2014北京市海淀区高考数学(理)二模试题(附答案)
数学_2014年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. sin(−150∘)的值为（ ） A −12B 12C −√32 D √322. 已知命题p ：“∀a >0，有e a ≥1成立”，则￢p 为（ ）A ∃a ≤0，有e a ≤1成立B ∃a ≤0，有e a ≥1成立C ∃a >0，有e a <1成立D ∃a >0，有e a ≤1成立3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为( )A −2B 16C −2或8D −2或164. 在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为（ ） A 1 B √2 C √3 D 25. 已知P(x, y)是不等式组{x +y −1≥0x −y +3≥0x ≤0表示的平面区域内的一点，A(1, 2)，O 为坐标原点，则OA →⋅OP →的最大值（ ）A 2B 3C 5D 66. 一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM ＝BP ＝2m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为ℎ(t)m ，则ℎ(t)＝（ ）A 30sin(π12t −π2)+30 B 30sin(π6t −π2)+30 C 30sin(π6t −π2)+32 D 30sin(π6t −π2)7. 已知等差数列{a n}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A (2, 4)B (−∞, 2)C (2, +∞)D (4, +∞)8. 已知点E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A 0条B 1条C 2条D 无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 满足不等式x2−x<0的x的取值范围是________．10. 已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为________．11. 已知(ax+1)5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是________．12. 已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为________．13. 已知l1、l2是曲线C:y=1x的两条互相平行的切线，则l1与l2与的距离的最大值为________．14. 已知集合M={1, 2, 3, ..., 100}，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作S(A)．①满足S(A)=8的集合A的个数为________；②S(A)的所有不同取值的个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 在锐角△ABC中，a=2√7sinA且b=√21．（1）求B的大小；（2）若a=3c，求c的值．16. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA1，E、F分别是棱BC，A1A的中点，G为棱CC1上的一点，且C1F // 平面AEG．（1）求CGCC1的值；（2）求证：EG⊥A1C；（3）求二面角A1−AG−E的余弦值．17.某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．(1)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；(2)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)．18. 已知函数f(x)=(x−a)sinx+cosx，x∈(0, π)．（1）当a=π时，求函数f(x)值域；2（2）当a>π时，求函数f(x)的单调区间．219. 已知椭圆G的离心率为√2，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)．2(Ⅰ)求椭圆G的方程；(Ⅱ)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．20. 对于自然数数组(a, b, c)，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差．如果(a, b, c)的极差d≥1，可实施如下操作f：若a，b，c中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若a，b，c中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为f1(a, b, c)，其级差为d1．若d1≥1，则继续对f1(a, b, c)实施操作f，…，实施n次操作后的结果记为f n(a, b, c)，其极差记为d n．例如：f1(1, 3, 3)= (3, 2, 2)，f2(1, 3, 3)=(1, 3, 3)．（1）若(a, b, c)=(1, 3, 14)，求d1，d2和d2014的值；（2）已知(a, b, c)的极差为d且a<b<c，若n=1，2，3，…时，恒有d n=d，求d的所有可能取值；（3）若a，b，c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n满足d n=0．2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. D4. A5. D6. B7. C8. D9. (0, 1)10. √511. 112. 213. 2√214. 6,505015. 解：（1）由正弦定理可得asinA =bsinB，∵ a=2√7sinA，b=√21，∴ sinB=bsinAa =√21sinA2√7sinA=√32，则在锐角△ABC中，B=60∘；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，又a=3c，b=√21，cosB=12，∴ 21=9c2+c2−3c2，即c2=3，解得：c=√3，经检验，由cosA=b 2+c2−a22bc=2√7<0，可得A>90∘，不符合题意，则a=3c时，此三角形无解．16. （1）解：因为C1F // 平面AEG，又C1F⊂平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面AEG=AG，所以C1F // AG．因为F为AA1中点，且侧面ACC1A1为平行四边形，所以G为CC1中点，所以CGCC1=12．（2）证明：因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A−xyz，设AB=2，则由AB=AC=AA1，得C(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C1(2, 0, 2)，A1(0, 0, 2)，A(0, 0, 0)，因为E，G分别是BC，CC1的中点，所以E(1, 1, 0)，G(2, 0, 1)．所以EG →=(1,−1,1)，CA 1→=(−2,0,2)， 因为EG →⋅CA 1→=(1, −1, 1)⋅(−2, 0, 2)=0． 所以EG →⊥CA 1→， 所以EG ⊥CA 1．（3）解：设平面AEG 的法向量n →=(x,y,z)， 因为AE →=(1,1,0)，AG →=(2,0,1)， 所以{n →⋅AG →=2x +z =0˙，令x =1，得n →=(1, −1, −2)．由已知得平面A 1AG 的法向量m →=(0,1,0)， 所以cos <n →，m →>=√6=−√66， 由题意知二面角A 1−AG −E 为钝角， 所以二面角A 1−AG −E 的余弦值为−√66． 17. 解：(1)设A 车在星期i 出车的事件为A i ，B 车在星期i 出车的事件为B i ，i =1，2，3，4，5，则由已知可得P(A i )=0.6，P(B i )=0.5．设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C ，则 P(C)=P(A 1B 1¯+A 1¯B 1) =P(A 1)P(B 1¯)+P(A 1¯)P(B 1)=0.6×(1−0.5)+(1−0.6)×0.5=0.5， ∴ 该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5.(2)X 的取值为0，1，2，3，则P(X =0)=P(A 1¯B 1¯)P(A 2¯)=0.4×0.5×0.4=0.08， P(X =1)=P(C)P(A 2¯)+P(A 1¯B 1¯)P(A 2) =0.5×0.4+0.4×0.5×0.6=0.32， P(X =2)=P(A 1B 1)P(A 2¯)+P(C)P(A 2) =0.6×0.5×0.4+0.5×0.6=0.42，P(X=3)=P(A1B1)P(A2) =0.6×0.5×0.6=0.18，∴ X的分布列为18. 解：（1）当a=π2时，f(x)=(x−π2)sinx+cosx，x∈(0, π)．f′(x)=(x−π2)cosx，由f′(x)=0得x=π2，f(x)，f′(x)的情况如下：所以函数f(x)的值域为(−1, 1)．（2）f′(x)=(x−a)cosx，①当π2<a<π时，f(x)，f′(x)的情况如下所以函数f(x)的单调增区间为(π2, a)，单调减区间为(0, π2)和(a, π)．②当a≥π时，f(x)，f′(x)的情况如下所以函数f(x)的单调增区间为(π2, π)，单调减区间为(0, π2)．19. （1）∵ 椭圆G的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 设椭圆G的方程为：x2a2+y2=1,(a>1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下： ∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y−1，∴ M(−x 0y 0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y 0+1,0)．AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x21−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ．20. （1）解：由题意，d 1=10，d 2=7，d 2014=2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）解：①当d =2时，则(a, b, c)=(a, a +1, a +2)所以f 1(a, a +1, a +2)=(a +1, a +2, a)，d 1=a +2−a =2，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数a +2变为最小数a ，最小数a 和次小数a +1分别变为次小数a +1和最大数a +2，所以数组的极差不会改变． 所以，当d =2时，d n =d(n =1, 2, 3,…)恒成立． ②当d ≥3时，则f 1(a, b, c)=(a +1, b +1, c −2)所以d 1=b +1−(a +1)=b −a <c −a =d 或d 1=c −2−(a +1)=d −3 所以总有d 1≠d ．综上讨论，满足d n =d(n =1, 2, 3,…)的d 的取值仅能是2．--------------------- （3）证明：因为a ，b ，c 是以4为公比的正整数等比数列的三项， 所以a ，b ，c 是形如m ⋅4k （其中m ∈N ∗）的数，又因为4k =(3+1)k =3k +C k 1⋅3k−1+...+1 所以a ，b ，c 中每两个数的差都是3的倍数．所以(a, b, c)的极差d 0是3的倍数．------------------------------------------------ 设f i (a, b, c)=(a i , b i , c i )，不妨设a <b <c ，依据操作f 的规则，当在三元数组f i (a, b, c)(i =1, 2, 3,…x, x ∈N)中，总满足c i 是唯一最大数，a i 是最小数时，一定有a +x <b +x <c −2x ，解得x <c−b 3．所以，当i=1，2，3，…c−b3−1时，d i=c i−a i=(c i−1−2)−(a i−1+1)=d i−1−3．f c−b3(a, b, c)=(3a+c−b3, c+2b3, c+2b3)，d c−b3=b−a依据操作f的规则，当在三元数组f i(a, b, c)(i=c−b3, c−b3+1,…c−b3+y, y∈N)中，总满足c i=b i是最大数，a i是最小数时，一定有3a+c−b3+2y<c+2b3−y，解得y<b−a3．所以，当i=c−b3，c−b3+1，…，c−a3−1时，d i=c i−a i=(c i−1−1)−(a i−1+2)=d i−1−3．f c−a3(a, b, c)=(a+b+c3, a+b+c3, a+b+c3)，d c−a3=0所以存在n=c−a3，满足f n(a, b, c)的极差d n=0．----------------------------。
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6． D
若 k ≥ 0 ， z y x 没有最小值，不合题意．
若 k 0 ，则不等式组所表示的平面区域如图所示．
由图可知，
z
y
x
在点
2 k
，0
处取最小值．
故
0
2 k
4
，解得
k
1 2
，即选项
D
正确．
7． D（ S2 S3 且 S1 ≠ S3 ）
y
2
kx-y+2=0
x+y-2=0
O
2
2x -
CD 2, cos ADC 1 7
（1）求 sin BAD （2）求 BD, AC 的长
16. （本小题 13 分）. 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一
学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
的.问满足条件的最多有多少学生（ ）
（A） 2
（B） 3
（C） 4
（D） 5
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9.复数
1 1
i i
2
________.
10.已知向量 a 、 b 满足 a 1， b 2,1 ，且 a b 0 R，则 ________.
求线段 PH 的长.
18.（本小题 13 分）
已知函数 f (x) x cos x sin x, x [0, ]， 2
（1）求证： f (x) 0 ；
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,扫描版,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。
每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。
每小题5分。
共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
11
12
13
14。
北京市海淀区高三二模数学参考答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b ==所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B =o ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-=<可得90A >o ，不符合题意，所以c =舍去. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A I 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=u u u r u u u r. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥u u u r u u u r，所以1EG A C ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈ π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 的情况如下4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2.19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+u u u u r u u u r -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=u u u u r u u u r 202011x y -+-, --------------------------------------10分 由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠u u u u r u u u r, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠o ,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠o , ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>u u u r u u u r ,----------------11分所以90ACB ∠≠o , -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠o , ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分 1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠u u u u r u u u r , ----------------------12分所以90MAN ∠≠o , ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅u u u r u u u r的取值}20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==L 恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =L ）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++L所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =L ，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-L 时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++L ，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-L 时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理 (2)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2}D .{0,1,2}答案:C解析:解x 2-2x=0,得x=0,x=2,故A={0,2},所以A ∩B={0,2},故选C . 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2C .y=2-xD .y=log 0.5(x+1)答案:A解析:A 项,y=√x +1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增;B 项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;C 项,y=2-x =(12)x 为R 上的减函数;D 项,y=log 0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选A .3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上 答案:B 解析:由已知得{cosθ=x +1,sinθ=y -2,消参得(x+1)2+(y-2)2=1. 所以其对称中心为(-1,2). 显然该点在直线y=-2x 上.故选B .4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .840答案:C解析:开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k<5不成立,所以S=1×7=7,k=7-1=6.第二次循环,6<5不成立,所以S=7×6=42,k=6-1=5.第三次循环,5<5不成立,所以S=42×5=210,k=5-1=4.显然4<5成立,输出S的值,即输出210,故选C.5.(2014北京,理5)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:等比数列{a n}为递增数列的充要条件为{a1>0,q>1或{a1<0,0<q<1.故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6.(2014北京,理6)若x,y满足{x+y-2≥0,kx-y+2≥0,y≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为().A.2B.-2C.12D.-12答案:D 解析:如图,作出{x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案:D解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,√2).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积S2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=12×2×√2=√2.综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.图(1)图(2)图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). A .2人 B .3人C .4人D .5人答案:B解析:用A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A 的学生最多只有一人,语文成绩得B 的也最多只有1人,得C 的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i)2= .答案:-1解析:1+i 1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=2i 2=i,所以(1+i 1-i)2=i 2=-1. 10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= . 答案:√5解析:|b |=√22+12=√5,由λa +b =0,得b =-λa ,故|b |=|-λa |=|λ||a |,所以|λ|=|b ||a |=√51=√5.11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .答案:x 23−y 212=1 y=±2x 解析:双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线y 24-x 2=1有共同渐近线的方程为y 24-x 2=λ,又(2,2)在双曲线上,故224-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为y 24-x 2=-3,即x 23−y 212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 答案:8解析:由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0;而a 7+a 10=a 8+a 9<0,故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种. 答案:36解析:产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A 的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 . 答案:π解析:由f(x)在区间[π6,π2]上具有单调性,且f(π2)=-f(π6)知,f(x)有对称中心(π3,0),由f(π2)=f(23π)知f(x)有对称轴x=12(π2+23π)=712π.记f(x)的最小正周期为T,则12T≥π2−π6,即T≥23π.故712π-π3=π4=T4,解得T=π.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC中,∠B=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD 中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD,然后在△ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.解:(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17,所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B=4√37×12−17×√32=3√314.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD=AB·sin∠BADsin∠ADB =8×3√3144√37=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.16.(本小题13分)(2014):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.(只需写出结论)分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过0.6的场数,然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=A B ∪A B ,A ,B 独立.根据投篮统计数据,P (A )=35,P (B )=25.P (C )=P (A B )+P (A B )=35×35+25×25=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325. (3)EX=x .17.(本小题14分)(2014北京,理17)如图,正方形AMDE 的边长为2,B ,C 分别为AM ,MD 的中点.在五棱锥P-ABCDE 中,F 为棱PE 的中点,平面ABF 与棱PD ,PC 分别交于点G ,H. (1)求证:AB ∥FG ;(2)若PA ⊥底面ABCDE ,且PA=AE ,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并求线段PH 的长.分析:(1)首先利用AM ∥ED 得到AB ∥平面PDE ,然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线BC 的方向向量和平面ABF 的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据H 在PC 上,设出H 的坐标,然后利用平面ABF 的法向量与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值,进而求出H 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度.(1)证明:在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ,所以AB ∥平面PDE. 因为AB ⊂平面ABF ,且平面ABF ∩平面PDE=FG , 所以AB ∥FG.(2)解:因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (2,1,0),P (0,0,2),F (0,1,1),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面ABF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,y +z =0.令z=1,则y=-1.所以n =(0,-1,1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则 sin α=|cos <n ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||=12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ,v ,w ).因为点H 在棱PC 上,所以可设PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 即(u ,v ,w-2)=λ(2,1,-2), 所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.因为n 是平面ABF 的法向量,所以n ·AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,解得λ=23,所以点H 的坐标为(43,23,23). 所以PH=√(43)2+(23)2+(-43)2=2.18.(本小题13分)(2014北京,理18)已知函数f (x )=x cos x-sin x ,x ∈[0,π2]. (1)求证:f (x )≤0; (2)若a<sinxx<b 对x ∈(0,π2)恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.分析:(1)先求出导函数f'(x ),利用导函数在(0,π2)上的符号判断f (x )在[0,π2]上的单调性,并求出其最大值,即可证得结论;(2)根据x>0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为g (x )=sin x-cx (x ∈(0,π2))与0的大小关系,注意对参数c 的取值要分c ≤0,c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值. (1)证明:由f (x )=x cos x-sin x 得f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x. 因为在区间(0,π2)上f'(x )=-x sin x<0, 所以f (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)=0. (2)解:当x>0时,“sinx x >a”等价于“sin x-ax>0”;“sinxx<b”等价于“sin x-bx<0”. 令g (x )=sin x-cx ,则g'(x )=cos x-c. 当c ≤0时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当c ≥1时,因为对任意x ∈(0,π2),g'(x )=cos x-c<0, 所以g (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)=0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当0<c<1时,存在唯一的x 0∈(0,π2)使得g'(x 0)=cos x 0-c=0.g (x )与g'(x )在区间(0,π2)上的情况如下:因为g (x )在区间[0,x 0]上是增函数, 所以g (x 0)>g (0)=0.进一步,“g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立”当且仅当g (π2)=1-π2c ≥0,即0<c ≤2π.综上所述,当且仅当c ≤2π时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立;当且仅当c ≥1时,g (x )<0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 所以,若a<sinxx<b 对任意x ∈(0,π2)恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1.19.(本小题14分)(2014北京,理19)已知椭圆C :x 2+2y 2=4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y=2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系,并证明你的结论.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a ,c ,即可求得离心率e ;(2)分别设出A ,B 两点的坐标,先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后根据A ,B 两点横坐标是否相等分类,分别求出原点O 到直线AB 的距离,将其与圆的半径√2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1. 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2. 故椭圆C 的离心率e=c a=√22.(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下:设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0. 当x 0=t 时,y 0=-t 22,代入椭圆C 的方程,得t=±√2,故直线AB 的方程为x=±√2,圆心O 到直线AB 的距离d=√2,此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y-2=y 0-2x 0-t(x-t ), 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d=00√(y 0-2)2+(x 0-t )2.又x 02+2y 02=4,t=-2y 0x 0, 故d=|2x 0+2y 02x |√x 02+y 02+4y 02x 02+4=|4+x 02x |√x 04+8x 02+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.20.(本小题13分)(2014北京,理20)对于数对序列P :(a 1,b 1),(a 2,b 2),…,(a n ,b n ),记T 1(P )=a 1+b 1,T k (P )=b k +max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }(2≤k ≤n ),其中max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }表示T k-1(P )和a 1+a 2+…+a k 两个数中最大的数. (1)对于数对序列P :(2,5),(4,1),求T 1(P ),T 2(P )的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a ,b ),(c ,d )组成的数对序列P :(a ,b ),(c ,d )和P':(c ,d ),(a ,b ),试分别对m=a 和m=d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使T 5(P )最小,并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析:(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P'),然后根据a ,b ,c ,d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小,然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列,依次求出T 1(P ),T 2(P ),T 3(P ),T 4(P ),T 5(P )即可. 解:(1)T 1(P )=2+5=7,T 2(P )=1+max{T 1(P ),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T 2(P )=max{a+b+d ,a+c+d }, T 2(P')=max{c+d+b ,c+a+b }.当m=a 时,T 2(P')=max{c+d+b ,c+a+b }=c+d+b.因为a+b+d ≤c+b+d ,且a+c+d ≤c+b+d ,所以T 2(P )≤T 2(P'). 当m=d 时,T 2(P')=max{c+d+b ,c+a+b }=c+a+b.因为a+b+d ≤c+a+b ,且a+c+d ≤c+a+b ,所以T 2(P )≤T 2(P'). 所以无论m=a 还是m=d ,T 2(P )≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P :(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P )值最小, T 1(P )=10,T 2(P )=26,T 3(P )=42,T 4(P )=50,T 5(P )=52.。
2014北京高考数学(理科)含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）房山区良乡中学 任宝泉录入整理一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2 2.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A．y =B.2(1)y x =-C.2x y -=D.0.5log (1)y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上 B.在直线2y x =-上 C.在直线1y x =-上 D.在直线1y x =+上4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2 B.2- C.12 D.12- 7.在空间直角坐标系O x y z 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，(1,1D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S == B. 12S S =且31S S ≠ C. 13S S =且32S S ≠ D. 23S S =且13S S ≠ 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种。
若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”。
2014北京高考理数试题及答案
2014北京高考数学（理科）试题一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）. 1. 已知集合{}220A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2 答案：C解析：{}{}2200,2A x x x =-==，所以A B ={}0,2.2. 下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A ．y =B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+ 答案：A解析：y 在()0,+∞上单调递增；2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增；2x y -=和0.5log (1)y x =+在()0,+∞上单调递减. 3.当7m =，3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．7 B ．42 C ．210 D ．840答案：C解析：当7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <，故能进入循环的k 依次为7,6,5.顺次执行S S k =⋅则有765210S =⨯⨯=. 4.设{}n a 是公比为q 的等比数列，且“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D解析：对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件． 5.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 答案：D解析：若0,k z y x ≥=-没有最小值，不和题意．若0k <，则不等式所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭处取最小值，故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-．6. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A．123S S S ==B ． 12S S =且31S S ≠C ．13S S =且32S S ≠D ．23S S =且13S S ≠、 答案：D解析：D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC ∆，故12S =，画图可知23S S =选项D 正确．7. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”.现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解析：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
【2014海淀二模】北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数学文试题(扫描版,WORD答案)
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6 {第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()2cos21f x x x a =++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分则π=12sin(2)6a x -+， --------------------------------9分因为π1sin(2)16x -≤+≤， ---------------------------------11分所以π112sin(2)36x -≤-+≤， --------------------------------12分所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ，--------------------------------------7分在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分∴3().11P A =-----------------------------------------10分（Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大.-----------------------------------------13分 17.解： （I ）1A A ⊥底面ABC ，1A A ∴⊥AB ， -------------------------2分AB AC ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分（II ）面DEF //面1ABC ，面ABC面DEF DE =，面ABC面1ABC AB =，AB ∴//DE ， ---------------------------7分在ABC ∆中E 是棱BC 的中点，D ∴是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形，11AC AC ∴⊥， --------------------------------9分 由（1）可得1AB AC ⊥， 1AB AC A =，1A C ∴⊥面1ABC ， --------------------------------11分1A C ∴⊥1BC . -------------------------------12分又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点，EF ∴//1BC ， ------------------------------13分1EF AC ∴⊥. ------------------------------141分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分'(0)4f ∴=， ---------------------------------2分又(0)f b =()f x ∴在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=.0x ∴=或3x a =-， -----------------------------------5分0a ≠ 30a ∴-≠， ----------------------------------------6分()f x ∴与切线有两个不同的公共点.----------------------------------------7分（Ⅱ）()f x 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，∴2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， ----------------------------12分综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-∞-+∞. -------------------------------13分 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y a a+=> --------------------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分解得22a =, -----------------------------------------------------------4分所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -≠------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -， 所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1xM y +. ----------------------------------------------8分 所以000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+ -------------------------------------------9分所以200011x AM AD y y -⋅=-++，---------------------------------------------10分又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -⋅=+-=-+ --------------------11分因为011y -<<，所以0AM AD ⋅≠. -----------------------------------------------------------12分所以90MAN ∠≠， -------------------------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14分法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分由22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=-⎩化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21kx x k ==+， -------------------------------------8分所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++ ---------------------------------------------10分所以2222421210212121k AM AD k k k ---⋅=-+=≠+++， --------------------------------------12分所以90MAN ∠≠， ---------------------------------------13分所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分20.解：（Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“Γ数列”， ---------------------------------2分②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项 所以数列2323333,,444是“Γ数列”. ----------------------------------------------4分（Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->.设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1kj S a k >-， 这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ≥≥．①当0d =时，121m m m S Sb b b m m ====<-，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<由“Γ数列”的定义可知1m m S b m ≤-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-≤+-整理得1(1)(2)2m m d b --≤（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ≥，1(1)(2)2m m d b --≤不可能都成立.综上讨论可知{}n b 的公差0d . --------------------------------------------------13分。
2014海淀区高三数学二模(理)试卷分析
注意题目中的条件：斜三棱柱
2、试卷的整体风格和命题背景 ：
第13题、函数的切线。既考核函数知识，又兼顾两条直线平 行的知识点，体现数形结合思想。
第3题、算法。就解题方法我们可以注意到，试题希望学生用 最踏实的方法解题，没有为技巧性的方法留太大的空间。另 一方面，以往循环结构中的核心语句都有一定的背景，题目 设置存在拓展的空间，但并没有刻意为难学生。 第4题、极坐标。低调简单 ，考察了最常规的直线和圆的方 程 ，此外，参数方程和极坐标相结合也是一种可能的考察方 向，值得注意。
（3）准、快、灵的训练意识——“准”是“快”和 “灵”的必要保障，失去了“准”的支撑，“快” 和“灵”也就毫无意义，因此应注重训练培养“一 次成功”的的解题能力．
试卷讲评课要有四戒：
(1)对答案式讲评：别让“假象”蒙蔽眼睛！ (2)一言堂式讲评：别因“封口”扼杀灵性！ (3)就题论题式讲评：别因“时间紧”放弃变式！
第14题、集合。可以说，这道题给踏实认真的学生提供了机会， 选择了质朴的回归，没有出现新定义，没有出动态问题，也没 有刻意难为重视计算的同学。
2、试卷的整体风格和命题背景 ：
第15题、解三角形。解三角形题目难度没有什么变化。值得 小心的是，解三角形与三角函数本是同根生，尤其是陷阱就 在定义域上或角的取值范围等，因此还是要保持警惕。
第7题、等差数列。等差数列的单调性由公差d决定，与一次 函数单调性由一次项系数决定刚好吻合 ，因此构造数列中的 项与公差d的函数关系是解决取值范围的通法。 第8题、立体几何。“动”与“静”是相对的，在运动变化过 程中要善于寻求或构造与之相关的一些不变因素，建立变量 与不变量的有机统一体。
2014北京高考真题数学理(含解析)
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项． 1. 已知集合 A {x x 2 2 x 0} ， B {0,1, 2} ，则 A A． {0} C． {0, 2} 2. B． {0,1} D． {0,1, 2} ）
AM / /面PED
AM 面ABF ,即AB 面ABF
面ABF
面PED FG
AB / / FG
（II） 如图建立空间坐标系 A xyz ， 各点坐标如下：A(0,0,0), E(0, 2,0), B(1,0,0),C(2,1,0), F(0,1,1), P(0,0, 2) 设 面ABF 的 法 向 量 为 n ( x0 , y0 , z0 ) ，
3 3 2 2 13 故 P B P + = ． 1 1 P 2 P 2 1 P 1= 5 5 5 5 25
（ III ） E X x ． 17 ． （ 共 14 分 ） 解：
8 / 14
（I）证明：
AM / / ED, AM 面PED, ED 面PED
k＜m n+1 是 输出S 结束
否
S=S•k
5.
1 ”是 an 为递增数 设 an 是公比为 q 的等比数列，则“ q＞
列的（
） B．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分且不必要条件 C．充分必要条件
6.
x y 2 0 若 x, y 满足 kx y 2 0 且 z y x 的最小值为 4 ，则 k 的值为（ y 0
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数学理试题及答案
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模） 数 学 （文科） 2014.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于A.{|1}x x >B.{|1}x x >-C.{|1}x x <D.{|1}x x <- 2. 已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为A. 210x x x ∃∈+->R ，B.210x x x ∀∈+-≥R ，C. 210x x x ∃∉+-≥R ，D.210x x x ∀∉+->R ，3. 下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是A.3y x =B.y =C.cos y x =D.2x y =4．设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则A.a c b <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<5.下面给出的四个点中, 位于10,10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内,且到直线10x y -+=点是A.(1,1)-B.(2,1)-C.(0,3)D.(1,1) 6.已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示， 若AD AB AC μλ+=，则=+μλA. 2B. 2-C. 3D. 3-7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为A.①②B. ②③C. ①③D. ①②③8. 已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2+i 的模等于______.10. 若抛物线22y px =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____.11. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12. 下列函数中：①sin 2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4y x π=+，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数()sin 2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）13. 已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m .2单株产量（千克）区域代号1D三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分13分）下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；(Ⅱ) 直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份. 若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC，11,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由； （Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C .18.（本小题满分13分）已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G 短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,,i k = ，均有ki a k S ≤-1（其中12k k S a a a =+++ ），则称数列{}n a 为“Γ数列”．（Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和2323333,,444是否是“Γ数列”，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,,i k = 恒成立；（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,,m b b b均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014年北京市海淀区高三一模数学(理)试题和答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)1((2)f >的只可能是A BC D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为 线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点 的个数为a ，则 A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______. 10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 11.如图，AB 切圆O 于B ，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=________. 14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t .（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33[,]22-上的取值范围. 16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、10天的数据，制表如下：35件以内（含35AB D俯视图主视图侧视图件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1) 处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(Ⅱ)对任意实数a ， 曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点， 点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2014届高三一模 数学(理)试题 Word版含解析
一、选择题：1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 ( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 ( ) A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是( )【解析】4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为( )A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( ) A. 4种 B.5种C.6种D.9种考点：枚举法计数7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A.1 B.2 C.3D.48.已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则( ) A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10.函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B ，3AB =，1AC =，则AO 的长为_______．考点：切割线定理12.已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.【解析】。
2014年高考北京卷数学理含答案
2014北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2014海淀区高三二模数学(理科)
2014海淀区高三二模数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）sin（﹣150°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为（）A．﹣2 B．16 C．﹣2或8 D．﹣2或164．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为（）A．1 B．C．D．25．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．66．（5分）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m（即OM长），巨轮的半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h（t）m，则h（t）=（）A．30sin（t﹣）+30 B．30sin（t﹣）+30C．30sin（t﹣）+32 D．30sin（t﹣）7．（5分）已知等差数列{a n}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A．（2，4） B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（4，+∞）8．（5分）已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E 与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）满足不等式x2﹣x＜0的x的取值范围是．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为．11．（5分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．12．（5分）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为．13．（5分）已知l1、l2是曲线C：y=的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为．14．（5分）已知集合M={1，2，3，…，100}，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作S（A）．①满足S（A）=8的集合A的个数为；②S（A）的所有不同取值的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）在锐角△ABC中，a=2sinA且b=．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3c，求c的值．16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA1，E、F分别是棱BC，A1A的中点，G为棱CC1上的一点，且C1F∥平面AEG．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：EG⊥A1C；（Ⅲ）求二面角A1﹣AG﹣E的余弦值．17．（13分）某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．18．（13分）已知函数f（x）=（x﹣a）sinx+cosx，x∈（0，π）．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）值域；（Ⅱ）当a＞时，求函数f（x）的单调区间．19．（14分）已知椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．20．（13分）对于自然数数组（a，b，c），如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差．如果（a，b，c）的极差d≥1，可实施如下操作f：若a，b，c中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若a，b，c中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为f1（a，b，c），其级差为d1．若d1≥1，则继续对f1（a，b，c）实施操作f，…，实施n 次操作后的结果记为f n（a，b，c），其极差记为d n．例如：f1（1，3，3）=（3，2，2），f2（1，3，3）=（1，3，3）．（Ⅰ）若（a，b，c）=（1，3，14），求d1，d2和d2014的值；（Ⅱ）已知（a，b，c）的极差为d且a＜b＜c，若n=1，2，3，…时，恒有d n=d，求d的所有可能取值；（Ⅲ）若a，b，c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n满足d n=0．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【解答】sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin（180°﹣30°）=﹣sin30°=﹣．故选：A．2．【解答】全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．3．【解答】由程序框图知：算法的功能是求S=的值，当x≤1时，输出的S=4⇒2﹣x=4⇒x=﹣2；当x＞1时，输出的S=4⇒log2x=4⇒x=16．故选：D．4．【解答】圆ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1，它的圆心为（0，1），故圆心到极轴的距离为1，故答案为：1．5．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D6．【解答】设巨轮转动时距离地面的高度h与时间t之间的函数关系式为：h=Asin（ωt+φ）+b，∵巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈，∴T==12，解得ω=，又巨轮的半径为30m，即A=30，又观览车的轮轴的中心距地面32m，AM=2m，∴b=30，∴h=30sin（t﹣）+30，故选：B．7．【解答】设公差为d，则∵a1+a10=4，∴2a1+9d=4，∴a1=2﹣，∴a8=a1+7d=2+d，∵d＞0，∴a8=2+d＞2．故选：C．8．【解答】取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．【解答】不等式x2﹣x＜0可化为x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．10．【解答】∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x，∴=2，即b=2a，∴c=，∴e===．故答案为：．11．【解答】（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．12．【解答】由题意可知三棱柱的底面是直角边长为1和2的直角三角形，棱柱的高为：2．斜三棱柱的体积为：=2．故答案为：2．13．【解答】设l1，l2与曲线相切的切点分别是P1（x1，y1），P2（x2，y2），则y1=，y2=，又y′=（）′=﹣，∵l1∥l2，∴﹣，∴x2=﹣x1，∴l1：y﹣y1=﹣（x﹣x1）即y=﹣，l2：y﹣y2=﹣（x﹣x2）即y=﹣，∴由两平行线的距离公式得，d==．当且仅当即x1=±1时，d取得最大值2．故答案为：2．14．【解答】①一个元素：8；两个元素：1，7；2，6；3，5；三个元素：1，3，4；1，2，5；四个元素：∴满足S（A）=8的集合A的个数为6．②∵S（A）的所有可能取值为1，2，3，4，5， (100)对于S（A）来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时A又是集合M的非空子集，∵1+2+3+…+100=5050，∴易知S（A）将取尽1到5050的所有数，∴S（A）的取值个数为5050，故答案：①6；②5050．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）由正弦定理可得=，∵a=2sinA，b=，∴sinB===，则在锐角△ABC中，B=60°；（Ⅱ）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，又a=3c，b=，cosB=，∴21=9c2+c2﹣3c2，即c2=3，解得：c=，经检验，由cosA==﹣＜0，可得A＞90°，不符合题意，则a=3c时，此三角形无解．16．【解答】（Ⅰ）解：因为C1F∥平面AEG，又C1F⊂平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面AEG=AG，所以C1F∥AG．（3分）因为F为AA1中点，且侧面ACC1A1为平行四边形，所以G为CC1中点，所以=．（4分）（Ⅱ）证明：因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，（5分）又AB⊥AC，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=2，则由AB=AC=AA1，得C（2，0，0），B（0，2，0），C1（2，0，2），A1（0，0，2），A（0，0，0），（6分）因为E，G分别是BC，CC1的中点，所以E（1，1，0），G（2，0，1）．（7分）所以，因为=（1，﹣1，1）•（﹣2，0，2）=0．（8分）所以，所以EG⊥CA1．（9分）（Ⅲ）解：设平面AEG的法向量，因为，所以，（10分）令x=1，得=（1，﹣1，﹣2）．（11分）由已知得平面A1AG的法向量，（11分）所以cos＜＞==﹣，（13分）由题意知二面角A1﹣AG﹣E为钝角，所以二面角A1﹣AG﹣E的余弦值为﹣．（14分）17．【解答】（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为A i，B车在星期i出车的事件为B i，i=1，2，3，4，5，则由已知可得P（A i）=0.6，P（B i）=0.5．设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则P（C）=P（）=+=0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.5=0.5，∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则P（X=0）==0.4×0.5×0.4=0.08，P（X=1）==0.5×0.4+0.4×0.5×0.6=0.32，P（X=2）==0.6×0.5×0.4+0.5×0.6=0.42，P（X=3）=P（A1B1）P（A2）=0.6×0.5×0.6=0.18，∴X的分布列为EX=1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7．18．【解答】（Ⅰ）当a=时，f（x）=（x﹣）sinx+cosx，x∈（0，π）．f′（x）=（x﹣）cosx，由f′（x）=0得x=，f（x），f′（x ）的情况如下：（0，）（，π）x﹣因为f（0）=1，f（π）=﹣1，所以函数f（x）的值域为（﹣1，1）．（Ⅱ）f′（x）=（x﹣a）cosx，①当时，f（x），f′（x）的情况如下（0，）（，a）所以函数f（x）的单调增区间为（，a），单调减区间为（0，）和（a，π）．②当a≥π时，f（x），f′（x）的情况如下（0，）（，π）所以函数f（x）的单调增区间为（，π），单调减区间为（0，）．19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1），∴设椭圆G的方程为：．由e=，得，解得a2=2，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）以MN为直径的圆是不过点A．理由如下：∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，∴设C（x0，y0），且x0≠0，则D（﹣x0，y0）．∵A（0，1），B（0，﹣1），∴直线AC的方程为y=．令y=0，得，∴M（）．同理直线BD的方程为y=，令y=0，解得N（）．，，∴=，由C（x1，y1）在椭圆G：上，∴，∴，∴∠MAN≠90°，∴以线段MN为直径的圆不过点A．20．【解答】（Ⅰ）解：由题意，d1=10，d2=7，d2014=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）解：①当d=2时，则（a，b，c）=（a，a+1，a+2）所以f1（a，a+1，a+2）=（a+1，a+2，a），d1=a+2﹣a=2，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数a+2变为最小数a，最小数a和次小数a+1分别变为次小数a+1和最大数a+2，所以数组的极差不会改变．所以，当d=2时，d n=d（n=1，2，3，…）恒成立．②当d≥3时，则f1（a，b，c）=（a+1，b+1，c﹣2）所以d1=b+1﹣（a+1）=b﹣a＜c﹣a=d或d1=c﹣2﹣（a+1）=d﹣3所以总有d1≠d．综上讨论，满足d n=d（n=1，2，3，…）的d的取值仅能是2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）证明：因为a，b，c是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以a，b，c是形如m•4k（其中m∈N*）的数，又因为4k=（3+1）k=3k++…+1所以a，b，c中每两个数的差都是3的倍数．所以（a，b，c）的极差d0是3的倍数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设f i（a，b，c）=（a i，b i，c i），不妨设a＜b＜c，依据操作f的规则，当在三元数组f i（a，b，c）（i=1，2，3，…x，x∈N）中，总满足c i是唯一最大数，a i是最小数时，一定有a+x＜b+x＜c﹣2x，解得x＜．所以，当i=1，2，3，…﹣1时，d i=c i﹣a i=（c i﹣1﹣2）﹣（a i﹣1+1）=d i﹣1﹣3．（a，b，c）=（，，），=b﹣a依据操作f的规则，当在三元数组f i（a，b，c）（i=，+1，…+y，y∈N）中，总满足c i=b i 是最大数，a i是最小数时，一定有+2y＜﹣y，解得y＜．所以，当i=，+1，…，﹣1时，d i=c i﹣a i=（c i﹣1﹣1）﹣（a i﹣1+2）=d i﹣1﹣3．（a，b，c）=（，，），=0所以存在n=，满足f n（a，b，c）的极差d n=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。
2014年全国高考北京市数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函 数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x=+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的 最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标 平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在 区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小 （只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的 最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明 你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组 成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。
2014年北京市海淀区高三二模参考答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >，不符合题意，所以c =. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥，所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯= 2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()c os 2f x x x =---------------------------------1分 由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 (),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2. 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,扫描版,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。
每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。
每小题5分。
共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
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数学（理科）参考答案 2014.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1)}12.213.14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分} 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B =----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c =-------------------------------11分解得c =-------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==可得90A >，不符合题意，所以c =.--------------------13分 16.解： （Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =， 所以1//C F AG . ---------------------------------3分因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形1所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分所以1EG CA ⊥，所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分（Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩--------------------------10分令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角，所以二面角1A AG E --的余弦值为.--------------------------------14分16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，-------------------------------1分因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,AB A B 互斥 ----------------2分 所以111111111111()()()()()()()()PC P AB A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分所以X-------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解：（Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()cos 2f x x x=- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分 因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππ2a <<时，(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2.19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -,所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分令0y =，得001M x x y -=-，所以0(,0)1x M y --. ------------------------------------7分同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得0(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k -， ---------------------------------5分 22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩化简得到222(1)20x kx ++-=， 所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分 所以直线BD 的方程为222211211421k k y x kk -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k ⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点.--------------------------14分 {法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d =---------------------------3分（Ⅱ）法一：①当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==恒成立.②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=-所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2.---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--<若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+，当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥由b c <可得1b c +≤所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变.所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项， 所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++ 所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =，x ∈N ）中，总满足i c 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c b x -<. 所以，当2,3,,13c b i -=-时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3322(,,)(,,)333c b a c b c b c b f a b c -+-++=，3c b d b a-=-依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c b i y ---=++，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a c b c b y y +-++<-，解得3b a y -<. 所以，当,1,,1333c b c b c a i ---=+-时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b c f a b c -++++++=，30c ad -=所以存在3c a n -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=-- 所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则 1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-， 所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3d n =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。