2014北京市高考理科数学(理)试题真题及答案

2014年北京市高考数学（理科）试题及答案

一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A

B =( )

.{0}A .{0,1}

B .{0,2}

C .{0,1,2}

D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）

.A y = 2

.(1)B y x

=- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ

=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）

.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上

4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D

5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）

.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）

.2A .2B - 1.2C 1

.2

D -

7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C

，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）

（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠

8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，

他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9.复数2

11i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭

________.

10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.

11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2

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y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.

12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.

13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2

,6[π

π上具有单调性，且 ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）

15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，

8,3

==∠AB B π

，点D 在BC 边上，且7

1

cos ,2=

∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长

16. （本小题13分）.

李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.

（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.

（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）

17.（本小题14分）

如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；

（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.

18.（本小题13分）

已知函数

()cos sin ,[0,]2

f x x x x x π

=-∈，

（1）求证：()0f x ≤；

（2）若sin x a b x

<

<在(0,)2π

上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.

19.（本小题14分） 已知椭圆2

2:24C x

y +=，

（1）求椭圆C 的离心率.

（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线

2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆

222x y +=的位置关系，并证明你的结论.

20.（本小题13分）

对于数对序列1122(,),(,),

,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，

112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中

112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.

（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大

小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.