--⋅-⋅--+的值.提示:先化简,再将1sin 3θ=代入化简式即可.例11、若α例12、设)(x f 满足(sin )3(sin )4sin cos ,(||)2f x f x x x x π-+=⋅≤,求)(x f 的表达式.例13、设222sin()cos()cos()()31sin cos()sin ()22f παπαπααπαπαα+--+=+++-+,1sin 2α≠-,求23()6f π-的值.【知识点2】同角的三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式有两个: ①平方关系: sin 2α + cos 2α= ②商数关系:=ααcos sin 例14、化简cos α1-sin α1+sin α+sin α1-cos α1+cos α(π<α<3π2)得【 】A .sin α+cos α-2B .2-sin α-cos αC .sin α-cos αD .cos α-sin α 例15、若cos(π6-α)=m (|m |≤1),则sin(23π-α)的值为【 】A .-mB .-m 2 C.m2 D .m例16、1+2sin (π-3)cos (π+3)化简的结果是【 】A .sin3-cos3B .cos3-sin3C .±(sin3-cos3)D .以上都不对 例17、tan(5π+α)=m ,则sin (α-3π)+cos (π-α)sin (-α)-cos (π+a )的值为【 】A .m +1m -1 B.m -1m +1C .-1D .1 例18、已知)1(,sin <=m m α,παπ<<2,那么=αtan 【 】A 21m m- B 21m m-- C 21mm-± D m m 21-±例19、若角α的终边落在直线0=+y x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于【 】 A 2 B 2- C 2-或2 D 0例20、已知3tan =α,23παπ<<,那么ααsin cos -的值是【 】 A 231+-B 231+-C 231-D 231+ 例21、已知A 为锐角,lg(1+cos A )=m ,lg 11-cos A=n ,则1g sin A 的值为【 】A .m +1nB .12(m -n )C.12(m +1n ) D.12(m -1n)例22、已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ,且54cos -=α,则m 的值为【 】 A .21 B .21-C .23-D .23 例23、(2011年高考江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-552,则y= . 例24、已知)0(32cos sin πθαα<<=+,求θtan 精选试题1、以下四个命题中,正确的是【 】A .在定义域内,只有终边相同的角的三角函数值才相等B .{α|α=k π+6π,k ∈Z }≠{β|β=-k π+6π,k ∈Z } C .若α是第二象限的角,则sin2α<0 D .第四象限的角可表示为{α|2k π+23π<α<2k π,k ∈Z } 2、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是【 】A .-43B .43C .-43D .433、已知()21sin -=+πα,则()πα7cos 1+的值为【 】A .332 B . -2 C . 332- D . 332± 4、如果A 为锐角,21)sin(-=+A π,那么=-)cos(A π【 】 A 、21-B 、21C 、23-D 、235、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是【 】 A . 53 B . 53- C . 54 D . 54-6、已知cos78°约等于0.20,那么sin66°约等于【 】A .0.92 B.0.85 C.0.88 D.0.957、已知343tan ,,2,cos 2322πππααπα+=∈+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且则的值是【 】A .35-B .35C .45D .45-8、22222sin 1sin 2sin 3sin 89sin 90︒+︒+︒++︒+︒=9、已知3cos()5πα+=-,322παπ<<,则tan()2πα-=10、若1sin()22πα-=-,则tan(2)πα-=________. 11、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ,则αtan =.12、 已知cos()63πα-=25cos()sin ()66ππαα+--的值.提示:把56πα+化成()6ππα--,进而利用诱导公式求解.。

完整版)三角函数诱导公式总结

完整版)三角函数诱导公式总结

完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式,将三角函数中的某些角度转化为其他角度,从而简化计算。

以下是常用的诱导公式:公式一:sin(-α) = -sinα;cos(-α) = cosα;tan(-α) = -tanα公式二:sin(π+α) = -sinα;cos(π+α) = -cosα;tan(π+α) =tanα公式三:sin(π-α) = sinα;cos(π-α) = -cosα;tan(π-α) = -tanα公式四:sin(2π-α) = -sinα;cos(2π-α) = cosα;tan(2π-α) = -tanα公式五:sin(π/2-α) = cosα;cos(π/2-α) = sinα公式六:sin(π/2+α) = cosα;cos(π/2+α) = -sinα公式七:sin(-π/2-α) = -cosα;cos(-π/2-α) = -sinα公式八:sin(-π/2+α) = -cosα;cos(-π/2+α) = sinα公式九:sin(α+2kπ) = sinα;cos(α+2kπ) = cosα;tan(α+2kπ) = tanα(其中k∈Z)。

以上公式可以总结为两条规律:1.前四组诱导公式可以概括为:函数名不变,符号看象限。

2.公式五到公式八总结为一句话:函数名改变,符号看象限(原函数所在象限)。

另外,还有一个规律是:奇变偶不变,符号看象限。

也就是说,将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式,如果k是奇数,那么符号要改变;如果k是偶数,符号不变。

例1、求值:(1)cos(2916π)= ________;(2)tan(-855)= ________;(3)sin(-π)= ________。

例2、已知tan(π+α)=3,求:(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。

《诱导公式》记忆口诀

《诱导公式》记忆口诀
诱导公式的记忆口诀
应用诱导公式可将任意角的三角函数值问题转化为0到90间的角的三角函数值的问题,
基本步骤是:
运用诱导公式解题本质上是多次运用"化归”思想方法,化负角为正角,化大角为周内角, 再化为锐角,但是,诱导公式较多,符号难辨,容易混淆,我们可以分两种情况记忆:
一、“函数名不变,符号看象限”
对于一二,二-:,,亠很,2二-:,2k•亠很(k二z)的三角函数值,把:-看成锐角。
—a
ji-a
+a
2n:-a
2k兀(kez)
sin
—sinaБайду номын сангаас
sina
—sina
—sina
sina
cos
cosa
—cosa
—cosa
cosa
cosa
tan
-ta na
-ta na
tana
-ta na
-tana
二、“函数名改变,符号看象限”
13_'
对于—±a丄土a的三角函数值,把a看成锐角。
2'2
—-Ot
2
Tt—+a
2
3兀
——_a
2
3兀
—+a
2
sin
cosa
cosa
-cosa
-cosa
cos
si n。
— sin。
-si n。
si n。
根据以上的记忆技巧,我们很容易求任意角的三角函数的三角函数值。

三角函数公式及求导公式

三角函数公式及求导公式

一、诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限。

1. sin (α+k•360)=sin αcos (α+k•360)=cos atan (α+k•360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二、两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三、二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos¬2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a’: cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*、其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα= sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b)asinα+bcosα= cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a)2.降次、配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式si n3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5(2)sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1)cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(pi/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a)sin(pi/2+a)=cos(a)cos(pi/2+a)=-sin(a)sin(pi-a)=sin(a)cos(pi-a)=-cos(a)sin(pi+a)=-sin(a)cos(pi+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2③(sinx)' = cosx(cosx)' = - sinx(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)④(sinhx)'=coshx(coshx)'=sinhx(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)。

三角函数符号判断口诀及诱导公式记忆口诀

三角函数符号判断口诀及诱导公式记忆口诀

符号判断口诀:
一全正;二正弦;三正切;四余弦。

这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是+;
第二象限内只有正弦是+,其余全部是-;
第三象限内只有正切和余切是+,其余全部是-;
第四象限内只有余弦是+,其余全部是-。

ASCT反Z。

意即为all(全部)、sin、cos、tan按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

诱导公式记忆口诀:
奇变偶不变,符号看象限。

奇、偶指的是/2的倍数的奇偶,变与不变指的是三角函数的名称的变化:变是指正弦变余弦,正切变余切。

(反之亦然成立)
符号看象限的含义是:把角看做锐角,不考虑角所在象限,看n(/2)是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

三角函数诱导公式记忆方法

三角函数诱导公式记忆方法

sin( π + ) sin sin ( π ) sin cos( π + ) cos cos ( π ) cos tan( π + ) tan
tan ( π ) tan
函数名不变,符号看象限。
应用知识 强化练习 诱 导 公 式 的 记 忆
由表及里 兴趣导入


当角α的终边在第三象限时,点 的终边在第一象限时,点 的终边在第二象限时,点 的终边在第四象限时,点P在第三象限, 在第一象限, 在第二象限, 在第四象限,x < > 0, y < > 0, 所以, sinα < 0,cos > ; > 0,cos αα><0,tan > 0,tan 0,tan αα >α< 0; < 00 ;
-
+
o
+
-
x
sinα>0
tanα>0
全正
正切正
o
余弦正
x
回顾总结 得出公式 诱 导 公 式 的 记 忆
sin(2 kπ ) sin sin ( ) sin cos(2 kπ ) cos co s( ) co s tan(2 kπ ) tan tan ( ) tan
1.sin(180º-β)= [析]将β看成是锐角(实际可以是任意 角),180º-β在第二象限,而二象限的正 弦是正的,所以填sinβ.
2.判断cos252º值的正负。
[析]因180º<252º<270º,而三象限的余弦 是负的,故cos252º<0.再见!公式 的 记 忆

高考数学三角函数诱导公式与记忆方法

高考数学三角函数诱导公式与记忆方法

公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=co sαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为:对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值,①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

简便诱导公式,非常容易记忆和理解,解题快(原创)

简便诱导公式,非常容易记忆和理解,解题快(原创)

诱导公式一、三种三角函数(sin cos tan)的函数值正负象限分布情况(基础内容)sinαcosαtanα(cotα)二、诱导公式(对所有的三角函数都适用)(一)负角变正角看该三角函数第四象限的符号。

例sin(﹣30°)=﹣sin30°cos(﹣50°)=cos50°tan(﹣80°)=﹣tan80°(二)π的偶数倍角的转换。

(α看做锐角,切记!!!否则结果是错误的)1.+α,看该三角函数第一象限符号(α看做锐角,即使α是钝角也当做锐角)2.-α,看该三角函数第四象限符号(α看做锐角,即使α是钝角也当做锐角)此时三角函数转换前后的三角函数(sin cos tan)并没有变化。

例sin(4π+α)=sinαtan(﹣4π-α)=﹣tanαcos400°=cos(180°*2+40°)=cos40°sin(﹣480°)=sin(﹣180°*2-60°)=﹣sin60°注:π的偶数倍的转换,其实就是讲角化成2kπ±α的形式,而2Kπ就相当于一个终边在X轴正半轴的角,之后再利用旋转的知识对±α进行运算。

(另一种理解方式)(三)π的奇数倍角的转换。

(α看做锐角,切记!!!否则结果是错误的)1.+α,看该三角函数第三象限符号(α看做锐角,即使α是钝角也当做锐角)2.-α,看该三角函数第二象限符号(α看做锐角,即使α是钝角也当做锐角)此时三角函数转换前后的三角函数(sin cos tan)并没有变化。

例cos495°=cos(3*180°-45°)=﹣cos45°Sin870°=sin(5*180°-30°)=sin30°注:π的奇数倍的转换,其实就是讲角化成kπ±α的形式,而Kπ就相当于一个终边在X轴负半轴的角,之后再利用旋转的知识对±α进行运算。

三角函数公式的记忆方法

三角函数公式的记忆方法

三角恒等变换公式的记忆方法方法就是——从最初的公式出发把所有的公式推导若⼲遍。

这个方法值得你一试!一、诱导公式诱导公式一记忆方法:终边相同的同名三角函数值相等;诱导公式二、三、四、五、六的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限。

二、同角三角函数的基本关系式(1)22sin cos 1a α+=;(2)sin tan cos ααα=。

三、两角和、两角差公式推导过程1、cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+……①记忆口诀:酷酷帅帅还有点叛逆。

此公式是其他公式的“根”。

2、cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-……②推导过程:公式①中,令ββ=-,则cos()cos cos()sin sin()αβαβαβ+=-+-,又因为cos()cos ββ-=,sin()sin ββ-=-, 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-。

3、sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+……③ 推导过程:sin()cos[()]cos[()]cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ+=-+=--=-+- sin cos cos sin αβαβ=+。

4、sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-……④推导过程:公式③中,令ββ=-,则sin()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=-+-=-。

5、tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-……⑤ 推导过程:sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-,分子分母同除以cos cos αβ得: tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-。

6、tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+……⑥ 推导过程:公式⑤中,令ββ=-,则tan tan()tan tan tan())1tan tan αβαβαββαβ+---==-+。

三角函数记忆顺口溜 记忆的方法和技巧

三角函数记忆顺口溜 记忆的方法和技巧

三角函数记忆顺口溜记忆的方法和技巧
三角函数是基本初等函数之一,是以角度为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

1 三角函数记忆口诀三角函数是函数,象限符号坐标注。

函数图像单位圆,周期奇偶增减现。

同角关系很重要,化简证明都需要。

正六边形顶点处,从上到下弦切割;
中心记上数字一,连结顶点三角形。

向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。

诱导公式就是好,负化正后大化小,变成锐角好查表,化简证明少不了。

二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。

两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。

和差化积须同名,互余角度变名称。

计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。

逆反原则作指导,升幂降次和差积。

条件等式的证明,方程思想指路明。

万能公式不一般,化为有理式居先。

公式顺用和逆用,变形运用加巧用;
一加余弦想余弦,一减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;
三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;
利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集。

1 三角函数万能公式怎幺记1)正弦:1 加切方除切倍。

要注意‘除’的含义。

2)余弦:阴阳相比是余弦。

诱导公式记忆方法

诱导公式记忆方法

所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变;符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα
上述的记忆口诀是:
奇变偶不变,符号看象限。
公式右
边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
(奇变偶不变)
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
(符号看象限)
例如:
sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。
第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;
第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”.
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

还有一种按照函数类型分象限定正负:
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........+............+............—............—........
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα=1

三角函数诱导公式记忆口诀

三角函数诱导公式记忆口诀

三角函数诱导公式记忆口诀三角函数诱导公式是学习数学中的一个重要内容,也是解决三角函数相关问题的基础。

通过记忆口诀,我们可以更加方便地掌握这些公式。

下面将介绍三角函数诱导公式,并给出一些记忆方法。

一、正弦函数的诱导公式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一,它的诱导公式是:sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ这个公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和或差。

为了记忆这个公式,我们可以联想“正正相乘,余余相减”。

二、余弦函数的诱导公式余弦函数也是三角函数中的重要函数,它的诱导公式是:cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ这个公式可以帮助我们计算两个角的余弦值之和或差。

为了记忆这个公式,我们可以联想“余余相乘,正正相减”。

三、正切函数的诱导公式正切函数是三角函数中另一个重要的函数,它的诱导公式是:tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)这个公式可以帮助我们计算两个角的正切值之和或差。

为了记忆这个公式,我们可以联想“正正相加,余余相除”。

四、余切函数的诱导公式余切函数是正切函数的倒数,它的诱导公式是:cot(α±β) = (cotαcotβ∓1)/(cotβ±cotα)这个公式可以帮助我们计算两个角的余切值之和或差。

为了记忆这个公式,我们可以联想“余余相加,正正相除”。

五、正割函数的诱导公式正割函数是余弦函数的倒数,它的诱导公式是:sec(α±β) = (secαsecβ±tanαtanβ)/(secβ±tanαtanβ)这个公式可以帮助我们计算两个角的正割值之和或差。

为了记忆这个公式,我们可以联想“正余相乘,余正相除”。

六、余割函数的诱导公式余割函数是正弦函数的倒数,它的诱导公式是:csc(α±β) = (cscαcscβ∓cotαcotβ)/(cscβ±cotαcotβ)这个公式可以帮助我们计算两个角的余割值之和或差。

高1数学-三角函数-诱导公式

高1数学-三角函数-诱导公式

高一数学诱导公式知识点1.诱导公式一~四(1)公式一:sin(α+2k π)=sin α,cos(α+2k π)=cos α,tan(α+2k π)=tan α,其中k ∈Z .(2)公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.(3)公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.(4)公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.2.诱导公式的记忆2k π+α(k ∈Z ),π+α,π-α,-α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变,符号看象限”.3.诱导公式五~六(1)公式五:sin ⎝⎛⎭⎫π2-α=cos α;cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sin α. 以-α替代公式五中的α,可得公式六.(2)公式六:sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=cos α;cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sin α. 4.诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一~四归纳:α+2k π(k ∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于角α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名不变,符号看象限”.公式五~六归纳:π2±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函数名改变,符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时,函数名不改变;当k 为奇数时,函数名改变;前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.题型一 给角求值【例1】求下列各三角函数值.(1)sin(-83π); (2)cos 196π; (3)sin[(2n +1)π-23π].【过关练习】1.求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫-436π;(2)cos 296π;(3)tan(-855°).2.sin 585°的值为( )A .-22 B.22 C .-32 D.323.cos(-16π3)+sin(-16π3)的值为( ) A .-1+32B.1-32C.3-12 D.3+12题型二 给值求值问题【例1】已知cos(α-75°)=-13,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α+π6=35,π2≤α≤3π2,求sin ⎝⎛⎭⎫α+2π3的值.【过关练习】1.已知cos(α-π)=-513,且α是第四象限角,则sin α等于( ) A .-1213 B.1213 C.512 D .±12132.已知sin(5π2+α)=15,那么cos α等于( ) A .-25 B .-15 C.15 D.253.若sin(3π+α)=-12,则cos(7π2-α)等于( ) A .-12 B.12 C.32 D .-324.已知cos(π+α)=-35,π<α<2π,求sin(α-3π)+cos(α-π)的值.5.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6+α=33,求cos ⎝⎛⎭⎫α-π3的值.题型三 三角函数式的化简【例1】化简下列各式.(1)tan (2π-α)sin (-2π-α)cos (6π-α)cos (α-π)sin (5π-α);(2)1+2sin 290°cos 430°sin 250°+cos 790°.【过关练习】1.化简:(1)sin (540°+α)·cos (-α)tan (α-180°);(2)cos (θ+4π)·cos 2(θ+π)·sin 2(θ+3π)sin (θ-4π)sin (5π+θ)cos 2(-π+θ).2.化简:cos (180°+α)sin (α+360°)sin (-α-180°)cos (-180°-α).题型四 利用诱导公式证明恒等式【例1】求证:tan (2π-α)sin (-2π-α)cos (6π-α)sin ⎝⎛⎭⎫α+3π2cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=-tan α.【过关练习】1.求证:2sin ⎝⎛⎭⎫θ-3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ+π2-11-2sin 2 (π+θ)=tan (9π+θ)+1tan (π+θ)-1.题型五 诱导公式的综合应用【例1】已知f (α)=sin (α-3π)cos (2π-α)sin ⎝⎛⎭⎫-α+3π2cos (-π-α)sin (-π-α). (1)化简f (α);(2)若α是第三象限的角,且cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=15,求f (α)的值; (3)若α=-31π3,求f (α)的值.【过关练习】1.已知角α终边经过点P (-4,3),求cos (π2+α)sin (-π-α)cos (11π2-α)sin (9π2+α)的值.2.已知tan(3π+α)=2,则sin (α-3π)+cos (π-α)+sin (π2-α)-2cos (π2+α)-sin (-α)+cos (π+α)= .【补救练习】1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C .-32 D .-122.若sin α=12,则cos(π2+α)的值为( ) A.12 B.32 C .-12 D .-323.化简下列各式.(1)sin(-193π)cos 76π; (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).4.已知sin(π+α)=-13.计算: (1)cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2; (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2+α; (3)tan(5π-α).1.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为( )A .1B .2sin 2αC .0D .22.tan(5π+α)=m ,则sin (α-3π)+cos (π-α)sin (-α)-cos (π+α)的值为( ) A.m +1m -1 B.m -1m +1C .-1D .1 3.若sin(π-α)=log 8 14,且α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则cos(π+α)的值为( ) A.53B .-53C .±53D .以上都不对4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6+θ=33,则cos ⎝⎛⎭⎫5π6-θ= .5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=13,则cos ⎝⎛⎭⎫α+π3的值为( ) A .-233 B.233 C.13 D .-136.已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=13,则cos ⎝⎛⎭⎫π4+α的值等于( ) A .-13 B.13 C .-223 D.2237.已知f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin (π2+α)cos (-α-π),化简f (α)= .1.若sin(π+α)+cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-m ,则cos ⎝⎛⎭⎫32π-α+2sin(2π-α)的值为( ) A .-2m 3 B.2m 3 C .-3m 2 D.3m 22.已知cos(π2+φ)=32,且|φ|<π2,则tan φ等于( ) A .-33 B.33C .- 3 D.3 3.式子cos 2(π4-α)+cos 2(π4+α)= . 4.若cos(α-π)=-23,求sin (α-2π)+sin (-α-3π)cos (α-3π)cos (π-α)-cos (-π-α)cos (α-4π)的值.5.在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三个内角.6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π2,求sin 3(π-α)+cos (α+π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2-α+3sin ⎝⎛⎭⎫7π2-α的值.。

三角函数诱导公式 (经典版)

三角函数诱导公式 (经典版)

三角函数诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等k是整数sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotαsec(2kπ+α)=secα csc(2kπ+α)=cscα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotαsec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sin cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotαsec(-α)=secα csc(-α)=-cscα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotαsec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotαsec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanαsec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secαsin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanαsec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα诱导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)sinαcosαtanαcotαsecαcscα2kπ+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα(1/2)kcosαsinαcotαtanαcscαsecαπ-α(1/2)k cosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecαπ+αkπ-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscαkπ+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα(3/2)kπ-α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα(3/2)kπ+α2kπ-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan(2α)=2tanα/(1-tan2α)cot(2α)=(cot2α-1)/(2cotα)角的三角函数值正弦余弦正切余切0 0 1 0 不存在π/6 1/2 √3/2 √3/3 √3π/4 √2/2 √2/2 1 1π/3 √3/2 1/2 √3 √3π/2 1 0 不存在0。

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三角函数诱导公式及记忆方法

三角函数诱导公式及记忆方法

三角函数诱导公式之南宫帮珍创作目录诱导公式的实质经常使用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程诱导公式的实质经常使用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程诱导公式的实质所谓三角函数诱导公式, 就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数.经常使用的诱导公式公式一:设α为任意角, 终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈zsec(2kπ+α)=secα k∈zcsc(2kπ+α)=cscα k∈z公式二:设α为任意角, π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsec(π+α)=-secαcsc(π+α)=-cscα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsec(-α)=secαcsc(-α)=-cscα公式四:利用公式二和公式三可以获得π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsec(π-α)=-secαcsc(π-α)=cscα公式五:利用公式一和公式三可以获得2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotαsec(2π-α)=secαcsc(2π-α)=-cscα公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsec(π/2+α)=-cscαcsc(π/2+α)=secαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsec(π/2-α)=cscαcsc(π/2-α)=secα推算公式:3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsec(3π/2+α)=cscαcsc(3π/2+α)=-secαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanαsec(3π/2-α)=-cscαcsc(3π/2-α)=-secα[1]诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变, 符号看象限”.“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶, “变与不变”指的是三角函数的名称的变动:“变”是指正弦变余弦, 正切变余切.(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角, 不考虑α角所在象限, 看n·(π/2)±α是第几象限角, 从而获得等式右边是正号还是负号.符号判断口诀:“一全正;二正弦;三两切;四余弦”.这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”, 其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”, 其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”, 其余全部是“-”.“ASCT”反Z.意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”依照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值.其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型.倒数关系对角线上两个函数互为倒数;商数关系六边形任意一极点上的函数值即是与它相邻的两个极点上函数值的乘积.(主要是两条虚线两真个三角函数值的乘积, 下面4个也存在这种关系.).由此, 可得商数关系式.平方关系在带有阴影线的三角形中, 上面两个极点上的三角函数值的平方和即是下面极点上的三角函数值的平方.两角和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα ·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))半角的正弦、余弦和正切公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα万能公式sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))cosα=(1-tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))tanα=(2tan(α/2))/(1-tan^2(α/2))三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))三角函数的和差化积公式sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) ·cos((α-β)/2)sinα-sinβ=2cos((α+β)/2) ·sin((α-β)/2)cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)·cos((α-β)/2)cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)·sin((α-β)/2)三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]公式推导过程万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).. ....*,(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)再把*分式上下同除cos^2(α), 可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2取代α即可.同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦获得.三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α), 得:tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))=4cos^3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就获得sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把两式相减,就获得cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以获得cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就获得,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理,两式相减我们就获得sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2这样,我们就获得了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2创作时间:二零二一年六月三十日好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以获得和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y暗示就可以获得和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)创作时间:二零二一年六月三十日。

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三角函数诱导公式及记忆方法一、同角三角函数的基本关系式二、(一)基本关系1、倒数关系tanα ·cotα=1 s inα ·cscα=1 cosα ·secα=12、商的关系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、平方关系sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α(二)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数;2、商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系。

)。

由此,可得商数关系式。

3、平方关系在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

二、诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

(一)常用的诱导公式1、公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinα,k∈z cos(2kπ+α)=cosα,k∈ztan(2kπ+α)=tanα,k∈z cot(2kπ+α)=cotα,k∈zsec(2kπ+α)=secα,k∈z csc(2kπ+α)=cscα,k∈z2、公式二:α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosαtan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosαtan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotαsec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五:利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)= cosαtan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotαsec (2π—α) = secαcsc (2π—α) =—cscα6、公式六:2π+α与α的三角函数值之间的关系:sin (2π+α)= cosα cos (2π+α)=-sinα tan (2π+α)=-cotα cot (2π+α)=-tanαsec (2π+α) =—cscα csc (2π+α) = secα7、公式七:2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin (2π-α)= cosα cos (2π-α)= sinα tan (2π-α)= cotα cot (2π-α)= tanαsec (2π—α) = cscα csc (2π—α) = secα8、推算公式:23π+α与α的三角函数值之间的关系:sin (23π+α)=-cosα cos (23π+α)= sinα tan (23π+α)=-cotα cot (23π+α)=-tanα sec (23π+α) = cscα csc (23π+α) =—secα 9、推算公式:23π—α与α的三角函数值之间的关系:sin (23π-α)=-cosα cos (23π-α)=-sinα tan (23π-α)= cotα cot (23π-α)= tanα sec (23π-α) =—cscα csc (23π—α) =—secα 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。

“奇、偶”指的是2π的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。

(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

符号判断口诀: “一全正;二正弦;三两切;四余弦”。

这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

“ASCT”意即为“all(全部)”、“sin”、“tan ”、“cos ” (二)其他三角函数知识1、两角和差公式 sin (α+ β)= sinαcosβ+ cosαsinβ sin (α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ cos (α+ β)= cosαcosβ-sinαsinβ cos (α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβtan (α+ β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα·tanβ) tan (α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosα cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α tan2α=αα2tan -12tan3、半角的正弦、余弦和正切公式sin 22α=2cos -1α cos 22α=2cos 1α+tan 22α=ααcos 1cos -1+ tan 2α=ααsin cos -1=ααcos 1sin +4、万能公式sinα=2tan 122tan 2αα+ cosα=2tan 12tan -122αα+ tanα=2tan -122tan 2αα5、三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin 3α cos3α=4cos 3α-3cosα tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tan6、三角函数的和差化积公式 sinα+sinβ=2sin 2βα+·cos2β—α sinα-sinβ= 2cos2βα+·sin 2β—αcosα+cosβ= 2cos 2βα+·cos 2β—α cosα-c osβ=-2sin 2βα+·sin 2β—α7、三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-21[cos(α+β)-cos(α-β)]三、公式推导过程(一)万能公式推导 sin2α=2sinαcosα=αααα22sin cos cos sin 2+ (因为cos 2α+sin 2α=1) 再把上面的分式上下同除cos 2α,可得sin2α=αtan 1α2tan 2+ 然后用2α代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

(二)三倍角公式推导tan3α= ααcos3sin3 = αα—ααααααcos sin2cos cos2sin 2cos cos sin2+ = αα—αα—αα—ααααcos sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 2223322+ 上下同除以cos 3α,得: tan3α=α—α—α233tan 1tan 3tansin3α= sin(2α+α) = sin2αcosα+cos2αsinα= 2sinαcos 2α+(1-2sin 2α)sinα = 2sinα-2sin 3α+sinα-2sin 3α = 3sin α-4sin 3αcos3α=cos(2α+α) = cos2αcosα-sin2αsinα= (2cos 2α-1)cosα-2cosαsin 2α = 2cos 3α-cosα+(2cosα-2cos 3α) = 4cos 3α-3cosα 即 sin3α=3sinα-4sin 3α cos3α=4cos 3α-3cosα(三)和差化积公式推导首先,我们知道sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β我们把两式相加就得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β所以,sin αcos β=2sin sin β)—(αβ)(α++同理,若把两式相减,就得到cos αsin β=2sin sin β)—(α—β)(α+同样的,我们还知道cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β所以,把两式相加,我们就可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β所以我们就得到,cos αcos β=2cos cos β)—(αβ)(α++同理,两式相减我们就得到sin αsin β= —2cos cos β)—(α—β)(α+这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sin αcos β=2sin sin β)—(αβ)(α++ cos αsin β=2sin sin β)—(α—β)(α+ cos αcos β= 2cos cos β)—(αβ)(α++ sin αsin β=-2cos cos β)—(α—β)(α+好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的α+b 设为x, α-β设为y,那么α=2y x +, β=2yx - 把α,β分别用x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin 2y x +cos 2yx -sinx-siny=2cos 2y x +sin 2y x -cosx+cosy=2cos 2y x +cos 2y x -cosx-cosy=—2sin2y x +sin 2yx -。

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