2013年北京高考理科数学试题及标准答案
13年高考真题——理科数学(北京卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷数学（理科）一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ） （A ）{}0 （B ）{}1,0-（C ）{}0,1 （D ）{}1,0,1- 2．在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．“ϕπ=”是“()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）1321 （D ）6109875．函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线x y e =关于y 轴对称，则()f x =（ ）（A ）1x e + （B ）1x e - （C ）1x e -+ （D ）1x e --6．若双曲线22221x y a b-=） （A ）2y x =± （B）y = （C ）2y x =± （D ）2y x =7．直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围图形的面积等于（ ）（A ）43 （B ）2 （C ）83 （D）8．设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）（A ）(),4-∞ （B ）(),13-∞ （C ）(),23-∞- （D ）(),53-∞-二．填空题：共6题，每小题5分，共30分。
9．在极坐标系中，点()2,6π到直线sin 2ρθ=的距离等于_____。
2013年北京高考理科数学试题及答案(排版紧奏形)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“ϕπ=”是“曲线sin(2)y x ϕ=+过坐标原点” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23 C ．1321D ．610987 5．函数()f x 的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线xy e =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A ．1x e+ B ．1x e- C ．1x e-+ D ．1x e--6．若双曲线22221x y a b-=）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 7．直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43 B ．2 C ．83D．38．设关于x 、y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩所表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（ ）A ．4(,)3-∞B ．1(,)3-∞C ．2(,)3-∞-D ．5(,)3-∞-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin 2ρθ=的距离等于 。
10．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。
11．如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = 。
2013年北京卷数学试题及答案(理)
2013·北京卷(理科数学)1． 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}1．B [解析] ∵－1∈B ，0∈B ，1∉B ，∴A ∩B ＝{－1，0}，故选B. 2． 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．D [解析] (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D.3．、 “φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．A [解析] ∵曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈，故选A.4． 执行如图1－1所示的程序框图，输出的S 的值为( )图1－1A ．1 B.23 C.1321 D.6109874．C [解析] 执行第一次循环时S ＝12＋12×1＋1＝23，i ＝1；第二次循环S ＝232＋12×23＋1＝1321，i ＝2，此时退出循环，故选C.5． 函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －15．D [解析] 依题意，f (x )向右平移一个单位长度得到f (x －1)的图像，又y ＝e x 的图像关于y 轴对称的图像的解析式为y ＝e －x ，所以f (x －1)＝e －x ，所以f (x )＝e －x －1.6． 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x6．B [解析] 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴c 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b ＝2a ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .7． 直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83 D.16 237．C [解析] 由题意得直线l 的方程是y ＝1，代入抛物线方程得x ＝±2，所以直线l 与抛物线C 所围成图形的面积S ＝4－2⎠⎛02x 24d x.8． 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 8．C [解析] 在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x －2y ＝2有交点，当点(－m ，m )在直线x －2y ＝2上时，有m ＝－23，所以m <－23，故选C.9． 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 9．1 [解析] 极坐标系中点的⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.10． 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n＝________．10．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)， ∴40＝20q ，q ＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20，∴a 1＝2，∴a n ＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2.11． 如图1－2，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________．图1－211.954 [解析] 由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，PB ＝25a ，根据切割线定理有P A 2＝PD ·PB ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.又∵△PBA 为直角三角形，∴AB 2＋AP 2＝PB 2，∴AB ＝4.12． 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．12．96 [解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A 44种方法，所以不同的分法种数是4A 44＝96.13． 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则λμ＝________．图1－313．4 [解析] 以向量和的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则＝(－1，1)，＝(6，2)，＝(－1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.图1－414． 如图1－4，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．14.2 55 [解析] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，2)，E (1，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，设PE →＝λD 1E →＝(λ，2λ，－2λ)，则PC →＝PE →＋EC →＝(λ－1，2λ，－2λ)，点P 到直线CC 1的距离d ＝PC →2－PC →·CC 1→|CC 1→|2＝5λ2－2λ＋1＝5λ－152＋45.故当λ＝15时，距离的最小值为2 55.15．， 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．15．解：(1)因为a ＝3，b ＝2 6，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝2 6sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝2 63.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2 B ＝2 23.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5 39. 所以c ＝a sin Csin A＝5.16．，，， 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－6(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 16．解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，13)． 根据题意，P (A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8. 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 P (X ＝1)＝P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11) ＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝413，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝413，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X的分布列为X 01 2P 513413413故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．图1－717．，，如图1－7，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BDBC1的值．17．解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则 B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)． 设平面A 1BC 1的一个法向量为＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以＝(0，4，3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为＝(3，4，0)． 所以cos 〈，〉＝n·m |n||m|＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0， 解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925. 18．， 设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 18．解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于 g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且 g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0， 故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0， 故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．19．， 已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 19．解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形． 因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．，，， 已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列，且d ≥0，所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…. 因此A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1，d n ＝a n －a n ＋1＝－d (n ＝1，2，3，…)． (必要性)因为d n ＝－d ≤0(n ＝1，2，3，…)．所以A n ＝B n ＋d n ≤B n . 又因为a n ≤A n ，a n ＋1≥B n ， 所以a n ≤a n ＋1.于是，A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1.因此a n ＋1－a n ＝B n －A n ＝－d n ＝d ， 即{a n }是公差为d 的等差数列．(3)因为a 1＝2，d 1＝1，所以A 1＝a 1＝2，B 1＝A 1－d 1＝1. 故对任意n ≥1，a n ≥B 1＝1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项． 设m 为满足a m >2的最小正整数， 则m ≥2，并且对任意1≤k <m ，a k ≤2.又因为a 1＝2，所以A m －1＝2，且A m ＝a m >2，于是，B m ＝A m －d m >2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }>1. 故d m －1＝A m －1－B m －1<2－1＝1，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m >n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1.。
2013年北京高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （ ）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2） 故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____． 【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易 【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ， 即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )． 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1） （Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2） 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6） 由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． （步骤3） 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点． （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2） （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4） 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1） （Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0， 所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3） 又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4） （Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5） 假设{}n a (n …2)中存在大于2的项． 设m 为满足m a ＞2的最小正整数， 则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6） 又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7） 因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8） 故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。
2013北京高考数学真题(理科)及答案
解：（Ⅰ）因为 AA1C1C是正方形 ，所以 AA1⊥AC ．
因为 平面ABC 平面AA1C1C ，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，
所以 AA1 ⊥平面 ABC ．
z A1
B1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AA1⊥AC ， AA1 ⊥ AB ．
gx
1
f
x=
x2
1 x2
ln
x
．
当 0＜x＜1 时， x2 1＜0，ln x＜0，所以 g x＜0，故 g x 单调递减；
当 x＞1 时， x2 1＞0，ln x＞0，所以 g x＞0，故 g x 单调递减．
所以 g x＞g 1 =0x 0，x 1.
（9）1
（10）2
2n1 2
（11） 9 5
（6）B 4
（7）C
（8）C
（12）96 （13）4
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
（14） 2 5 5
解：（Ⅰ）因为 a 3 ， b 2 6 ， B 2A ，
所以在△ABC 中由正弦定理得 3 2 6 ． sin A sin 2A
指指指指指指
250 200 150 100 86 50
220 160
143
57
217 160 158
121 86 79
25
37
0 1指
2指
指指 3指 4指 5指 6指 7指 8指 9指 10指 11指 12指13指 14指
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
2013年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ） A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．解答：解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•北京）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．解解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，答：复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．（5分）（2013•北京）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．解答：解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．1B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．解答：解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．点评：本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．5．（5分）（2013•北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（ ） A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．解答：解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e ﹣x﹣1．故选D．点评：本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．（5分）（2013•北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．C ．D ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的离心率，推出a 、b 关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a ，又a 2+b 2=c 2，所以b=a ，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x ．故选B ．点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．7．（5分）（2013•北京）直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．B ．2C ．D ．考点：定积分．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．解答：解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（ x﹣）|=．故选：C．点评：本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．8．（5分）（2013•北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（ ） A．B．C．D．考简单线性规划．点：不等式的解法及应用．专题：先根据约束条件分析：画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．解：先根据约束条件解答：画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选C．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于 1 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．解答：解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为：1．点评：本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．10．（5分）（2013•北京）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= 2 ；前n项和S n= 2n+1﹣2 ．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得．∴==2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．点评：熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．11．（5分）（2013•北京）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= 4 ．考与圆有关的比例线段．点：专题：直线与圆．分析：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．解答：解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB，∴32=9x•（9x+16x），化为，∴．∴PD=9x=，PB=25x=5．∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．∴==4．故答案分别为，4．点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．（5分）（2013•北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．（5分）（2013•北京）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则= 4 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专平面向量及应用．题：分以向量析：、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．解：以向量解答：、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：4点本题给出向量评：用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．（5分）（2013•北京）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．考点、线、面间的距离计算．点：专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．解答：解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∴CC1∥EF，又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得=．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为点评：熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）（2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=2，∠B=2∠A ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）求c 的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值．解答：解：（Ⅰ）由条件在△ABC 中，a=3，，∠B=2∠A ，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．综上，c=5．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．（13分）（2013•北京）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，据此即可得到所求概率；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2．由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气；②当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天1不是优良天气1天是优良天气；③当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气根据以上分析即可得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望．（Ⅲ）由图判断从3月5天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大．解答：解：（Ⅰ）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A．因为此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，故P（A）=．（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2．由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故P（X=0）=；②当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故P（X=1）=；③当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故P（X=2）=．故X的分布列为X012P∴E（X）==．（Ⅲ）由图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大．点评：本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．（14分）（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）（2013•北京）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵∴∴l的斜率k=y′|x=1=1∴l的方程为y=x﹣1证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，则f′（x）=2x﹣1﹣=∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．19．（14分）（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．解答：解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|B0|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．点评：本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．（13分）（2013•北京）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．考点：反证法与放缩法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件以及d n=A n﹣B n 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（Ⅱ）设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，从而证得d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{a n}是一个不减的数列，求得d n=A n﹣B n=﹣d，即 a n+1﹣a n=d，即{a n}是公差为d的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项不能等于零，再用反证法得到{a n}的项不能超过2，从而证得命题．解答：解：（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，∴A n=a n=a1+（n﹣1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若 d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n=﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d，即 a n+1﹣a n=d，故{a n}是公差为d的等差数列．（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），首先，{a n}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n}的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n}的项中，有超过2的，设a m是第一个大于2的项，由于{a n}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．当n≥m时，a n≥2，否则与d m=1矛盾．因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使a i=1，此时，d i=A i﹣B i=2﹣B i≤2﹣2=0，矛盾．综上，{a n}的项不能超过2，故{a n}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n}的项中，有无穷多项为1．若a k是最后一个1，则a k是后边的各项的最小值都等于2，故d k=A k﹣B k=2﹣2=0，矛盾，故{a n}的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．点评：本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．。
2013年北京高考理科数学试题及答案
绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一测试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，测试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B = A ．{}0 B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，， （2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．1B ．23C ．1321 D ．610987（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=3A ．2y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．2y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于A ．43B ．2C ．83D 162（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足否是结束输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1i =0, S =1开始0022x y -=，求得m 的取值范围是A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ． 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤（15）本小题共（13分）在ABC △中，3a =，26b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值． （16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．BD OabcEP D B 1B 1A 1空气质量指数日期37798615812116021740160220143572586100150200250（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值. （18）（本小题共13分） 设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方． （19）（本小题共14分）已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. （20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），C 1B 1A 1A BC写出1234,,,d d d d 的值;（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d的等差数列;（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线112y x=-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线112y x=-上方，且(-m，m)在直线112y x=-下方，解不等式组1211212112m mm mm m⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m＜23-。
2013年北京市高考数学试卷(理科)
高考注意事项1．进入考场时携带的物品。
考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。
考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。
2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x＜1},则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1,0}C．{0,1}D．{﹣1,0,1}2．（5分）在复平面内,复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y 轴对称,则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣16．（5分）若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C． D．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．8．（5分）设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0,y0）,满足x0﹣2y0=2,求得m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．（5分）在极坐标系中,点（2,）到直线ρsinθ=2的距离等于．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=；前n项和S n=．11．（5分）如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD：DB=9：16,则PD=,AB=．12．（5分）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是．13．（5分）向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若（λ,μ∈R）,则=．14．（5分）如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共6小题,共50分．解答应写出文字说明,演算步骤15．（13分）在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值．18．（13分）设l为曲线C：y=在点（1,0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1,0）之外,曲线C在直线l的下方．19．（14分）已知A,B,C是椭圆W：上的三个点,O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n+1,a n+2…的最小值记为B n,d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*,a n+4=a n）,写出d1,d2,d3,d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数,证明：d n=﹣d（n=1,2,3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2,d n=1（n=1,2,3,…）,则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1．2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x＜1},则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1,0}C．{0,1}D．{﹣1,0,1}【分析】找出A与B的公共元素,即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x＜1},∴A∩B={﹣1,0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内,复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数为代数形式,求出复数对应点的坐标,即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i,复数对应的点（3,﹣4）,所以在复平面内,复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力．3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点,求出φ的值,②φ=π时,曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时,曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x,过坐标原点．但是,曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点,即O（0,0）在图象上,将（0,0）代入解析式整理即得sinφ=0,φ=kπ,k∈Z,不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定,用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）A．1 B．C．D．【分析】从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的i的值与2的大小,满足判断框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行,i=0+1=1；判断1≥2不成立,执行,i=1+1=2；判断2≥2成立,算法结束,跳出循环,输出S的值为．故选：C．【点评】本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y 轴对称,则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式,然后换x 为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x,而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称,所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法,考查了函数图象的对称变换和平移变换,函数图象的平移遵循“左加右减,上加下减”的原则,是基础题．6．（5分）若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C． D．【分析】通过双曲线的离心率,推出a、b关系,然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率,可知c=a,又a2+b2=c2,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的基本性质,渐近线方程的求法,考查计算能力．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．【分析】先确定直线的方程,再求出积分区间,确定被积函数,由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0,1）,∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直,∴直线l的方程为y=1,由,可得交点的横坐标分别为﹣2,2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（x﹣）|=．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积,考查直线方程,解题的关键是确定直线的方程,求出积分区间,确定被积函数．8．（5分）设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0,y0）,满足x0﹣2y0=2,求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在,必有m ＜﹣2m+1,要求可行域包含直线y=x﹣1上的点,只要边界点（﹣m,1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方,且（﹣m,m）在直线y=x﹣1的下方,从而建立关于m的不等式组,解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域,要使可行域存在,必有m＜﹣2m+1,要求可行域包含直线y=x﹣1上的点,只要边界点（﹣m,1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方,且（﹣m,m）在直线y=x﹣1的下方,故得不等式组,解之得：m＜﹣．故选：C．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案．二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．（5分）在极坐标系中,点（2,）到直线ρsinθ=2的距离等于1．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中,点化为直角坐标为（,1）,直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2,（,1）,到y=2的距离1,即为点到直线ρsinθ=2的距离1,故答案为：1．【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化,体现等价转化数学思想．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=2；前n项和S n=2n+1﹣2．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出,解出即可得到a1及q,再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q,∵a2+a4=a2（1+q2）=20①a3+a5=a3（1+q2）=40②∴①②两个式子相除,可得到==2即等比数列的公比q=2,将q=2带入①中可求出a2=4则a1===2∴数列{a n}时首项为2,公比为2的等比数列．∴数列{a n}的前n项和为：S n===2n+1﹣2．故答案为：2,2n+1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．11．（5分）如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD：DB=9：16,则PD=,AB=4．【分析】由PD：DB=9：16,可设PD=9x,DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB,即可求出x,进而得到PD,PB．AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．【解答】解：由PD：DB=9：16,可设PD=9x,DB=16x．∵PA为圆O的切线,∴PA2=PD•PB,∴32=9x•（9x+16x）,化为,∴．∴PD=9x=,PB=25x=5．∵AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,∴AB⊥PA．∴==4．故答案分别为,4．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．（5分）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号的组数,然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其它号码各为一组,分给4人,共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用,正确分组是解题的关键,考查分析问题解决问题的能力．13．（5分）向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若（λ,μ∈R）,则=4．【分析】以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系,得到向量、、的坐标,结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组,解之得λ=﹣2且μ=﹣,即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系可得=（﹣1,1）,=（6,2）,=（﹣1,﹣3）∵∴,解之得λ=﹣2且μ=﹣因此,==4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示,求系数λ、μ的比值,着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识,属于基础题．14．（5分）如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为．【分析】如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,利用线面平行的判定即可得到C1C ∥平面D1EF,进而得到异面直线D1E与C1C的距离．【解答】解：如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,∴CC1∥EF,又EF⊂平面D1EF,CC1⊄平面D1EF,∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F,∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P,则MP∥C1C．取C1N=MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF,在Rt△D1C1F中,C1M•D1F=D1C1•C1F,得=．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题,共50分．解答应写出文字说明,演算步骤15．（13分）在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理,解方程求得c的值,再进行检验,从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中,a=3,,∠B=2∠A,利用正弦定理可得,即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即9=+c2﹣2×2×c×,即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5,或c=3．当c=3时,此时a=c=3,根据∠B=2∠A,可得B=90°,A=C=45°,△ABC是等腰直角三角形,但此时不满足a2+c2=b2,故舍去．当c=5时,求得cosB==,cosA==,∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB,∴B=2A,满足条件．综上,c=5．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理,以及二倍角公式的应用,注意把c=3舍去,这是解题的易错点,属于中档题．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数,直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0,1,2,得出P（X=0）,P（X=1）,p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1,2, (13)依据题意P（A i）=,A i∩A j=∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则P（B）=…（3分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=2）=…（6分）∴X的分布列为X012P…（8分）∴X的数学期望为E（X）=…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差,考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．（14分）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t,（0＜t＜4）,在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4,BC=5,AB=3．∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系,则A1（0,0,4）,B（0,3,0）,B1（0,3,4）,C1（4,0,4）,∴,,．设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为=（x2,y2,z2）．则,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴．,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t,（0＜t＜4）,在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,∴=,=（0,3,﹣4）,∵,∴,∴,解得t=．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）设l为曲线C：y=在点（1,0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1,0）之外,曲线C在直线l的下方．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率,代入代入点斜式方程,可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性,进而分析出函数图象的形状,可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l的斜率k=y′|x=1=1∴l的方程为y=x﹣1证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx,（x＞0）曲线C在直线l的下方,即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0,则f′（x）=2x﹣1﹣=∴f（x）在（0,1）上单调递减,在（1,+∞）上单调递增,又f（1）=0∴x∈（0,1）时,f（x）＞0,即＜x﹣1x∈（1,+∞）时,f（x）＞0,即＜x﹣1即除切点（1,0）之外,曲线C在直线l的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,难度中档．19．（14分）已知A,B,C是椭圆W：上的三个点,O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由．【分析】（I）根据B的坐标为（2,0）且AC是OB的垂直平分线,结合椭圆方程算出A、C两点的坐标,从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式,即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形,根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解,算出A、C的横坐标满足=r2﹣1,从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论,即可得到当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形,B是椭圆的右顶点（2,0）∴直线AC是BO的垂直平分线,可得AC方程为x=1设A（1,t）,得,解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1,）,同理可得C的坐标为（1,﹣）因此,|AC|=,可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|BO|=；（II）∵四边形OABC为菱形,∴|OA|=|OC|,设|OA|=|OC|=r（r＞1）,得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点,解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2,可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•,或x1=•且x2=﹣•,①当x1=x2=•时,可得若四边形OABC为菱形,则B点必定是右顶点（2,0）；②若x1=•且x2=﹣•,则x1+x2=0,可得AC的中点必定是原点O,因此A、O、C共线,可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述,可得当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程,探讨了以坐标原点O为一个顶点,其它三个顶点在椭圆上的菱形问题,着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n+1,a n+2…的最小值记为B n,d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*,a n+4=a n）,写出d1,d2,d3,d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数,证明：d n=﹣d（n=1,2,3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2,d n=1（n=1,2,3,…）,则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n=A n﹣B n 的定义,直接求得d1,d2,d3,d4的值．（Ⅱ）设d是非负整数,若{a n}是公差为d的等差数列,则a n=a1+（n﹣1）d,从而证得d n=A n﹣B n=﹣d,（n=1,2,3,4…）．若d n=A n﹣B n=﹣d,（n=1,2,3,4…）．可得{a n}是一个不减的数列,求得d n=A n﹣B n=﹣d,即a n+1﹣a n=d,即{a n}是公差为d的等差数列,命题得证．（Ⅲ）若a1=2,d n=1（n=1,2,3,…）,则{a n}的项不能等于零,再用反证法得到{a n}的项不能超过2,从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列,∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1,d2=A2﹣B2=2﹣1=1,d3=A3﹣B3=4﹣1=3,d4=A4﹣B4=4﹣1=3．（Ⅱ）充分性：设d是非负整数,若{a n}是公差为d的等差数列,则a n=a1+（n﹣1）d,∴A n=a n=a1+（n﹣1）d,B n=a n+1=a1+nd,∴d n=A n﹣B n=﹣d,（n=1,2,3,4…）．必要性：若d n=A n﹣B n=﹣d,（n=1,2,3,4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项,则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0,这与d n=﹣d≤0相矛盾,故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d,即a n+1﹣a n=d,故{a n}是公差为d的等差数列．（Ⅲ）证明：若a1=2,d n=1（n=1,2,3,…）,首先,{a n}的项不能等于零,否则d1=2﹣0=2,矛盾．而且还能得到{a n}的项不能超过2,用反证法证明如下：假设{a n}的项中,有超过2的,设a m是第一个大于2的项,由于{a n}的项中一定有1,否则与d1=1矛盾．当n≥m时,a n≥2,否则与d m=1矛盾．因此,存在最大的i在2到m﹣1之间,使a i=1,此时,d i=A i﹣B i=2﹣B i≤2﹣2=0,矛盾．综上,{a n}的项不能超过2,故{a n}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n}的项中,有无穷多项为1．若a k是最后一个1,则a k是后边的各项的最小值都等于2,故d k=A k﹣B k=2﹣2=0,矛盾,故{a n}的项中,有无穷多项为1．综上可得,{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明,等差关系的确定,用反证法和放缩法证明数学命题,属于中档题．。
2013北京高考理科数学试题(修正版)(答案为官方正式答案)
2013北京高考理科数学试题 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤ x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得 图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b -=A.y =±2xB.y= C.12y x =±D.y x =7.直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83D.38.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 . 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于 D.若PA=3，916PD DB =：：，则PD= ；AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2013年高考理数真题试卷(北京卷)及解析
2013年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A.{0}B.{﹣1，0}C.{0，1}D.{﹣1，0，1}2.“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12xD.y=±√22x4.设关于x，y的不等式组{2x−y+1＞0x+m＜0y−m＞0表示的平面区域内存在点P（x， y），满足x﹣2y=2，求得m的取值范围是（）A.(−∞,43)B.(−∞,13)C.(−∞,−23)D.(−∞,−53)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）答案第2页，总12页……装…………○…………订………○…………线……※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题……装…………○…………订………○…………线……5.在极坐标系中，点（2， π6 ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．6.若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = ．7.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA=3，PD ：DB=9：16，则PD= ， AB= ．8.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．9.向量 a →， b →， c → 在正方形网格中的位置如图所示，若 c →=λa →+μb →（λ，μ∈R），则 λμ = ．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 ．三、解答题（题型注释）11.在△ABC 中，a=3，b=2 √6 ，∠B=2∠A．（1）求cosA 的值； （2）求c 的值．12.如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天…………○…………订…………○…………线…………○…：___________班级：___________考号：___________…………○…………订…………○…………线…………○…（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 13.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；（3）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD⊥A 1B ，并求 BDBC 1的值．14.设l 为曲线C ：y=lnxx在点（1，0）处的切线． （1）求l 的方程；（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 15.已知A ，B ，C 是椭圆W ： x 24+y 2=1 上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．16.已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ， 第n 项之后各项a n+1 ， a n+2…的最小值记为B n ， d n =A n ﹣B n ． （1）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N * ， a n+4=a n ），写出d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值；（2）设d 是非负整数，证明：d n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第4页，总12页…………线……………线…参数答案1.B【解析】1.解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选B【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的交集运算(交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立)．2.A【解析】2.解：φ=π时，曲线y=sin （2x+φ）=﹣sin2x ，过坐标原点． 但是，曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点，即O （0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π． 故“φ=π”是“曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件． 故选A ． 3.B【解析】3.解：由双曲线的离心率 √3 ，可知c= √3 a ， 又a 2+b 2=c 2 ， 所以b= √2 a ，所以双曲线的渐近线方程为：y= ±ba x =± √2 x ．故选B ． 4.C【解析】4.解：先根据约束条件 {2x −y +1＞0x +m ＜0y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= 12 x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y= 12 x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y= 12 x ﹣1的下方，故得不等式组 {m ＜−2m +11−2m ＞−12−1m ＜−12m −1，解之得：m ＜﹣ 23 ．…外…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…学校:___________姓名_________班级：___________考号：_______…内…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…故选C ．5.1【解析】5.解：在极坐标系中，点 (2,π6) 化为直角坐标为（ √3 ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ √3 ，1），到y=2的距离1，即为点 (2,π6) 到直线ρsinθ=2的距离1，所以答案是：1．【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．6.2；2n+1﹣2【解析】6.解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，∴ {a 1q +a 1q 3=20a 1q 2+a 1q 4=40，解得 {a 1=2q =2 ．∴ S n =a (q n −1)1q−1= 2×(2n −1)2−1 =2n+1﹣2．所以答案是：2，2n+1﹣2．【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n 项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．7.95；4【解析】7.解：由PD ：DB=9：16，可设PD=9x ，DB=16x ． 2答案第6页，总12页外…………○…………装…………○…………订※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内内…………○…………装…………○…………订∴32=9x•（9x+16x ），化为 x 2=125 ，∴ x =15．∴PD=9x= 95 ，PB=25x=5．∵AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，∴AB⊥PA． ∴ AB =√PB 2−PA 2 = √52−32=4． 故答案分别为 95 ，4．8.96【解析】8.解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4× A 44=96种．所以答案是：96． 9.4【解析】9.解：以向量 a →、 b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得 a →=（﹣1，1）， b →=（6，2）， c →=（﹣1，﹣3） ∵ c →=λa →+μb (λ,μ∈R)→ ∴ {−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ=﹣2且μ=﹣ 12因此， λμ = −2−12=4 所以答案是：4【考点精析】通过灵活运用平面向量的基本定理及其意义，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使即可以解答此题．10.2√55【解析】10.解：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1 ， ∴CC 1∥EF，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ，………订…………○…………线…………○…___________考号：___________………订…………○…………线…………○…∴CC 1∥平面D 1EF ．∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离． 过点C 1作C 1M⊥D 1F ，∵平面D 1EF⊥平面A 1B 1C 1D 1 ． ∴C 1M⊥平面D 1EF ．过点M 作MP∥EF 交D 1E 于点P ，则MP∥C 1C ． 取C 1N=MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形． 可得NP⊥平面D 1EF ，在Rt△D 1C 1F 中，C 1M•D 1F=D 1C 1•C 1F ，得 C 1M =√22+11=2√55． ∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为 2√55． 所以答案是2√5511.（1）解：由条件在△ABC 中，a=3， b =2√6 ，∠B=2∠A， 利用正弦定理可得 a sinA =b sinB ，即 3sinA =2√6sin2A = 2√62sinAcosA ． 解得cosA= √63 ．（2）解：由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2﹣2bc•cosA，即 9= (2√6)2+c 2﹣2×2 √6×c× √63 ， 即 c 2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2=b 2，故舍去． 当c=5时，求得cosB= a 2+c 2−b 22ac = 13 ，cosA= b 2+c 2−a 22bc = √63 ，∴cos2A=2cos 2A ﹣1= 13 =cosB ，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．【解析】11.（1）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（2）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值，再进行检验，从而得出结论．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:答案第8页，总12页…………○线…………○)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．12.（1）解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i=1，2，…，13） 依据题意P （A i ）= 113 ，A i ∩A j =∅（i≠j）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）= 613（2）解：X 的所有可能取值为0，1，2 P （X=0）= 513 ，P （X=1）= 413 ，P （X=2）= 413 ∴X 的数学期望为E （X ）= 1213（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】12.（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X=0），P （X=1），p （x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【考点精析】通过灵活运用极差、方差与标准差，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题． 13.（1）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC∩平面AA 1C 1C=AC ， ∴AA 1⊥平面ABC ．（2）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴ BC 1→=(4,−3,4) ， BA 1→=(0,−3,4) ， BB 1→=(0,0,4) ．设平面A 1BC 1的法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) ，平面B 1BC 1的法向量为 n 2→=（x 2，y 2，z 2）．………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○则 {n 1→⋅BC 1→=4x 1−3y 1+4z 1=0n 1→⋅BA 1→=−3y 1+4z 1=0，令y 1=4，解得x 1=0，z 1=3，∴ n 1→=(0,4,3) ．{n 2→⋅BC 1→=4x 2−3y 2+4z 2=0n 2→⋅BA 1→=4z 2=0，令x 2=3，解得y 2=4，z 2=0，∴ n 2→=(3,4,0) ．cos〈n 1→⋅n 2→〉 = n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|= √25⋅√25 = 1625 ．∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为 1625 ．（3）证明：设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，∴ AD → = (t,34(4−t),t) ， A 1B →=（0，3，﹣4），∵ AD →⊥A 1B → ，∴ AD →⋅A 1B →=0 ， ∴ 0+94(4−t)−4t =0 ，解得t= 3625 ．∴ BD BC 1=DE CC 1=925 ．【解析】13.（1）利用AA 1C 1C 是正方形，可得AA 1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（2）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（3）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与答案第10页，总12页相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题． 14.（1）解：∵ y =lnx x∴ y ′=1−lnxx 2∴l 的斜率k=y′|x=1=1 ∴l 的方程为y=x ﹣1（2）证明：令f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则f′（x ）=2x ﹣1﹣ 1x =(2x+1)(x−1)x∴f（x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）=0 ∴x∈（0，1）时，f （x ）＞0，即 lnxx＜x ﹣1 x∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnxx＜x ﹣1 即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方【解析】14.（1）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论． 15.（1）解：∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x=1 设A （1，t ），得 124+t 2=1 ，解之得t= √32 （舍负）∴A 的坐标为（1， √32 ），同理可得C 的坐标为（1，﹣ √32 ） 因此，|AC|= √3 ，可得菱形OABC 的面积为S= 12 |AC|•|B0|= √3 ；（2）解：∵四边形OABC 为菱形，∴|OA|=|OC|， 设|OA|=|OC|=r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2=r 2 与椭圆W: x 24+y 2=1 的公共点，解之得 3x 24 =r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足 x 1=x 2=2√33• √r 2−1 ，或x 1=2√33• √r 2−1 且x 2=﹣2√33• √r 2−1 ，①当x 1=x 2= 2√33• √r 2−1 时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）；②若x 1=2√33• √2−1 且x 2=﹣ 2√33• √2−1 ，则x 1+x 2=0，第11页，总12页…………线……………………线…………可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解析】15.（1）根据B 的坐标为（2，0）且AC 是OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标，从而得到线段AC 的长等于 √3 ．再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（2）若四边形OABC 为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A 、C的横坐标满足 3x 24 =r 2﹣1，从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． 16.（1）解：若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1=A 1﹣B 1=2﹣1=1，d 2=A 2﹣B 2=2﹣1=1，d 3=A 3﹣B 3=4﹣1=3，d 4=A 4﹣B 4=4﹣1=3．（2）证明：充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， ∴A n =a n =a 1+（n ﹣1）d ，B n =a n+1=a 1+nd ，∴d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．必要性：若 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项， 则d k =A k ﹣B k =a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n =﹣d≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列． ∴d n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否则d 1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，由于{a n }的项中一定有1，否则与d 1=1矛盾．当n≥m 时，a n ≥2，否则与d m =1矛盾．因此，存在最大的i 在2到m ﹣1之间，使a i =1，此时，d i =A i ﹣B i =2﹣B i ≤2﹣2=0，矛盾． 综上，{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k =A k ﹣B k =2﹣2=0，矛盾， 故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第12页，总12页………○…………线………※※题※※………○…………线………【解析】16.（1）根据条件以及d n =A n ﹣B n 的定义，直接求得d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值．（2）设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，从而证得d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．若d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得d n =A n ﹣B n =﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，即{a n }是公差为d 的等差数列，命题得证．（3）若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得到{a n }的项不能超过2，从而证得命题．【考点精析】关于本题考查的等差关系的确定和等比关系的确定，需要了解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N ）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能得出正确答案．。
2013年高考真题——理科数学(北京卷)解析版
2013年高考真题——理科数学(北京卷)解析版2013北京高考理科数学试题及答案解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1B.23 C.1321D.610987值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ=μ14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演2013年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，b6，∠B=2∠A.(I)求cos A的值，(II)求c的值16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 （Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望。
2013年北京市高考理科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年北京市高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A＝{－1,0,1},B＝{x|－1≤x＜1},则A∩B＝( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1}2.(5分)在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.1B.C.D.5.(5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称,则f(x)＝( )A.e x＋1B.e x－1C.e－x＋1D.e－x－16.(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y＝±2xB.C.D.7.(5分)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.8.(5分)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y),满足x－2y＝2,求得m的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ＝2的距离等于.10.(5分)若等比数列{an }满足a2＋a4＝20,a3＋a5＝40,则公比q＝；前n项和Sn＝.11.(5分)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA＝3,PD：DB＝9：16,则PD＝,AB＝.12.(5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.13.(5分)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若(λ,μ∈R),则＝.14.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤15.(13分)在△ABC中,a＝3,b＝2,∠B＝2∠A.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)求c的值.16.(13分)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率；(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 17.(14分)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,AB ＝3,BC ＝5.(Ⅰ)求证：AA 1⊥平面ABC ；(Ⅱ)求证二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B,并求的值.18.(13分)设l 为曲线C ：y ＝在点(1,0)处的切线. (Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)证明：除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方. 19.(14分)已知A,B,C 是椭圆W ：上的三个点,O 是坐标原点.(Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积；(Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.20.(13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n ＋1,a n ＋2…的最小值记为B n ,d n ＝A n －B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n ＋4＝a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值；(Ⅱ)设d 是非负整数,证明：d n ＝－d(n ＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(Ⅲ)证明：若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.2013年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A＝{－1,0,1},B＝{x|－1≤x＜1},则A∩B＝( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1}【分析】找出A与B的公共元素,即可确定出两集合的交集.【解答】解：∵A＝{－1,0,1},B＝{x|－1≤x＜1},∴A∩B＝{－1,0}.故选：B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简复数为代数形式,求出复数对应点的坐标,即可判断复数对应点所在象限.【解答】解：复数(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i,复数对应的点(3,－4),所以在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于第四象限.故选：D.【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力.3.(5分)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点,求出φ的值,②φ＝π时,曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点.【解答】解：φ＝π时,曲线y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x,过坐标原点.但是,曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点,即O(0,0)在图象上,将(0,0)代入解析式整理即得sinφ＝0,φ＝kπ,k∈Z,不一定有φ＝π.故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充要条件的判定,用到的知识是三角函数的图象特征.是基础题.4.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.1B.C.D.【分析】从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的i的值与2的大小,满足判断框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止.【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1.执行,i＝0＋1＝1；判断1≥2不成立,执行,i＝1＋1＝2；判断2≥2成立,算法结束,跳出循环,输出S的值为.故选：C.【点评】本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题.5.(5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称,则f(x)＝( )A.e x＋1B.e x－1C.e－x＋1D.e－x－1【分析】首先求出与函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式,然后换x为x＋1即可得到要求的答案.【解答】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e－x,而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的解析式为y＝e－(x＋1)＝e－x－1.即f(x)＝e－x－1.故选：D.【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法,考查了函数图象的对称变换和平移变换,函数图象的平移遵循“左加右减,上加下减”的原则,是基础题.6.(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y＝±2xB.C.D.【分析】通过双曲线的离心率,推出a、b关系,然后直接求出双曲线的渐近线方程.【解答】解：由双曲线的离心率,可知c＝a,又a2＋b2＝c2,所以b＝a,所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x.故选：B.【点评】本题考查双曲线的基本性质,渐近线方程的求法,考查计算能力.7.(5分)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.【分析】先确定直线的方程,再求出积分区间,确定被积函数,由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积.【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1),∵直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,∴直线l的方程为y＝1,由,可得交点的横坐标分别为－2,2.∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为＝( x－)|＝.故选：C.【点评】本题考查封闭图形的面积,考查直线方程,解题的关键是确定直线的方程,求出积分区间,确定被积函数.8.(5分)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y),满足x－2y＝2,求得m的取值范围是( )A. B. C. D.【分析】先根据约束条件画出可行域.要使可行域存在,必有m＜－2m＋1,要求可行域包含直线y＝x－1上的点,只要边界点(－m,1－2m)在直线y＝x－1的上方,且(－m,m)在直线y＝x－1的下方,从而建立关于m的不等式组,解之可得答案.【解答】解：先根据约束条件画出可行域,要使可行域存在,必有m＜－2m＋1,要求可行域包含直线y＝x－1上的点,只要边界点(－m,1－2m)在直线y＝x－1的上方,且(－m,m)在直线y＝x－1的下方,故得不等式组,解之得：m＜－.故选：C.【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ＝2的距离等于 1 .【分析】先将点的极坐标化成直角坐标,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的距离来解.【解答】解：在极坐标系中,点化为直角坐标为( ,1),直线ρsinθ＝2化为直角坐标方程为y＝2,( ,1),到y＝2的距离1,即为点到直线ρsinθ＝2的距离1,故答案为：1.【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化,体现等价转化数学思想.10.(5分)若等比数列{an }满足a2＋a4＝20,a3＋a5＝40,则公比q＝ 2 ；前n项和Sn＝2n＋1－2 .【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出,解出即可得到a1及q,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q,∵a2＋a4＝a2(1＋q2)＝20①a 3＋a5＝a3(1＋q2)＝40②∴①②两个式子相除,可得到＝＝2即等比数列的公比q＝2,将q＝2带入①中可求出a2＝4则a1＝＝＝2∴数列{an}时首项为2,公比为2的等比数列.∴数列{an }的前n项和为：Sn＝＝＝2n＋1－2.故答案为：2,2n＋1－2.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键.11.(5分)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA＝3,PD：DB＝9：16,则PD＝,AB＝ 4 .【分析】由PD：DB＝9：16,可设PD＝9x,DB＝16x.利用切割线定理可得PA2＝PD•PB,即可求出x,进而得到PD,PB.AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,利用切线的性质可得AB⊥PA.再利用勾股定理即可得出AB.【解答】解：由PD：DB＝9：16,可设PD＝9x,DB＝16x.∵PA为圆O的切线,∴PA2＝PD•PB,∴32＝9x•(9x＋16x),化为,∴.∴PD＝9x＝,PB＝25x＝5.∵AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,∴AB⊥PA.∴＝＝4.故答案分别为,4.【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键.12.(5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是96 .【分析】求出5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号的组数,然后分给4人排列即可.【解答】解：5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其它号码各为一组,分给4人,共有4×＝96种.故答案为：96.【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用,正确分组是解题的关键,考查分析问题解决问题的能力.13.(5分)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若(λ,μ∈R),则＝4 .【分析】以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系,得到向量、、的坐标,结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组,解之得λ＝－2且μ＝－,即可得到的值.【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系可得＝(－1,1),＝(6,2),＝(－1,－3)∵∴,解之得λ＝－2且μ＝－因此,＝＝4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示,求系数λ、μ的比值,着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识,属于基础题.14.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.【分析】如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF,进而得到异面直线D1E与C1C的距离.【解答】解：如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,∴CC1∥EF,又EF⊂平面D1EF,CC1⊄平面D1EF,∴CC1∥平面D1EF.∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离.过点C1作C1M⊥D1F,∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1.∴C1M⊥平面D1EF.过点M作MP∥EF交D1E于点P,则MP∥C1C.取C1N＝MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形.可得NP⊥平面D1EF,在Rt△D1C1F中,C1M•D1F＝D1C1•C1F,得＝.∴点P到直线CC1的距离的最小值为.故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤15.(13分)在△ABC中,a＝3,b＝2,∠B＝2∠A.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)求c的值.【分析】(Ⅰ)由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值.(Ⅱ)由条件利用余弦定理,解方程求得c的值,再进行检验,从而得出结论.【解答】解：(Ⅰ)由条件在△ABC中,a＝3,,∠B＝2∠A,利用正弦定理可得,即＝.解得cosA＝.(Ⅱ)由余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bc•cosA,即 9＝＋c2－2×2×c×, 即 c2－8c＋15＝0.解方程求得 c＝5,或 c＝3.当c＝3时,此时a＝c＝3,根据∠B＝2∠A,可得 B＝90°,A＝C＝45°,△ABC是等腰直角三角形,但此时不满足a2＋c2＝b2,故舍去.当c＝5时,求得cosB＝＝,cosA＝＝,∴cos2A＝2cos2A－1＝＝cosB,∴B＝2A,满足条件.综上,c＝5.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理,以及二倍角公式的应用,注意把c＝3舍去,这是解题的易错点,属于中档题.16.(13分)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率；(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【分析】(Ⅰ)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数,直接利用古典概型概率计算公式得到答案；(Ⅱ)由题意可知X所有可能取值为0,1,2,得出P(X＝0),P(X＝1),p(x＝2)及分布列与数学期望；(Ⅲ)因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图直接看出答案.【解答】解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”(i＝1,2, (13)依据题意P(Ai )＝,Ai∩Aj＝∅(i≠j)(Ⅰ)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则P(B)＝…(3分)(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2P(X＝0)＝,P(X＝1)＝,P(X＝2)＝…(6分)P∴X的数学期望为E(X)＝…(11分)(Ⅲ)从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. …(13分)【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差,考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力.17.(14分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB＝3,BC＝5.(Ⅰ)求证：AA1⊥平面ABC；(Ⅱ)求证二面角A1－BC1－B1的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.【分析】(I)利用AA1C1C是正方形,可得AA1⊥AC,再利用面面垂直的性质即可证明；(II)利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC.通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；(III)设点D的竖坐标为t,(0＜t＜4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,利用向量垂直于数量积得关系即可得出.【解答】(I)证明：∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C＝AC,∴AA1⊥平面ABC.(II)解：由AC＝4,BC＝5,AB＝3. ∴AC2＋AB2＝BC2,∴AB⊥AC.建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),∴,,.设平面A1BC1的法向量为,平面B1BC1的法向量为＝(x2,y2,z2).则,令y1＝4,解得x1＝0,z1＝3,∴.,令x2＝3,解得y2＝4,z2＝0,∴.＝＝＝.∴二面角A1－BC1－B1的余弦值为.(III)设点D的竖坐标为t,(0＜t＜4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D,∴＝,＝(0,3,－4),∵,∴,∴,解得t＝.∴.【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.18.(13分)设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线.(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)证明：除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.【分析】(Ⅰ)求出切点处切线斜率,代入代入点斜式方程,可以求解；(Ⅱ)利用导数分析函数的单调性,进而分析出函数图象的形状,可得结论.【解答】解：(Ⅰ)∵∴＝1∴l的斜率k＝y′|x＝1∴l的方程为y＝x－1证明：(Ⅱ)令f(x)＝x(x－1)－lnx,(x＞0)曲线C在直线l的下方,即f(x)＝x(x－1)－lnx＞0,则f′(x)＝2x－1－＝∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,又f(1)＝0∴x∈(0,1)时,f(x)＞0,即＜x－1x∈(1,＋∞)时,f(x)＞0,即＜x－1即除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,难度中档.19.(14分)已知A,B,C 是椭圆W ：上的三个点,O 是坐标原点.(Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积；(Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【分析】(I)根据B 的坐标为(2,0)且AC 是OB 的垂直平分线,结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标,从而得到线段AC 的长等于.再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式,即可算出此时菱形OABC 的面积；(II)若四边形OABC 为菱形,根据|OA|＝|OC|与椭圆的方程联解,算出A 、C 的横坐标满足＝r 2－1,从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数.再分两种情况加以讨论,即可得到当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.【解答】解：(I)∵四边形OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点(2,0) ∴直线AC 是BO 的垂直平分线,可得AC 方程为x ＝1 设A(1,t),得,解之得t ＝(舍负)∴A 的坐标为(1,),同理可得C 的坐标为(1,－)因此,|AC|＝,可得菱形OABC 的面积为S ＝|AC|•|BO|＝；(II)∵四边形OABC 为菱形,∴|OA|＝|OC|,设|OA|＝|OC|＝r(r ＞1),得A 、C 两点是圆x 2＋y 2＝r 2与椭圆的公共点,解之得＝r 2－1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2,可得A 、C 两点的横坐标满足x 1＝x 2＝•,或x 1＝•且x 2＝－•,①当x 1＝x 2＝•时,可得若四边形OABC 为菱形,则B 点必定是右顶点(2,0)；②若x 1＝•且x 2＝－•,则x 1＋x 2＝0,可得AC 的中点必定是原点O,因此A 、O 、C 共线,可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述,可得当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.【点评】本题给出椭圆方程,探讨了以坐标原点O 为一个顶点,其它三个顶点在椭圆上的菱形问题,着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.20.(13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n ＋1,a n ＋2…的最小值记为B n ,d n ＝A n －B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n ＋4＝a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值；(Ⅱ)设d 是非负整数,证明：d n ＝－d(n ＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(Ⅲ)证明：若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 【分析】(Ⅰ)根据条件以及d n ＝A n －B n 的定义,直接求得d 1,d 2,d 3,d 4的值.(Ⅱ)设d 是非负整数,若{a n }是公差为d 的等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d,从而证得d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).若d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).可得{a n }是一个不减的数列, 求得d n ＝A n －B n ＝－d,即 a n ＋1－a n ＝d,即{a n }是公差为d 的等差数列,命题得证.(Ⅲ)若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),则{a n }的项不能等于零,再用反证法得到{a n }的项不能超过2,从而证得命题.【解答】解：(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列,∴d 1＝A 1－B 1＝2－1＝1,d 2＝A 2－B 2＝2－1＝1,d 3＝A 3－B 3＝4－1＝3,d 4＝A 4－B 4＝4－1＝3.(Ⅱ)充分性：设d 是非负整数,若{a n }是公差为d 的等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d, ∴A n ＝a n ＝a 1＋(n －1)d,B n ＝a n ＋1＝a 1＋nd,∴d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).必要性：若 d n ＝A n －B n ＝－d,(n ＝1,2,3,4…).假设a k 是第一个使a k －a k －1＜0的项, 则d k ＝A k －B k ＝a k －1－B k ≥a k －1－a k ＞0,这与d n ＝－d ≤0相矛盾,故{a n }是一个不减的数列. ∴d n ＝A n －B n ＝a n －a n ＋1＝－d,即 a n ＋1－a n ＝d,故{a n }是公差为d 的等差数列. (Ⅲ)证明：若a 1＝2,d n ＝1(n ＝1,2,3,…),首先,{a n }的项不能等于零,否则d 1＝2－0＝2,矛盾. 而且还能得到{a n }的项不能超过2,用反证法证明如下：假设{a n }的项中,有超过2的,设a m 是第一个大于2的项,由于{a n }的项中一定有1,否则与d 1＝1矛盾.当n ≥m 时,a n ≥2,否则与d m ＝1矛盾.因此,存在最大的i 在2到m －1之间,使a i ＝1,此时,d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0,矛盾. 综上,{a n }的项不能超过2,故{a n }的项只能是1或者2. 下面用反证法证明{a n }的项中,有无穷多项为1.若a k 是最后一个1,则a k 是后边的各项的最小值都等于2,故d k ＝A k －B k ＝2－2＝0,矛盾, 故{a n }的项中,有无穷多项为1.综上可得,{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明,等差关系的确定,用反证法和放缩法证明数学命题,属于中档题.。
2013年北京市高考数学试卷(理科)
2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣16．（5分）若双曲线A．y=±2x B．的离心率为C．D．，则其渐近线方程为（）7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x，y），满足x﹣2y=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．10．（5分）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和Sn=．11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若μ∈R），则=．（λ，14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共 6 小题，共 50 分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13 分）在△ABC 中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A ．（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 c 的值．16．（13 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14 分）如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1C 1C 是边长为 4 的正方形．平 面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA 1⊥平面 ABC ；（Ⅱ）求证二面角 A 1﹣BC 1﹣B 1 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段 BC 1 上存在点 D ，使得 AD ⊥A 1B ，并求的值．18．（13 分）设 l 为曲线 C ：y= 在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求 l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线 C 在直线 l 的下方．19．（14 分）已知 A ，B ，C 是椭圆 W ： 上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由．20．（13 分）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记 为 A n ，第 n 项之后各项 a n +1，a n +2…的最小值记为 B n ，d n =A n ﹣B n ．（Ⅰ）若{a n }为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列（即对任意 n ∈N *，a n +4=a n ），写出 d 1，d 2，d 3，d 4 的值； （Ⅱ）设 d 是非负整数，证明：d n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n } 是公差为 d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若 a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项只能是 1 或者 2，且 有无穷多项为 1．2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为故选：C．．【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．（5分）若双曲线A．y=±2x B．的离心率为C．D．，则其渐近线方程为（）【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=，可知c=a，=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）=| A．B．2C．D．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为故选：C．（x﹣）=．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x，y），满足x﹣2y=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）的在直线 y= x ﹣1 的上方，且（﹣m ，m ）在直线 y= x ﹣1 的下方，从而建立关于m 的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有 m ＜﹣2m +1，要求可行域包含直线 y= x ﹣1 上的点，只 要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线 y= x ﹣1 的上方，且（﹣m ，m ）在直线 y= x ﹣1 的下方，故得不等式组，解之得：m ＜﹣ ．故选：C ．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9．（5 分）在极坐标系中，点（2， ）到直线 ρsinθ=2距离等于 1 ．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点高考真题及答案化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为：1．【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．10．（5分）若等比数列{an }满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n项和Sn=2n+1﹣2．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a4=a2（1+q2）=20①a 3+a5=a3（1+q2）=40②．∴①②两个式子相除，可得到==2即等比数列的公比q=2，将q=2带入①中可求出a2=4则a1===2∴数列{an}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{an }的前n项和为：Sn===2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．高考真题及答案11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=4．【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB，∴32=9x•（9x+16x），化为，∴．∴PD=9x=，PB=25x=5．∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．∴==4．故答案分别为，4．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若μ∈R），则=4．高考真题及答案（λ，【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴因此，=故答案为：4，解之得λ=﹣2且μ=﹣=4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∴CC1∥EF，又EF平面D1EF，CC1平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得=．∴点P到直线CC1的距离的最小值为故答案为．【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】 Ⅰ）由图查出 13 天内空气质量指数小于 100 的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知 X 所有可能取值为 0，1，2，得出 P （X=0），P （X=1），p （x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设 A i 表示事件“此人于 5 月 i 日到达该地”（i=1，2，…，13） 依据题意 P （A i ）=，A i ∩A j = （i ≠j ）（Ⅰ）设 B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则 P （B ）= …（3 分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2P （X=0）=，P （X=1）= ，P （X=2）= …（6 分）∴X 的分布列为X 0 1 2P…（8 分）∴X 的数学期望为 E （X ）=…（11 分）（Ⅲ）从 5 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13 分）（ （【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．（14 分）如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1C 1C 是边长为 4 的正方形．平 面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA 1⊥平面 ABC ；（Ⅱ）求证二面角 A 1﹣BC 1﹣B 1 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段 BC 1 上存在点 D ，使得 AD ⊥A 1B ，并求的值．【分析】 I ）利用 AA 1C 1C 是正方形，可得 AA 1⊥AC ，再利用面面垂直的性质即可 证明；（II ）利用勾股定理的逆定理可得 AB ⊥AC ．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III ）设点 D 的竖坐标为 t ，（0＜t ＜4），在平面 BCC 1B 1 中作 DE ⊥BC 于 E ，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】 I ）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC ．又∵平面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，平面 ABC ∩平面 AA 1C 1C=AC ， ∴AA 1⊥平面 ABC ．（II ）解：由 AC=4，BC=5，AB=3．∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB ⊥AC ．建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3， 4），C 1（4，0，4）， ∴ ， ， ．设平面 A 1BC 1 的法向量为，平面 B 1BC 1 的法向量为 =（x 2，y 2，z 2）．则，令 y 1=4，解得 x 1=0，z 1=3，∴ ．，令 x 2=3，解得 y 2=4，z 2=0，∴．= == ．∴二面角 A 1﹣BC 1﹣B 1 的余弦值为．（III ）设点 D 的竖坐标为 t ，（0＜t ＜4），在平面 BCC 1B 1 中作 DE ⊥BC 于 E ，可得D，∴ = ，=（0，3，﹣4）， ∵ ，∴，∴∴，解得 t=．．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．（ 18．（13 分）设 l 为曲线 C ：y= 在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求 l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线 C 在直线 l 的下方．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l 的斜率 k=y′|x=1=1 ∴l 的方程为 y=x ﹣1证明：（Ⅱ）令 f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线 C 在直线 l 的下方，即 f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则 f′（x ）=2x ﹣1﹣ =∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又 f （1）=0 ∴x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，即x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即＜x ﹣1＜x ﹣1即除切点（1，0）之外，曲线 C 在直线 l 的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．19．（14 分）已知 A ，B ，C 是椭圆 W ： 上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由．【分析】 I）根据 B 的坐标为（2，0）且 AC 是 OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出 A 、C 两点的坐标，从而得到线段 AC 的长等于．再结合 OB 的长为 2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形 OABC 的面积；（II ）若四边形 OABC 为菱形，根据|OA |=|OC |与椭圆的方程联解，算出 A 、C 的横坐标满足=r 2﹣1，从而得到 A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形．【解答】解：（I ）∵四边形 OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0）∴直线 AC 是 BO 的垂直平分线，可得 AC 方程为 x=1设 A （1，t ），得∴A 的坐标为（1， ，解之得 t= （舍负）），同理可得 C 的坐标为（1，﹣）因此，|AC |=，可得菱形 OABC 的面积为 S= |AC |•|BO |=；（II ）∵四边形 OABC 为菱形，∴|OA |=|OC |，设|OA |=|OC |=r （r ＞1），得 A 、C 两点是圆 x 2+y 2=r 2与椭圆的公共点，解之得=r 2﹣1设 A 、C 两点横坐标分别为 x 1、x 2，可得 A 、C 两点的横坐标满足x 1=x 2= •①当 x 1=x 2=（2，0）；②若 x 1=••，或 x 1= • 且 x 2=﹣ • ，时，可得若四边形 OABC 为菱形，则 B 点必定是右顶点且 x 2=﹣ • ，则 x 1+x 2=0，可得 AC 的中点必定是原点 O ，因此 A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点 O 为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．（13 分）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记 为 A n ，第 n 项之后各项 a n +1，a n +2…的最小值记为 B n ，d n =A n ﹣B n ．（Ⅰ）若{a n }为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列（即对任意 n ∈N *，a n +4=a n ），写出 d 1，d 2，d 3，d 4 的值； （Ⅱ）设 d 是非负整数，证明：d n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n } 是公差为 d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若 a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项只能是 1 或者 2，且 有无穷多项为 1．【分析】（Ⅰ）根据条件以及 d n =A n ﹣B n 的定义，直接求得 d 1，d 2，d 3，d 4 的值． （Ⅱ）设 d 是非负整数，若{a n }是公差为 d 的等差数列，则 a n =a 1+（n ﹣1）d ， 从而证得 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．若 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得 d n =A n ﹣B n =﹣d ，即 a n +1﹣a n =d ，即{a n }是公差为 d 的等差数列，命题得证． （Ⅲ）若 a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得 到{a n }的项不能超过 2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n }为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数 列，∴d 1=A 1﹣B 1=2﹣1=1，d 2=A 2﹣B 2=2﹣1=1，d 3=A 3﹣B 3=4﹣1=3，d 4=A 4﹣B 4=4﹣1=3．（Ⅱ）充分性：设 d 是非负整数，若{a n }是公差为 d 的等差数列，则 a n =a 1+（n ﹣1）d ，∴A n =a n =a 1+（n ﹣1）d ，B n =a n +1=a 1+nd ，∴d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）． 必要性：若 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．假设 a k 是第一个使 a k ﹣a k ﹣1＜0的项，则 d k =A k ﹣B k =a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与 d n =﹣d ≤0 相矛盾，故{a n }是一个不减的数列．∴d n =A n ﹣B n =a n ﹣a n +1=﹣d ，即 a n +1﹣a n =d ，故{a n }是公差为 d 的等差数列．高考真题及答案（Ⅲ）证明：若 a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否 则 d 1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过 2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过 2 的，设 a m 是第一个大于 2 的项，由于{a n }的项中一定 有 1，否则与 d 1=1 矛盾．当 n ≥m 时，a n ≥2，否则与 d m =1 矛盾．因此，存在最大的 i 在 2 到 m ﹣1 之间，使 a i =1，此时，d i =A i ﹣B i =2﹣B i ≤2﹣2=0，矛盾．综上，{a n }的项不能超过 2，故{a n }的项只能是 1 或者 2． 下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为 1．若 a k 是最后一个 1，则 a k 是后边的各项的最小值都等于 2，故 d k =A k ﹣B k =2﹣2=0，矛盾，故{a n }的项中，有无穷多项为 1．综上可得，{a n }的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．高考真题解析。
2013年北京市高考数学试卷(理科)附送答案
2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣16．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C． D．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和S n=．11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B2．（5分）（2013•北京）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选D．3．（5分）（2013•北京）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A．4．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5．（5分）（2013•北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．6．（5分）（2013•北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C． D．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．7．（5分）（2013•北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（x﹣）|=．故选：C．8．（5分）（2013•北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于1．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为：1．10．（5分）（2013•北京）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= 2；前n项和S n=2n+1﹣2．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得．∴==2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．11．（5分）（2013•北京）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=4．【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB，∴32=9x•（9x+16x），化为，∴．∴PD=9x=，PB=25x=5．∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．∴==4．故答案分别为，4．12．（5分）（2013•北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．13．（5分）（2013•北京）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：414．（5分）（2013•北京）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∴CC1∥EF，又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得=．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．16．（13分）（2013•北京）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2， (13)依据题意P（A i）=，A i∩A j=∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=…（3分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=…（6分）∴X的分布列为X012P…（8分）∴X的数学期望为E（X）=…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）17．（14分）（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．18．（13分）（2013•北京）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l的斜率k=y′|x=1=1∴l的方程为y=x﹣1证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，则f′（x）=2x﹣1﹣=∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方19．（14分）（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|BO|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．20．（13分）（2013•北京）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n=A n﹣B n 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（Ⅱ）设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，从而证得d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{a n}是一个不减的数列，求得d n=A n﹣B n=﹣d，即a n+1﹣a n=d，即{a n}是公差为d的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项不能等于零，再用反证法得到{a n}的项不能超过2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n ﹣1）d，∴A n=a n=a1+（n﹣1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n=﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d，即a n+1﹣a n=d，故{a n}是公差为d的等差数列．（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），首先，{a n}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n}的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n}的项中，有超过2的，设a m是第一个大于2的项，由于{a n}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．当n≥m时，a n≥2，否则与d m=1矛盾．因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使a i=1，此时，d i=A i﹣B i=2﹣B i≤2﹣2=0，矛盾．综上，{a n}的项不能超过2，故{a n}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n}的项中，有无穷多项为1．若a k是最后一个1，则a k是后边的各项的最小值都等于2，故d k=A k﹣B k=2﹣2=0，矛盾，故{a n}的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．。
2013年北京市高考数学试卷(理科)
2013年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）（2013•北京）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）（2013•北京）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（2013•北京）“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
）
4．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（
A．1B ．C ．D ．
5．（5分）（2013•北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x 关于y轴对称，则f（x）＝（）
A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1
6．（5分）（2013•北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±2x B ．C ．D ．
7．（5分）（2013•北京）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成
第1页（共20页）。
2013年全国高考理科数学试题及答案-北京卷
A.1
B. 3
C. 21
D. 987
5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=
A. ex 1
B. ex 1
C. e x 1
e x1
D.
x2 6.若双曲线 a2
y2 b2
1的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A. y=±2x B. y= 2x
C. y
1 2
x
D. y
22 x
7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于
4
8
16 2
A. 3
B.2
C. 3
D. 3
2x y 1 8.设关于 x,y 的不等式组 x m 0,
ym 0
0,
表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x0－2y0=2，求得
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC；
（Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段
BC1 存在点
D，使得
AD⊥A1B，并求
BD BC1
的值.
18. (本小题共 13 分)
设 l 为曲线 C： y
(I)求 l 的方程；
ln x x 在点(1，0)处的切线.
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方
14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到
直线 CC1 的距离的最小值为
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演 2013 年普通高等学校招生统一考试 算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分)
北京高考理科数学试题及答案
2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=3A.y =±2xB.y =2xC.12y x =±D.22y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43B.2C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启封前 机密★使用完毕前
2０１3年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理)（北京卷)
本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共4０分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合{}101A =-，
，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-，
ﻩ C.{}01，ﻩＤ.{}101-，， （2)在复平面内,复数()2
2i -对应的点位于（ )
A.第一象限ﻩＢ．第二象限ﻩC ．第三象限 D.第四象限 （3)“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的( )
A ．充分而不必要条件ﻩﻩ ﻩB.必要而不充分条件 C ．充分必要条件ﻩ
D.既不充分也不必要条件
（4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．1ﻩ
B ．
23ﻩﻩC.1321 D.610987
（５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x =
A ．1e x +ﻩﻩﻩﻩB.1e x - Ｃ.1e x -+ﻩ D.1e x --
(6)若双曲线22
221x y a b
-=
则其渐近线方程为
A ．2y x =±
ﻩﻩ
B.y = C ．1
2
y x =±
D
．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于
A.43
ﻩ
ﻩB ．2 Ｃ．8
3
ﻩ
（8）设关于x ,y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩
，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，,满足
0022x y -=,求得m 的取值范围是
A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，
B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D.53⎛
⎫-∞- ⎪
⎝⎭，
第二部分(非选择题 共110分）
二、填空题共６小题,每小题5分,共3０分.
(9）在极坐标系中,点π26⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．
（1０）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=,则公比q = ;前n
项和n S = ．
(１1）如图，AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D ,若3PA =，
:9:16PD DB =,则PD = ，AB = ．
(12)将序号分别为１,2，3，4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 .
(１3）向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若()c a b λμλμ=+∈R ，,则
λ
μ
= . （14)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ．
三、解答题共6小题，共50分.解答应写出文字说明,演算步骤
(15)本小题共（1３分)
在ABC △中，3a =
，b =2B A ∠=∠.
1
A。