电动力学六七(电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量)

式中p是粒子的机械动量。 式中p是粒子的机械动量。在电磁场中粒 子的正则动量不等于它的机械动量， 子的正则动量不等于它的机械动量 ， 而 是附加上一项q 是附加上一项qA。
带电粒子的哈密顿量为
H = P⋅v − L =
m0c 1−
2
υ2
c2
+ qϕ
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应该用正则动量p 但H应该用正则动量p而不是用速 度υ表出
自由粒子情形。 自由粒子情形。粒子的状态由速 度确定。 度确定。和粒子速度有关的协变 量是四维速度U 而由U 量是四维速度 Uµ ， 而由 Uµ 只能 构成一个不变量U 构成一个不变量 UµUµ=-c2 。 因 此 ， γ L 只能是一个洛伦兹不变 常量a 常量a，由此得 <<c 当υ<<c时，上式应趋于非 相对论的动能（ 相对论的动能 （ 除了可能 有附加常数之外 ） ， 由此 得 a= － m0c2 ， 因 而 自 由 粒子的拉格朗日函数为
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1. 拉格朗日形式
在经典力学中， 在经典力学中，满足一定条件的动力学系统的运 动方程可以表为拉格朗日方程
d ∂L ∂L − =0 & d t ∂q i ∂q i
& q 其中q 为广义坐标， 为广义速度，拉格朗日量L 其中qi为广义坐标， i 为广义速度，拉格朗日量L是广 义坐标和广义速度的函数
& L = L(qi , qi )
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在分析力学中， 在分析力学中 ， 拉氏量对时间的积分 是作用量
固有时
S = ∫ Ldt = ∫ γLdτ
洛伦兹不变量 洛伦兹不变量
作用量的洛伦兹不变性在现代物理学中有 重要意义， 重要意义，这种不变性常常是找出一个物 理系统的拉格朗日函数的重要依据。 理系统的拉格朗日函数的重要依据。
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下面我们说明从S 下面我们说明从S的不变性就可以基本上确定带 电粒子拉格朗日函数的形式。 电粒子拉格朗日函数的形式。
1 H= (Ρ − qΑ ) 2 + qϕ 2m 0
哈密顿量式变为
H和L 仍满足关系式
H = Ρ⋅υ− L
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2
另一方面， 另一方面，在微观领域内带电粒子的运动 问题占有重要地位， 问题占有重要地位，例如电子在原子核的 场内运动就属于这类问题。 场内运动就属于这类问题。在微观领域内 需要用量子力学来解决粒子运动问题，而 需要用量子力学来解决粒子运动问题， 量子力学是用哈密顿量或拉格朗日量来描 述粒子系统的力学性质的。 述粒子系统的力学性质的。
∂Α Ε + υ × Β = −∇ ϕ − + υ × (∇ × Α ) ∂t
在拉氏形式中， & 在拉氏形式中，坐标 x 和速度υ = x 是独立 变量， 算符不作用在υ的函数上， 变量，▽算符不作用在υ的函数上，因此
υ × (∇ × Α ) = ∇ ( υ ⋅ Α ) − υ ⋅ ∇ Α
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dp ∂Α = q[−∇ (ϕ − υ ⋅ Α ) − − υ ⋅ ∇Α ] dt ∂t
由于粒子运动，在时间d 有位移d 由于粒子运动，在时间dt有位移dx，由此 引起矢势A有增量d 因此， 引起矢势A有增量dx·▽A 。因此，作用于 粒子上的矢势总变化率为
d Α ∂Α = + υ ⋅ ∇Α dt ∂t
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d Α ∂Α = + υ ⋅ ∇Α dt ∂t
dp ∂Α = q[−∇ (ϕ − υ ⋅ Α ) − − υ ⋅ ∇Α ] dt ∂t
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2 哈密顿形式
对于用拉氏量L 对于用拉氏量 L 描述的 动力学系统， 动力学系统 ， 广义动量 Pi定义为 Pi也称为与广义坐标qi 也称为与广义坐标q 共轭的正则动量。 共轭的正则动量。系统 的哈密顿量为
∂L Pi = ∂q i
& H = ∑ Pi qi − L
i
H是广义坐标qi和广义 是广义坐标q 动量P 动量Pi的函数
Η = ( P − qΑ ) c + m c + qϕ
2 2 2 4 0
右边第一项是粒子的运动能量W（包括 右边第一项是粒子的运动能量W 静止能量） 因而H对应于P 静止能量 ） ， 因而 H 对应于 Pµ+qAµ 的 第四分量。 第四分量。引入四维正则动量
Pµ = pµ + qAµ
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则哈密顿量与P 则哈密顿量与Pµ的第四分量 相联系
其中拉格朗日量L 其中拉格朗日量L为
L = − m0c2Biblioteka 1−υ2c
2
− q(ϕ − υ ⋅ Α )
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现在我们考察L 的变换性质。 现在我们考察 L 的变换性质 。 把上式乘 =(1 以γ=(1-υ2/c2)-1/2得
四维速 度矢量
γL = − m0 c + qAµ U µ
2
洛伦兹不变量
洛伦兹不变量
6
电磁场中带电粒子的运动方程
dp = q( E + υ × B ) dt
此式在相对论情形仍然成立， 此式在相对论情形仍然成立，其中粒子 的动量p是 的动量p
p=
m0 υ 1−
υ2
c2
7
现在我们探讨能否找到一个拉格朗日量L 现在我们探讨能否找到一个拉格朗日量L使运动方 程化为拉氏方程的形式？ 程化为拉氏方程的形式？
L = a 1−
υ2
c2
L = − m0 c
2
1−
υ2
c2
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当粒子在电磁场内运 动时，除了U 之外， 动时，除了Uµ之外， 还依赖于四维势A L还依赖于四维势Aµ 或电磁场张量F 或电磁场张量Fµν。由 粒子的四维速度U 粒子的四维速度Uµ与 电磁场的四维势A 电磁场的四维势Aµ可 构成一个不变量 因而γ UµAµ ，因而γL可以 含有一项b 含有一项bUµAµ，b 为一待定常数。 为一待定常数。
§6.7 电磁场中带 电粒子的拉格朗日 量和哈密顿量
1
把力学方程表为分析力学形式更具有 普遍的意义， 普遍的意义 ， 因为这样可以在一般广义坐 标下研究力学系统的运动， 标下研究力学系统的运动 ， 因而对力学系 统的性质可以作出普遍的推论。 统的性质可以作出普遍的推论 。 把带电粒 子在电磁场中的运动方程用分析力学的拉 格朗日形式和哈密顿形式表示出来。 格朗日形式和哈密顿形式表示出来。
d (p + qΑ ) = − q∇ (ϕ − υ ⋅ Α ) dt
注意到动量p和矢势A 注意到动量p和矢势A可以分别写为
∂ 2 υ2 pi = [− m0 c 1 − c 2 ], ∂υ i
∂ Ai = υ⋅ Α ∂υ i
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运动方程可以写为拉氏形式
d ∂L ∂L − =0 dt ∂υ i ∂x i
在静电场中， 在静电场中，当粒 子运动速度υ<<c 子运动速度υ<<c时， 这项应等于粒子在 静电场中的负位能静电场中的负位能由此定出b eϕ，由此定出b=e。 根据协变性要求， 根据协变性要求， 确定带电粒子在电 磁场中运动的拉格 朗日量为
L = − m0c
2
1−
υ2
c
2
− q(ϕ − υ ⋅ Α )
i Pµ = ( P , H ) c
不难验证哈密顿方程相当于原 运动方程
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3．非相对论情形
<<c 当υ<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变 为非相对论情形下相应的量 拉氏量当υ<<c 拉氏量当υ<<c时变 为(除去一个不重要 的附加常量) 的附加常量)
1 L = m0 υ 2 − q(ϕ − υ ⋅ Α ) 2
3
在量子力学中， 在量子力学中，哈密顿量占有十分重要的 地位。因此， 地位。因此，我们这里从经典电动力学范 围引入带电粒子在电磁场中运动的拉格朗 日量和哈密顿量， 日量和哈密顿量，不仅是为了提供解决经 典运动的方法， 典运动的方法，同样重要的是通过对应原 理可以把它们过渡到量子力学的量， 理可以把它们过渡到量子力学的量，从而 为解决微观粒子运动问题通过必要的基础。 为解决微观粒子运动问题通过必要的基础。
5
例如在保守力场中运动的质点就是这种系统， 例如在保守力场中运动的质点就是这种系统，其中
L=T− V
是粒子的动能， 是势能。对某些非保守系统， T是粒子的动能，V是势能。对某些非保守系统， & L(qi，i使该系统 ,q ) 只要我们能够找出一个函数 的运动方程化为拉格朗日形式， 的运动方程化为拉格朗日形式 ， 就可以用分析 力学的一般理论来研究该系统的运动。 力学的一般理论来研究该系统的运动。
H = H (qi , Pi )
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用哈密顿量可 以把运动方程 表为正则形式
∂H & , qi = ∂ Pi ∂H & Pi = − ∂qi
回到电磁场中的带电粒子运动情形
m0υ i ∂L Pi = = + qAi 2 ∂υ i 1 − υ2 c
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正则动量P 正则动量P
即
P=p+q P=p+qA