2014北京市高考理科数学(理)试题真题及答案
2014年北京市高考数学试卷(理科)
2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．8405．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S18．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数（）2=．10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．12．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选：C．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B．【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．840【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y ﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数（）2=﹣1．【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：（）2=．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．【分析】设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．【解答】解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．【解答】解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．【分析】可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．【解答】解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos |，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF 的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f （0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．【分析】（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k（P），a1+a2+…+a k}（2﹣1≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。
2014年全国高考理科数学试题及答案-北京卷
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3. 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A. 123S S S ==B. 12S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 23S S =且 13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。
2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014北京高考数学理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（ ）A ．{0}B ．{01}，C ．{02}，D ．{01,2}，2. 下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（）A．y =．()21y x =- C ．2x y -= D ．()0.5log +1y x =3. 曲线1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩ ，()θ为参数 的对称中心（）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．7B ．42C ．210D ．8405. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q “＞”是{}n a 为递增数列的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ．12-7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1,1D ，若123S ,S ,S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．12S =S 且31S S ≠C ．13S =S 且32S S ≠D ．23S =S 且13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ．10. 已知向量u r α、r b 满足1=r a ，()2,1=r b ，且()λλ+=∈0R r ra b ,则λ= ．11. 设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．12. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大．13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．14. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ωϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题共13分）如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 上，且=2CD ，1cos 7ADC ∠=（I ）求sin BAD ∠； （II ）求,BD AC 的长．16（本小题共13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：（1） 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过0.6的概率；（2） 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； （3） 记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比DCBA（）与x的大小（只需要写出结论）赛中命中次数，比较E X如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G 、H （Ⅰ）求证：//AB FG ；（Ⅱ）若PA ABCDE ⊥平面，且=PA AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.18.（本小题共13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈（I ）求证：()0f x …； （II ）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求与a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题共14分）已知椭圆22:24C x y +=（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.PHGFEDCA对于数对序列()11,P a b ，()22,a b ，⋅⋅⋅，(),n n a b ，记()111T P a b =+，()(){}()112max ,2k k k k T P b T P a a a k n -=+++⋅⋅⋅+剟，其中(){}112max ,k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示()1k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数， （1）对于数对序列()2,3P ，()4,1，求()1T P ，()2T P 的值．（2）记m 为a b c d 、、、四个数中最小值，对于由两个数对(),a b ，(),c d 组成的数对序列()(),,,P a b c d 和()()',,,P c d a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较()2T P 和()2'T P 的大小．（3）在由5个数对()11,8，()5,2，()16,11，()11,11，()4,6组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使()5T P 最小，并写出()5T P 的值．（只需写出结论）。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—北京卷
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y =2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5.设n 是公比为的等比数列，则是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）. 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.参考答案一、选择题（8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）. 1.C 【命题意图】本小题主要考查了一元二次方程的求解和集合的交集运算.【解析】∵2{|2}={0,2}A x x -x =，{0,1,2}B =，∴{0,2}A B =，故选C. 2.A 【命题意图】本小题主要考查了函数单调性的判定.【解析】对于选项A ，在[0,)+∞上为增函数，显然在(0,)+∞为增函数；对于选项B ，只在[1,)+∞上为增函数；对于选项C ，在R 上为减函数；对于选项D ，在(1,)-+∞上为减函数.故选A.3. B 【命题意图】本小题主要考查了图像的对称性、参数方程与普通方程相互转化及直线与曲线相交问题.【解析】由1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）可得22(1)(2)1x y ++-=，则表示圆心为(1,2)-，半径为1的圆，所以对称中心为(1,2)-，易知它在直线2y x =-上，故选B.4. C 【命题意图】本小题主要考查了算法程序框图的读取及其相关的运算.【解析】当输入7m =，3n =时，判断框内的判断条件是5k <，故能进入循环的k 值依次为7,6,5，顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⨯⨯=，故选C.5. D 【命题意图】本小题主要考查了等比数列的单调性的判定以及充分、必要条件的理解. 【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，且0n a <时，有{}n a 为递减数列，∴1q >⇒/ {}n a 为递增数列；若等比数列{}n a 为递增数列，则{}n a 中，满足10a <且01q <<，或者10a >且1q >.综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6. D 【命题意图】本小题主要考查了二元不等式组的求解及性规划问题.z y x =-在点2(,0)k-处取最小值， ，故选D.. 平面上的正投影为OBC∆，则12S =，设D 在yoz 平面平面上的正投影图形2D AC ∆，设D 在xoz 平面上的正投影为xoz 平面上的正投影图形3D AE ∆，显然23S S == D8. B 【命题意图】本小题主要考查了计数原理中的新定义，重在考查创新能力和逻辑应用能力. 【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩的A 的学生最多只有1个，语文成绩的B 的学生最多只有1个，语文成绩的C 的学生最多只有1个，因此学生最多只有3个.如（AC ），（BB ），（CA ）满足条件，故学生最多3个.故选B.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.-1【命题意图】本小题主要考查了复数的四则运算. 【解析】212()112i ii i+==---..【解析】∵0a b λ+=,∴b a λ=-,于是||||||b a λ=，又∵(2,1)b =，可得||5b =，又∵||1a =，则||λ=11.221312x y -=,2y x =±【命题意图】本小题主要考查了双曲线方程的求解及其几何性质.【解析】双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，故曲线C 的渐近线方程为2y x =±，设曲线C 的方程为224y x m -=，又因双曲线C 经过点(2,2)，∴22224m =-=3-，∴2234y x -=-，故双曲线C 的方程为221312x y -=. 12.8 【命题意图】本小题主要考查了等差数列的性质及其前n 项和最大的求解.【解析】由等差数列的性质得：789830a a a a ++=>，∴80a >，710890a a a a +=+<，∴90a <，∴87S S >，89S S >，故8S 为数列{}n a 前n 项和n S 的最大值. 13.36【命题意图】本小题主要考查了排列组合的应用.【解析】由题意得：42324232A A A A -=4812-=36.14.π 【命题意图】本小题主要考查了三角函数的单调性以及最小正周期的求解. 【解析】由()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且()()26f f ππ=-，知()f x 有对称中心(,0)3π，由2()()23f f ππ=知()f x 有对称轴127()22312x πππ=+=，设T 为最小正周期，则1226T ππ≥-，∴23T π≥，从而71234T ππ-=，故T π=. 三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）【命题意图】本题主要考查了同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦公式以及正弦定理和余弦定理.解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。
2014年北京理科数学试卷及其内容规范标准答案
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件.B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B -1.2C 1.2D -在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ （D ）23S S =且13S S ≠有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论） 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈， 求证：()0f x ≤；若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=，求椭圆C 的离心率. 设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-1 （10）5（11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。
2014年高考理科数学北京卷(含详细答案)
.
设平面ABF的法向量为 ，则 ，即 .
令 ，则 .所以 ，设直线BC与平面ABF所成角为 ，
则 .
设点H的坐标为
因为点H在棱PC上，所以可设 ，即 ，
所以 .
因为 是平面ABF的法向量，所以 ，即 .
解得 ，所以点H的坐标为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 .
【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解.
圆心 到直线AB的距离 .此时直线AB与圆 相切.
当 时，直线AB的方程为 ，即 ，
圆心 到直线AB的距离 .
又 ， ，故 ，
此时直线AB与圆 相切.
【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.
【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质
20.【答案】（1）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.
9.复数 .
10.已知向量a,b满足 a ,b ,且 a b 0 ,则 .
11.设双曲线 经过点 ,且与 具有相同渐近线,则 的方程为；渐近线方程为.
12.若等差数列 满足 , ,则当 时, 的前 项和最大.
【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.
【考点】循环结构
5.【答案】D
【解析】当 时，数列 递减；当 ，数列 递增时， ，故选D.
【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【考点】充分、必要条件，等比数列的性质
(完整版)2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上考点：圆的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）（2014•北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）（2014•北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1考点：空间直角坐标系．专题：空间向量及应用．分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•北京）复数（）2=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：（）2=．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）（2014•北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）（2014•北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况．解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）（2014•北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）（2014•北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，∴n=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0）x0（x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切．解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）（2014•北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k﹣1（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．考点：分析法和综合法．专题：新定义；分析法．分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。
2014年高考真题(北京卷)数学(理科) 附详细答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学(理科)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2} 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2 C .y=2-x D .y=log 0.5(x+1)3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上 4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .8405.(2014北京,理5)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q>1”是 “{a n }为递增数列”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.(2014北京,理6)若x ,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( ).A .2B .-2C .12 D .-127.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz 中,已知A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),D (1,1,√2).若S 1,S 2,S 3分别是三棱锥D-ABC 在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ).A .S 1=S 2=S 3B .S 2=S 1且S 2≠S 3C .S 3=S 1且S 3≠S 2D .S 3=S 2且S 3≠S 1 8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ).A .2人B .3人C .4人D .5人第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i )2= .10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= .11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.16.(本小题13分)(2014北京,理16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;。
2014年高考数学(北京)理
2014·北京卷（理科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ：{0}；B ：{0,1}；C ：{0,2}；D ：{0,1,2}。
C ，交集2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A：y B ：2(1)y x =-；C ：2x y -=；D ：0.5log (1)y x =+。
A ，函数的单调性3．曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ：在直线2y x =上；B ：在直线2y x =-上；C ：在直线1y x =-上；D ：在直线1y x =+上。
B ，参化普，圆的参数方程4．当7m =，3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ：7；B ：42；C ：210；D ：840，条件分支，循环结构 5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ：充分而不必要条件；B ：必要而不充分条件；C ：充分必要条件；D ：既不充分也不必要条件。
D ，等比通项，充要条件6．若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ：2；B ：2-；C ：12；D ：12-。
D ，线性规划，分类讨论，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内(4,0)A 点时z y x =-有最小值4-，将A 坐标代入20kx y -+=解得12k =-。
7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1D ，若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ：123S S S ==；B ：12S S =且31S S ≠；C ：13S S =且32S S ≠；D ：23S S =且13S S ≠。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷.理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学试题（理）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．y =B ．2(1)y x =-C ．2xy -=D ．0.5log (1)y x =+3．曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．7B ．42C ．210D ．8405．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为A ．2B ．2-C ．12D ．12-7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则A ．123S S S ==B ．12S S =且31S S ≠C ．13S S =且32S S ≠D ．23S S =且13S S ≠8．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且期中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好．”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________．10．已知向量a 、b 满足1a = ，()2,1b = ，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________．11．设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．12．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大．13．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 14．设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________．三、解答题（共6题，满分80分）15．（本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD 。
2014年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学(理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． （1)【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =,则A B =（ ）（A ）{0} （B ）{0,1} (C){0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02AB =,，故选C ．(2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）(A ）1y x =+ (B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ 【答案】A【解析】对于A ，1y x =+在[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意,对于C,2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．(3)【2014年北京，理3,5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）(A ）在直线2y x =上 （B)在直线2y x =-上 (C)在直线1y x =-上 (D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京,理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B)42 (C ）210 (D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅,则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 (B ）必要且不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >,则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．(6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为( ）（A ）2 （B ）2- （C)12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <,则不等式组所表示的平面区x +y -2=0kx -y +2=022Oy x域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ，()0,2,0C,(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则（ ）（A)123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ (D)23S S =且13S S ≠【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，,故23S S ==D ．（8)【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀"“合格”“不合格"三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”,现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( ）（A ）2 （B)3 （C)4 （D)5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，(AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个,故选B ．第二部分（非选择题 共110分)二、填空题：共6小题,每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9,5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2++===--+,故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ= ．【解析】由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=⋅，由(21)b =，，可得5b =，又||1a =,故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________;渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=,71089a a a a +=+,于是有80a >，890a a +<,故90a <．故87S S >,98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值．（13）【2014年北京,理13，5分】把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况,此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑,共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14)【2014年北京，理14,5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234TT -=⇒=． 三、解答题：共6题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京,理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =,点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ,AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=．所以4311333sin sin()sin cos cos sin 727214BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=⨯-⨯=． （2)在ABD ∆中，由正弦定理得338sin 143sin 437AB BADBD ADB⨯⋅∠===∠, 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=,所以7AC =．(16)【2014年北京，理16,13分】李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立):场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4238客场41815主场5 24 20 客场5 25 12（1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数,比较()E X 与x 的大小(只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2)李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=,客场中命中率超过0.6概率 225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=．（3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图,正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证://AB FG ；(2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．AM ⊂面ABF ,即AB ⊂面ABF ，面ABF 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -,各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ，()1,0,0B ,()2,1,0C ，()0,1,1F ，()0,0,2P ,设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =,()1,0,0AB =，()0,1,1AF =，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩,令1y =，∴()0,1,1n =-，又()1,1,0BC =，∴11sin ,222BC n ==⨯，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x t y tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴()2,,22H t t t -，又H ∈面ABF ,()21,,22BH t t t =--，∴0n BH ⋅=，∴220t t +-=，∴23t =,∴422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴2224242333PH ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解:（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时,()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-,则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时,因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，z yx ABCDEFG PMH()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时,()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1．解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减,从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明:()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时,sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <,则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ,且()00x x ∈,时,()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增,此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知:b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥,求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：(1）由题意,椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c 故椭圆C 的离心率c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下:解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB⊥,所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=,解得002y t x=-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时,直线AB 的方程为()0022y y x t x t --=--,即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=．又220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二:由题意知,直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =,OA OB ⊥，①当0k =时,()20A ±,,易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB此时直线AB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k =-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫ ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,,由点A 的坐标的对称性知,取点A ⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x k k -=+=++,即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 距离d ==，此时直线AB 与圆222x y +=相切．综上知,直线AB 一定与圆222x y +=相切．解法三:①当0k =时，()20A ±,,易知()02B ,,此时22OA OB =,=，AB =原点到直线AB的距离OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切;②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A x yB x y ,,,，则1OA，2OB ==，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝;于是A OA=，OB =21k AB +=OA OBd AB⋅===直线AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．(20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．(1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值;（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；（3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最 小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=． （2）当m a =时:()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++；因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上,这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11,()11,8,()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =,()552T P =．。
2014年高考北京数学理试题解析版
2014年高考北京数学理试题解析版一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．y =在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5． D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6． D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7． D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．D 1O D 3D 2DCB A zyx故23S S ==综上，选项D 正确．8． B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,扫描
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。
每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。
每小题5分。
共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
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2014年北京市高考数学（理科）试题及答案
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A
B =( )
.{0}A .{0,1}
B .{0,2}
C .{0,1,2}
D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）
.A y = 2
.(1)B y x
=- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ
=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）
.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上
4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D
5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）
.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）
.2A .2B - 1.2C 1
.2
D -
7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C
，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）
（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠
8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.复数2
11i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
________.
10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.
11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.
12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.
13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2
,6[π
π上具有单调性，且 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）
15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，
8,3
==∠AB B π
，点D 在BC 边上，且7
1
cos ,2=
∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长
16. （本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.
（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）
17.（本小题14分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；
（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.
18.（本小题13分）
已知函数
()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π
=-∈，
（1）求证：()0f x ≤；
（2）若sin x a b x
<
<在(0,)2π
上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.
19.（本小题14分） 已知椭圆2
2:24C x
y +=，
（1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线
2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆
222x y +=的位置关系，并证明你的结论.
20.（本小题13分）
对于数对序列1122(,),(,),
,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，
112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中
112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.
（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大
小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.
2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）C
（5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）-1 （10
（11）
22
1
312
x y
-=2
y x
=±（12）8
（13）36 （14）π
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
（17）（共14分）
（Ⅲ）数对序列:P （4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10，
2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52。