复变函数5.3第三节、整函数与亚纯函数
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数 课程教学大纲
复变函教课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：信息与计算科学本科专业课程代码：15E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：数学分析，高等代数后续课程：毕业综合训练二、课程性质与任务复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。
这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。
开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。
三、教学目的与要求通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
四、教学内容与安排第一章复数与复变函数（6学时）1.1复数复数域,复数的乘辕与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点第二章解析函数（10学时）2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。
第三章复变函数积分（10学时）3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。
3.4解析函数与调和函数的关系，解析函数的定义，调和函数的定义。
第四章解析函数的塞级数表示法（10学时）4.1复级数的基本性质，复数项级数的定义、收敛性，一致收敛的复函数项级数，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。
4.2'幕级数，Abel定理，和函数的解析性。
整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告
整函数与亚纯函数的分担值问题的开题报告开题报告：整函数与亚纯函数的分担值问题一、研究背景在复变函数理论中，有着一个重要的问题，称为整函数与亚纯函数的分担值问题。
该问题研究的主要是整函数与亚纯函数在复平面上的取值，即它们在复平面上的零点、极点、奇点等分布情况。
对于整函数，其在整个复平面上的取值主要由其在无穷远处的阶次决定，可以用一些基本的定理如孤立奇点定理、推论等来讨论其在复平面上的分布情况。
而对于亚纯函数，它的分布情况则较为复杂，因为它存在无穷远处的极点和本点的分布，需要用一些高级的定理如黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等来进行讨论。
二、研究内容与研究方法本文主要研究整函数与亚纯函数的分担值问题，具体内容包括：1.整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况。
2.利用孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理来讨论整函数与亚纯函数的分担值问题。
3.根据整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况，提出一些有意义的结论和应用。
本文的研究方法主要包括：1.对于整函数的分担值问题，采用复分析中的基本定理和方法，如孤立奇点定理、分析技巧等。
2.对于亚纯函数的分担值问题，采用黎曼-罗希定理和亚纯延拓定理等高级定理进行推导和分析。
3.通过构造一些具体的例子和应用，进一步验证结论的正确性。
三、研究意义整函数与亚纯函数的分担值问题是复变函数理论中的重要问题，对于理解整函数与亚纯函数在复平面上的分布情况具有重要意义。
此外，本文研究的整函数与亚纯函数的分担值问题还可以为其他相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。
例如，在代数几何中，对于代数簇的零点和极点问题也可以类比使用复分析中的方法和定理来研究。
四、预期成果通过对整函数与亚纯函数的分担值问题进行深入的研究，本文将会得出以下预期成果：1.深入理解整函数与亚纯函数的分布情况，在复平面上建立起它们的分担值模型。
2.掌握关于孤立奇点定理、黎曼-罗希定理、亚纯延拓定理等定理，从而能够熟练地运用它们进行分析推导。
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.m m m c c z c z c +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===， 故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) Re (),f z Re (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C ≡，即2()()C f z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个n c 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),Mf a R'≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得Re ()(),f z M F z e e =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()n n n p z a z a z a -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z 平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于 10lim ()lim (),n n n z z a a p z z a z z→∞→∞=+++=∞ 1lim0,()z p z →∞= 故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设 1()M p z ≤(正常数)， 从而，在z 平面上11,()M p z <+ 于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),n n g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11z e -是一个超越亚纯函数． 证11ze -有无穷多个极点： 2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b =+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=- 都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b =+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),n n f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值0A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).n n n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
《复变函数第3讲》课件
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几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
整函数与亚纯函数
整函数与亚纯函数是复变函数理论中的重要概念。
它们分别描述了复平面上的解析函数的不同性质和特点。
在这篇文章中，我们将简要介绍这两种函数，并且探讨它们的一些基本性质，以及它们在数学和物理中的应用。
整函数是指在复平面上解析的函数，也就是说，在复平面的每个点都存在有限的导数。
整函数有很多重要的性质，其中最重要的是它可以展开成无限级数的形式。
这种展开称为Laurent级数。
Laurent级数可以分成两个部分：主部和余部。
主部是一个有限项的多项式，而余部则是一个在解析圆盘外部无穷远远小于圆周周长的级数。
这很重要，因为它说明了整函数的性质：整函数在无穷远处的行为非常好，因为它的余项趋向于零。
另一方面，亚纯函数是指在复平面上解析的函数，但是在某些点处有极点。
极点是指函数在这个点上发散，但是在这个点的某个邻域内还是解析的。
亚纯函数的一个重要性质是它可以展开为Laurent级数，但是它只含有负次幂的项，也就是余部。
主部是不存在的。
这就说明了亚纯函数在某些点处发散，没有好的行为。
Laurent级数的形式也意味着，亚纯函数可以被分解成一个整函数和一个多项式的比值。
这个多项式的次数就是极点的阶，也就是它在这个点上的发散程度。
这个性质很重要，因为它揭示了亚纯函数的复杂性：它除了有无限项的级数展开之外，还有构成它的整数与多项式之间的关系。
整函数和亚纯函数在数学和物理中都有广泛的应用。
例如，在复分析中，Laurent级数可以用来证明柯西积分定理和留数定理。
在实际计算中，很多特殊函数，例如椭圆函数和贝塞尔函数，都是整函数和亚纯函数的组合。
在物理中，整函数和亚纯函数也非常有用。
例如，在量子场论中，格林函数就是一个复变函数，因此它可以用整函数和亚纯函数的工具来求解。
此外，在统计物理中，复变函数也有着很广泛的应用，因为它们可以用来描述相变现象和临界现象等。
在结尾我们重申，整函数和亚纯函数是复变函数理论中非常重要的概念。
通过体会它们的区别和性质，我们可以更深入地理解解析函数和级数展开的概念，掌握一些高级复变函数的计算工具，并在更广泛的物理和数学领域中学以致用。
复变函数的全纯性与亚纯性
复变函数的全纯性与亚纯性复变函数是数学中一个重要的分支，涉及到全纯性与亚纯性的讨论。
全纯性是指在复平面上定义的函数，其复导数处处存在且连续。
而亚纯性则是指在复变函数上，存在孤立奇点，但在此奇点附近函数能展开为解析函数的级数的性质。
本文将详细探讨复变函数的全纯性与亚纯性。
一、复变函数的定义复变函数通常是指将复平面上的复数域上的函数f(z)映射为复平面上的复数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中z=x+yi。
简单来说，这意味着复变函数拓展了实变函数的范围，允许定义和处理更多的函数和问题。
二、全纯性简介全纯函数是指在充分小的领域内N(z)内有解析导数的函数。
在数学的复分析中，全纯性是一个非常重要的性质。
一个函数f(z)如果在定义域内处处有解析导数，则称它是全纯的。
对于复平面上的全纯函数而言，设f(z)在点z0处全纯，则存在一个复数A，使得当z在z0趋近时，f(z)可以被展开成收敛于点z0的幂级数：f(z) = Σn=0 ∞ cn(z-z0)n展开式中的幂级数被称为“泰勒级数”或“幂级数展开”，其中系数cn可以通过求f(z)在z0处的洛朗级数来得到。
三、亚纯性简介与全纯函数不同，亚纯函数是在复平面上随处可微且有限的函数。
假设有两个数列{a_n}和{b_n}，满足：a_n与b_n是复数序列，当n→∞时序列a_n和b_n都趋于0，则函数f(z)在点a/b处具有的“孤立奇点展开性质”可以表示为：f(z) = Σn=0 ∞ cn(z-a/b)ⁿ亚纯函数还具有“极点”与“本性奇点”这两个特征，一般使用洛朗级数的展开形式来描述。
在极点处，洛朗级数展示出一个有限的数量，且前n项为多项式的形式。
在本性奇点处，洛朗级数有无限项，也没有多项式项存在。
四、全纯性与亚纯性的思考全纯函数和亚纯函数具有很多重要的性质，因此在复分析和复几何中它们是基本的对象。
在数学和物理中，全纯性非常重要，特别是它是任何小区域内的物理量的局限对称的原因之一。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点一、复变函数的基本概念与性质：1. 复数及复平面：复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面上的点一一对应的方法表示复数。
2. 复变函数的定义：复变函数是将复数域上的数映射到复数域上的函数。
通常表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部函数和虚部函数。
3. 复变函数的导数与解析函数：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若存在导数f'(z)，则称f(z)在z处可导。
若f'(z)在复平面上处处可导，则称f(z)为解析函数。
4.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是解析函数的充分必要条件，即u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼方程的偏微分方程组。
5.全纯函数与亚纯函数：全纯函数是指在区域上处处可导的函数，亚纯函数是指在其定义域上除有限个孤立点外处处为全纯函数。
二、积分变换的基本概念与性质：1.积分变换的定义：积分变换是将函数f(t)变换为函数F(s)的方法，表示为F(s)=L[f(t)]，其中L为积分变换算符。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将函数f(t)变换为复变函数F(s)的变换方法，定义为F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt。
拉普拉斯变换有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
3. 傅里叶变换：傅里叶变换是将函数f(t)变换为复变函数F(ω)的变换方法，定义为F(ω)=∫(-∞,+∞)e^(-iωt)f(t)dt。
傅里叶变换也具有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
4. 反变换：反变换是将复变函数F(s)逆变换为函数f(t)的方法。
对于拉普拉斯变换，反变换为f(t)=1/2πi∫(σ-i∞,σ+i∞)F(s)e^(st)ds；对于傅里叶变换，反变换为f(t)=1/2π∫(-∞,+∞)F(ω)e^(iωt)dω。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类一、引言复变函数是复数域上的函数，它具有许多独特的性质和分类方法。
在数学和工程领域中，复变函数被广泛应用于解析几何、积分变换、微分方程等多个重要领域。
本文将介绍复变函数的定义、性质及其分类方法，以期对读者有所启发和帮助。
二、复变函数的定义复变函数是指定义域和值域都是复数集合的函数。
设z为复平面上的点，z=x+yi（x、y为实数，i为虚数单位），则z是一个复数。
若w=f(z)，其中f是一个从复数集合C到C的映射，那么f(z)就是一个复变函数。
三、复变函数的性质1. 解析性对于一个定义在某个区域上的函数f(z)，如果f(z)在该区域内是解析的，也就是说f(z)在该区域内可以展开成幂级数，则称f(z)在该区域内是解析的。
2. 全纯性如果一个函数在某个区域内具有一阶偏导数，并且这个函数的偏导数连续，那么这个函数就称为全纯函数。
3. 共轭性设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（u、v为实函数），则f(z)的共轭函数为f*(z)=u(x,-y)-iv(x,-y)。
4. 周期性如果存在一个非零常数w，使得对于定义在某个区域上的函数f(z)，对任意z都有f(z+w)=f(z)，则称函数f(z)是周期函数。
四、复变函数的分类1. 整函数与亚纯函数整函数是指在整个复平面上具有解析性的函数。
当整函数还满足条件f(z)在无穷远处有界时，称这样的整函数为有界整函数。
亚纯函数是指在几个离散点处不解析，在其他地方均解析的复变函数。
2. 特殊类型函数包括双全纯映射、调和映射、保角映射等特殊类型的复变函数。
3. 黎曼映射定理及其应用黎曼映射定理说明了任意一个单连通区域都存在一个保角映射，将这个区域映射为单位圆盘。
黎曼映射定理在多孔区域映射等问题中有重要应用。
五、结语通过本文对复变函数的性质与分类进行介绍，希望读者能够对复变函数有更深入的了解，并能够应用到实际问题中去。
复变函数作为数学分析和工程领域中重要的工具，在不同领域都有着重要的应用价值，期待未来能够有更多关于复变函数方面的研究成果出现。
关于亚纯函数及其导数的特征函数
关于亚纯函数及其导数的特征函数亚纯函数是复变函数中的一类特殊函数。
它们具有一些特殊的性质，特别是在复平面上的孤立奇点处。
亚纯函数在复平面上定义，并且不能在复数的一些点处取无限大值，例如极点或本质奇点。
它们的导数可以在它们定义的范围内计算，并且仍然是亚纯函数。
为了更好地理解亚纯函数及其导数的特征，我们首先来讨论亚纯函数的定义。
一个函数f(z)是亚纯函数，如果它在数学上满足以下两个条件：1.函数f(z)在复平面除有限个奇点外处处解析。
即它是除有限个孤立奇点外的解析函数。
2.函数f(z)在它的孤立奇点处都不取无穷大值。
也就是说，除非孤立奇点是可去奇点，否则它们是极点或本质奇点。
亚纯函数类似于整函数，但亚纯函数还可以具有极点或本质奇点。
亚纯函数的一个重要性质是它们的导数仍然是亚纯函数，除非导数恒等于零。
对于亚纯函数f(z)，它的导数f'(z)的特征函数可以用以下方式定义：1.亚纯函数的导数也是亚纯函数：如果f(z)是亚纯函数，则它的导数f'(z)也是亚纯函数。
2.亚纯函数的导数为零：如果亚纯函数的导数恒等于零，那么该亚纯函数是一个常数。
3.亚纯函数的导数的极点：亚纯函数的导数f'(z)在与f(z)具有相同奇点的点上可能具有极点，这些点称为f(z)的极点。
亚纯函数的导数的特征函数提供了研究亚纯函数性质的有效方法。
通过分析亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以了解亚纯函数的奇点分布情况，以及计算亚纯函数的导数在不同点的性质。
亚纯函数和其导数的特征函数在复分析领域有广泛的应用。
通过研究亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以推导出很多有关复变函数的重要性质，例如Riemann映射定理、辐角原理等。
总而言之，亚纯函数是一类特殊的复变函数，它在复平面上除了有限个孤立奇点处解析，并且不在其孤立奇点处取无穷大值。
亚纯函数的导数具有一些重要的特征函数，通过分析亚纯函数及其导数的特征函数，我们可以深入了解亚纯函数的性质及其在复变函数理论中的应用。
亚纯函数论
亚纯函数论介绍如下:亚纯函数论是复变函数论的重要分支，主要研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数，又称为亚纯函数。
亚纯函数在数学、物理等领域中有广泛的应用，如控制论、量子场论等。
下面分别介绍亚纯函数的相关概念和基本性质。
一、亚纯函数的相关概念1.极点和本性奇点对于复变函数f(z)，若在z0处f(z)有有限的极限，则称z0为f(z)的极点。
若在z0处f(z)无极限，则将z0分为可去奇点、极点和本性奇点三种情况。
当z0为可去奇点时，f(z)在z0处可以连续地延拓；当z0为极点时，f(z)在z0处的振荡趋于无穷大；当z0为本性奇点时，f(z)在z0处的振荡不收敛或收敛缓慢，且对应的留数不为0。
2.费马引理和歧角定理费马引理指的是若f(z)在D中解析，并在D的边界上取相等实数值，则f(z)必在闭包中的D 内始终取该实数值。
歧角定理指的是若f是D中的亚纯函数，则在任意封闭曲线上，f的交角相同。
3.亚纯函数的级数展开式对于一般的复变函数f(z)，在一些不好进行解析运算的情况下，可以将它展开成亚纯函数的级数展开式，如洛朗级数展开、幂级数展开等。
二、亚纯函数的基本性质1.亚纯函数的导数仍为亚纯函数。
2.亚纯函数f(z)的留数定理：若f(z)在D内除极点外解析，C为D内一封闭曲线，n为C中面积不为0的简单闭曲线的环向数，则f(z)在D内所有极点的留数之和等于n次C沿着正方向的积分，即Res(f,z)= 1/2πi∫Cf(z)dz3.埃尔米特函数和齐次亚纯函数：埃尔米特函数是保持希尔伯特模长不变的线性算子，齐次亚纯函数定义为除了常数外，各项次数相等的亚纯函数。
总之，亚纯函数论是复变函数论的重要分支，研究定义在某一域内除极点外无其他奇点的复变函数。
亚纯函数的级数展开和留数定理是亚纯函数论的重要基本性质。
通过亚纯函数论的研究，可以深入了解复变函数的性质，为实际问题的求解提供数学工具。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
亚纯函数定义
亚纯函数定义亚纯函数的概念亚纯函数（Meromorphic Function）是在复平面上定义并且满足某些性质的函数。
它既具有全纯函数的部分性质，又允许在有限个点上有极点。
亚纯函数是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域有广泛的应用。
全纯函数回顾在介绍亚纯函数之前，我们先回顾一下全纯函数的概念。
全纯函数，又称为解析函数或可微函数，是复变函数论中的一个基本概念。
一个函数在复平面上是全纯的，如果它在其定义域的每一点都有导数。
全纯函数具有多种重要性质，包括解析性、调和性和无穷次可微性等。
亚纯函数的定义一个函数f(z)在复平面上是亚纯的，如果它满足以下两个条件：1.f(z)在其定义域上是全纯的，即在定义域的每一点都有导数；2.f(z)在有限个点上有极点，即在这些点上的值无穷大。
亚纯函数是全纯函数的一种推广，它在全纯性的基础上允许函数在有限个点上有极点，这使得亚纯函数的定义更加宽松。
亚纯函数的性质亚纯函数具有许多重要的性质，下面我们将逐一介绍。
极点和奇点亚纯函数在有限多个点上有极点，这些点被称为函数的极点。
极点是函数在某个点处取无穷大值的位置。
极点可以分为可去极点、一阶（或更高阶）极点和本性极点三种类型。
函数在某个点处的极点的阶数表示了函数在该点附近的振荡情况。
阶数越高，振荡越强烈。
阶数为1的极点也被称为简单极点。
亚纯函数的级数展开亚纯函数可以在其定义域的某个闭区域上展开为Laurent级数。
Laurent级数包含正幂次和负幂次的项，因此可以在函数的极点处展开。
Laurent级数的一般形式为：f(z) = ∑ (a_n * (z - z0)^n) + ∑ (b_n * (z - z0)^n)其中a_n和b_n是亚纯函数f(z)的系数，z0是展开点。
第一项中的a_n表示函数的正幂次项，第二项中的b_n表示函数的负幂次项。
通过展开亚纯函数的Laurent级数，我们可以研究函数在极点附近的性质和行为。
亚纯函数的留数亚纯函数在其极点处具有留数。
5.4整函数与亚纯函数
(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.
(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多
项式 c0 c1z cm z m (cm 0).
(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有
无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).
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z1、z2、鬃?、zn
其级数分别为l 1、l 2、鬃?、l n则函数
g(z) (z z1)1 (z z2 )2 (z zn )n f (z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.
由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.
定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数
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5.4 整函数与亚纯函数
1、整函数 2、亚纯函数
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1、整函数
在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.
设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且
可设
f (z) cn zn (0 | z | ). (5.14)
于是显然有
n0
定理5.10 若f(z)为一整函数,则
其中P(z)与Q(z)分别为z的m次多项式,且彼此互质. 则
(1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点;
(2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
复变函数重点知识点总结
复变函数重点知识点总结复变函数是数学分析中的一门重要课程，主要研究复数域上的函数。
复变函数具有许多特殊性质和重要应用，在数学、物理学等领域有广泛的运用。
以下是复变函数的一些重点知识点总结。
1.复变函数的定义及运算法则：-复变函数是定义在复数域上的函数，可以表示为f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，其中z=x+i*y为复数，u(x,y)和v(x,y)为实函数，分别称为f的实部和虚部。
-复变函数的加法、减法、乘法和除法运算法则与实数类似，可以进行复数的加减乘除运算。
-复变函数可以表示为级数形式，如幂级数、三角级数等。
2.复变函数的解析性：- 解析函数是指在其定义域内可导的函数，复变函数的解析性与其实部和虚部的连续性及Cauchy-Riemann条件密切相关。
- Cauchy-Riemann条件是解析函数必须满足的条件，即函数的实部和虚部的偏导数满足一定的关系。
-如果一个复变函数在其定义域内解析，则其在该域内无穷次可导，并且导数处处存在。
3.高阶导数及全纯函数：-复变函数的高阶导数可以通过对复变函数的导数进行重复求导得到。
-如果一个复变函数在其定义域内高阶导数均存在，则称该函数为全纯函数。
-全纯函数具有许多优良性质，如解析、无奇点等。
4. 路径积分及Cauchy定理：-路径积分是指沿着一条曲线对复变函数进行积分的操作，复变函数的路径积分与路径无关。
- Cauchy定理是复分析中的重要定理之一，它指出如果一个函数在一个简单连通区域内解析，那么它在该区域中的曲线积分等于零。
5.解析延拓及解析函数的唯一性定理：-解析延拓是指将一个函数的定义域扩展到更大的区域上，使得该函数在扩展后的区域内解析。
-解析函数的唯一性定理是指如果两个解析函数在一些区域内相等，那么它们在该区域内处处相等。
-解析函数的唯一性定理是复分析中的一个重要定理，它可以用于证明解析函数的存在性、奇点的性质等。
6.高阶亚纯函数及留数计算：-亚纯函数是指解析函数和有限阶极点函数的叠加，亚纯函数可以表示为f(z)=P(z)+Q(z)，其中P(z)为解析函数，Q(z)为有限阶极点函数。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类复变函数是复数域上的函数，具有许多独特的性质和分类。
在复变函数的研究中，我们可以根据不同的性质和特征将其进行分类，从而更好地理解和应用这一领域的知识。
本文将介绍复变函数的性质与分类，帮助读者更深入地了解这一重要的数学概念。
一、复变函数的定义与基本性质复变函数是定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。
一般形式为$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中$z = x + iy$为复数变量，$u(x, y)$和$v(x, y)$分别为$z$的实部和虚部。
复变函数与实变函数不同之处在于，它具有解析性和全纯性的概念。
1. 解析性：若在某个区域内，函数$f(z)$可以展开成幂级数形式$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，则称$f(z)$在该区域内解析。
解析函数具有良好的性质，如可导、无穷可微等。
2. 全纯性：若函数$f(z)$在某个区域内处处可导，则称其在该区域内全纯。
全纯函数是解析函数的一种特殊情况，具有更强的光滑性和性质。
复变函数的基本性质包括可加性、可乘性、共轭性等，这些性质为后续对复变函数的分类和研究奠定了基础。
二、复变函数的分类根据复变函数的性质和特征，我们可以将其进行不同的分类，以便更好地理解和应用这些函数。
1. 按解析性分类（1）整函数：在整个复平面上解析的函数称为整函数，如指数函数$e^z$、三角函数$\sin z$、$\cos z$等。
（2）亚纯函数：在某个区域内解析，但在某些点上有极点的函数称为亚纯函数，如$\frac{1}{z}$、$\frac{\sin z}{z}$等。
2. 按实部虚部关系分类（1）实部函数：实部为常数，虚部为零的函数称为实部函数，如$u(x, 0)$。
（2）虚部函数：虚部为常数，实部为零的函数称为虚部函数，如$v(0, y)$。
3. 按共轭性分类（1）共轭函数：若$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$是解析函数，则其共轭函数为$\overline{f(z)} = u(x, -y) - iv(x, -y)$也是解析函数。
复变函数5.4整函数与亚纯函数
2. 亚纯函数
定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型 奇点的单值解析函数称为亚纯函数.
定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充 要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外 没有其它类型的奇点.
证 必要性 设有理函数
P( z ) f ( z) , Q( z )
其中P(z) 与Q(z) 分别为z的m,n次多项式,且彼此 互质.则 (1)当m>n时,z=∞必为f(z)的m-n级极点; (2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只 要置 P( z) f () lim ,z 就是f(z)的解析点; z Q( z ) (3) Q(z )的零点必为f(z)的极点. 充分性 若f(z)在扩充z平面上除极点外没 有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是 有限个.因若不然,这些极点在 扩充z平面上的
于是显然有 定理5.10 若f(z)为一整函数,则 (1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c. (2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一 个m次多项式
n 0
c0 c1z cm z奇点的充要条件为: 展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这 样的f(z)为超越整函数).
2
n
聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设矛盾. 今命f(z)在z平面上的极点为
其级数分别为 1、 2、 、 n则函数
z1 , z2 , , zn
1
g( z) ( z z1 ) ( z z2 ) ( z zn ) f ( z)
至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z) 必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数. 由此可见,每一有理函数都是亚纯函数. 定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚 纯函数
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第五章
第三节、整函数与亚纯函数
整函数的概念
如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就
称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤 立奇点。在C上，f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展 式也就是其泰勒展式：
f (z) nzn, n0
当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去 奇点；当f(z)是 n( 1) 次多项式时，无穷远点是 它的n阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z) 的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。
R | z |
内解析。在 | z | R 上，f(z)只可能有有限个极点
，因为否则极点的极限点既不是极点，而且函 数也不可能在这点解析，这是不可能的。因此 f(z)只可能有有限个极点，设为
z1, z2,..., z p
亚纯函数的刻画
此外，无穷远点是可去奇点或极点。在每一个 有限点附近把f(z)展开为洛朗级数，并且设在点
而当无穷远点是可去极点时，令 g(z) 0.
令
F(z) f (z) R(z)
其中 R(z) h1(z) h2 (z) ... hp (z) g(z)
是一个有理函数。函数F(z)除去 z1, z2 ,..., z p在
有可去奇点外，在其余各点解析；这是因为由
于展式的唯一性，F(z)在 z1, z2 ,..., z p 及
那 么 z 是 f(z)-g(z) 的 可 去 奇 点 。 因 此 ， f(z)=g(z)+C，其中C为一个常数。
定理的必要性显然成立。
亚纯函数的概念
如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，
到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。
亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个 极点。例如 1 是一个亚纯函数，它有极点
z 的主要部分是：
h (z)
c() 1
z z
c() 2
(z z )2
...
(z
c()
z )
( 1,2,3,..., p);
当无穷远点是极点时，在这点的主要部分是：
g(z) A1z A2z2 ... Aq zq;
亚纯函数的刻画：
Department of Mathematics
或可去奇点（当 n m 时），在这里
k , l (k 0,1,2,...,n;l 0,1,2,...,m)
是复常数，m及n是正整数。
定理10.2
定理10.2如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点 或极点，那么是一个有理函数。
证明：如果无穷远点是f(z)的可去奇点或极点， 那么可找到一个有限的R，使得f(z)在
整函数。
证明：设 z 是f(z)的可去奇点，那么为lim f (z)
有限复数，从而f(z)有界，由刘维尔定理，zf(z)恒
等于一个常数。
设 z 是f(z)的极点或本性奇点时，设f(z)在
z 的主要部分是
n
g(z) k zk或 k zk
k 1
k 1
整函数与亚纯函数的概念
sin z
z k (k 0,1,...)
有理函数
0 1z 2z2 ... n zn 0 1z 2z2 ... m zm
(n , m
0)
亚纯函数的概念
也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限 个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）
也是代一数个整基函本数定，因理为：P1(z)
|
P(
z)
||
zn
(
n
n 1
z
...
0
zn
)
|
|
z
|n
(| n
|
|
n 1
|z|
|
...
|
|z
0|n|)
|
(z
0)
所以我们有
lim | P(z) | ,lim 1 0,
z
z P(z)
代数基本定理：
因而 1 在全平面上有界，于是根据刘维尔定理，
代数基本定理：
例如
ez ,sin z,cos z
都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点 。由刘维尔定理，我们有
代数基本定理：任何 n( 1) 次代数方程至少有一个 根。
证明：设
P(z) n zn n1zn1 ... 0 (n 0)
是一个这样的代数方程。我们要证明整函数P(z)至 少有一个零点。反证之，假定P(z)没有零点，那么
P(z) 1
P(z) 恒等于0，与所设矛盾，因此P(z)至少有 一个零点。
注解1、此定理也表明，任何n次多项式恰有n个 根。 注解2、此定理具有非常广泛的应用。
整函数
定理10.1 设f(z)是一个整函数，按照 z 是可
去奇点、 n( 1) 阶极点或本性奇点，必须而且 只需f(z)是恒等于常数、n( 1) 次多项式或超越
附近的洛朗展式都不包含主要部分。因此，令
F
( z
)
lim
zz
F (z)(
1,2,3,... p),
F(z) 就 是 一 个 有 界 整 函 数 。 由C（常数），从而f(z)= R(z)+C。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory