河北省衡水中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学(文)试题 答案和解析
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14．四棱锥 的底面 为正方形， 底面 ， ，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为 的同一球面上，则 __________．
15．如图所示三棱锥 的顶点 在平面 内， , ，若将该三棱锥以 为轴转动，到点 落到平面 内为止，则 两点所经过的路程之和是__________.
三、解答题
16．（10分）如图所示，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，动点D在线段AB上．
7．B
【解析】
由题设 ，则 ，即 ，也即 ，所以 ，又由图像及 可得 ，则 ，所以 ，应选答案B。
点睛：解答本题的关键是确定函数中的参数 的值，进而确定函数的解析式 ，将变量赋值 ，从而使得问题获解。
8．A
【解析】
试题分析：由球的性质知，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积．
17．如图，半圆 的直径 长为2， 是半圆 上除 外的一个动点，矩形 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且 ，设平面 与半圆弧的另一个交点为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
18．如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为2的等边三角形， 为 的中点.
3．A
【解析】
斜二测画直观图的原则：“横坐标不变，纵坐标减半”，所以 ， ,
，所以 ,故 为等边三角形，故选
4．C
【解析】
由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积 ，应选答案C。
5．C
【解析】
试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面 边长为 ，侧面 平面 ，点 在底面的射影为 ，所以 ,所以 , , , ,底面边长为 ，所以最长的棱长为 ，故选C.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积的最大值.
21．如图，在直三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直线 上．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 是线段 上一点， ，三棱锥 的体积为 ，求 的值.
参考答案
1．C
【详解】
试题分析： ，选C.
考点：二倍角公式
2．C
【解析】对于答案A.两两相交的三条直线可以交于一点，故不正确；对于答案B.两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线也可以相交或异面，故也不正确；因为过平面外的一点的直线与平面最多只有一个公共点，所以正确；对于答案D.和两条异面直线都相交的两条直线可以相交，如三棱锥内的一个侧面上的两条直线，故特不正确。应选答案C。
A．-2B．2C． D．
8．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（）
A． B． C． D．
9．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
A． B． C． D．
10．在四棱锥 中，底面 是菱形， 底面 是棱 上一点.若 ，则当 的面积为最小值时，直线 与平面 所成的角为（）
因为 ，所以圆弧 长等于
在 中， ，所以
同理得
所以
所以圆弧 长等于
所以两段圆弧之和为
故答案选
考点：球截面．
【方法点睛】解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19．如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折起到 的位置.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)若 ，求五棱锥 的体积.
20．如图，已知平面 平面 ，四边形 是正方形，四边形 是菱形，且 ，点 分别为边 的中点，点 是线段 上的动点.
考点：简单几何体的wk.baidu.com视图．
6．A
【详解】
如图所示，正方体被面ABCD所截，截面ABCD是上底为 ，下底为 ，两腰长为 的等腰梯形，
可得高为 .
其面积为 .
故选A.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
河北省衡水中学【最新】高一下学期期中考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是（）．
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（）
A．两两相交的三条直线可确定一个平面
B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
3．如下图， 是 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 ，那么 是一个（）
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．三边互不相等的三角形
4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．6B．9C．12D．18
5．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为()
A． B．
C． D．
6．一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）
A． B．4C．3D．
7．如图，将绘有函数 ( ， )部分图象的纸片沿 轴折成平面 平面 ，若 之间的空间距离为 ，则 （）
A. B.
C. D.
11．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，连接 ，得到三棱锥 ，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（）
A． B． C． D．
二、填空题
12．直线 （ ）的倾斜角范围是________．
13．将边长为1的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， ， ，其中 与 在平面 的同侧，则异面直线 与 所成角的大小是_________．
15．如图所示三棱锥 的顶点 在平面 内， , ，若将该三棱锥以 为轴转动，到点 落到平面 内为止，则 两点所经过的路程之和是__________.
三、解答题
16．（10分）如图所示，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，动点D在线段AB上．
7．B
【解析】
由题设 ，则 ，即 ，也即 ，所以 ，又由图像及 可得 ，则 ，所以 ，应选答案B。
点睛：解答本题的关键是确定函数中的参数 的值，进而确定函数的解析式 ，将变量赋值 ，从而使得问题获解。
8．A
【解析】
试题分析：由球的性质知，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积．
17．如图，半圆 的直径 长为2， 是半圆 上除 外的一个动点，矩形 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且 ，设平面 与半圆弧的另一个交点为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
18．如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为2的等边三角形， 为 的中点.
3．A
【解析】
斜二测画直观图的原则：“横坐标不变，纵坐标减半”，所以 ， ,
，所以 ,故 为等边三角形，故选
4．C
【解析】
由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积 ，应选答案C。
5．C
【解析】
试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面 边长为 ，侧面 平面 ，点 在底面的射影为 ，所以 ,所以 , , , ,底面边长为 ，所以最长的棱长为 ，故选C.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积的最大值.
21．如图，在直三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直线 上．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 是线段 上一点， ，三棱锥 的体积为 ，求 的值.
参考答案
1．C
【详解】
试题分析： ，选C.
考点：二倍角公式
2．C
【解析】对于答案A.两两相交的三条直线可以交于一点，故不正确；对于答案B.两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线也可以相交或异面，故也不正确；因为过平面外的一点的直线与平面最多只有一个公共点，所以正确；对于答案D.和两条异面直线都相交的两条直线可以相交，如三棱锥内的一个侧面上的两条直线，故特不正确。应选答案C。
A．-2B．2C． D．
8．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（）
A． B． C． D．
9．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
A． B． C． D．
10．在四棱锥 中，底面 是菱形， 底面 是棱 上一点.若 ，则当 的面积为最小值时，直线 与平面 所成的角为（）
因为 ，所以圆弧 长等于
在 中， ，所以
同理得
所以
所以圆弧 长等于
所以两段圆弧之和为
故答案选
考点：球截面．
【方法点睛】解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19．如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折起到 的位置.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)若 ，求五棱锥 的体积.
20．如图，已知平面 平面 ，四边形 是正方形，四边形 是菱形，且 ，点 分别为边 的中点，点 是线段 上的动点.
考点：简单几何体的wk.baidu.com视图．
6．A
【详解】
如图所示，正方体被面ABCD所截，截面ABCD是上底为 ，下底为 ，两腰长为 的等腰梯形，
可得高为 .
其面积为 .
故选A.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
河北省衡水中学【最新】高一下学期期中考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是（）．
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（）
A．两两相交的三条直线可确定一个平面
B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
3．如下图， 是 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 ，那么 是一个（）
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．三边互不相等的三角形
4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．6B．9C．12D．18
5．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为()
A． B．
C． D．
6．一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）
A． B．4C．3D．
7．如图，将绘有函数 ( ， )部分图象的纸片沿 轴折成平面 平面 ，若 之间的空间距离为 ，则 （）
A. B.
C. D.
11．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，连接 ，得到三棱锥 ，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（）
A． B． C． D．
二、填空题
12．直线 （ ）的倾斜角范围是________．
13．将边长为1的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， ， ，其中 与 在平面 的同侧，则异面直线 与 所成角的大小是_________．