衡水中学期中考试高一数学试卷(含答案)
河北省衡水市枣强中学高一数学下学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）2．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣143．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log m（ab）＜1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞84．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a56．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2003的值是（）A．20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×20047．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．88．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A． B．2C． D．9．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．2＜a＜2B．2＜a＜4C． a＜2D．＜a＜210．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A． B． C．或D．或11．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A． B． C． D．12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A． B．C． D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在等比数列{a n}中，若a9•a11=4，则数列前19项之和为．14．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是．16．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），则它的前n项和S n= ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题10分，其它每题12分）17．解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．18．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．20．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+k n．21．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追击所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角，设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇）．22．已知公比为负值的等比数列{a n}中，a1a5=4，a4=﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=++…+，求数列{a n+b n}的前n项和S n．2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．2．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣14【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．3．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log m（ab）＜1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞8【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围【解答】解：∵a，b，a+b成等差数列，∴2b=2a+b，即b=2a．①∵a，b，ab成等比数列，∴b2=a2b，即b=a2（a≠0，b≠0）．②由①②得a=2，b=4．∵0＜logm8＜1，∴m＞1．∵logm8＜1，即logm8＜logm m∴m＞8故选C4．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n=n一个具体的数列进而可验证D、A 不对，得到答案．【解答】解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；若令a n=n，则a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5∴排除D，A．故选B6．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2003的值是（）A．20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×2004【考点】数列递推式．【分析】根据a n+1=a n+2n可知利用叠加法，a2003=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2003﹣a2002），然后利用等差数列求和公式进行求解即可．【解答】解：∵a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a2003﹣a2002=4004，∴a2003=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2003﹣a2002）=0+2+4+…+4004==2003×2002．故选C．7．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．8【考点】等差数列的性质．【分析】由已知中等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，构造方程我们易求出数列{a n}的首项为a1与公差为d的关系，进而得到数列{a n}中正项与负项的分界点，进而得到使前n项和取最大值的正整数n．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∵|a3|=|a9|，∴|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=﹣5d或d=0（舍去）则a1+5d=a6=0a5＞0故使前n项和取最大值的正整数n是5或6故选B8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A． B．2C． D．【考点】正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．【解答】解：由正弦定理，∴故选D．9．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A．2＜a＜2B．2＜a＜4C． a＜2D．＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：∵===2，∴a=2sinA，A+C=180°﹣45°=135°由A有两个值，得到这两个值互补，若A≤45°，则和A互补的角大于等于135°，这样A+B≥180°，不成立；∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解；所以＜sinA＜1，又a=2sinA，所以2＜a＜2．故选A10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A． B． C．或D．或【考点】余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D11．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】余弦定理的应用．【分析】先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．【解答】解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得，故选D．12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A． B．C． D．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB﹣BC列等式求得AB．【解答】解：依题意知，BC=，BD=，∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，∴AB=，故选：A．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在等比数列{a n}中，若a9•a11=4，则数列前19项之和为﹣19 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由条件a9•a11=4，利用等比数列的通项，可知a10=2，从而可求数列前19项之和．【解答】解：a9•a11=4⇒a10=±2（舍去负值，∵a n＞0）∴a10=2∴故答案为﹣1914．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立若a+2=0，显然不成立若a+2≠0，则解得a＞2．综上，a＞215．在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边的取值范围是＜x＜3 ．【考点】余弦定理．【分析】根据三角形三边关系求出c的范围，当∠C为直角时，利用勾股定理确定c的值，故当∠C为钝角时，确定出c的范围即可．【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到c的范围为1＜c＜3，当∠C为直角时，c==，当∠C为钝角时，得到c＞，当∠C为锐角时，B为钝角，此时b为最大边，1＜b＜3，则最大边的范围为＜x＜3．故答案为：＜x＜316．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），则它的前n项和S n= ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】由a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），知a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）n （n+1），所以na n=3n（n+1），即a n=3n+3．由此能求出它的前n项和S n．【解答】解：∵a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+1）（n+2），①∴a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）n（n+1），②①﹣②，得na n=3n（n+1），∴a n=3n+3．∴S n=a1+a2+a3+…+a n=（3×1+3）+（3×2+3）+（3×3+3）+…+（3n+3）=3（1+2+3+…+n）+3n==．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题10分，其它每题12分）17．解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，然后对a值进行分类讨论：a与的大小关系三种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…18．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．19．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【分析】由2sin（A+B）﹣=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，C=60°．又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，∴c=，S△ABC=absinC=×2×=．20．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+k n．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，分别求得项的通项公式，可得，再利用拆项法进行求和，可得结论．【解答】解：设{a n}首项为a1，公差为d，∵a1，a5，a17成等比数列，∴a52=a1a17，∴（a1+4d）2=a1（a1+16d），∴a1=2d．设等比数列公比为q，则 q===3，对项来说，在等差数列中：，在等比数列中：．∴，∴=3n﹣n﹣1．21．一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追击所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角，设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇）．【考点】正弦定理；根据实际问题选择函数类型．【分析】缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇，由条件得到∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，根据各自的速度表示出BC与AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出关系式，求出sinα的值；由余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：由条件知∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=10t，AB=14t，∴由正弦定理=得： =，∴sinα=，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB得：（14t）2=122+（10t）2﹣240tcos120°，解得：t=2或t=﹣（舍），∴t=2小时，sinα=．22．已知公比为负值的等比数列{a n}中，a1a5=4，a4=﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=++…+，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q＜0，由a1a5=4，a4=﹣1．可得， =﹣1，解得即可；（2）由b n=++…+=（n+1）+…+=n，可得a n+b n=+n，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜0，∵a1a5=4，a4=﹣1．∴， =﹣1，解得q=﹣，a1=8．∴=．（2）∵b n=++…+=（n+1）+…+=（n+1）×=n，∴a n+b n=+n，其前n项和S n=+=+．。
2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．已知向量e 1→与e 2→不共线，x ，y ∈R ，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→，则x ﹣y 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．24．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ） A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥5．已知向量a →=(x −1，2)，b →=(2，4)，则“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S 1，下方的圆台侧面积为S 2，则S 1：S 2＝（ ）A ．9：25B ．9：16C ．7：9D ．16：257．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →（m ＞0，n ＞0），则2m+1n的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．48．规定|a bcd |=ad ﹣bc ，若在复平面上的三个点A ，B ，C 分别对应复数0，z ，zi ，其中z 满足|z 1−i1+i 1|=i ，则△ABC 的面积为（ ） A ．25B ．252C ．5D ．52二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知复数z =1+i1−i，则（ ） A ．z 2021是纯虚数B ．若|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值是2C ．z 的共轭复数为﹣iD ．复数z +z •i 在复平面内对应的点在第二象限10．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−1)，c →=(m −2，−n)，e →向量是与b →方向相同的单位向量，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)∥c →，下列说法正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为钝角 B ．向量a →在b →方向上的投影向量为√55e →C ．2m +n ＝4D ．mn 的最大值为211．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＞sin 2B B ．AB →⋅BC →＜0 C ．cb ＜cosAD ．0＜tan A tan C ＜112．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是（ ）A ．AB →+BC →=12HD →B ．OA →+OC →=−OF →C ．AE →⋅CG →=0D ．|OA →−OC →|=√2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 ．14．把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为 ．15．已知a →•b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为4e →．则|b →|＝ ． 16．已知向量a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ)，则|a →−b →|的最大值为 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），且AD →∥BC →． （1）求实数n 的值；（2）若AC →⊥BD →，求实数m 的值．18．（12分）设复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi ，其中x ，y ∈R ，且复数z 1，z 2所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若|z 1|＝|z 2|＝3，求实数x ，y 的值；（2）设z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→与OZ 2→共线，求2x +y 的最小值． 19．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2+b 2﹣c 2＝ab ． （1）求角C 的大小；（2）设向量a →=（2sin A ，1），向量b →=(cosC ，12)，且向量a →，b →共线，判断△ABC 的形状．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm ．（1）求这种“浮球”的体积；（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →．（1）若EF →=xAB →+yAD →，求3x +2y 的值； （2）若|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．22．（12分）已知A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），O 为坐标原点． （1）AC →⋅BC →=−1，求sin2θ的值；（2）若|OA →−OC →|=√7，且θ∈（0，π），求OB →与OC →的夹角．2022-2023学年河北省衡水市武强中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z 1＝2+i ，z 2＝1﹣2i ， ∴z 1•z 2＝（2+i ）（1﹣2i ）＝4﹣3i ，∴z ＝z 1•z 2在复平面内对应的点（4，﹣3）位于第四象限． 故选：D ．2．在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解：若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|，则若|AB →|＝|AC →|＝|AB →−AC →|＝|BC →|，则△ABC 为等边三角形． 故选：A ．3．已知向量e 1→与e 2→不共线，x ，y ∈R ，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→，则x ﹣y 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．2解：∵向量e 1→与e 2→不共线，且有（3x ﹣4y ）e 1→+（2x ﹣3y ）e 2→=6e 1→+3e 2→， ∴{3x −4y =62x −3y =3，两式相减得：x ﹣y ＝3， 故选：B ．4．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ）A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥解：对于A ，正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A 成立； 对于B ，正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B 成立； 对于C ，正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C 成立；对于D ，因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D 不成立； 故选：D ．5．已知向量a →=(x −1，2)，b →=(2，4)，则“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a →与b →夹角为锐角，则a →⋅b →=2（x ﹣1）+8＞0，解得x ＞﹣3， 所以由“a →与b →夹角为锐角”可以推出“x ＞﹣3”，若x ＞﹣3，取x ＝2，则a →=（1，2），此时a →∥b →，a →与b →夹角为0°， 所以由x ＞﹣3”推不出“a →与b →夹角为锐角”，所以“a →与b →夹角为锐角”是“x ＞﹣3”的充分不必要条件． 故选：A ．6．如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为S 1，下方的圆台侧面积为S 2，则S 1：S 2＝（ ）A ．9：25B ．9：16C ．7：9D ．16：25解：由题意可知，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，设圆台的母线长为2l ， 因为一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台， 则平面上方的圆台的母线为l ，上底面半径为3，下底面半径为4， 平面下方的圆台的母线为l ，上底面半径为4，下底面半径为5， 由圆台的侧面积公式可得，S 1＝π×（3+4）•l ，S 2＝π•（4+5）•l ， 则S 1S 2=7πl 9πl=79=7：9．故选：C ．7．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →（m ＞0，n ＞0），则2m+1n的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4解：由“A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且OA →=m OB →+2n OC →”可知m +2n ＝1（m ＞0，n ＞0），∴2m +1n =（m +2n ）(2m +1n )＝4+4n m +m n ≥4+2√4n m ⋅mn =8,当且仅当{m +2n =14n m =m n 即{m =12n =14时取“＝”． ∴2m+1n的最小值是8．故选：C ． 8．规定|a bcd|=ad ﹣bc ，若在复平面上的三个点A ，B ，C 分别对应复数0，z ，zi ，其中z 满足|z 1−i1+i 1|=i ，则△ABC 的面积为（ ） A ．25B ．252C ．5D ．52由题意得z ﹣（1+i ）（1﹣i ）＝i ，∴z ＝2+i ，∴z ＝2+i ，∴zi ＝（2+i ）i ＝﹣1+2i ， 则A （0，0），B （2，1），C （﹣1，2）， ∴|AB |=√5，|AC |=√5，|BC |=√10，可得|AB |2+|AC |2＝|BC |2，即△ABC 是等腰直角三角形， ∴△ABC 的面积S =12×√5×√5=52． 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知复数z =1+i1−i，则（ ） A ．z 2021是纯虚数B ．若|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值是2C ．z 的共轭复数为﹣iD ．复数z +z •i 在复平面内对应的点在第二象限解：∵z =1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i12+(−1)2=i ，∴z 2021＝i 2021＝（i 4）505•i ＝i ，是纯虚数，故A 正确；若|z 1﹣z |＝1，即|z 1﹣i |＝1，则z 1所对应点的轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆， 则|z 1|的最大值是2，故B 正确；z 的共轭复数为﹣i ，故C 正确；z +z •i ＝﹣i +i •i ＝﹣1﹣i ，在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限，故D 错误． 故选：ABC ．10．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−1)，c →=(m −2，−n)，e →向量是与b →方向相同的单位向量，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)∥c →，下列说法正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为钝角 B ．向量a →在b →方向上的投影向量为√55e →C ．2m +n ＝4D ．mn 的最大值为2解：对于A ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则a →•b →=2﹣1＝1＞0，则a →、b →的夹角为锐角，A 错误；对于B ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则向量a 在b 方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√22， e →向量是与b →方向相同的单位向量，则向量a →在b →方向上的投影向量为√22e →，故B 错误； 对于C ，向量a →=（2，1），b →=（1，﹣1），则a →−b →=（1，2），若（a →−b →）∥c →，则（﹣n ）＝2（m ﹣2），变形可得2m +n ＝4，C 正确；对于D ，由C 的结论，2m +n ＝4，而m ，n 均为正数，则有mn =12（2m •n ）≤12（2m+n 2）2＝2，当且仅当{2m =n 2m +n =4，即{m =1n =2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确． 故选：CD ．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则能确定B 为钝角的是（ ） A ．sin 2A +sin 2C ＞sin 2B B ．AB →⋅BC →＜0 C ．cb＜cosAD ．0＜tan A tan C ＜1解：对于A ，由于sin 2A +sin 2C ＞sin 2B ，利用正弦定理可得a 2+c 2＞b 2，可得cos B =a 2+c 2−b22ac＞0，可得B 为锐角，故A 错误；对于B ，由于AB →⋅BC →＜0，即−BA →⋅BC →=−|BA →|•|BC →|cos B ＜0，可得cos B ＞0，又B 为三角形的内角，可得B 为锐角，则B 错误； 对于C ，因为cb＜cosA ，可得cb＜b 2+c 2−a 22bc，整理可得a 2+c 2＜b 2，可得cos B =a 2+c 2−b22ac＜0，由B ∈（0，π），可得B 为钝角，故C 正确；对于D ，因为0＜tan A tan C ＜1，所以tan B ＝﹣tan （A +C ）=tanA+tanCtanAtanC−1＜0，由B ∈（0，π），可得B 为钝角，故D 正确． 故选：CD ．12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是（ ）A ．AB →+BC →=12HD →B ．OA →+OC →=−OF →C ．AE →⋅CG →=0D ．|OA →−OC →|=√2解：在正八边形ABCDEFGH 中，∠AOB ＝45°，则AE →⊥CG →，所以AE →⋅CG →=0，故C 正确； 在直角三角形AOC 中，∠AOC ＝90°，且OA ＝OC ＝1，AC =√2， 则|OA →−OC →|=|CA →|=√2，故D 正确；又AB →+BC →=AC →，因为|HD →|=2，|AC →|=√2，且AC →∥HD →，则AB →+BC →=√22HD →，故A 错误； 由平行四边形法则可得OA →+OC →=√2OB →=−√2OF →，故B 错误． 故选：CD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为 10 ．解：∵平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1， ∴原四边形OPQR 是长为3，宽为2的矩形， ∴原四边形OPQR 的周长为10， 故答案为：10．14．把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4，则其中最小球的半径为12R ．解：原球的体积为：4π3R 3，把一个半径为R 的实心铁球铸成三个小球（不计损耗），三个小球的体积之比为1：3：4， 最小球的体积为：18×4π3R 3，设小球的半径为r ，可得4π3r 3=18×4π3R 3，所以r =12R ． 故答案为：12R ．15．已知a →•b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为4e →．则|b →|＝ 4 ． 解：设a →与b →的夹角为θ，因为a →•b →=16，所以|a →||b →|cos θ＝16， 又因为a →在b →上的投影向量为4e →．所以|a →|cos θ＝4，所以|b →|＝4． 故答案为：4．16．已知向量a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ)，则|a →−b →|的最大值为 √2 ． 解：∵a →=(1，sinθ)，b →=(1，cosθ) ∴|a →−b →|=|sin θ﹣cos θ|=√2|sin （θ−π4）| ∴√2sin(θ−π4)∈[−√2，√2] ∴|a →−b →|≤√2， 故答案为：√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），且AD →∥BC →． （1）求实数n 的值；（2）若AC →⊥BD →，求实数m 的值．解：因为AB →=（﹣1，3），BC →=（3，m ），CD →=（1，n ），所以AD →=AB →+BC →+CD →=（3，3+m +n ）， （1）因为AD →∥BC →．所以AD →=λBC →，即{3=3λ3+m +n =λm，解得n ＝﹣3；（2）因为AC →=AB →+BC →=（2，3+m ），BD →=BC →+CD →=（4，m ﹣3），又AC →⊥BD →， 所以AC →•BD →=0，即8+（3+m ）（m ﹣3）＝0，解得m ＝±1．18．（12分）设复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi ，其中x ，y ∈R ，且复数z 1，z 2所对应的点都在复平面第一象限内． （1）若|z 1|＝|z 2|＝3，求实数x ，y 的值；（2）设z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，若OZ 1→与OZ 2→共线，求2x +y 的最小值． 解：（1）复数z 1＝x +2i ，z 2＝1+2yi 对应的点分别为（x ，2），（1，2y ），且x ＞0，y ＞0， ∵|z 1|＝|z 2|＝3，∴{x 2+4=91+4y 2=9，解得x =√5，y =√2． （2）z 1，z 2所对应的向量为OZ 1→，OZ 2→，则OZ 1→=(x ，2)，OZ 2→=(1，2y)， ∵OZ 1→与OZ 2→共线，∴2xy ＝2，即xy ＝1，∴2x +y ≥2√2xy =2√2，当且仅当x =√22，y =√2时，等号成立， 故2x +y 的最小值为2√2．19．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2+b 2﹣c 2＝ab ． （1）求角C 的大小；（2）设向量a →=（2sin A ，1），向量b →=(cosC ，12)，且向量a →，b →共线，判断△ABC 的形状．解：（1）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ．∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，C ∈（0，π）．∴C =π3． （2）∵向量a →，b →共线，∴12×2sin A ﹣cos C ＝0，可得sin A ＝cos C =12，A ∈(0，2π3)．解得A =π6，∴B ＝π﹣A ﹣C =π2． ∴△ABC 是直角三角形．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm ．（1）求这种“浮球”的体积；（2）要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？解：（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：V 1=43πR 3=2563πcm 3， 圆柱体积为：V 2=πR 2⋅ℎ=48πcm 3，所以浮球的体积为：V =V 1+V 2=4003πcm 3． （2）上下半球的表面积：S 1=4πR 2=64πcm 2，圆柱侧面积：S 2=2πRℎ=24πcm 2，所以，1个浮球的表面积为S ＝64π+24π＝88πcm 2，3000个浮球的表面积为：3000×88π＝264000πcm 2，因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶264000π×0.1＝26400π克．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →． （1）若EF →=xAB →+yAD →，求3x +2y 的值；（2）若|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．解：（1）因为在菱形ABCD 中，BE →=12BC →，CF →=2FD →． 故EF →=EC →+CF →=12AD →−23AB →， 故x =−23，y =12，所以3x +2y ＝﹣1．（2）显然AC →=AB →+AD →，所以AC →⋅EF →=(AB →+AD →)⋅(12AD →−23AB →)=−23AB →2+12AD →2−16AB →⋅AD →⋯⋯①， 因为菱形ABCD ，且|AB →|＝6，∠BAD ＝60°，故|AD →|=6，＜AB →，AD →＞=60°． 所以AB →⋅AD →=6×6×cos60°=18．故①式=−23×62+12×62−16×18=−9．故AC →⋅EF →=−9．22．（12分）已知A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），O 为坐标原点．（1）AC →⋅BC →=−1，求sin2θ的值；（2）若|OA →−OC →|=√7，且θ∈（0，π），求OB →与OC →的夹角．解：（1）根据题意，A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），则AC →=（cos θ﹣2，sin θ），BC →=（cos θ，sin θ﹣2），若AC →⋅BC →=−1，即cos θ（cos θ﹣2）+sin θ（sin θ﹣2）＝﹣1，变形可得：sin θ+cos θ＝1，则有1+2sin θcos θ＝1+sin2θ＝1，故sin2θ＝0，（2）根据题意，A （2，0），B （0，2），C （cos θ，sin θ），则OA →=（2，0），OB →=（0，2），OC →=（cos θ，sin θ）OA →−OC →=CA →=（2﹣cos θ，﹣sin θ），若|OA →−OC →|=√7，则有（2﹣cos θ）2+（﹣sin θ）2＝5﹣4cos θ＝7，变形可得cos θ=−12，又由θ∈（0，π），则sin θ=√32，则OC →=（−12，√32）； 则|OB →|＝2，|OC →|＝1，OB →•OC →=√3，cos ＜OB →，OC →＞=OB →⋅OC →|OB →||OC →|=√32，则有＜OB →，OC →＞=π6， 故OB →与OC →的夹角为π6．。
2020-2021衡水桃城中学高中必修一数学上期中试卷带答案
2020-2021衡水桃城中学高中必修一数学上期中试卷带答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,76．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3 B ．2-C ．3-D ．210．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．14．函数()12x f x -的定义域是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．16．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．17．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.18．计算：__________．19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1f x -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.三、解答题21．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围. 22．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．23．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.24．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.25．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.9．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 17．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点18．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.19．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴= 解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3), ∴3a b +=, ∵反函数()1fx -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2), ∴12b +=. ∴2, 1.a b == ∴()f x =x a b +=2 1.x +∴()1f x -=()2log 1, 1.x x ->20．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决 解析：(0,1),【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围三、解答题21．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-，因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.22．（1）；（2）. 【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可． 【详解】 函数是奇函数，， 故， 故； 当时，恒成立， 即在恒成立， 令，， 显然在的最小值是， 故，解得：． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.23．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m << 综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭24．(),1-∞-【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
河北省衡水中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷(理科)
河北省衡水中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.)210sin(-等于（ ） A.21 B.23 C.-21 D. -23 2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A.41 B. 21 C. 81D. 无法确定 3. 已知点P （ααcos ,tan ）在第四象限，则角α在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 某公司现有普通职员人，中级管理人员人，高级管理人员人，要从公司抽取个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么的值为（ ） A ．1B ．3C ．16D ．205.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6,1.1B ．48.4,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.66. 某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,)i i x y i n =…,，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ10200,y x =-+则下列结论正确的是（ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r =-C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 7．读程序 1603010m m甲： i=1 乙： i=1000 S=0 S=0 WHILE i<=1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l i=i-1 WEND Loop UNTIL i<1 PRINT S PRINT S END END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 ( )A ．程序不同，结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同 8. 函数)254sin(4)(π-=x x f 是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数9. 已知sin()cos()ααπ--π+=()32απ<<π，则sin()cos()22ααππ+++=( )A ．79-B ．43-C ．43D ． 43± 10. 已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭,则=+)2sin(απ（ ）A ．B ．12-C ． 1D ．1211. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，则实数a 的值为（ ）A.B. 3-D.212. 在ABC ∆中，060=∠ABC ，6,2==BC AB ，在BC 上任取一点D ，使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ） A ．32 B.31 C. 21 D.52第Ⅱ卷（非选择题 共90分）填空题（每题5分，共20分。
2022-2023学年河北省衡水中学高一(上)期中数学试卷(含解析)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2022-2023学年河北省衡水中学高一（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|−1<x <2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,1}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}2. 下列各组函数中，两个函数相同的是( )A. y =(√x 3)3和y =xB. y =(√x)2和y =xC. y =√x 2和y =(√x)2D. y =√x 33和y =x2x3. 命题“∀a ∈R,√x −ax =0有实数解”的否定是( )A. ∀a ∈R,√x −ax =0无实数解B. ∃a ∈R,√x −ax ≠0有实数解C. ∀a ∈R,√x −ax ≠0有实数解D. ∃a ∈R,√x −ax =0无实数解4. 已知函数y =f(x)的对应关系如下表所示，函数y =g(x)的图像是如图所示的曲线ABC ，则f[g(2)+1]的值为( ) x 1 2 3 f(x) 2 3 0A. 3B. 2C. 1D. 05. 已知y =f(2x +1)定义域为(1,3]，则y =f(x +1)的定义域为( )A. (2,6]B. (0,1]C. (1,2]D. (1,3]6. 下列说法正确的是( )A. 不等式(2x −1)(1−x)<0的解集为{x|12<x <1} B. 若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+1√x 2+4的最小值为2……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 若实数a ，b ，c 满足ac 2>bc 2，则a >bD. 当x ∈R 时，不等式kx 2−kx +1>0恒成立，则k 的取值范围是(0,4) 7. 因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进入校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图像上与上述事件吻合最好的是( )A. B.C. D.8. 已知函数f(x)=x|x|，若对任意x ∈[t,t +1]，不等式f(x 2+t)≤4f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是( )A. [−1−√52,0]B. [0,−1+√52]C. [−1−√52,−1+√52]D. [−1+√52,1]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
河北省衡水市武邑中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()U B A =I ð（ ） A. (],1-∞- B. (](),10,3-∞-UC. (]0,3D. ()0,3【答案】D 【解析】由题意得：{}0x 4x A =<≤,{}x 1,3x x B =≤-≥或， ∴ U C B =()1,3-， ∴( U C B ) A=()0,3故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知0a >32a=( )A. 12a B.32a C.23a D.13a【答案】D【解析】【分析】由指数幂运算即可求解23a=2113323aa aa-===.故选D.【点睛】本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题3.在映射:f A B→中，(){},|,A B x y x y R==∈，且()():,,f x y x y x y→-+，则A中的元素()1,2-在集合B中的象为（）A. ()3,1- B. ()1,3-- C. ()1,3 D. ()3,1【答案】A【解析】试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y→-+，故A中的元素()1,2-在集合B 中的象为()3,1-考点：映射，象与原象4.今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2logu t= B. 22tu=- C.212tu-= D.22u t=-【答案】C 【解析】21.992 1.9911.99,log 1.991,222, 1.5,2 1.992 1.98;2t -=≈-≈≈⨯-=232313.0.log 3 1.6,226,4,2324;2t -=≈-==⨯-=242414.log 42,2214,7.5,2426;2t -==-==⨯-=25.12(5.1)15.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2t -=-≈⨯-=故选C5.一个偶函数定义在区间[]7,7-上，它在[]0,7上的图象如图，下列说法正确的是（ ）A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数在其定义域内有最大值是7C. 这个函数有两个单调减区间D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像：由图像可知：这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7 ； 这个函数在其定义域内最小值不是7-． 故选：B【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 6.已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当a=﹣1时，y=11xx-=，为奇函数，但值域为{x|x ≠0}，不满足条件． 当a=1时，y=x ，为奇函数，值域为R ，满足条件． 当a=2时，y=x 2为偶函数，值域为{x|x ≥0}，不满足条件． 当a=3时，y=x 3为奇函数，值域为R ，满足条件． 故选：A ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．7.已知3a e =，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.8.已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(],3-∞上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ．【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠且满足()1f x ≤，则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象．10.已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则()220f x x ->的解集是 A. ()1,0,12∞⎛⎫-⋃⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<<,则函数()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102x -<<或 112x <<,故选C. 11.设x ，y 为实数，且满足()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，则x y +=（ ）A. 2B. 5C. 10D. 2018【答案】A【分析】由题意可设()32018f x x x =+，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，可得()()()111f y f x f x -=--=-，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】由题意可设()32018f x x x =+，可得导数()2'320180f x x =+>，即()f x 为R 上的增函数；又()()32018f x x x f x -=--=-，即()f x 为奇函数，()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，可得 ()()(33(1)20181[1)20181y y x x ⎤-+-=--+-⎦，可得()()()111f y f x f x -=--=-， 由()f x 在R 上递增，可得11y x -=-， 即有2x y +=． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {0,1} B. {1}C. {1,0,1}-D. {1,0}-【答案】D()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++Q ，()f x ∴奇函数，Q 函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出：()11,1121xx f x e e =-+>+Q ，1011x e ∴<<+， 11112212x e -<-<+，∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时，()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D. 【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知()2xf e x =+，则()1f =______.【答案】2 【解析】 【分析】直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到()12f = 故答案为：2【点睛】本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.14.已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．【答案】-4试题分析：由题意，得()63f x x x =--在上为减函数，则在[]2,4也为减函数；所以当时，.考点：函数的单调性与最值. 15.若函数()22f x mx mx =-+定义域为R ，则实数m 取值范围是______.【答案】[)0,8 【解析】 【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数()22f x mx mx =-+的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：20880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.16.．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，当值域为两个数时：()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，综上可得，函数()g x 共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求A B I ；（2）若A B =U R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。
2023-2024学年河北省衡水志华实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省衡水志华实验中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣5，﹣2，0，2，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}2．下列函数中，与函数y ＝x +2是同一个函数的是（ ） A ．y =(√x +2)2B ．y =√x 33+2C ．y =x 2x+2D ．y =√x 2+23．化简二次根式√−8a 3的结果为（ ） A ．−2a √−2aB ．2a √2aC ．2a √−2aD ．−2a √2a4．已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x ＞0)，若f （a ）＝10，则a 的值是（ ）A ．3或﹣3B ．﹣3或5C ．﹣3D ．3或﹣3或55．已知函数f （x ）＝x 2+（k ﹣2）x 是[1，+∞）上的增函数，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0]B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）6．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”，沿用至今．为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数．”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f （x ）由如下表给出，则f （f （﹣2）+1）的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈R ）的图象经过点(12，4)，且f （a +1）＜f （3），则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D ．（﹣4，2）8．若两个正实数x ，y 满足4x +y ＝2xy ，且不等式x +y4＜m 2+m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C ．（﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、多选题（每小题5分，多选或错选得0分，少选得2分，共20分） 9．下列各命题中为假命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x ＜5，则x ＜2C ．∃x ∈R ，x 2≤﹣1D ．∀x ∈R ，x 2+1≠010．已知幂函数f(x)=(2a −1)x m2−3m+2，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＝1B ．f （x ）恒过定点（1，1）C ．若m ＝3时，y ＝f （x ）关于y 轴对称D ．若12＜m ＜1时，f （2）＜f （1） 11．下列命题是真命题的是（ ）A ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]B ．若y ＝f （x ）是一次函数，满足f （f （x ））＝16x +5，则f （x ）＝4x ﹣1C ．函数y ＝f （x ）的图象与y 轴最多有一个交点D ．函数y =1x+1在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是单调递减函数 12．定义在R 上的函数f （x ），对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，2]，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0，且函数y ＝f （x +2）为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A ．y ＝f （x ﹣2）关于直线x ＝4对称 B ．y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递增 C ．f （1）＞f （π）D ．若f （0）＝0，则（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，4） 三、填空题（每题5分，共20分）13．已知实数a ＞0，b ＞0，化简：a 32b 52√ab= ．14．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2a ﹣5，1]是偶函数，则a +2b ＝ ．15．如果关于x 的不等式﹣x 2+6ax ﹣3a 2≥0的解集为[x 1，x 2]，其中常数a ＞0，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是 ．16．已知函数f （x ）={ax −x 2，x ≥0−2x ，x ＜0，①若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则实数a 的取值范围为 ；②若f （x ）在[﹣1，t ）上的值域为[0，4]，则实数t 的取值范围为 ． 四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（10分）已知关于x 的不等式2kx 2+kx ﹣1＜0． （1）若不等式的解集为(−32，1)，求实数k 的值；（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．18．（12分）已知集合P＝{x|3a﹣10≤x＜2a+1}，Q＝{x||2x﹣3|≤7}．（1）当a＝2时，求P∩（∁R Q）；（2）若“x∈P”是“x∈Q”必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝x+mx，且f（1）＝5．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断函数f（x）在（2，+∞），上是单调递增还是单调递减？并证明．20．（12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）＝﹣2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g(t)=12t+30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（Ⅰ）请画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）在R上的单调减区间；（Ⅱ）写出函数f（x），x∈R的解析式；（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值h（a）的解析式．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（xy）＝f（x）•f（y）+f（x）+f（y），且f （﹣1）＝0．（1）求证：f（1）＝0；（2）判断f（x）奇偶性，并证明；（3）若f（2）＝3，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，解关于x的不等式f（x﹣1）＜15．2023-2024学年河北省衡水志华实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣5，﹣2，0，2，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{0}D ．{2}解：因为A ＝{x ∈N |﹣3＜x ＜3}＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{0，2}． 故选：B ．2．下列函数中，与函数y ＝x +2是同一个函数的是（ ） A ．y =(√x +2)2B ．y =√x 33+2C ．y =x 2x +2D ．y =√x 2+2解：y ＝x +2的定义域为R ，值域为R ，对于A ，y ＝（√x +2）2定义域为[﹣2，+∞），与y ＝x +2定义域不同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，y =√x 33+2＝x +2，与y ＝x +2定义域相同，解析式相同，是同一函数，B 正确； 对于C ，y =x 2x+2定义域为{x |x ≠0}，与y ＝x +2定义域不同，不是同一函数，C 错误； 对于D ，y =√x 2+2值域为[2，+∞），与y ＝x +2值域不同，不是同一函数，D 错误． 故选：B ．3．化简二次根式√−8a 3的结果为（ ） A ．−2a √−2aB ．2a √2aC ．2a √−2aD ．−2a √2a解：因为﹣8a 3≥0，所以a ≤0，所以√−8a 3=2|a|√−2a =−2a √−2a ． 故选：A ．4．已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x ＞0)，若f （a ）＝10，则a 的值是（ ）A ．3或﹣3B ．﹣3或5C ．﹣3D ．3或﹣3或5解：若a ≤0，则f （a ）＝a 2+1＝10，∴a ＝﹣3（a ＝3舍去） 若a ＞0，则f （a ）＝2a ＝10，∴a ＝5 综上可得，a ＝5或a ＝﹣3 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝x 2+（k ﹣2）x 是[1，+∞）上的增函数，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，0]B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）解：根据题意，函数f （x ）＝x 2+（k ﹣2）x 为开口向上的二次函数，其对称轴为x =−k−22，若函数f（x）＝x2+（k﹣2）x是[1，+∞）上的增函数，则必有−k−22≤1⇒k≥0，即k的取值范围为[0，+∞）；故选：B．6．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今．为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数．”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f（x）由如下表给出，则f（f（﹣2）+1）的值为（）A．1B．2C．3D．4解：根据题意，f（x）={1，x≤02，0＜x＜23，x≥2，则f（﹣2）＝1，f（f（﹣2）+1）＝f（2）＝3，故选：C．7．已知幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，且f（a+1）＜f（3），则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣4，2）解：∵幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，∴4=(12)α，∴α＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2=1x2，∴函数f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，∵f（a+1）＜f（3），∴|a+1|＞3，解得：a＜﹣4或a＞2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．故选：C．8．若两个正实数x，y满足4x+y＝2xy，且不等式x+y4＜m2+m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）解：若两个正实数x，y满足4x+y＝2xy，即4y +1x=2，所以x +y 4=（x +y 4）（1x +4y）×12=12（2+y 4x +4x y ）≥12（2+2√y 4x ⋅4xy ）＝2，当且仅当y ＝4x 且4y +1x=2，即x ＝1，y ＝4时取等号，故x +y4的最小值为2，因为不等式x +y4＜m 2+m 有解，所以2＜m 2+m ，解得m ＞1或m ＜﹣2． 故选：D ．二、多选题（每小题5分，多选或错选得0分，少选得2分，共20分） 9．下列各命题中为假命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x ≥0 B ．如果x ＜5，则x ＜2 C ．∃x ∈R ，x 2≤﹣1D ．∀x ∈R ，x 2+1≠0解：对于A 选项：当x ＝﹣2∈R 时，x ＜0，所以命题“∀x ∈R ，x ≥0”为假命题； 对于B 选项：当x ＝4时，则2＜x ＜5，所以命题“如果x ＜5，则x ＜2”为假命题； 对于C 选项：当x ∈R 时，x 2≥0，所以命题“∃x ∈R ，x 2≤﹣1”为假命题； 对于D 选项，∀x ∈R ，x 2≥0，则x 2+1≥1，所以命题“∀x ∈R ，x 2+1≠0”为真命题． 故选：ABC ．10．已知幂函数f(x)=(2a −1)x m2−3m+2，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．a ＝1B ．f （x ）恒过定点（1，1）C ．若m ＝3时，y ＝f （x ）关于y 轴对称D ．若12＜m ＜1时，f （2）＜f （1） 解：∵函数f(x)=(2a −1)x m 2−3m+2为幂函数，∴2a ﹣1＝1，解得a ＝1，故A 正确；∵f （x ）=x m2−3m+2，∴f （x ）恒过定点（1，1），故B 正确；又当m ＝3时，f （x ）＝x 2，为偶函数，故y ＝f （x ）关于y 轴对称，即C 正确； ∵m 2﹣3m +2＝（m ﹣2）（m ﹣1）， ∴当12＜m ＜1时，m 2﹣3m +2＞0，∴f （x ）=x m2−3m+2在（0，+∞）上单调递增，∴f （2）＞f （1），故D 错误； 故选：ABC ．11．下列命题是真命题的是（ ）A ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]B ．若y ＝f （x ）是一次函数，满足f （f （x ））＝16x +5，则f （x ）＝4x ﹣1C ．函数y ＝f （x ）的图象与y 轴最多有一个交点D ．函数y =1x+1在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是单调递减函数 解：对于A ，因为函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则2x +1∈[﹣1，3]， 所以函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]，故A 正确． 对于B ，设f （x ）＝kx +b （k ≠0），则f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +kb +b ＝16x +5，所以{k 2=16kb +b =5，解得{k =4b =1或{k =−4b =−53，所以f （x ）＝4x +1或f(x)=−4x −53，故B 错误．对于C ，根据函数的定义可得函数y ＝f （x ）的图象与y 轴最多有一个交点，故C 正确． 对于D ，函数y =1x+1在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上是单调递减函数，故D 错误． 故选：AC ．12．定义在R 上的函数f （x ），对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，2]，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0，且函数y ＝f （x +2）为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A ．y ＝f （x ﹣2）关于直线x ＝4对称 B ．y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递增 C ．f （1）＞f （π）D ．若f （0）＝0，则（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，4） 解：因为对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，2]，都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0， 所以函数f （x ）在（﹣∞，2]上单调递增，又因为函数y ＝f （x +2）为偶函数，所以函数f （x ）关于直线x ＝2对称，所以函数y ＝f （x ﹣2）关于直线x ＝4对称，A 正确； 根据函数f （x ）在（﹣∞，2]上单调递增，且关于直线x ＝2对称， 可得函数y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递减，B 错误； 因为函数y ＝f （x ）在x ∈（2，+∞）上单调递减，所以f （π）＜f （3），且f （3）＝f （1），所以f （1）＞f （π），C 正确； 由f （0）＝0可得，f （4）＝0，则结合函数的单调性和对称性可得，x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，4）时，f （x ）＞0，x ∈（4，+∞）时，f （x ）＜0， 所以由（x ﹣1）f （x ）＞0，可得{x −1＞0f(x)＞0或{x −1＜0f(x)＜0，解得1＜x ＜4或x ＜0，D 正确．故选：ACD ．三、填空题（每题5分，共20分）13．已知实数a ＞0，b ＞0，化简：a 32b 52√ab= ab 2 ．解：实数a ＞0，b ＞0，则a 32b 52√ab=a 32b 52a 12b 12=a 32−12b 52−12=ab 2．故答案为：ab 2．14．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2a ﹣5，1]是偶函数，则a +2b ＝ ﹣2 ． 解：根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，x ∈[﹣2a ﹣5，1]是偶函数， 则有﹣2a ﹣5+1＝0，解可得a ＝﹣2，则函数f （x ）是开口向下的二次函数，必有b ＝0，故a +2b ＝﹣2． 故答案为：﹣2．15．如果关于x 的不等式﹣x 2+6ax ﹣3a 2≥0的解集为[x 1，x 2]，其中常数a ＞0，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是 2√6 ．解：不等式﹣x 2+6ax ﹣3a 2≥0的解集为[x 1，x 2]，其中常数a ＞0， 所以x 1，x 2是方程x 2﹣6ax +3a 2＝0的实数根， a ＞0时，Δ＝（﹣6a ）2﹣4×3a 2＝24a 2＞0， 所以{x 1+x 2=6a x 1x 2=3a 2，所以x 1+x 2+3a x 1x 2=6a +1a ≥2√6a ⋅1a =2√6，当且仅当6a =1a ，即a =√66时取等号， 故x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是2√6．故答案为：2√6．16．已知函数f （x ）={ax −x 2，x ≥0−2x ，x ＜0，①若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，0] ；②若f （x ）在[﹣1，t ）上的值域为[0，4]，则实数t 的取值范围为 （2，4] ． 解：①若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a 2≤0，即a ≤0．∴实数a 的取值范围为（﹣∞，0]； ②当a ＞0时，若f （x ）在[﹣1，t ）上的值域为[0，4]，可得f （a2）=a 22−a 24=4，解得a ＝4或a ＝﹣4（舍去），又f （﹣1）＝2，f （0）＝f （4）＝0，∴2＜t ≤4； 当a ≤0时，由①可知，f （x ）在[﹣1，t ）上单调递减， 则f （x ）在[﹣1，t ）上的最大值为f （﹣1）＝2，不合题意． ∴实数t 的取值范围为（2，4]． 故答案为：①（﹣∞，0]；②（2，4]．四、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（10分）已知关于x 的不等式2kx 2+kx ﹣1＜0． （1）若不等式的解集为(−32，1)，求实数k 的值； （2）若不等式的解集为R ，求实数k 的取值范围．解：（1）关于x 的不等式2kx 2+kx ﹣1＜0的解集为(−32，1)， 所以−32和1是方程2kx 2+kx ﹣1＝0的两个实数根， 代入x ＝1得2k +k ﹣1＝0，解得k =13； （2）若不等式2kx 2+kx ﹣1＜0的解集为R ， 则k ＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意； k ≠0时，应满足{k ＜0△=k 2+8k ＜0，解得﹣8＜k ＜0；综上知，实数k 的取值范围是﹣8＜k ≤0．18．（12分）已知集合P ＝{x |3a ﹣10≤x ＜2a +1}，Q ＝{x ||2x ﹣3|≤7}． （1）当a ＝2时，求P ∩（∁R Q ）；（2）若“x ∈P ”是“x ∈Q ”必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：（1）根据题意，得Q ＝{x ||2x ﹣3|≤7}＝{x |﹣2≤x ≤5}，可得∁R Q ＝x |x ＜﹣2或x ＞5}， 因为a ＝2时，P ＝{x |﹣4≤x ＜5}，所以P ∩（∁R Q ）＝{x |﹣4≤x ＜﹣2}； （2）因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要不充分条件，所以Q ⫋P ，P 不是空集，故当3a ﹣10＜2a +1，解得a ＜11．根据包含关系，可得{3a −10≤−22a +1＞5，解得2＜a ≤83，所以实数a 的取值范围是(2，83]．19．（12分）已知函数f （x ）＝x +m x，且f （1）＝5． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）判断并证明f （x ）的奇偶性；（Ⅲ）判断函数f （x ）在（2，+∞），上是单调递增还是单调递减？并证明． 解：（1）根据题意，函数f （x ）＝x +m x ，且f （1）＝5， 则f （1）＝1+m ＝5，解得m ＝4；（2）由（1）可知f （x ）＝x +4x，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 又由f （﹣x ）＝﹣x −4x =−（x +4x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是奇函数；（3）f （x ）在（2，+∞）上是单调递增函数． 证明如下：设2＜x 1＜x 2， f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 1+4x 1）﹣（x 2+4x 2）＝（x 1﹣x 2）x 1x 2−4x 1x 2， 因为2＜x 1＜x 2，所以x 1x 2＞4，x 1﹣x 2＜0， 则f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（2，+∞）上是单调递增函数．20．（12分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足f （t ）＝﹣2t +200（1≤t ≤50，t ∈N ）．前30天价格为g(t)=12t +30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格为g （t ）＝45（31≤t ≤50，t ∈N ）． （1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； （2）求日销售额S 的最大值．解：（1）当1≤t ≤30时，由题知f （t ）•g （t ）＝（﹣2t +200）•（12t +30）＝﹣t 2+40t +6000， 当31≤t ≤50时，由题知f （t ）•g （t ）＝45（﹣2t +200）＝﹣90t +9000， 所以日销售额S 与时间t 的函数关系为S ={−t 2+40t +6000，1≤t ≤30−90t +9000，31≤t ≤50；（2）当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝﹣（t ﹣20）2+6400，当t ＝20时，S max ＝6400元；当31≤t≤50，t∈N时，S＝﹣90t+9000是减函数，当t＝31时，S max＝6210元．∵6210＜6400，则S的最大值为6400元．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（Ⅰ）请画出函数f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）在R上的单调减区间；（Ⅱ）写出函数f（x），x∈R的解析式；（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值h（a）的解析式．解：（Ⅰ）图象如图所示：单调减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2×（﹣x）]＝﹣x2+2x，∴f（x）={x2+2x，x≤0−x2+2x，x＞0．（Ⅲ）∵函数g（x）＝f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，∴g（x）＝﹣x2+（2﹣2a）x+2，x∈[1，2]，①当1﹣a≤1时，即a≥0，h（a）＝[g（x）]max＝g（1）＝3﹣2a；②当1＜1﹣a≤2时，即﹣1≤a＜0，h（a）＝[g（x）]max＝g（1﹣a）＝a2﹣2a+3；③当1﹣a＞2时，即a≥0，h（a）＝[g（x）]max＝g（2）＝2﹣4a，∴h（a）={3−2a，a≥0a2−2a+3，−1≤a＜0 2−4a，a＜−1．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（xy）＝f（x）•f（y）+f（x）+f（y），且f （﹣1）＝0．（1）求证：f（1）＝0；（2）判断f（x）奇偶性，并证明；（3）若f（2）＝3，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，解关于x的不等式f（x﹣1）＜15．解：（1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x，y都有f（xy）＝f（x）•f（y）+f（x）+f（y），令x＝y＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）•f（﹣1）+f（﹣1）+f（﹣1）＝0，得证；（2）f（x）为偶函数，证明：令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）•f（﹣1）+f（x）+f（﹣1）＝f（x），因为f（x）定义域为R，所以函数f（x）为偶函数；（3）由题设，令x＝y＝2得f（4）＝f（2×2）＝f（2）•f（2）+f（2）+f（2）＝3×3+3+3＝15，由（2）得：函数f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上递增，则在（﹣∞，0）上递减，所以f（x﹣1）＜15＝f（4），则|x﹣1|＜4，解得﹣3＜x＜5，所以不等式的解集为{x|﹣3＜x＜5}．。
河北省衡水市武邑中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2021-2022高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()UB A =（ ） A. (],1-∞- B. (](),10,3-∞- C. (]0,3 D. ()0,3【答案】D 【解析】由题意得：{}0x 4x A =<≤,{}x 1,3x x B =≤-≥或， ∴ U C B =()1,3-， ∴( U C B ) A=()0,3故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知0a >32a=( )A. 12a B.32a C.23a D.13a【答案】D【解析】【分析】由指数幂运算即可求解23a=2113323aa aa-===.故选D.【点睛】本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题3.在映射:f A B→中，(){},|,A B x y x y R==∈，且()():,,f x y x y x y→-+，则A中的元素()1,2-在集合B中的象为（）A. ()3,1- B. ()1,3-- C. ()1,3 D. ()3,1【答案】A【解析】试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y→-+，故A中的元素()1,2-在集合B 中的象为()3,1-考点：映射，象与原象4.今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2logu t= B. 22tu=- C.212tu-= D.22u t=-【答案】C 【解析】21.992 1.9911.99,log 1.991,222, 1.5,2 1.992 1.98;2t -=≈-≈≈⨯-=232313.0.log 3 1.6,226,4,2324;2t -=≈-==⨯-=242414.log 42,2214,7.5,2426;2t -==-==⨯-=25.12(5.1)15.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2t -=-≈⨯-=故选C5.一个偶函数定义在区间[]7,7-上，它在[]0,7上的图象如图，下列说法正确的是（ ）A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数在其定义域内有最大值是7C. 这个函数有两个单调减区间D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像：由图像可知：这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7 ； 这个函数在其定义域内最小值不是7-． 故选：B【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 6.已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当a=﹣1时，y=11xx-=，为奇函数，但值域为{x|x ≠0}，不满足条件． 当a=1时，y=x ，为奇函数，值域为R ，满足条件． 当a=2时，y=x 2为偶函数，值域为{x|x ≥0}，不满足条件． 当a=3时，y=x 3为奇函数，值域为R ，满足条件． 故选：A ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．7.已知3a e =，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.8.已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(],3-∞上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ．【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠且满足()1f x ≤，则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象．10.已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则()220f x x ->的解集是 A. ()1,0,12∞⎛⎫-⋃⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<<,则函数()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102x -<<或 112x <<,故选C. 11.设x ，y 为实数，且满足()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，则x y +=（ ）A. 2B. 5C. 10D. 2021【答案】A【分析】由题意可设()32018f x x x =+，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，可得()()()111f y f x f x -=--=-，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】由题意可设()32018f x x x =+，可得导数()2'320180f x x =+>，即()f x 为R 上的增函数；又()()32018f x x x f x -=--=-，即()f x 为奇函数，()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，可得 ()()(33(1)20181[1)20181y y x x ⎤-+-=--+-⎦，可得()()()111f y f x f x -=--=-， 由()f x 在R 上递增，可得11y x -=-， 即有2x y +=． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {0,1} B. {1}C. {1,0,1}-D. {1,0}-【答案】D()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++，()f x ∴奇函数，函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出：()11,1121xx f x e e =-+>+，1011x e ∴<<+， 11112212x e -<-<+，∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时，()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D. 【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知()2xf e x =+，则()1f =______.【答案】2 【解析】 【分析】直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到()12f = 故答案为：2【点睛】本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.14.已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．【答案】-4试题分析：由题意，得()63f x x x =--在上为减函数，则在[]2,4也为减函数；所以当时，.考点：函数的单调性与最值. 15.若函数()22f x mx mx =-+定义域为R ，则实数m 取值范围是______.【答案】[)0,8 【解析】 【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数()22f x mx mx =-+的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：20880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.16.．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，当值域为两个数时：()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，综上可得，函数()g x 共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求AB ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。
河北省衡水市武邑中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2021-2022高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则()UB A =（ ） A. (],1-∞- B. (](),10,3-∞- C. (]0,3 D. ()0,3【答案】D 【解析】由题意得：{}0x 4x A =<≤,{}x 1,3x x B =≤-≥或， ∴ U C B =()1,3-， ∴( U C B ) A=()0,3故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知0a >32a=( )A. 12a B.32a C.23a D.13a【答案】D【解析】【分析】由指数幂运算即可求解23a=2113323aa aa-===.故选D.【点睛】本题考查指数幂运算，熟记运算性质是关键，注意运算的准确，是基础题3.在映射:f A B→中，(){},|,A B x y x y R==∈，且()():,,f x y x y x y→-+，则A中的元素()1,2-在集合B中的象为（）A. ()3,1- B. ()1,3-- C. ()1,3 D. ()3,1【答案】A【解析】试题分析：由题意，对应关系为()():,,f x y x y x y→-+，故A中的元素()1,2-在集合B 中的象为()3,1-考点：映射，象与原象4.今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（）A. 2logu t= B. 22tu=- C.212tu-= D.22u t=-【答案】C 【解析】21.992 1.9911.99,log 1.991,222, 1.5,2 1.992 1.98;2t -=≈-≈≈⨯-=232313.0.log 3 1.6,226,4,2324;2t -=≈-==⨯-=242414.log 42,2214,7.5,2426;2t -==-==⨯-=25.12(5.1)15.1.log 5.13,2230,12,2 5.128.2;2t -=-≈⨯-=故选C5.一个偶函数定义在区间[]7,7-上，它在[]0,7上的图象如图，下列说法正确的是（ ）A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数在其定义域内有最大值是7C. 这个函数有两个单调减区间D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像：由图像可知：这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7 ； 这个函数在其定义域内最小值不是7-． 故选：B【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 6.已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当a=﹣1时，y=11xx-=，为奇函数，但值域为{x|x ≠0}，不满足条件． 当a=1时，y=x ，为奇函数，值域为R ，满足条件． 当a=2时，y=x 2为偶函数，值域为{x|x ≥0}，不满足条件． 当a=3时，y=x 3为奇函数，值域为R ，满足条件． 故选：A ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．7.已知3a e =，33log 5log 2b =-，3c =a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据3log y x =的单调性判断,a b 的大小关系，由1a c <<判断出三者的大小关系. 【详解】由3log 1a e =<，335log log 2b a e =<=，ln31c =>，则c a b >>.故选C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.8.已知函数()f x 在[3,)+∞上单调递减，且(3)f x +是偶函数，则 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到()f x 的图象关于直线3x =对称，且在(],3-∞上单调递增，然后通过比较1.10.50,0.3,3到对称轴距离的大小可得所求结果．【详解】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称． 又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减， 所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<， 所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ．【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当x ∈R 时，函数()()01xf x a a a =>≠且满足()1f x ≤，则函数()log 1a y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由函数||()x f x a =（0a >且1a ≠）满足()1f x ≤01a ⇒<<，故的图象应是C 图，故选C ． 考点：函数的图象．10.已知函数()f x =()log 01?a x a a >≠且满足()()12f a f a +>+则()220f x x ->的解集是 A. ()1,0,12∞⎛⎫-⋃⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C. 11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为函数()()log 01?a f x x a a =>≠且满足()()12f a f a +>+,所以0a < 1<<,则函数()log (01)a f x x a =<<是减函数,所以()220f x x ->可化为2021x x <-<,求解可得102x -<<或 112x <<,故选C. 11.设x ，y 为实数，且满足()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，则x y +=（ ）A. 2B. 5C. 10D. 2021【答案】A【分析】由题意可设()32018f x x x =+，由导数判断单调性，由奇偶性的定义判断()f x 为奇函数，可得()()()111f y f x f x -=--=-，由单调性可得x ，y 的和． 【详解】由题意可设()32018f x x x =+，可得导数()2'320180f x x =+>，即()f x 为R 上的增函数；又()()32018f x x x f x -=--=-，即()f x 为奇函数，()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-⎧⎪-+-=⎨⎪⎩，可得 ()()(33(1)20181[1)20181y y x x ⎤-+-=--+-⎦，可得()()()111f y f x f x -=--=-， 由()f x 在R 上递增，可得11y x -=-， 即有2x y +=． 故选：A ．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，构造函数判断奇偶性和单调性是解题的关键，属于中档题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {0,1} B. {1}C. {1,0,1}-D. {1,0}-【答案】D()()()()()11,2121x xx xe ef x f x f x e e--=-==-++，()f x ∴奇函数，函数()1,12x xe f x e =-∴+化简得出：()11,1121xx f x e e =-+>+，1011x e ∴<<+， 11112212x e -<-<+，∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时，()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，∴函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D. 【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知()2xf e x =+，则()1f =______.【答案】2 【解析】 【分析】直接取0x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到()12f = 故答案为：2【点睛】本题考查了函数值的计算，也可以先计算出函数解析式再求值.14.已知函数()3f x x =在区间[]2,4上的最大值为_____________．【答案】-4试题分析：由题意，得()63f x x x =--在上为减函数，则在[]2,4也为减函数；所以当时，.考点：函数的单调性与最值. 15.若函数()22f x mx mx =-+定义域为R ，则实数m 取值范围是______.【答案】[)0,8 【解析】 【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】函数()22f x mx mx =-+的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立. 当0m ≠时，需满足：20880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上所述：08m ≤< 故答案为：[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.16.．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{}1,2,3A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可. 【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数， 当值域为一个数时：()()()1231g g g ===，()()()1232g g g ===，()()()1233g g g ===共三种情况，当值域为两个数时：()()()121,32g g g ===，()()()121,33g g g ===，()()()122,33g g g ===， ()()()11,232g g g ===，()()()11,233g g g ===，()()()12,233g g g ===，综上可得，函数()g x 共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求AB ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。
河北省衡水市高一数学上学期期中试卷(b卷)(含解析)
2016-2017学年河北省衡水市高一（上）期中数学试卷（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x＞﹣1}，则（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．{0}∈A D．∅∈A2．不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+8的值（）A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数3．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}4．下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．5．设函数f（x）=2x+1的定义域为[1，5]，则函数f（2x﹣3）的定义域为（）A．[1，5] B．[3，11] C．[3，7] D．[2，4]6．已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A．0≤k＜ B．0＜k＜ C．k＜0或k＞ D．0＜k≤7．函数f（x）=的最大值是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=，则f（3）的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜010．f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]11．已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上是减函数，若g（x）=f（x﹣2）是奇函数，且g（2）=0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知f（x）=，则f（f（x））≤3的解集为（）A．（﹣∞，﹣3] B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，] D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接答在答题纸上．13．函数y=|x2﹣4x|的增区间是．14．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+= ．15．设f（x）=1﹣2x2，g（x）=x2﹣2x，若，则F（x）的最大值为．16．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁U B；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．18．已知函数f（x）=1+（﹣2＜x≤2）（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域、单调区间．19．函数f（x）=2x﹣的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．20．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）在其定义域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0；（1）求f（8）的值；（2）讨论函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性；（3）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．22．设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8，求t的取值范围．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（上）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x＞﹣1}，则（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．{0}∈A D．∅∈A【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】利用集合与元素的关系应当是属于关系、集合与集合之间的关系应当是包含关系进行判断即可．【解答】解：A.0⊆A错误，应当是0∈A，集合与元素的关系应当是属于关系；B．集合与集合之间的关系应当是包含关系，故B正确；C．集合与集合之间的关系应当是包含关系，故C不正确；D．空集是任何集合的子集，故D不正确．故选：B．2．不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+8的值（）A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数【考点】71：不等关系与不等式．【分析】利用配方法把代数式a2+b2﹣2a﹣4b+8变形为几个完全平方的形式后即可判断．【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+8=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+3=（a﹣1）2+（b﹣2）2+3≥3，故不论a、b取何值代数式a2+b2+4b﹣2a+6恒为正数．故选A．3．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．【解答】解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={}⊆A， =1或=﹣1⇒a=﹣2或2，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}．故选D．4．下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的概念得：因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应，结合图象特征进行判断即可．【解答】解：根据函数的定义知：自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．∴从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点．从而排除A，B，C，故选D．5．设函数f（x）=2x+1的定义域为[1，5]，则函数f（2x﹣3）的定义域为（）A．[1，5] B．[3，11] C．[3，7] D．[2，4]【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由题意知1≤2x﹣3≤5，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤2x﹣3≤5，解得2≤x≤4，∴所求函数f（2x﹣3）的定义域是[2，4]．故选D．6．已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A．0≤k＜ B．0＜k＜ C．k＜0或k＞ D．0＜k≤【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】本选择题利用特殊值法解决，观察几个选项知，当k=0时，看是否能保证∀x∈R，如能，则即可得出正确选项．【解答】解：考虑k的特殊值：k=0，当k=0时，f（x）=，此时：∀x∈R，对照选项排除B，C，D．故选A．7．函数f（x）=的最大值是（）A．B．C．D．【考点】7F：基本不等式；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】把分母整理成=（x﹣）2+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f（x）的最大值可求．【解答】解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=．故选D8．已知函数f（x）=，则f（3）的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】3T：函数的值．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可．【解答】解：由分段函数可知，f（3）=f（2）﹣f（1），而f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣1，故选：B．9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0【考点】3F：函数单调性的性质；3W：二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B10．f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]【考点】34：函数的值域；18：集合的包含关系判断及应用．【分析】先求出两个函数在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，再根据对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a＞0．【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故选：A11．已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上是减函数，若g（x）=f（x﹣2）是奇函数，且g（2）=0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由g（x）=f（x﹣2）是奇函数，可得f（x）的图象关于（﹣2，0）中心对称，再由已知可得函数f（x）的三个零点为﹣4，﹣2，0，画出f（x）的大致形状，数形结合得答案．【解答】解：由g（x）=f（x﹣2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）=g （0）=0，f（﹣4）=g（﹣2）=﹣g（2）=0，f（﹣2）=g（0）=0，结合函数的图象可知，当x≤﹣4或x≥﹣2时，xf（x）≤0．故选：C．12．已知f（x）=，则f（f（x））≤3的解集为（）A．（﹣∞，﹣3] B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，] D．[，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法；5B：分段函数的应用．【分析】由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可求出f（f（x））≤3的解集．【解答】解：设t=f（x），则不等式f（f（x））≤3等价为f（t）≤3，作出f（x）=的图象，如右图，由图象知t≥﹣3时，f（t）≤3，即f（x）≥﹣3时，f（f（x））≤3．若x≥0，由f（x）=﹣x2≥﹣3得x2≤3，解得0≤x≤，若x＜0，由f（x）=2x+x2≥﹣3，得x2+2x+3≥0，解得x＜0，综上x≤，即不等式的解集为（﹣∞，]，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接答在答题纸上．13．函数y=|x2﹣4x|的增区间是[0，2]和[4，+∞）．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】画出函数y=|x2﹣4x|的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数y=|x2﹣4x|=的图象如下图所示：由图可得：函数y=|x2﹣4x|的增区间是[0，2]和[4，+∞），（区间端点可以为开），故答案为：[0，2]和[4，+∞）14．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+= ﹣1 ．【考点】3O：函数的图象．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1•x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．15．设f（x）=1﹣2x2，g（x）=x2﹣2x，若，则F（x）的最大值为．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出F（x）的解析式，在每一段上分别求最大值，综合得结论．【解答】解：有已知得F（x）==，上的最大值是，在x≥1上的最大值是﹣1，y=x2﹣2x在上无最大值．故则F（x）的最大值为故答案为：．16．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为④．【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．【解答】解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁U B；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．【考点】1E：交集及其运算；1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）由B与全集U，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（Ⅱ）由A与C的交集为C，得到C为A的子集，确定出t的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵B={x|x＞3，或x＜1}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，∵A={x|2≤x≤4}，∴A∪∁U B={x|1≤x≤4}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，当C=∅时，则有2t≤t+1，即t≤1；当C≠∅时，则，即1＜t≤2，综上所述，t的范围是t≤2．18．已知函数f（x）=1+（﹣2＜x≤2）（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域、单调区间．【考点】3O：函数的图象；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；3D：函数的单调性及单调区间．【分析】（1）根据x的符号分﹣2＜x≤0和0＜x≤2两种情况，去掉绝对值求出函数的解析式；（2）根据（1）的函数解析式，画出函数的图象；（3）根据函数的图象求出函数的值域和函数单调区间．【解答】解（1）由题意知，f（x）=1+（﹣2＜x≤2），当﹣2＜x≤0时，f（x）=1﹣x，当0＜x≤2时，f（x）=1，则f（x）=（2）函数图象如图：（3）由（2）的图象得，函数的值域为[1，3），函数的单调减区间为（﹣2，0]．19．函数f（x）=2x﹣的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；34：函数的值域．【分析】（1）当a=1时，f（x）=2x﹣，根据函数单调性“增“+“增“=“增“，可得f （x）=2x﹣在（0，1]上单调递增，当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，进而得到函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）成立，即恒成立，进而可得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2x﹣，当x∈（0，1]时，y1=2x和y2=﹣均单调递增，所以f（x）=2x﹣在（0，1]上单调递增．当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，故值域为（﹣∞，1]．（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）成立，即恒成立，也就是（x1﹣x2）•＞0，只需2x1x2+a＜0，即a＜﹣2x1x2成立．由x1，x2∈（0，1]，故﹣2x1x2∈（﹣2，0），所以a≤﹣2．故a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．20．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x，化简得，2ax+a+b=2x，∴，∴a=1，b=﹣1．∴f（x）=x2﹣x+1；（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2﹣x+1＞2x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为，∴g（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．因此只需g（x）的最小值大于零即可，g（x）min=g（1），∴g（1）＞0，即1﹣3+1﹣m＞0，解得，m＜﹣1，∴实数m的取值范围是m＜﹣1．21．已知函数f（x）在其定义域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0；（1）求f（8）的值；（2）讨论函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性；（3）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x ﹣2）]＜f（8），（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；（3）由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数，将不等式进行转化即可解得答案．【解答】解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3，（2）当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上是增函数设x1＜x2，则∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）＜0，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则＞1，则f（）＞0，又f（x•y）=f（x）+f（y），∴f（x1）+f（）=f（x2），则f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在定义域内是增函数．（3）由f（x）+f（x﹣2）≤3，∴f（x（x﹣2））≤f（8）∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，∴解得，2＜x≤4．所以不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}．22．设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8，求t的取值范围．【考点】3X：二次函数在闭区间上的最值；3W：二次函数的性质．【分析】（1）若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1，根据二次函数在[0，4]上的单调性可求函数的值域（2）由题意可得函数在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5，分别讨论对称轴x=t与区间[a，a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a的范围（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：因为f（x）=x2﹣2tx+2=（x﹣t）2+2﹣t2，所以f（x）在区间（﹣∞，t]上单调减，在区间[t，+∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t﹣x），（1）若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1．①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，2]；②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范围为[1，10]；所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．…（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]max ≤5”．①若t=1，则f（x）=（x﹣1）2+1，所以f（x）在区间（﹣∞，1]上单调减，在区间[1，+∞）上单调增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得﹣3≤a≤1，从而 0≤a≤1．③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]max=f（a）=（a﹣1）2+1≤5，得﹣1≤a≤3，从而﹣1≤a＜0．综上，a的取值范围为区间[﹣1，1]．…（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而 t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得4﹣2≤t≤4+2．从而 4﹣2≤t≤2．③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2．从而 2＜t≤2．④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而 t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]．…。
河北省衡水市高一数学下学期期中试卷理(含解析)
5．如果 a1， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则（
）
A． a1a8＞ a4a5B． a1a8＜a4a5C． a1+a8＞ a4+a5D． a1a8=a4a5
6．已知数列 {a n} 满足 a1=0， an+1=an+2n，那么 a2003 的值是（
）
A． 20032B．2002×2001C．2003×2002D．2003×2004
分析0得到sinab的值根据锐角三角形即可求出度数进而求出角c的度数然后由韦达定理根据已知的方程求出ab的值利用余弦定理表示出cosc的值代入变形后将ab的值代入开方即可求出值利用三角形的面积公式表示出abc的面积把absinc的值代入即可求出值
2015-2016 学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷 （理科）
【考点】 等差数列的性质．
【分析】 先根据等差中项的性质可排除 C；然后可令 an=n 一个具体的数列进而可验证
不对，得到答案．
【解答】 解：∵ 1+8=4+5∴ａ1+a8=a4+a5∴排除 C；
若令 an=n，则 a1a8=1?8＜20=4?5=a 4a5∴排除 D， A．
故选 B
D、A
6．已知数列 {a n} 满足 a1=0， an+1=an+2n，那么 a2003 的值是（
值范围是（
）
A． m＞ 1B．1＜ m＜ 8C． m＞ 8D． 0＜ m＜1 或 m＞ 8
0＜ log m（ ab）＜ 1，则 m的取
4．已知 {a n} 是等比数列， a2=2，a5= ，则 a1a2+a2a3+…+anan+1=（
河北省衡水市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学含答案
2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题（答案在最后）出题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A.B. C. D.2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i+ D.42i+3.如图，在ABCD Y 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b = ，则DE等于（）A.12a b-r r B.12a b + C.12a b+ D.12a b-r r 4.在ABC 中，若1b =，60A =︒，ABC 的面积为3，则=a （）A.13B.13C.2D.25.已知||2a = ，向量a 在向量b 上的投影为3，则a 与b的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.π26.如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A. B.1 C.D.(21+7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()22234S b a c =+-，则B ∠=A.90︒ B.60︒ C.45︒ D.30︒8.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2- B.32-C.43-D.1-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1=+z ，z 为z 的共轭复数，复数zzω=，则下列结论正确的是（）A.ω对应的点在复平面的第二象限B.||1ω=C.ω的实部为12-D.ω10.如果平面向量()2,4a =-，()6,12b =- ，那么下列结论中正确的是（）A.3b a= B .//a b C.a 与b的夹角为30︒D.a在b方向上的投影向量为()2,4-11.在ABC ∆中，下列命题正确的是（）A .若A B >，则sin sin A B>B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形C.若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.13.水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知3A C ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的实际长度为______．14.在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α= 与OC的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +=_________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知||3a = ，||5b =，||7a b =+ .（1）求向量a 与b的夹角θ；（2）当向量ka b +与2a b -r r垂直时，求实数k 的值.16.复数22i(1i)1iz =++-，其中i 为虚数单位．（1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．17.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．18.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．19.在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①a =②2b =;③cos 2cos 0A A +=；④2223a cb ac +-=-．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知ABC 同时满足上述四个条件中的三个．请选择使ABC 有解的三个条件，求ABC 的面积．2023—2024学年度下学期期中测试高一数学试题出题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：B 是经过正方体对角面的截面；C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D 是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．考点：截面及其作法2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3.如图，在ABCD Y 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b = ，则DE等于（）A.12a b-r r B.12a b + C.12a b+ D.12a b-r r【答案】D 【解析】【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.【详解】因为E 是BC 的中点，AB a =，AD b =，所以111222CE CB AD b ==-=- ，所以12DE DC CE AB CE a b =+=+=-.故选：D.4.在ABC 中，若1b =，60A =︒，ABC=a （）A.13B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】先用面积公式求出c ，再用余弦定理求出a .【详解】在ABC 中，1b =，60A =︒，ABC 的面积为所以11sin 1222ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= 解得：c =4.由余弦定理得：2222cos 116413a b c bc A =+-=+-=,所以=a 故选：B.5.已知||2a =，向量a 在向量b ，则a 与b 的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.π2【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出a 与b夹角的余弦值，即可得出夹角大小.【详解】记向量a与向量b的夹角为θ，a ∴ 在b上的投影为cos 2cos a θθ= .a 在b上的投影为3，3cos 2θ∴=，[]0,πθ∈ ，π6θ∴=.故选：B.6.如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积()A.22B.1C.2D.(212+【答案】A 【解析】【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB 2=，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2=2．故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()22234S b a c =+-，则B ∠=A.90︒ B.60︒ C.45︒ D.30︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及()2224S b a c =+-，得1sin 2cos 24ab C ab C =⋅,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．8.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[()]24PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，32y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1=+z ，z 为z 的共轭复数，复数zzω=，则下列结论正确的是（）A.ω对应的点在复平面的第二象限B.||1ω=C.ω的实部为12-D.ω【答案】BC 【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出z ，然后结合复数的除法运算求出ω，根据复数的概念以及几何意义和模长公式逐项分析即可.【详解】因为1=+z ，所以1z =，所以21i422z z --====--ω，对应点为122⎛-- ⎪⎝⎭，在第三象限，1ω==，实部为12-，虚部为2-，选项B ，C 正确，选项A ，D 错误．故选：BC ．10.如果平面向量()2,4a =-，()6,12b =- ，那么下列结论中正确的是（）A.3b a= B.//a bC.a与b的夹角为30︒D.a在b方向上的投影向量为()2,4-【答案】AB 【解析】【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.【详解】3a b b a ===，A 正确.3a b =- ，所以//a b 且,a b反向，所以B 正确，C 错误.a 在b 方向上的投影向量为()2,4a b b b b-⋅⋅==-，D 错误.故选：AB11.在ABC ∆中，下列命题正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形C.若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确；若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误；若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+，所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________.【答案】75【解析】【详解】由正弦定理sin sin b c B C =，得3sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13.水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知3A C ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的实际长度为______．【答案】52【解析】【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC 实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且3,24AC A C BC B C ''''====，AC BC ⊥,所以22291625AB AC BC =+=+=，所以5AB =，故AB 边上中线长为5 2.522AB ==.故答案为：2.5.14.在同一个平面内，向量,,OA OB OC的模分别为OA 与OC 的夹角为α，且tan 7,OB α= 与OC的夹角为45，若(),OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n +=_________．【答案】3【解析】【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0A ，由OC的模为与OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=知，cos ,1010sin αα==，可得17,,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()cos 45,45B sin αα++ ，34,55B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m n m n n n ⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知||3a = ，||5b = ，||7a b =+ .（1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）当向量ka b + 与2a b -r r 垂直时，求实数k 的值.【答案】（1） 60θ= ；（2）8512-.【解析】【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出a b ⋅，再利用夹角公式计算作答；（2）利用垂直的向量表示及数量积的运算律求解作答.【小问1详解】因||3a = ，||5b = ，||7a b =+ ，则有22249()29252a b a b a b a b =+=++⋅=++⋅ ，解得152a b ⋅= ，因此1512cos 352||||a b a b θ⋅===⨯ ，而0180θ≤≤ ，于是得60θ= ，所以向量a 与b 的夹角60θ= .【小问2详解】因向量ka b + 与2a b -r r 垂直，由（1）知152a b ⋅= ，则22()(2)2)15(19(120)5022k ka k a b a b a b k k b +=+⋅-=-⋅--=+- ，解得8512k =-，所以实数k 的值为8512-.16.复数22i (1i)1iz =++-，其中i 为虚数单位．（1）求z 及z ；（2）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．【答案】（1）13i z =-+，z =（2）3,7.a b =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解z ；（2）首先将13i z =-+代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【小问1详解】∵()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-，∴z ==【小问2详解】由（1）可知13i z =-+，13iz =--由223i z az b ++=+，得：2(13i)(13i)23i a b -++--+=+，即(8)(63)i 23i a b a --++--=+，∴82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩，解得3,7.a b =-⎧⎨=⎩17.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）4π；（2）5.【解析】【分析】（1）根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；（2）先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，从而tan 1C =，由于0C π<<，所以4C π=．（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而c =，b =，4C π=，代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）．故ABC ∆的面积为11sin 55222ab C =⨯⨯=．【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3m =-，z =（2）1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简(3i)z ⋅+，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m 的值，即可求出z ，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简1z ，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵1i z m =+，∴1i z m =-，∴i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m +=-+=++-， (3+i)z ⋅为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-，故13i z =-，则z ==【小问2详解】2023450533i i i i ⨯+===- ，()()()()20231i 1+3i i i 331=i 13i 13i 1+3i 1010a a a a a z z ∴+-+-+===+--， 复数1z 所对应的点在第二象限，∴301031010a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得133a -<<，故实数a 的取值范围为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.在ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，现有下列四个条件：①a =②2b =;③cos 2cos 0A A +=；④2223a cb ac +-=-．（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）已知ABC 同时满足上述四个条件中的三个．请选择使ABC 有解的三个条件，求ABC 的面积．【答案】（1）不能同时成立，理由见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得π3A =，由④利用余弦定理可得2ππ3B <<，即可三角形内角和可得结论；（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B ，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c ，再求得sin B ，即可求得三角形面积.【小问1详解】由条件③cos 2cos 0A A +=，可得22cos cos 10A A +-=．解得1cos 2A =或cos 1A =-（因为()0,πA ∈,舍去），因为()0,πA ∈，所以π3A =；由条件④2223a c b ac +-=-，可得222cos 23a cb B ac +-==-，因为312πcos cos 323B =-<-=，且()0,πB ∈，而cos y x =在()0,π上单调递减，所以2ππ3B <<．若条件③④能同时成立，则π2ππ33A B +>+=与πA B +<矛盾，所以③④两个条件不能同时成立．【小问2详解】因为ABC 同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择①②③：由（1）知π3A =，由sin sin a b AB =，可得32sin 2sin 1b A B a ⨯===，因为()0,πB ∈，所以π2B =，所以△ABC 为直角三角形，所以1c ==，所以ABC的面积1122S =⨯=．若选择①②④：由（1）知cos 3B =-，由2222cos b a c ac B =+-，得2433c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，即221c c+=，解得1c =（负值舍去）．因为()0,πB ∈，所以sin 3B ==，所以ABC的面积)112sin 12232S ac B ==⨯=．。
河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)
河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B． C．D．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C13．在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α且α∥β，则m∥β B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊥α且α∥β，则m⊥β D．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）A． B．3 C． D．125．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A． B． C． D．6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A． B．4π C． D．3π7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+π B．48﹣π C．48+2π D．48﹣2π8．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直 D．当x变化时，l不是定直线9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A． B． C．3π D．4π10．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 B．恒有平面A′GF⊥平面BCED C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值 D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．12．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1 B．2 C． D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．15．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B． C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A ，B ，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线B 1C 1和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA 1，A 1B 1，A 1D 1都和直线EF 为异面直线； B 1C 1和EF 在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线B 1C 1和直线EF 相交，即选项D 正确． 故选：D ．3．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α且α∥β，则m ∥βB ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC ．若m ⊥α且α∥β，则m ⊥βD ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，m ∥β或m ⊂β；在B 中，m 与n 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β；在D 中，m 有可能垂直于n ．【解答】解：由m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知： 在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确； 在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误． 故选：C ．4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的周长为（ ）A ．B ．3C ．D ．12【考点】LB ：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法得到三角形OAB的底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，然后求三角形的周长即可．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为10+2．故选：A．5．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算．【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD 的中心．连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，∴SE==．在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，∴3=，解得a=2．∴SO=1，∴棱锥的体积V==．故选B．6．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A．B．4π C．D．3π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD，而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=3，O1O=2，∴Rt△O1OC中，O1C=．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r==，可得截面面积为S=πr2=．故选A．7．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．48+πB．48﹣πC．48+2πD．48﹣2π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．然后利用正方体的表面积及球的表面积求解．【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．8．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A．l∥面ABCD B．l⊥ACC．面MEF与面MPQ不垂直D．当x变化时，l不是定直线【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】画出直线l，然后判断选项即可．【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线．D错误．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A．B．C．3π D．4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据图中数据求出几何体的表面积与体积，从而求出其内切球的半径r，再计算内切球的表面积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为．故选：B．10．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．=，11．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C． D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】过球心O作平面ABCD的垂线OG，则G为正方形中心，∠OAG为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值．【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V==，球得，∴R=，即OA=．设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG⊥平面ABCD，且AG=．∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．故选：A．12．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），当二面角E﹣AD﹣C的余弦值为时，实数m的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由题意画出图形，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量（用含有m 的代数式表示），再求得平面ADC的一个法向量，结合二面角E﹣AD﹣C的余弦值为列式求得m值．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，∴A（0，﹣1，0），C（0，1，0），D（），A1（0，﹣1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），∴，设E（x，y，z），则，，∴（x，y+1，z﹣3）=（﹣mx，m﹣my，﹣mz），得x=0，y=，z=．∴E（0，，），则，，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得．平面ADC的一个法向量．∴|cos＜＞|=||=||=．解得：m=1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用等体积法，即=，求点A到平面A1DB的距离．【解答】解：构造三棱锥A﹣A1DB，并且有=，因为=sh=××1×1×1=，所以==．DB的距离为x，设点A到平面A1×x=×××x=，又因为=×SA1BD所以x=，即点A到平面ADB的距离为．1故答案为：14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：a=2，b=2，c=2，所以球的直径为： =2所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π故答案为：8π．15．如图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【考点】G7：弧长公式．【分析】由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=2，在△AOD中，AO=DO=2，又AD=2，∴cos∠AOD===0，则∠AOD=，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是×2π×OA=．故答案为：．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用体积公式判断①，利用向量计算夹角判断②，根据二面角的定义判断③，利用全等判断④．【解答】解：对于①，显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点，则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1，∴QD=QC1，∴M的轨迹为直线AD1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．（Ⅰ）若弧的中点为D，求证：AC∥平面POD（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由AB是底面圆的直径，可得AC⊥BC．再由的中点为D，可得OD⊥BC．则AC ∥OD．由线面平行的判定可得AC∥平面POD；（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意可得h=r，l=，由△PAB面积是9求得r=3，代入圆锥表面积公式与体积公式求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．∵的中点为D，∴OD⊥BC．又AC、OD共面，∴AC∥OD．又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD；（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=，由，得r=3，∴，．18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1．棱台体积公式：V=（S′++S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；（Ⅱ）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=，求该组合体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC．（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM﹣DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，又MA⊂平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴MA⊥BD．又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC=A，MA，AC⊂平面MAC，∴BD⊥平面MAC．…（Ⅱ）设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1体积V==，∴h=，故该组合体的体积为V==．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AD⊥CD，AD⊥BD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面BCD．（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∠AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角．【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在Rt△ADF中，AF==，在△BCD中，由题设知∠BDC=60°，则BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2，∴BE=，∴cos，在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD•BE•cos∠CBD=13，在Rt△ADE中，cos∠AEF===，∴∠AEF=60°，'∴异面直线AE与BD所成的角为60°．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1．证得A 1B ∥平面CDD 1C 1． （2）设A 1A=h ，已知几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，利用等体积法VABCD ﹣A 1C 1D 1=VABCD ﹣A 1B 1C 1D 1﹣VB ﹣A 1B 1C 1，进行求解．（3）在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ，过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，推出A 1P ⊥C 1D ，证明A 1P ⊥C 1D ，推出△D 1C 1Q ∽Rt △C 1CD ，再求求线段A 1P 的长． 【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D 1C ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴A 1D 1∥BC 且A 1D 1=BC ．∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∴A 1B ∥D 1C ．∵A 1B ⊄平面CDD 1C 1，D 1C ⊂平面CDD 1C 1， ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1．证法二：∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴平面A 1AB ∥平面CDD 1C 1．∵A 1B ⊂平面A 1AB ，A 1B ⊄平面CDD 1C 1． ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1．解：（2）设A 1A=h ，∵几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，∴V ABCD ﹣A1C1D1=V ABCD ﹣A1B1C1D1﹣V B ﹣A1B1C1=， 即S ABCD ×h ﹣×S △A 1B 1C 1×h=，即2×2×h ﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A 1A 的长为4．（3）在平面CC 1D 1D 中作D 1Q ⊥C 1D 交CC 1于Q ， 过Q 作QP ∥CB 交BC 1于点P ，则A 1P ⊥C 1D ． 因为A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，C 1D ⊂平面CC 1D 1D ， ∴C 1D ⊥A 1D 1，而QP ∥CB ，CB ∥A 1D 1， ∴QP ∥A 1D 1， 又∵A 1D 1∩D 1Q=D 1， ∴C 1D ⊥平面A 1PQC 1，且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==21．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．。
河北省衡水市武邑中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
河北武邑中学2021-2022高一下学期期中考试数学试题一.选择题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合，再由补集的定义可得结果.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法以及集合补集的定义，属于基础题.2.已知向量，，，若，则的值为（）A. 3B.C.D. -3【答案】A【解析】【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A. 【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.3.要得到函数图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（）A. 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度B. 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度4C. 缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D. 缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度【答案】A【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选A．点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．4.若函数.则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出与时函数值的取值范围，再求并集即可.【详解】因为时，；时，所以函数值域是，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的值域以及指数函数与对数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（）A. -1B. 1C.D.【解析】【分析】先根据得到，可得,再根据向量投影的定义即可得结果. 【详解】因为平面向量是非零向量,,,即,因为，所以,所以，向量在向量方向上的投影为，故选A.【点睛】平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.6.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的值，然后利用，展开后计算得出正确选项.【详解】由于，所以.故，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.已知、、是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是（）A. 直角B. 钝角C. 锐角D. 不确定【答案】C【分析】根据锐角三角形的性质可知，可得，从而可得结果.【详解】因为是锐角的三个内角，所以，即，所以，又因为向量，，.故的夹角为锐角.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示以及锐角三角形的性质、诱导公式以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是.8.如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，由可得，解得，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】设，因为，所以，即，解得，设在任取一点，则此点取自正方形的事件为，由几何概型概率公式可得，.故选A.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.9.如图是函数（）的部分图象，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由,求得，从而求出函数的解析式，再由求得，进而可得结果. 【详解】由函数图象得,所以，所以，又因为，所以或，又因为函数周期为，故，解得，则.故选D【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象与解析式，同时考查了正弦函数的周期公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.10.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质可得而且，利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上单调递增且连续，而，，即，所以，函数的零点所在的区间是，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11.已知中，，，，于，，则（）A. 6B.C. 3D.【答案】A【解析】【分析】求得结合，利用，根据平面向量数量积的运算法则化简即可得结果.【详解】因，，，所以，因为，且,所以，，可得，，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12.若是方程的解，是方程的解，则等于（）A. B. 1 C. D. -1【答案】B【解析】【分析】方程的根就是对应函数图象的交点，利用函数与互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．【详解】因为是方程的解，是方程的解；所以是方程的解，是方程的解，是图象交点的横坐标；是图象交点的横坐标，因为与互为反函数，所以与的图象关于对称，又因为的图象也关于对称，所以关于对称，可得，，故选B.【点睛】本题主要考查反函数的性质，函数图象的应用，考查转化思想，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将方程的根的问题转化成曲线交点问题是解题的关键.二.填空题：将答案填在答题卡上相应位置.13.不共线向量，满足，且，则与的夹角为________.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,,,又因为 ,所以.填（或）.14.定义在上的函数满足，若，且，则________.【答案】4【解析】【分析】先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值. 【详解】依题意，故为奇函数..故，所以.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.15.若圆与圆相切，则的值为________.【答案】【解析】【分析】根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得的值.【详解】因为，所以,因为两圆相切，所以或，解得或.【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.16.在平面内，点是定点，动点，满足，，则集合所表示的区域的面积是________.【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三.解答题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知定义在上的函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)结合函数的定义域，利用单调性,原不等式转化为,由此解不等式组可求得的范围；(2)利用函数的单调性、奇偶性、结合，将原不等式转化为,解不等式即可得出结论.【详解】（1）由题意可得，，求得，即的范围是.（2）∵函数是奇函数，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴.∴不等式的解集为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性、奇偶性的应用，以及抽象函数解不等式，属于中档题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.18.设向量，，为锐角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示可得，求出的值，进而可得结果；(2) 由,利用向量共线的充要条件可得，再利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】（1）∵，∴.∴又∵为锐角，∴.(2) ∵,∴.∴，∵.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标表示以及向量共线的充要条件，考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题.向量的位置关系问题是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.19.如图所示，平面上，点，点在单位圆上且.（1）若点，求的值：（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1）﹣，（2）．【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得tanθ，进而得到tan2θ，最后求出．（2）由条件求出•，于是得到+•=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π），然后再根据三角函数的相关知识求解．【详解】（1）由条件得B（﹣，），∠AOB=θ，∴ tanθ==﹣，∴ tan2θ = = = ，∴tan（2θ+）= = =﹣．（2）由题意得=||||sin（π﹣θ）=sinθ．∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），∴ =+=（1+cosθ，sinθ），∴ •=1+cosθ，∴ +•=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π），∵ ＜＜，∴﹣＜sin（）≤1，∴ •．∴+•的取值范围为．【点睛】本题将三角函数的知识与向量结合在一起考查，体现了向量的工具性，解题时可根据所给的条件及要求逐步将问题进行转化，最后化为三角函数的问题求解．20.一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 设，，先根据的最大和最小值求得和的值,利用周期公式求得,根据当时,,可求得的值,从而可得结果；(2)由最大值为3,可得三角函数方程,进而可求点第一次到达最高点的时间;【详解】（1）设，，则，，∴，∴∴，∵，，∴，∴.∵，∴，∴（2）令，得，∴，∴∴点第一次到达最高点大约要的时间.【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式，以及三角函数性质的实际应用，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数（1）设，比较：与的大小关系；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）分别求出与的值，利用对数的运算法则化简，从而可得结果; （2）先判断函数的单调性与奇偶性，函数有零点，等价于有解，即方程有解，换元后，利用导数求出的取值范围即可.【详解】（1）∵又∵，（2）由得，所以定义域关于原点对称，又∵，即函数是奇函数若当时，函数有零点.即当时，方程有解，即有解，又∵，是减函数，则有解，则有解，设，∵.，设函数，则在上为增函数，∴，，∴，所以.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数单调性、奇偶性的应用，考查了同角三角函数的关系以及利用导数研究数的单调性，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于难题.。
河北省衡水市高一数学下学期期中试卷理(含解析)
3．已知 a， b， a+b 成等差数列， a， b， ab 成等比数列，且
值范围是（
）
A． m＞ 1B．1＜ m＜ 8C． m＞ 8D． 0＜ m＜1 或 m＞ 8
0＜ log m（ ab）＜ 1，则 m的取
4．已知 {a n} 是等比数列， a2=2，a5= ，则 a1a2+a2a3+…+anan+1=（
8．△ ABC的内角 A，B， C 的对边分别为 a， b，c，若 于（ ） A． B ． 2C． D ． 【考点】 正弦定理的应用． 【分析】 先根据正弦定理求出角 C 的正弦值，进而得到角 为 180°确定角 A=角 C，所以根据正弦定理可得 a=c．
，则 a 等 C 的值，再根据三角形三内角和
2015-2016 学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷 （理科）
一、选择题 1．函数 f （ x） =
+lg （ 3x+1）的定义域是（
）
A．（﹣ ，+∞） B．（﹣ ， 1） C．（﹣ ， ） D．（﹣∞，﹣ ）
2．不等式 ax2+bx+2＞ 0 的解集是
，则 a+b 的值是（
）
A． 10B．﹣ 10C． 14D．﹣ 14
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2015-2016 学年河北省衡水市枣强中学高一（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题
1．函数 f （ x） =
+lg （ 3x+1）的定义域是（
）
A．（﹣ ，+∞） B．（﹣ ， 1） C．（﹣ ， ） D．（﹣∞，﹣ ）
【考点】 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 【分析】 依题意可知要使函数有意义需要 1﹣ x＞ 0 且 3x+1＞0，进而可求得 x 的范围．
河北省衡水市2020版高一上学期数学期中考试试卷A卷
河北省衡水市2020版高一上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共42分)1. （1分） (2019高一上·上海月考) 集合 , ，若，则实数m=________.2. （10分） (2019高一上·武平月考) 已知函数 .（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得为奇函数．3. （1分） (2019高一上·邵阳月考) 函数y＝x2+3x﹣1，x∈[﹣2，3]的值域是________．4. （1分） (2020高三上·湘潭月考) 已知函数，则 ________．5. （1分）(2018·兴化模拟) 已知函数，若，则,的最小值为________．6. （1分） (2017高一上·雨花期中) 设 a=log0.60.7，b=ln0.7，c=30.7 ，则a、b、c 由小到大的顺序是________．（用“＜”连接）7. （1分） (2017高一上·高邮期中) 已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）=________．8. （10分）已知函数f（x）=x+ ，x∈（1，+∞）．（1）证明f（x）为增函数（2）若f（3x）＞f（x+1），求x的取值范围．9. （1分） (2017高一上·昌平期末) 函数的定义域是________．10. （2分） (2019高一下·金华期末) 已知函数为偶函数，则a=________，函数的单调递增区间是________.11. （10分） (2017高一上·景县期中) 设函数f（x）= ．（1）求f（0），f（2），f（f（3））的值；（2）求不等式f（x）≤2的解集．12. （1分）已知函数f（x）=x3+x，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是________13. （1分） (2017高二上·定州期末) 设函数f（x）= ，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为________．14. （1分）已知关于x的方程2sin2x﹣ sin2x+m﹣1=0在x∈[0， ]上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分） (2017高二下·西安期末) 已知全集为R，函数f（x）= 的定义域为集合A，集合B={x|x （x﹣1）≥2}（1）求A∩B；（2）若C={x|1﹣m＜x≤m}，C⊆（∁RB），求实数m的取值范围．16. （10分） (2019高三上·湖南月考) 已知函数．（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，若存在，，，使，证明：．17. （10分） (2019高三上·泰州月考) 设二次函数，集合．（1）若，，且方程的两根都小于-1，求实数的取值范围；（2）若，求函数在区间上的最大值（结果用表示）．18. （15分） (2016高一上·潍坊期末) 已知a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（ +a）．（1）若函数f（x）过点（1，1），求此时函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的范围；（3）设a＞0，若对任意实数t∈[ ，1]，函数f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高一上·武汉期末) 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x2 ．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．20. （10分） (2016高一上·越秀期中) 某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本万元，生产与销售均已百台计数，且每生产台，还需增加可变成本万元，若市场对该产品的年需求量为台，每生产百台的实际销售收入近似满足函数．（1）试写出第一年的销售利润（万元）关于年产量（单位：百台，，）的函数关系式：（说明：销售利润=实际销售收入-成本）（2）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过台，若第一年的年支出费用（万元）与年产量（百台）的关系满足，问年产量为多少百台时，工厂所得纯利润最大？参考答案一、填空题 (共14题；共42分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、答案：2-2、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、答案：8-2、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、答案：11-2、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共65分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
河北省衡水市深州市长江中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
河北省衡水市深州市长江中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题（共12个题,每小题5分）1.如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A. φ B. {1,2,3,4}C. {2,4}D. {1,3}【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义写出运算结果【详解】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A={1,3}U C A 则,故选D .【点睛】本题考查补集的运算,对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A.2.函数14y x -的定义域为（ ） A. [)4,+∞B. []2,4C. []4,2-D.[)()2,44,⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式不小于0，分母不为0，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得2040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥且4x ≠．故选D ．【点睛】本题考查定义域的求法，是基础题． 3.下列函数是奇函数的是（ ） A. ()22xxf x -=+B. ()1f x x =+C. ()32f x x x=+D.()12f x x=【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论． 【详解】对于函数()22xxf x -=+，由于()()22xx f x f x --=+=，故此函数为偶函数；对于函数()1f x x =+，由于()()1f x x f x -=-+≠-且()()f x f x -≠，故此函数非奇非偶函数；对于函数()32f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，由于()()3322f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，故此函数为奇函数．； 对于函数()12f x x =，定义域为{}0x x ≥不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数；故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题． 4.下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）． A. ()3f x x =- B. ()23f x x x =-C. ()11f x x =-+ D. ()f x x =-【答案】C 【解析】 【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x=-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断. 【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合； B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合；C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合；D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合； 故选C.【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0ky k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断；（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断. 5.设函数()223,122,1x x f x x x x -⎧=⎨--<⎩,若()1f a =,则(a = ) A. 1-或3 B. 2或3C. 1-或2D. 1-或2或3 【答案】C 【解析】 【分析】分1a ≥或1a <两种情况讨论．【详解】解：根据题意有1231a a ≥⎧⎨-=⎩或21221a a a <⎧⎨--=⎩,解得：2a =或1a =-, 故选C ．【点睛】本题考查分段函数求值问题,一定要有分类讨论意识．6.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≤B. 2a ≤-或2a ≥C. 2a ≥-D.22a -≤≤【答案】B 【解析】先确定函数在区间(0,)+∞上是增函数，由()(2)f a f ≥，可得||2a ≥，即可求实数a 的取值范围【详解】解：∵函数()y f x =是R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上是减函数， ∴函数在区间(0,)+∞上是增函数 ∵()(2)f a f ≥， ∴||2a ≥， ∴2a ≤-或2a ≥ 故选B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的结合，考查学生分析解决问题的能力，确定函数在区间(0,)+∞上是增函数是解题的关键．7.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f (x )＝x 2－3x+1，则f (1)+f (0)等于（ ） A. 5 B. 6 C. －5 D. －6【答案】C 【解析】 【分析】根据0x <的函数解析式以及奇函数计算()1f 的值，注意()0f 的特殊性.【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()21113115f f ⎡⎤=--=----+=-⎣⎦且()00f =，所以()()105f f +=-.故选C.【点睛】本题考查根据函数奇偶性求值，难度较易.当奇函数在0x =处有定义时，一定要注意：()00f =.8.若2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A. b c a <<B. c b a <<C. a c b <<D.b ac <<【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性判断数值大小.【详解】因为25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b c <； 又因为25y x =在(0,)+∞上单调递增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c >；则b c a <<，故选A.【点睛】指对数比较大小常用的方法：（1）利用单调性比较；（2）借助中间值比较（比如中间值‘1’）.9.若函数25y mx x =++在[)2,-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)2,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】当0m =时，25y mx x =++为一次函数；当0m >时，25y mx x =++为开口向上的二次函数，研究对称轴与-2的大小关系，分析即得解.【详解】当0m =时，显然5y x =+在[)2,-+∞上是增函数；当0122m m >⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，即104m <≤时，此函数在[)2,-+∞上是增函数；当0m <时不成立，故m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C .【点睛】本题考查了含参的二次函数的单调性判断问题，考查了学生综合分析，分类讨论的能力，属于基础题.10.若221124x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的解集是函数2x y =的定义域，则函数2xy =的值域是（ ）A. 1,28⎡⎫⎪⎢⎭⎣ B. 128⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝D. )2,⎡+∞⎣【答案】B 【解析】 【分析】 先求得不等式221124x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的解集，也即函数2x y =的定义域，根据函数2xy =的单调性求得值域. 【详解】由221124x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得212422xx +-+≤，即2124x x +≤-+，()()223310x x x x +-=+-≤，解得31x -≤≤，也即函数2x y =的定义域为[]3,1-.由于函数2xy =在R 上递增，故当3x =-时取得最小值18，当1x =时取得最大值2，所以函数的值域为128⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选B.【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法，考查函数定义域与值域，考查指数函数的单调性，属于基础题.11.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，(1)3f -=，且当0x ≥时，()2xf x x c =++(c 是常数)，则不等式1()6f x ―<的解集是()A. (31)-， B. (23)-， C. (22)-， D. (1,3)-【答案】D 【解析】 【分析】先根据(1)3f -=以及奇偶性计算c 的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式.【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()113f f -==，所以()133f c =+=，所以0c；又因为[)0,x ∈+∞时()2xf x x =+是增函数且()22226f =+=，所以(),0x ∈-∞时()f x 是减函数且()()226f f -==；所以212x -<-<，解得：()1,3x ∈-，故选D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性、单调性解不等式的问题，除了可以直接分析外，还可以利用函数图象分析.12.已知函数()f x 对任意实数x 都满足()()0f x f x --=，且当[)0,x ∈+∞时都有()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦成立，令()1a f =，12b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()2c f =-，则（ ） A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知f （x ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，然后即可比较大小【详解】由已知可知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在区间（0，+∞）上是增函数， 故f （12）＜f （1）＜f （2）=f （﹣2），即b a c <<， 故选A ．【点睛】本题主要考查了偶函数对称区间上单调性相反性质的应用及利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础试题二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()22,1,21,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩则()()0f f =______.【答案】5 【解析】 【分析】根据分段函数f （x ）的解析式，求出f （0）以及f （f （0））的值即可． 【详解】()03,f =∴ ()()()035f f f ==.故答案为5【点睛】本题考查了利用分段函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题．14.已知函数2(1)f x x x +=+，则()f x =______________．【答案】2x x - 【解析】令11x t x t +=⇒=-，22()(1)(1)f t t t t t =-+-=- ，则2()f x x x =- .15.函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为_________．【答案】[)1,-+∞ 【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，结合指数函数和二次函数的单调性知识，求得函数的单调递增区间.【详解】函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，函数228y x x =--+的对称轴是1x =-，且在(],1-∞-上递增，在[)1,-+∞上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[)1,-+∞. 故填：[)1,-+∞.【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查指数函数和二次函数的单调性，属于基础题.16.若函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩在R 上为增函数，则a 取值范围为_____.【答案】[]1,2 【解析】函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩在R 上为增函数，则需202210(0)1a a f a -⎧≥⎪⎪->⎨⎪≤-⎪⎩，解得12a ≤≤，故填[]1,2. 三、解答题17.设U =R ，{}|56A x x =-<≤，{|6B x x =≤-或}1x >，求： （1）AB ；（2）()()U U C A C B ⋂.【答案】（1）{}|16x x <≤；（2）{}|65x x -<≤- 【解析】 【分析】（1）直接由交集定义得解；（2）分别计算,U U C A C B ,再计算()()U U C A C B ⋂即得解. 【详解】由题意得：{|6B x x =≤-或}1x >， （1）{}|16A B x x ⋂=<≤；（2）∵{|5U C A x x =≤-或}6x >，{}|61U C B x x =-<≤， ∴()(){}|65U U C A C B x x ⋂=-<≤-【点睛】本题考查了集合的交并补运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题. 18.已知集合{}023A x x a =<+≤，122B y y ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. (1)当1a =时，求()R C B A ;(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}1,2x x x ≤≥或（2）(]1,1- 【解析】【详解】试题分析：（1）先求集合A ，再求集合B 补集，最后求两者并集（2）先求集合A ，再由A B ⊂得集合A 为集合B 的子集，根据数轴得到a 的关系式，解不等式可得实数a 的取值范围.试题解析：解：(1)当1a =时，1|12A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，1{|2}2R C B x x x =≤-≥或 (){|1, 2}R C B A x x x ∴⋃=≤≥或(2)3|22a a A x x -⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆,则当A =∅时，322a a --≥， 即03≥，不成立，A ∴≠∅122322aa ⎧-≥-⎪⎪∴⎨-⎪<⎪⎩ 解得11a a -<≤∴的取值范围为(]1,1- 19.计算求值：（1）013134270.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭（2）若1122x x-+=， 求1x x -+的值【答案】（1）10 （2）3 【解析】 【分析】根据指数式的运算化简即可． 详解】（1）原式()()131342342(0.4)120.5-=-++110.4182-=-++51722=++ =10（2）1122x x-+=211225x x -⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭13x x -∴+=【点睛】本题考查了指数幂的化简求值，属于基础题．20.计算（1）221log lg134812()lg 1)27100--++； （2）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++ 【答案】（1）3-； （2）3.【解析】【分析】由对数的运算法则以及指数幂的运算，即可求出结果.【详解】（1）)2221lg13log 48112192lg 12113271004344--⎛⎫⎛⎫-++=--+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()()2222lg5lg8lg5lg20lg225225lg 5423lg lg lg lg +++=++⨯+ ()()2222lg52lg2lg5lg22(52)3lg lg =+++=++=【点睛】本题主要考查对数运算以及指数幂运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.21.设函数2()1x f x x +=-． （1）用定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上是单调递减函数；（2）求()f x 在区间[3]5，上的最值． 【答案】（1）见解析；（2）max 52f =，min 74f = 【解析】【分析】（1）利用定义证明即可；（2）根据单调性即可得在区间[3，5]上的最值．【详解】（1）令()()()()()2112121231011x x x x f x f x x x -<-=>--<，，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间()1,+∞ 上是单调递减函数；（2）∵函数()f x 在区间[]35，上是单调递减函数, ()()max min 573;524f f f f ∴====.【点睛】本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值．22.已知函数()21,02,036,3xxf x x x xx x⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【解析】【分析】（1）根据函数()y f x=的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x=的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域. 【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.。