长春市中考数学试卷真题
2022年吉林省长春市中考数学真题(附答案)
【解析】
【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．
【详解】设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得 ，
所以，店中共有8间房，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
5.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，垂足为点D， ，垂足为点C．设 ，下列关系式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数 （ ， ）的图象上，其纵坐标为2，过点P作 // 轴，交x轴于点Q，将线段 绕点Q顺时针旋转60°得到线段 ．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（）
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
2022年长春市初中学业水平考试数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可．
【详解】正面看，其主视图为：
【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
2023年吉林省长春市中考数学真题及答案
3. 下列运算正确的是 ( )
A. a3 一 a2 = a
【答案】B
B. a2 . a = a3
3
( ) C. a2 = a5
D. a6 a2 = a3
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. a3 与 a2 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
2023 年长春市初中学业水平考试 数学
本试卷包括三道大题，共 24 道小题，共 6 页．全卷满分 20 分．考试时间为 120 分钟．考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事形码准确粘贴在条形 码区域内．
2 ．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无 效． 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
D. AF」
【分析】根据作图可得 AD = AE,DF = EF ，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可得 AD = AE,DF = EF ，故 A ，C 正确；
∴ A, F 在DE 的垂直平分线上， ∴ AF TDE ，故 D 选项正确， 而DF = EF 不一定成立，故 B 选项错误，
B. 38 106
C. 38 108
D. 3.8 107
【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为： a 10 n ， 1 a <10 ，n 为整数的位数减 1．
【详解】解： 38000000 = 3.8 107 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．
A. 3
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C 【解析】
2024年长春市中考数学试卷
选择题在平面直角坐标系中，点A(3, -2)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, 2)B. (-3, -2)C. (3, 2)（正确答案）D. (2, 3)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个等腰三角形的周长为：A. 8B. 11C. 13（正确答案）D. 11或13函数y = 2x + 1与y = 2x - 3的图象：A. 平行且关于x轴对称B. 平行且关于y轴对称C. 相交且交点在y轴上D. 平行且关于直线y = x对称（正确答案）若关于x的一元二次方程x2 - 4x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为：A. -4B. 4（正确答案）C. 2D. -2下列计算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. a2 · a3 = a6C. (a2)3 = a6（正确答案）D. a6 ÷ a3 = a1已知圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆相切，则：A. d > rB. d < rC. d = r（正确答案）D. d与r的大小关系不确定在比例尺为1:1000的地图上，测得某矩形区域的图上面积为2cm2，则该矩形区域的实际面积为：A. 2m2B. 20m2C. 200m2（正确答案）D. 2000m2下列不等式组中，解集为x > 2的是：A. {x | x > 1, x > 3}B. {x | x > 1, x ≤ 2}C. {x | x ≥ 2, x < 3}D. {x | x > 1, x > 2}（正确答案）若a、b、c为三角形的三边长，且满足(a - 5)2 + |b - 12| + c2 - 26c + 169 = 0，则此三角形的形状为：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形（正确答案）D. 等腰直角三角形。
2022年吉林省长春市中考数学试题及答案解析
2022年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是( )A.B.C.D.2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为( )A. 18×105B. 1.8×106C. 1.8×107D. 0.18×1073.不等式x+2>3的解集是( )A. .x<1B. .x<5C. x>1D. .x>54.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )A. a>0B. a<bC. b−1<0D. ab>05.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是( )A. sinα=ABBC B. sinα=BCABC. sinα=ABACD. sinα=ACAB6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为( )A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°7.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )A. AF=BFB. AE=12ACC. ∠DBF+∠DFB=90°D. ∠BAF=∠EBC8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为( )A. √32B. √3C. 2√3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：m2+3m=______．10.若关于x的方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为______．11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为______．12.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA=5厘米，则AB⏜的长度为______厘米．(结果保留π)13.跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB=27厘米，则这个正六边形的周长为______厘米．14.已知二次函数y=−x2−2x+3，当a≤x≤1时，函数值y的最小值为1，则a的值2为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a+1)，其中a=√2−4．16.抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图(或列表)的方法，求两次分数之和不大于3的概率．17.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中△ABC的形状是______；(2)在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF=DE，连结AE、AF、CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BEEC =14，则tan∠BCF的值为______．20.党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：(1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是______年；(2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是______；(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了______件，专利授权量年增长率提高了______个百分点；(注：1%为1个百分点)(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．______②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上×100%，所以只要升．这是因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．______③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．______21.已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)m=______，n=______；(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22.【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=√2AB.他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．由折叠可知，∠BAF=12∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=√2AB=AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】(1)∠DAG的度数为______度，FG的值为______；AFAB，点Q在线段AG上，连结FQ、(2)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12PQ，如图②.设AB=a，则FQ+PQ的最小值为______.(用含a的代数式表示) 23.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A 关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M.设点P的运动时间为t秒，(1)点D到边AB的距离为______；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx(b是常数)经过点(2,0).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0).以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2|m|，且PQ⊥x轴．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC.当BC=4时，求点B的坐标；(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为3时，直接4写出m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，故选：A．找到从几何体的正面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2.【答案】B【解析】解：1800000=1.8×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：x+2>3，x>3−2，x>1．故选：C．利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．4.【答案】B【解析】解：根据图形可以得到：−2<a<0<1<b<3；所以：A，C，D都是错误的；故选：B．利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，sinα=sin∠ABC=AC，AB故选：D．根据直角三角形的边角关系进行判断即可．本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．6.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°−121°=59°，∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°，故选：C．根据圆的内接四边形对角互补得到∠A=180°−121°=59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD=2∠A的度数．本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得AF=BF，故A选项不符合题意；∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF=90°，∴∠DBF+∠DFB=90°，故C选项不符合题意；∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠EBC，∵AF=BF，∴∠ABF=∠BAF，∴∠BAF=∠EBC，故D选项不符合题意；根据已知条件不能得出AE=12AC，故B选项符合题意．故选：B．由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．8.【答案】C【解析】解：作MN⊥x轴于N，∵P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，∴P(k2,2)，∴PQ=2，∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．∴QM=QP=2，∠POM=60°，∴∠MQN=90°−60°=30°，∴MN=12QM=1，∴QN=√22−12=√3，∴M(k2+√3,1)，∵点M也在该反比例函数的图象上，∴k=k2+√3，解得k=2√3，故选：C．作MN⊥x轴于N，根据题意P(k2,2)，PQ=2，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM=QP=2，∠POM=60°，即可得出∠MQN=30°，即可得出MN=1 2QM=1，QN=√22−12=√3，得到M(k2+√3,1)，代入反比例函数解析式即可求得k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．9.【答案】m(m+3)【解析】解：m2+3m=m(m+3)，故答案为：m(m+3)．利用提公因式法，进行分解即可解答．本题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解−提公因式法是解题的关键．10.【答案】14【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=12−4c=0，．解得c=14．故答案为：14若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac=0，建立关于c的方程，求出c的值即可．此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．11.【答案】8【解析】解：依题意得：7x+7=9(x−1)，解得：x=8，故答案为：8．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程组求得．本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．12.【答案】5π2【解析】解：AB ⏜=nπR 180 =90π⋅5180 =5π2．故答案为：5π2．弧长的计算(1)圆周长公式：C =2πR ．(2)弧长公式：l =nπR180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)．本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．13.【答案】54【解析】解：由图象的对称性可得，AM =MN =BN =13AB =9(厘米)，∴正六边形的周长为9×6=54(厘米)，故答案为：54．根据对称性和周长公式进行解答即可．本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．14.【答案】−1−√3【解析】解：∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为(−1,4)，根据题意，当a ≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，当y =1时，−(x +1)2+4=1，∴x =−1±√3，∵−1+√3>12，∴−1−√3≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，∴a =−1−√3．故答案为：−1−√3． 函数配方后得y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，当y =1时，−(x +1)2+4=1，可得x =−1±√3，因为−1+√3>12，所以−1−√3≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，进而可以解决问题．本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．15.【答案】解：(2+a)(2−a)+a(a +1)=4−a 2+a 2+a=4+a ，当a =√2−4时，原式=4+√2−4=√2．【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16.【答案】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，∴两次分数之和不大于3的概率为34．【解析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，再由概率公式求解即可．本题考查了用树形图概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】解：设乙班平均每小时挖x 千克土豆，根据题意，得1500x+100=1200x ，解得x =400，经检验，x =400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．【解析】设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．18.【答案】直角三角形【解析】解：(1)∵AC=√22+12=√5，AB=√22+42=2√5，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；(2)如图①中，点D，点D′即为所求；(3)如图②中，点E即为所求；(4)如图，点P，点Q即为所求．(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；(2)根据全等三角形的判定，作出图形即可；(3)根据相似三角形的判定作出图形即可；(4)作出AB，BC的中点P，Q即可．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】√15【解析】(1)证明：∵点D是AC的中点，∴AD=CD，∵DF=DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；(2)解：∵BEEC =14，∴CE=4BE，设BE=a，则CE=4a，由(1)可知，四边形AECF是菱形，∴AE=CE=4a，AE//CF，∴∠BEA=∠BCF，∵∠ABC=90°，∴AB=√AE2−BE2=√(4a)2−a2=√15a，∴tan∠BCF=tan∠BEA=ABBE =√15aa=√15，故答案为：√15．(1)先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；(2)设BE=a，则CE=4a，由菱形的性质得AE=CE=4a，AE//CF，则∠BEA=∠BCF，再由勾股定理得AB=√15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】202018.1%547930.2×√√【解析】解：(1)根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，故答案为：2020；(2)把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，位于正中间的是18.1%，∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，故答案为：18.1%；(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373−11894=5479件；专利授权量年增长率提高了46.0%−15.8%=30.2%，专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，故答案为：5479，30.2；(4)①因为2017年的专利授权量的增长量为8190−7062=1128件，2019年的专利授权量的增长量11894−10268=1626件，所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误， 故答案为：×；②因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确， 故答案为：√；根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，故答案为：√．(1)观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；(2)先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；(3)分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；(4)①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率当年专利授权量−上一年专利授权量x100%，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．21.【答案】2 6【解析】解：(1)由题意知：m =200÷100=2，n =m +4=2+4=6，故答案为：2，6；(2)设y =kx +b ，将(2,200)，(6,440)代入得：{2k +b =2006k +b =440， 解得{k =60b =80， ∴y =60x +80，(2≤x ≤6)；(3)乙车的速度为(440−200)÷2=120(千米/小时)，∴乙车到达A 地所需时间为440÷120=113(小时)，当x=113时，y=60×113+80=300，∴甲车距A地的路程为300千米．(1)由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m=2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n=6；(2)用待定系数法可得y=60x+80，(2≤x≤6)；(3)求出乙的速度，即可得乙到A地所有时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．22.【答案】22.5√2−1√52a【解析】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°，∴AF=√2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°，∴∠AFG=∠D=90°，又AD=AF，AG=AG，∴△ADG≌△AFG(HL)．【结论应用】(1)由折叠得，∠BAF=∠EAF，又∠BAF+∠EAF=90°，∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°，由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°，∠AFG=∠ADG=90°，又∠AFB=45°，∴∠GFC=45°．∴∠FGC=45°．∴GC=FC．设AB=x，则BF=x，AF=√2x=AD=BC，∴FC=BC−BF=√2x−x=(√2−1)x，∴GF=√2FC=(2−√2)x．∴GFAF =(2−√2)x√2x=√2−1．故答案为：22.5；√2−1．(2)如图，连接FD，∵DG=FG，∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°，∴∠APR=45°，∴AR=PR，又AR2+PR2=AP2=(a2)2=a24，∴AR=PR=√24a，∴DR=AD−AR=√2a−√24a=34√2a.在Rt△DPR中，AR2+PR2=DP2，∴DP=√52a.∴PQ+FQ的最小值为√52a.故答案为：√52a.【问题解决】根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；【结论应用】(1)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°；证明△GCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(2)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=√24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．23.【答案】3【解析】解：(1)连接DM ，∵DA =DB ，点M 是AB 的中点，∴DM ⊥AB ，AM =2，在Rt △ADM 中，由勾股定理得，DM =√AD 2−AM 2=√13−4=3，故答案为：3．(2)当点P 在AD 上时，即0≤t <1时，PD =AD −AP =√13−√13t ，当点P 在BD 上时，即1≤t ≤2时，PD =√13t −√13，∴PD ={√13−√13t(0≤t <1)√13t −√13(1≤t ≤2)； (3)∵A′M =2，DM =3，∴A′D ≥1，∴当点D 、A′、M 共线时，DA′最短，∴∠AMP =∠DMP ，∴AP PD =AM DM =23，∴S △APM =22+3×S △ADM =25×12×2×3=65，∴S △PDA ′=S △ADM −2S △AMP =3−2×65=35；(4)当点A′在CM 上时，如图，作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于H ，作MQ 平分∠CMH ，交CH 于Q ，作QG ⊥MC 于G ，∵AD=BC，∠DAM=∠CBH，∠DMA=∠CHB，∴△AMD≌△BHC(AAS)，∴BH=AM=2，CH=DM=3，∵MQ平分∠CMB，∴∠GMQ=∠QMH，∵∠QGM=∠QHM，MQ=MQ，∴△MQG≌△MQH(AAS)，∴MG=AH=4，QH=QG，∴CG=1，∴tan∠MCH=QGCG =MHCH，∴QG1=43，∴QG=43，∴QHMH =13，∵AP=√13t，∴AN=2t，PN=3t，∵∠AMP=∠A′MP，∠CMQ=∠QMH，∴∠PMQ=90°，∴∠QMH=∠MPN，∴MN=t，∴2t+t=2，∴t=23；当A′在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，由题意知BP=2√13−√13t，同理得，PT=6−3t，BT=4−2t，MT=18−9t，∴18−9t+4−2t=2，∴t=2011，综上：t=23或2011．(1)连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM=2，再利用勾股定理可得DM的长；(2)分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；(3)由A′M=2，DM=3，则A′D≥1，当点D、A′、M共线时，DA′最短，利用角平分线的定理得APPD =AMDM=23，求出S△APM的面积，从而得出答案；(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出QMMH =13，从而表示出MN的长，点点A′在CM的延长线上时，同理解决问题．本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH=13是解题的关键．24.【答案】解：(1)把(2,0)代入y=x2−bx，得到b=2，∴该抛物线的解析式为y=x2−2x；(2)如图1中，∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线的顶点为(1,−1)，对称轴为直线x=1，∵BC//x，∴B，C故对称轴x=1对称，BC=4，∴点B的横坐标为−1，∴B(−1,3)；(3)如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ=2|m|，m>0，∴PQ=PQM=MN=2m，∴正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由{y =x y =x 2−2x， 解得{x =0y =0或{x =3y =3， ∴A(3,3)，观察图象可知，当m ≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大． 如图3中，当PQ 落在抛物线的对称轴上时，m =12，观察图象可知，当0<m ≤12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．综上所述，满足条件的m 的值为0<m ≤12或m ≥3；(4)如图4−1中，当点N(0,34)时，满足条件，此时直线NQ 的解析式为y =−x +34，由{y =x 2−2x y =−x +34，解得，{x =32y =−34或{x =−12y =14， ∵点A 在第四象限，∴A(32,−34)， ∴m =32． 如图4−2中，当点N(0,−14)，满足条件，此时直线NQ 是解析式为y =−x −14，由{y =−x −14y =x 2−2x ，解得{x =12y =−34， ∴A(12,−34)，∴m =12． 如图4−3中，当正方形PQMN 的边长为34时，满足条件，此时m =−38，综上所述，满足条件的m 的值为32或12或−38．【解析】(1)把(2,0)代入y =x 2−bx ，得到b =2，可得结论；(2)判断出点B 的横坐标为−1，可得结论；(3)分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．利用图象法解决问题即可；(4)分三种情形：如图4−1中，当点N(0,34)时，满足条件，如图4−2中，当点N(0,−14)，满足条件，如图4−3中，当正方形PQMN 的边长为34时，满足条件，分别求出点A 的坐标，可得结论．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
2024年吉林省长春市中考数学试卷及答案解析
2024年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（）A．+（3+2）B．+（3﹣2）C．﹣（3+2）D．﹣（3﹣2）2．（3分）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．右视图3．（3分）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（）A．54°B．60°C．70°D．72°4．（3分）下列运算一定正确的是（）A．2a•3a＝6a B．a2•a3＝a6C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a55．（3分）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞cC．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞6．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（）A．a sinθ千米B．千米C．a cosθ千米D．千米7．（3分）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°C．AM＝CM D．OM＝AB8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC＝，则点B的坐标是（）A．（0，）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，2）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
中考数学试题及答案长春
中考数学试题及答案长春一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是等腰三角形？A. 两边相等的三角形B. 两边不等的三角形C. 三边相等的三角形D. 三边不等的三角形答案：A2. 圆的周长公式是？A. \( C = 2\pi r \)B. \( C = \pi d \)C. \( C = \pi r^2 \)D. \( C = 2\pi d \)答案：A3. 已知一个数的平方是25，这个数是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C4. 以下哪个表达式是完全平方？A. \( x^2 + 2x + 1 \)B. \( x^2 - 2x + 1 \)C. \( x^2 + 2x - 1 \)D. \( x^2 - 2x - 1 \)答案：A5. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是？A. 5B. 7C. 8D. 9答案：A6. 函数 \( y = 2x + 3 \) 的图像是一条？A. 直线B. 曲线C. 抛物线D. 双曲线答案：A7. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 圆C. 任意三角形D. 不规则多边形答案：B8. 一个数的相反数是-5，这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 以上都不是答案：A9. 以下哪个选项是不等式？A. \( 3x + 2 = 7 \)B. \( 5y - 3 < 2 \)C. \( 4z = 16 \)D. \( 6w \geq 18 \)答案：B10. 一个数的绝对值是5，这个数是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的立方是-8，这个数是 _______。
答案：-212. 一个数除以3余2，除以5余3，这个数最小是 _______。
答案：1313. 一个直角三角形的斜边长为10，一个直角边长为6，另一个直角边长是 _______。
答案：814. 函数 \( y = x^2 - 4x + 4 \) 的顶点坐标是 _______。
吉林省长春市中考数学试卷及答案(Word解析版)
吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（•长春）的绝对值等于（）A．B．4C．D．﹣4考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．解答：解：﹣的绝对值等于，即|﹣|=．故选A．点评：本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（•长春）如图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有1个长方形，位于左边，第二层有2个长方形．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3分）（•长春）我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106B．1.4×107C．1.4×108D．0.14×108考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于14 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．解答：解：14 000 000=1.4×107．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（•长春）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式分析：首先解不等式求得不等式的解集，根据数轴上点的表示法即可判断．解答：解：解不等式得：x＜﹣2．故选D．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（3分）（•长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D 在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行线的性质；直角三角形的性质．分析：首先根据垂直定义可得∠ADE=90°，再根据∠FDE=30°，可得∠ADF=60°，然后根据两直线平行同位角相等可得∠B的大小．解答：解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠FDE=30°，∴∠ADF=90°﹣30°=60°，∵BC∥DF，∴∠B=∠ADF=60°，故选：C．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．6．（3分）（•长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC 弧上，则∠ADB的大小为（）A．46°B．53°C．56°D．71°考点：圆周角定理．分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．解答：解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，∴∠ADB=∠ACB=56°，故选C．点评：本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠ACB的度数和得出∠ACB=∠ADB．7．（3分）（•长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A．B．C．2D．3考点：相似三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：先根据题意判断出△ABD∽△BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．解答：解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，∴△ABD∽△BDC，∴=，即=，解得CD=．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．8．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（）A．B．3C．4D．5考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移分析：根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．解答：解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=4．∴点A′的坐标是（4，3），∴AA′=4．∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（•长春）计算：a2•5a=5a3．考点：单项式乘单项式专题：计算题．分析：利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=5a3．故答案为：5a3．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）（•长春）吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客m人，第二天接待游客n人，则这2天平均每天接待游客人（用含m、n的代数式表示）．考点：列代数式分析：用两天接待的游客总人数除以天数，即可得解．解答：解：2天平均每天接待游客．故答案为：．点评：本题考查了列代数式，比较简单，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．11．（3分）（•长春）如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为28．考点：垂径定理；正方形的性质．分析：根据正方形性质得出BC=7，∠OCB=90°，根据垂径定理得出CM=2BC，推出MN=4BC，代入求出即可．解答：解：∵四边形OABC是正方形，∴BC=7，∠OCB=90°，∴OC⊥MN，∴由垂径定理得：MN=2CM，∵点B是CM的中点，∴CM=2BC，∴MN=4BC=4×7=28，故答案为：28．点评：本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出MN=4BC．12．（3分）（•长春）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC 的大小为65度．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据作法可得AB=CD，BC=AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．解答：解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB=CD，BC=AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA，∴∠ADC=∠B=65°．故答案为：65．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据作法得到全等三角形相等的边是解题的关键．13．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k 的值为．考点：正多边形和圆；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：连接OB，过B作BM⊥OA于M，得出等边三角形AOB，求出OB，根据锐角三角函数求出BM和OM，即可得出B的坐标，代入即可求出答案．解答：解：连接OB，过B作BM⊥OA于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∴BM=OB•sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB•COS60°=3，即B的坐标是（3，3），∵B在反比例函数位于第一象限的图象上，∴k=3×3=9，故答案为：9．点评：本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．14．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为6．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y=，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．解答：解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y=3时，=3，解得x=±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3﹣（﹣3）=6．故答案为6．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（•长春）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：将的分子因式分解，然后约分；再将（x﹣2）2展开，合并同类项后再代入求值即可．解答：解：原式==4x+x2﹣4x+4=x2+4．当x=时，原式==11．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分、通分是解题的关键．16．（6分）（•长春）甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有1个白球和2个红球，乙的口袋中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各自口袋中随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的概率．考点：列表法与树状图法专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出的求颜色相同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：甲乙结果白红红白（白，白）（红，白）（红，白）白（白，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中颜色相同的情况有4种，则P（两人摸出的球颜色相同）=．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（•长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．考点：分式方程的应用．分析：首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方即可．解答：解：设第一组有x人．根据题意，得=，解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．18．（7分）（•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．考点：平行四边形的性质专题：证明题．分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B，从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．解答：证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF=BF，∴AD=BF．点评：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．19．（7分）（•长春）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．解答：解：由题意知，DE=AB=2.17，∴CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10．在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，∴AC===≈22.7（米）．答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（7分）（•长春）某校学生会为了解学生在学校食堂就餐剩饭情况，随机对上周在食堂就餐的n名学生进行了调查，先调查是否剩饭的情况，然后再对其中剩饭的每名学生的剩饭次数进行调查．根据调查结果绘制成如下统计图．（1）求这n名学生中剩饭学生的人数及n的值．（2）求这n名学生中剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的百分比．（3）按上述统计结果，估计上周在学校食堂就餐的1 200名学生中剩饭2次以上的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：计算题．分析：（1）由条形统计图中的数据相加即可求出n名学生中剩饭的学生人数，除以剩饭学生所占的百分比即可求出学生的总数，即为n的值；（2）根据条形统计图得到剩饭2次以上的人数，除以n的值，即可求出结果；（3）根据（2）中求出的百分比，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：这n名学生中剩饭学生的人数为58+41+6=105（人），n的值为105÷70%=150，则这n名学生中剩饭的学生有105人，n的值为150；（2）根据题意得：6÷150×100%=4%，则剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的4%；（3）根据题意得：1200×4%=48（人）．则估计上周在学校食堂就餐的1200名学生中剩饭2次以上的约有48人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（•长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．考点：一次函数的应用分析：（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．解答：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y=k1x+b1．∵图象经过（3，0）、（5，50），∴∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣75．设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+b2．∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）=25，∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=，∴E（，160），∴，解得：∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣112.5．（2）由题意，得甲队每小时清理路面的长为 100÷5=20，甲队清理完路面的时间，x=160÷20=8．把x=8代入y=25x﹣112.5，得y=25×8﹣112.5=87.5．答：当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（9分）（•长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为152．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．分析：探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．解答：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形AFCE为矩形，∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，∵在△AFB和△AED中，，∴△AFB≌△AED（AAS），∴AF=AE，∴四边形AFCE为正方形，∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，则∠ADF+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC•AE+CD•AF=×10×19+×6×19=95+57=152．故答案为：152．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．23．（10分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））考点：二次函数综合题分析：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2﹣x﹣2，即可求出m的值；（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴解得∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2﹣x﹣2；（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴点C的坐标为（m，2），∵点C（m，2）在抛物线上，∴m2﹣m﹣2=2，解得m1=，m2=．∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴点D的坐标为（m，﹣2）．又∵抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（，﹣2）；②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），∴点E1的（m﹣2，0），∵点E1在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m﹣2=，解得m=；如果E点在E2的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E2的（m+2，﹣4），∵点E2在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+2=，解得m=﹣；如果E点在E3的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E3的（m，2），∵点E3在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m=；如果E点在E4的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E4的（m+4，﹣2），∵点E4在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+4=，解得m=﹣；综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=﹣或m=﹣或m=或m=．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．24．（12分）（•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A ﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．考点：四边形综合题．分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S 与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，在△BPM和△RQM中，∴△BPM≌△RQM．∴BP=RQ，∵RQ=AB，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤时，如图④．∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合．∴t=．当＜t≤时，如图⑤．∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC 时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，解得：t=．∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．。
2023年吉林省长春市中考数学真题(原卷与解析)
2023年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.实数a 、b 、c 、d 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A.aB.bC.cD.d2.长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）A.80.3810⨯ B.63810⨯ C.83810⨯ D.73.810⨯3.下列运算正确的是（）A.32a a a -= B.23a a a ⋅= C.()325a a = D.623a a a ÷=4.下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点，只要量出A B ''的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（）A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D.两点之间线段最短6.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25︒角（即25BAC ∠=︒）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米），则彩旗绳AB 的长度为（）A.32sin 25︒米B.32cos 25︒米C.32sin 25︒米D.32cos 25︒米7.如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A.AD AE =B.AD DF =C.DF EF =D.AF D E⊥8.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结AB ，AB =，则k 的值为（）A.3B.C.4D.6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9.分解因式：21a -=____．10.若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．11.2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）12.如图，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::，则ABC 和A B C ''' 的周长之比为__________．13.如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．14.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中33a =．16.班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．17.随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？18.将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形；（2）己知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．19.近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Indcx ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ，体重60kg ，则他的260BMI 23.41.60=≈．中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5BMI 24≤<为正常；24BMI 28≤<为偏胖；BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ，BMI 值为27，他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）20.图①、图②、图③均是55 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC ，点C 在格点上．（1）在图①中，ABC 的面积为92；（2）在图②中，ABC 的面积为5（3）在图③中，ABC 是面积为52的钝角三角形．21.甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22.【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若2PB PA =，则PB PC的值为__________．23.如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ ∠=︒，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；（2）当点Q 和点D 重合时，求tan PQE ∠；（3）当点P 在边AD 上运动时，POE △的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；（4）作点E 关直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．24.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．2023年长春市初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.【答案】B 【解析】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c ∴，∴这四个数中绝对值最小的是b .故选：B .2.【答案】D【解析】解：738000000 3.810=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】A 选项，3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；C 选项，()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．4.【答案】C【解析】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：O 为AA '、BB '的中点，OA OA ∴'=，OB OB '=，AOB A OB ''∠=∠ （对顶角相等），∴在AOB 与A OB ''△中，OA OA AOB A OB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩'，()SAS AOB A OB ''∴△≌△，AB A B ''∴=，故选：A ．6.【答案】D【解析】解： AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形，32cos 25cos 25AC AB ∴==︒︒（米）.故选：D .7.【答案】B【解析】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ⊥，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =-=-，又∵90ACB ∠=︒，AB =，∴()()(22211k k -+-=∴13k -=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9.【答案】()()11a a +-．【解析】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-10.【答案】1m <【解析】解： 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=--⨯⨯=->解得：1m <，故答案为：1m <．11.【答案】()7.510x -【解析】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x -．故答案为：()7.510x -．12.【答案】1:3【解析】解：12OA AA '= ::，:1:3OA OA '∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ''' 周长为2l ，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴=='．12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ''' 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．13.【答案】45【解析】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒，∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒，108AB F B '∠=∠=︒，在AFB 'V 中，1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：45．14.【答案】19【解析】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y ∴=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.【答案】31a +1+【解析】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当33a =时，原式33113=⨯+=16.【答案】49【解析】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49，答：某同学获一等奖的概率为49．17.【答案】原计划平均每天制作200个摆件．【解析】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，3000300051.5x x=+解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．18.【答案】（1）见解析；（2）18【解析】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=︒，AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；（2）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=︒，四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=︒，ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BCD CDA ∴∠=∠，6cm BC BD ∴==，18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．19.【答案】（1）见解析（2）110人（3）9【解析】（1）抽取了735%20÷=人，属于偏胖的人数为：202738---=，补全统计图如图所示，（2）8320011020+⨯=（人）（3）设小张体重需要减掉kg x ，依题意，227241.70x -<解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ，故答案为：9．20.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；（2）由网格可知，AB ==以AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ，答案不唯一，（3）如图所示，作5BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，22215BD AB ==+=，10AD =，∴ABD △是直角三角形，且AB BD⊥∵CD AB∥∴15·22ABC S AB BD == ．21.【答案】（1）12180y x =-（2）180【解析】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12180k b =⎧⎨=-⎩，∴12180y x =-()1540x ≤≤；（2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11460k b =⎧⎨=⎩，∴460y x =+()2560x ≤≤；联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22.【答案】感知：45；探究：见解析；应用：223．【解析】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒，故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+ ，PA PC ∴+=，PB =，4PA PC PA ∴+==，3PC PA ∴=，33PB PC PA ∴==，故答案为：3．23.【答案】（1）13（2）32（3）见解析（4）93502t -<≤或176t =或7t =【解析】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=︒∵90PEQ ∠=︒，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，22223213BQ BE QE =+=+=13（2）如图所示，∵90PEQ ∠=︒，90PBE ECD ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，∴13∠=∠∴PBE ECD∽∵2BE =，3CD AB ==，∴2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===；（3）如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，∵90PEQ ∠=︒，90PHE ECQ ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =-=-=∴PH EC =，∴PHE ECQ≌∴PE QE=∴POE △是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，2222325AF QF AQ =-=-=，则35BF =-，∵PE t =，则2BP t =-，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，∴(()222352t t =-+-解得：9352t -=当9352t -<时，点F 在矩形内部，符合题意，∴93502t -<≤符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =-=-，PE =()325AP AB PB t t =-=--=-，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t -=-+，解得：176t =，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，93502t -<≤或176t =或7t =．24.【答案】（1）222y x x =-++；顶点坐标为()1,3（2）()3,0A （3）1m =-或2m =-或512m +=或2112m -=（4）22m =-+23m =-或12m =-【解析】（1）解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++，得，2422b =-++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =-++；∵222y x x =-++()213x =--+，∴顶点坐标为()1,3，（2）解：由222y x x =-++，当0y =时，2220x x -++=，解得：1213,13x x ==+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <．∴1m 1->∴113m -=+解得：3m =-，∵点A 的坐标为(,0)m ，∴()A ；（3）①如图所示，当111m <-<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，∵顶点坐标为()1,3，()1P 则纵坐标之差为303-=依题意，32m=-解得：1m =-；②当11m -≥+m ≤时，∵()()()21,1212B m m m ---+-+，即()21,3B m m --+，依题意，()2332m m --+=-，解得：2m =-或1m =（舍去），③当111m <-<，即0m <<则232m m -+=-，解得：512m =或152m -=（舍去），④当113m -≤3m ≥，则()2032m m --+=-，解得：2112m -=（舍去）或2112m =，综上所述，1m =-或2m =-或512m =或2112m =；（4）解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴13113m -<-<+∴33m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD CODS S = ∵AOBC AOC BOC S S S =+ ,BOC BCD CODS S S =+ ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =，∴23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++，即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭，解得：2m =-（舍去）或2m =-②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S = ，BCD COD S S = ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =解得：2m =-，③如图所示，设BOC S S = ，则12DBC S S = ，∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ∴12AOC CDF S S = ，∴CF AO =，∴()2,3F m m --+，∵,B F 关于1x =对称，∴112m m -+-=，解得：12m =-，综上所述，2m =-+或2m =-或12m =-．。
长春数学中考试题及答案
长春数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可以是：A. 0B. 1C. -1D. 0和13. 已知一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，那么它的体积是：A. 480立方厘米B. 240立方厘米C. 360立方厘米D. 600立方厘米4. 下列哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 5/6C. 6/9D. 3/45. 一个数除以3的商是8，余数是2，那么这个数是：A. 24B. 26C. 27D. 256. 一个等腰三角形的两个底角相等，顶角是80度，那么底角的度数是：A. 50度B. 60度C. 70度D. 80度7. 下列哪个选项是3的倍数？A. 12B. 21C. 33D. 448. 一个数的60%是120，那么这个数是：A. 180B. 200C. 220D. 2409. 一个正方形的周长是32厘米，那么它的面积是：A. 64平方厘米B. 100平方厘米C. 128平方厘米D. 144平方厘米10. 一个数的1/5与它的1/4的和等于这个数的：A. 1/20B. 9/20C. 1D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的1.5倍是45，那么这个数是______。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是______元。
13. 一个长方体的体积公式是______（长×宽×高）。
14. 一个数的2/3加上它的1/4等于这个数的______。
15. 一个数的75%是150，那么这个数的40%是______。
三、解答题（共50分）16. 一块梯形的苗圃，上底长是20米，下底长是35米，高是15米。
求这块苗圃的面积。
（6分）17. 小明和小红合伙买了一些文具，小明出了总钱数的2/5，小红出了96元。
这些文具的总价是多少元？（6分）18. 一个长方体的长是12厘米，宽是10厘米，高是8厘米。
2022年吉林省长春市中考数学试卷和答案解析
2022年吉林省长春市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（）A．18×105B．1.8×106C．1.8×107D．0.18×107 3．（3分）不等式x+2＞3的解集是（）A．.x＜1B．.x＜5C．x＞1D．.x＞5 4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．a＜b C．b﹣1＜0D．ab＞0 5．（3分）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（）A．sinα＝B．sinα＝C．sinα＝D．sinα＝6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE＝ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x 轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（）A．B．C．D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2+3m＝．10．（3分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为．11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为．12．（3分）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为厘米．（结果保留π）13．（3分）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y 的最小值为1，则a的值为．三、参考答案题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．16．（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．17．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC 全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE ∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．20．（7分）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是年；（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是；（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了件，专利授权量年增长率提高了个百分点；（注：1%为1个百分点）（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C 的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°．∴AF＝AB＝AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】（1）∠DAG的度数为度，的值为；（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q 在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为．（用含a的代数式表示）23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M 为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM 的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，（1）点D到边AB的距离为；（2）用含t的代数式表示线段DP的长；（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．参考答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【参考答案】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，故选：A．【解析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2．【参考答案】解：1800000＝1.8×106，故选：B．【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【参考答案】解：x+2＞3，x＞3﹣2，x＞1．故选：C．【解析】本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．4．【参考答案】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；所以：A，C，D都是错误的；故选：B．【解析】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5．【参考答案】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，sinα＝sin∠ABC＝，故选：D．【解析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．6．【参考答案】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．【解析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．7．【参考答案】解：由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得AF＝BF，故A选项不符合题意；∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF＝90°，∴∠DBF+∠DFB＝90°，故C选项不符合题意；∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠EBC，∵AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠EBC，故D选项不符合题意；根据已知条件不能得出AE＝AC，故B选项符合题意．故选：B．【解析】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是参考答案本题的关键．8．【参考答案】解：作MN⊥x轴于N，∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，∴P（，2），∴PQ＝2，∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，∴MN＝QM＝1，∴QN＝＝，∴M（+，1），∵点M也在该反比例函数的图象上，∴k＝+，解得k＝2，故选：C．【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【参考答案】解：m2+3m＝m（m+3），故答案为：m（m+3）．【解析】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．10．【参考答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4c＝0，解得c＝．故答案为：．【解析】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．11．【参考答案】解：依题意得：7x+7＝9（x﹣1），解得：x＝8，故答案为：8．【解析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．12．【参考答案】解：的长＝＝＝．故答案为：．【解析】本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．13．【参考答案】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB ＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【解析】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．14．【参考答案】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．三、参考答案题（本大题共10小题，共78分）15．【参考答案】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．【解析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．【参考答案】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，∴两次分数之和不大于3的概率为．【解析】本题考查了用树形图概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【参考答案】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意，得，解得x＝400，经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．【解析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．18．【参考答案】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．【解析】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19．【参考答案】（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20．【参考答案】解：（1）根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，故答案为：2020；（2）把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，位于正中间的是18.1%，∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，故答案为：18.1%；（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373﹣11894＝5479件；专利授权量年增长率提高了46.0%﹣15.8%＝30.2%，专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，故答案为：5479，30.2；（4）①因为2017年的专利授权量的增长量为8190﹣7062＝1128件，2019年的专利授权量的增长量11894﹣10268＝1626件，所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误，故答案为：×；②因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确，故答案为：√；根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，故答案为：√．【解析】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确参考答案的关键．21．【参考答案】解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，n＝m+4＝2+4＝6，故答案为：2，6；（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：，解得，∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），当x＝时，y＝60×+80＝300，∴甲车距A地的路程为300千米．【解析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．22．【参考答案】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°，∴AF＝AB＝AD．由折叠得，∠CFG＝∠GFH＝45°，∴∠AFG＝∠AFE+∠GFE＝45°+45°＝90°，∴∠AFG＝∠D＝90°，又AD＝AF，AG＝AG，∴△ADG≌△AFG（HL）．【结论应用】（1）由折叠得，∠BAF＝∠EAF，又∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝∠BAE＝×90°＝45°，由△ADG≌△AFG得，∠DAG＝∠FAG＝∠FAD＝×45°＝22.5°，∠AFG＝∠ADG＝90°，又∠AFB＝45°，∴∠GFC＝45°．∴∠FGC＝45°．∴GC＝FC．设AB＝x，则BF＝x，AF＝x＝AD＝BC，∴FC＝BC﹣BF＝x﹣x＝（﹣1）x，∴GF＝FC＝（2﹣）x．∴＝＝﹣1．故答案为：22.5；﹣1．（2）如图，连接FD，∵DG＝FG，∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF＝∠BAF＝45°，∴∠APR＝45°，∴AR＝PR，又AR2+PR2＝AP2＝（）2＝，∴AR＝PR＝a，∴DR＝AD﹣AR＝a﹣a＝a．在Rt△DPR中，AR2+PR2＝DP2，∴DP＝a．∴PQ+FQ的最小值为a．故答案为：a．【解析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是参考答案本题的关键．23．【参考答案】解：（1）连接DM，∵DA＝DB，点M是AB的中点，∴DM⊥AB，AM＝2，在Rt△ADM中，由勾股定理得，DM＝＝，故答案为：3．（2）当点P在AD上时，即0≤t＜1时，PD＝AD﹣AP＝﹣t，当点P在BD上时，即1≤t≤2时，PD＝t﹣，∴PD＝；（3）∵A'M＝2，DM＝3，∴A'D≥1，∴当点D、A'、M共线时，DA'最短，∴∠AMP＝∠DMP，∴，∴S△APM＝＝＝，∴S△PDA'＝S△ADM﹣2S△AMP＝3﹣2×＝；（4）当点A'在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，∵AD＝BC，∠DAM＝∠CBH，∠DMA＝∠CHB，∴△AMD≌△BHC（AAS），∴BH＝AM＝2，CH＝DM＝3，∵MQ平分∠CMB，∴∠GMQ＝∠QMH，∵∠QGM＝∠QHM，MQ＝MQ，∴△MQG≌△MQH（AAS），∴MG＝AH＝4，QH＝QG，∴CG＝1，∴tan∠MCH＝，∴，∴QG＝，∴，∵AP＝，∴AN＝2t，PN＝3t，∵∠AMP＝∠A'MP，∠CMQ＝∠QMH，∴∠PMQ＝90°，∴∠QMH＝∠MPN，∴MN＝t，∴2t+t＝2，∴t＝；当A'在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，由题意知BP＝2﹣t，同理得，PT＝6﹣3t，BT＝4﹣2t，MT＝18﹣9t，∴18﹣9t+4﹣2t＝2，∴t＝，综上：t＝或．【解析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH＝是解题的关键．24．【参考答案】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；（2）如图1中，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，∵BC∥x，∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，∴点B的横坐标为﹣1，∴B（﹣1，3）；（3）如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，∴PQ＝PQM＝MN＝2m，∴正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由，解得或，∴A（3，3），观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x的增大而增大．如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3；（4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+，由，解得，或，∵点A在第四象限，∴A（，﹣），∴m＝．如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴A（，﹣），∴m＝．如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，此时m ＝﹣，综上所述，满足条件的m的值为或或﹣．【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
长春市中考数学试题及答案
长春市中考数学试题及答案【注意：以下为长春市中考数学试题及答案，请按照试题格式合理排版。
】题目：长春市中考数学试题及答案一、选择题1. 设正数a = 3/5，将a化成小数形式是：A. 0.6B. 0.35C. 1.5D. 0.152. 若a = 2^3 × 3^4，a = 2^5 × 3^2，则ab的值为：A. 2^8 × 3^6B. 2^15 × 3^6C. 2^8 × 3^8D. 2^7 × 3^6二、解答题1. 计算：29.8 ÷ (0.06 × 2 ÷ 0.03)解：步骤一：29.8 ÷ (0.06 × 2 ÷ 0.03)步骤二：29.8 ÷ (0.12 ÷ 0.03)步骤三：29.8 ÷ 4答案：7.452. 若2x - 5y = 8，3x + 4y = 1，请求解x和y的值。
解：步骤一：2x - 5y = 8步骤二：3x + 4y = 1步骤三：乘以2得到4x - 10y = 16步骤四：乘以3得到9x + 12y = 3步骤五：将两个等式相加，得到13x + 2y = 19步骤六：将十三x移到一边得到x = (19 - 2y)/13步骤七：代入第一个等式得到2(19 - 2y)/13 - 5y = 8步骤八：化简得到38 - 4y - 65y = 104步骤九：-69y = 66步骤十：y = -66/69步骤十一：代入x = (19 - 2y)/13，得到x = 121/69答案：x = 121/69，y = -66/69【注意：以上为长春市中考数学试题及答案，请将试题与答案合理地整理排版，以确保内容清晰易读。
】。
2022年吉林省长春市中考数学试卷(解析版)
2022年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（）A．18×105B．1.8×106C．1.8×107D．0.18×1073．（3分）不等式x+2＞3的解集是（）A．.x＜1B．.x＜5C．x＞1D．.x＞54．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．a＜b C．b﹣1＜0D．ab＞05．（3分）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（）A．sinα＝B．sinα＝C．sinα＝D．sinα＝6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE＝ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为（）A．B．C．D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2+3m＝．10．（3分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为．11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为．12．（3分）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为厘米．（结果保留π）13．（3分）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．16．（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．17．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ ∽△ABC，且相似比为1：2．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D 作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．20．（7分）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是年；（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是；（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了件，专利授权量年增长率提高了个百分点；（注：1%为1个百分点）（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG ≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BF A＝∠EF A．∴∠EF A＝∠BF A＝45°．∴AF＝AB＝AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】（1）∠DAG的度数为度，的值为；（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为．（用含a的代数式表示）23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P 从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，（1）点D到边AB的距离为；（2）用含t的代数式表示线段DP的长；（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DP A'的面积；（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x 的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．2022年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．【解答】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2．（3分）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（）A．18×105B．1.8×106C．1.8×107D．0.18×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1800000＝1.8×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）不等式x+2＞3的解集是（）A．.x＜1B．.x＜5C．x＞1D．.x＞5【分析】利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．【解答】解：x+2＞3，x＞3﹣2，x＞1．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．a＜b C．b﹣1＜0D．ab＞0【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；所以：A，C，D都是错误的；故选：B．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5．（3分）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（）A．sinα＝B．sinα＝C．sinα＝D．sinα＝【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，sinα＝sin∠ABC＝，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到∠A＝180°﹣121°＝59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD＝2∠A的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）A．AF＝BF B．AE＝ACC．∠DBF+∠DFB＝90°D．∠BAF＝∠EBC【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得AF＝BF，故A选项不符合题意；∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF＝90°，∴∠DBF+∠DFB＝90°，故C选项不符合题意；∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠EBC，∵AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠EBC，故D选项不符合题意；根据已知条件不能得出AE＝AC，故B选项符合题意．故选：B．【点评】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为（）A．B．C．D．4【分析】作MN⊥x轴于N，根据题意P（，2），PQ＝2，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM＝QP＝2，∠POM＝60°，即可得出∠MQN＝30°，即可得出MN＝QM＝1，QN＝＝，得到M（+，1），代入反比例函数解析式即可求得k的值．【解答】解：作MN⊥x轴于N，∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，∴P（，2），∴PQ＝2，∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．∴QM＝QP＝2，∠POM＝60°，∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，∴MN＝QM＝1，∴QN＝＝，∴M（+，1），∵点M也在该反比例函数的图象上，∴k＝+，解得k＝2，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2+3m＝m（m+3）．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：m2+3m＝m（m+3），故答案为：m（m+3）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．10．（3分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4c＝0，解得c＝．故答案为：．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．11．（3分）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为8．【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程组求得．【解答】解：依题意得：7x+7＝9（x﹣1），解得：x＝8，故答案为：8．【点评】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．12．（3分）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA＝5厘米，则的长度为厘米．（结果保留π）【分析】弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR．（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．13．（3分）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【点评】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．14．（3分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为﹣1﹣．【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，∴两次分数之和不大于3的概率为．【点评】本题考查了用树形图概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（6分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？【分析】设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意，得，解得x＝400，经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是直角三角形；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图，点P，点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D 作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；（2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB＝a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20．（7分）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年；（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是18.1%；（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了5479件，专利授权量年增长率提高了30.2个百分点；（注：1%为1个百分点）（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．×②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．√③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．√【分析】（1）观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；（2）先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；（3）分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；（4）①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率当年专利授权量﹣上一年专利授权量x100%，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，故答案为：2020；（2）把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，位于正中间的是18.1%，∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，故答案为：18.1%；（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373﹣11894＝5479件；专利授权量年增长率提高了46.0%﹣15.8%＝30.2%，专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，故答案为：5479，30.2；（4）①因为2017年的专利授权量的增长量为8190﹣7062＝1128件，2019年的专利授权量的增长量11894﹣10268＝1626件，所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误，故答案为：×；②因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确，故答案为：√；根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，故答案为：√．【点评】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）m＝2，n＝6；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，【分析】根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所有时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．【解答】解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，n＝m+4＝2+4＝6，故答案为：2，6；（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：，解得，∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），当x＝时，y＝60×+80＝300，∴甲车距A地的路程为300千米．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG ≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BF A＝∠EF A．∴∠EF A＝∠BF A＝45°．∴AF＝AB＝AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】（1）∠DAG的度数为22.5度，的值为﹣1；（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为a．（用含a的代数式表示）【分析】【问题解决】根据折叠的性质可得AD＝AF，∠AFG＝∠D＝90°，由HL可证明结论；【结论应用】（1）根据折叠的性质可得∠DAG＝∠DAF＝22.5°；证明△GCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；（2）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR＝AR＝a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【解答】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BF A＝∠EF A．∴∠EF A＝∠BF A＝45°，∴AF＝AB＝AD．由折叠得，∠CFG＝∠GFH＝45°，∴∠AFG＝∠AFE+∠GFE＝45°+45°＝90°，∴∠AFG＝∠D＝90°，又AD＝AF，AG＝AG，∴△ADG≌△AFG（HL）．【结论应用】（1）由折叠得，∠BAF＝∠EAF，又∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝∠BAE＝×90°＝45°，由△ADG≌△AFG得，∠DAG＝∠F AG＝∠F AD＝×45°＝22.5°，∠AFG＝∠ADG＝90°，又∠AFB＝45°，∴∠GFC＝45°．∴∠FGC＝45°．∴GC＝FC．设AB＝x，则BF＝x，AF＝x＝AD＝BC，∴FC＝BC﹣BF＝x﹣x＝（﹣1）x，∴GF＝FC＝（2﹣）x．∴＝＝﹣1．故答案为：22.5；﹣1．（2）如图，连接FD，∵DG＝FG，∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF＝∠BAF＝45°，∴∠APR＝45°，∴AR＝PR，又AR2+PR2＝AP2＝（）2＝，∴AR＝PR＝a，∴DR＝AD﹣AR＝a﹣a＝a．在Rt△DPR中，AR2+PR2＝DP2，∴DP＝a．∴PQ+FQ的最小值为a．。
2019-2020长春市数学中考试题附答案精选全文完整版
精选全文完整版2019-2020长春市数学中考试题附答案一、选择题1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．62．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°3．如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＜0；③2a +b ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是（ ）A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()222323m n ++=D ．()222349m n ++=5．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ．783230x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．782330x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．302378x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．303278x y x y +=⎧⎨+=⎩6．直线y =﹣kx +k ﹣3与直线y =kx 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且x 1＝﹣x 2，则（ ） A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝﹣y 28．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（） A ．()11362x x -= B ．()11362x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=9．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列计算正确的是（ ） A ．()3473=a ba b B ．()232482--=--b a bab bC ．32242⋅+⋅=a a a a aD ．22(5)25-=-a a11．今年我市工业试验区投资50760万元开发了多个项目，今后还将投资106960万元开发多个新项目，每个新项目平均投资比今年每个项目平均投资多500万元，并且新增项目数量比今年多20个．假设今年每个项目平均投资是x 万元，那么下列方程符合题意的是（ ） A ．1069605076020500x x -=+B ．5076010696020500x x -=+ C ．1069605076050020x x-=+D ．5076010696050020x x -=+ 12．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-二、填空题13．色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表： 抽取的体检表数n 501002004005008001000120015002000色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138色盲患者的频率m/n0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n 的值为___．15．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ．16．已知扇形AOB 的半径为4cm ，圆心角∠AOB 的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm17．使分式的值为0，这时x=_____．18．分式方程32x x 2--+22x-=1的解为________. 19．已知一组数据6，x ，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____． 20．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．三、解答题21．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：()1填写下表：中位数众数 随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)()2估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．22．2x =600答：甲公司有600人，乙公司有500人.点睛：本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意找出等量关系，通过设未知数并根据等量关系列出方程.23．先化简，再求值： 233212-),322x x x x x x （其中+-+÷=++24．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩25．直线AB 交⊙O 于C 、D 两点，CE 是⊙O 的直径，CF 平分∠ACE 交⊙O 于点F ，连接EF ，过点F 作FG∥ED 交AB 于点G ．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG＝4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键. 2．C解析：C【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；故选C ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC 的度数是解决问题的关键．3．B解析：B 【解析】 【分析】由图像可知a ＞0，对称轴x=-2ba=1，即2a +b =0，c ＜0，根据抛物线的对称性得x=-1时y=0，抛物线与x 轴有2个交点，故△＝b 2﹣4ac ＞0，由此即可判断. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0，∴abc ＞0，所以①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∵x ＝﹣1时，y ＝0， ∴a ﹣b +c ＝0，所以②错误； ∵b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以④正确． 故选B ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可. 【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点，∴32a m -+=，02bn +=， ∴23,2a m b n =+=，又,a b 满足等式：229a b +=， ∴()222349m n ++=， 故选D ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意得：303278x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选D ．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．6．B解析：B 【解析】 【分析】若y=kx 过第一、三象限，则k ＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A 、D 进行判断；若y=kx 过第二、四象限，则k ＜0，-k ＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y 轴的交点在x 轴下方，则可对B 、C 进行判断． 【详解】A 、y=kx 过第一、三象限，则k ＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A 选项错误；B 、y=kx 过第二、四象限，则k ＜0，-k ＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y 轴的交点在x 轴下方，所以B 选项正确；C 、y=kx 过第二、四象限，则k ＜0，-k ＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y 轴的交点在x 轴下方，所以C 选项错误；D 、y=kx 过第一、三象限，则k ＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D 选项错误． 故选B ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b （k≠0）的图象为一条直线，当k ＞0，图象过第一、三象限；当k ＜0，图象过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为（0，b ）．7．D解析：D 【解析】由题意得：1212k ky y x x ==-=- ，故选D. 8．A解析：A 【解析】 【分析】共有x 个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】解：设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：12x （x ﹣1）＝36， 故选：A ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形． 故选A ．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案. 【详解】A.43123()a b a b =，故该选项计算错误，B.()232482b a bab b --=-+，故该选项计算错误，C.32242⋅+⋅=a a a a a ，故该选项计算正确，D.22(5)1025a a a -=-+，故该选项计算错误， 故选B. 【点睛】本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵今后项目的数量﹣今年的数量=20，∴1069605076020500x x-=+．故选A ．考点：由实际问题抽象出分式方程．12．C解析：C 【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误；B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误；C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．二、填空题13．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数007左右故男性中男性患色盲的概率为007故解析：07 【解析】 【分析】随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率． 【详解】解： 观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右， 故男性中，男性患色盲的概率为0.07 故答案为：0.07． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．14．【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=ADBC∥OA 根据D （84）和反比例函数的图象经过点D 求出k=32C 点的纵坐标是2×4=8求出C 的坐标即可得出答案∵四边形ABCO 是菱形∴CD=ADBC∥OA解析：【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，∵D （8，4），反比例函数的图象经过点D，∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴，把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，故答案为2．15．3【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-02-05=03考点：概率公式解析：3.【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．考点：概率公式．16．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面解析：1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式，可设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr=904180π⨯，解得r=1．故答案为：1.点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法18．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分 解析：x 1=【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．【详解】方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，解得：x 1=，检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，所以分式方程的解为x 1=，故答案为x 1=．【点睛】考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．19．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主解析：4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．【详解】∵数据6，x ，3，3，5，1的众数是3和5，∴x=5，则这组数据为1、3、3、5、5、6， ∴这组数据的中位数为352+=4， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键. 20．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．三、解答题21．()14，4；()2 3150分．【解析】【分析】()1根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；()2算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．【详解】解：()1由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4∵成绩在4分的同学人数最多∴本组数据的众数是4故填表如下：中位数 众数 随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)4 4 ()2随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：1229313414512x 3.5(50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==分)． 估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.59003150(⨯=分)． 【点睛】考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．22．无23．11;12x -- 【解析】【分析】根据分式的运算顺序及运算法则化简所给的分式，化为最简后再代入求值即可.【详解】原式=()23x 3x 22-)x 2x 1++⨯+-（ ，()()22433221x x x x x +--+=⨯+-，()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x=3时，原式=113-=12- 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，利用分式的运算顺序及运算法则把分式化为最简是解题的关键.24．114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．25．（1）证明见解析（2）48【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，继而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案.【详解】（1）连接FO，∵ OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG＝∠FCE．∴∠OFC＝∠FCG．∵ CE是⊙O的直径，∴∠EDG＝90°，又∵FG//ED，∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，∴∠GFC＋∠FCG＝90°∴∠GFC＋∠OFC＝90°，即∠GFO＝90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）延长FO，与ED交于点H，由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE＝HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG＝HD，∴HE＝FG＝4.∴ED＝8.∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，∴OH3．∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8．S四边形FGDH＝12(FG＋ED)•FH＝12×(4＋8)×8＝48．。
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长春市2015年中考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．3-的绝对值是
（ ）
（A ）3 （B ）3- （C ）13
（D ）1
3-
2．在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000的外墙保暖，632000这个数用科学记数法表示为
（ ）
（A ）463.210⨯
（B ）56.3210⨯
（C ）60.63210⨯ （D ）66.3210⨯ 3．计算23()a 的结果是
（ ） （A ）23a （B ）5a （C ）6a （D ）3a
4．图中的两个圆柱体底面半径相同而高度不同，关于这两个圆柱体的视图说法正确的是 （ ）
（A ）主视图相同 （B ）俯视图相同 （C ）左视图相同 （D ）主视图、俯视图、左视图都相同 5．方程2230x x -+=的根的情况是 （ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）只有一个实数根
（C ）没有实数根
（D ）有两个不相等的实数根
1
D
C
B A
O B
C
D
A
x
y A
B
O
第4题 第5题 第6题 第7题
6．如图，在ABC △中，AB AC =，过A 点作//AD BC ，若170∠=︒，则BAC ∠的大小为 （ ） （A ）30︒ （B ）40︒ （C ）50︒ （D ）70︒
7．如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则ADC ∠的大小为 （ ）
（A ）45︒ （B ）50︒ （C ）60︒ （D ）75︒ 8．如图，在平面直角坐标系中，点(1)A m -，在直线23y x =+上.连结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒，点A 的对应点B 恰好落在直线y x b =-+上，则b 的值为
（ ）
（A ）2-
（B ）1
（C ）
32
（D ）2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．比较大小：2 1．(填“>”，“<”或“=”)
10．不等式3120x -≥的解集为 ．
11．如图，PA 为O 的切线，A 为切点，B 是OP 与O 的交点，若203P OA ∠=︒=，，则
AB 的长为
(结果保留π) ．
B
A
P
O
B C
D O P
A y
x
E
A
D C
B
C
B
D A O
y
x
第11题 第12题 第13题 第
14题
12．如图，在平面直角坐标系中，点P 在函数6
(0)y x x
=>的图象上，过点P 分别作x 轴、y
轴的垂线，垂足分别为A B 、，取线段OB 的中点C ，连结PC 并延长交x 轴于点D ，
则APD △的面积为 ．
13．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，若ABE △的面积为83CE =，
，则线段BE 的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线222y x x =-+上运动，过点A 作AC x ⊥轴
于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：2(1)(2)x x x ++-．其中3x =．
16．在一个不透明的袋子里装有3张卡片，卡片上面分别标有字母a b c 、、，每张卡片除字
母不同外其他都相同，小玲先从盒子中随机抽出一张卡片，记下字母后放回并摇匀，再从盒子中随机抽出一张卡片记下字母，用画树状图（或列表）的方法，求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率．
17．为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km 2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，
实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．
18．如图，CE 是ABC △外角ACD 的平分线，//AF CD 交于CE 点交于点F ，//FG AC
交于CD 点交于点G ，求证：四边形ACGF 是菱形．
F E
C B
D
G A
19．如图，海上B C
、两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛,此时测得B岛在C岛的南偏东43︒，求
、两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）
A B
【参考数据：sin430.68cos430.73tan430.93
，，】
︒=︒=︒=
北
C
43°
A B
20．在“世界家庭日”前夕，某校团委随机抽取了n名本校学生，对“世界家庭日”当天所喜欢的家庭活动方式进行问卷调查，问卷中的家庭活动方式包括：
A．在家里聚餐；B．去影院看电影； C．到公园游玩；D．进行其他活动．
每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种喜欢的活动方式，该校团委收回全部调查问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如下的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）四种方式中最受学生喜欢的方式为（用A、B、C、D作答）；选择该种方式的学生人数占被调查的学生人数的百分比为；
（3）根据统计结果，估计该校1800名学生中喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生多的人数．
n 名学生喜欢的家庭活动方式的人数条形统计图
活动方式
B C D A 60
70
4030
人数50607040302010
21．甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率，从
工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时，甲、乙两台机器各自加工的零件的个数y （个）与加工时间x （时）之间的函数图象分别为折线OA AB -与折线
OC CD -，如图所示．
（1）求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数； （2）求乙机器改变工作效率后y 与x 之间的函数关系式；
（3）求这批零件的总个数．
乙
甲D
C
45B A
6280
110x (时)
y 个)O
22．在矩形ABCD 中，已知AD AB >，在边AD 上取点E ，使AE AB =，连结CE ，过点E
作EF CE ⊥，与边AB 或其延长线交于点F .
猜想：如图①，当点F 在边AB 上时，线段AF 与DE 的大小关系为 .
探究：如图②，当点F 在边AB 的延长线上时，EF 与边BC 交于点G ．判断线段AF 与
DE 的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若25AB AD ==，，利用探究得到的结论，求线段BG 的长．
G
A
B C
D
F
E
E
F D
C B
A
图① 图②
23．如图，在等边ABC △中，6AB AD BC =⊥，于点D ，点P 在边AB 上运动，过点P 作
//PE BC ，与边AC 交于点E ，连结ED ，以PE ED 、为邻边作□PEDF ，设□PEDF 与ABC △重叠部分图形的面积为y ，线段AP 的长为(06)x x <<．
（1）求线段PE 的长（用含x 的代数式表示）； （2）当四边形PEDF 为菱形时，求x 的值； （3）求y 与x 之间的函数关系式；
（4）设点A 关于直线PE 的对称点为点A '，当线段A B '的垂直平分线与直线AD 相交
时，设其交点为Q ，当点P 与点Q 位于直线BC 同侧（不包括点Q 在直线BC 上）
时，直接写出x 的取值范围．
P
E
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(1)4y a x =-+与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交
于点C ，且点B 的坐标为(30)，，点P 在这条抛物线上，且不与B C 、两点重合，过点P 作y 轴的垂线与射线BC 交于点Q ，以PQ 为边作Rt PQF △，使90PQF ∠=︒，点F 在点Q 的下方，且1QF =，设线段PQ 的长度为d ，点P 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求d 与m 之间的函数关系式；
（3）当Rt PQF △的边PF 被y 轴平分时，求d 的值；
（4）以OB 为边作等腰直角三角形OBD ，当03m <<时，直接写出点F 落在OBD △的边上时m 的值．
O x
y C Q P
F
B A。