向量代数与空间解析几何相关概念和例题
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。
图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。
解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。
向量代数与空间解析几何(18)
m
n
p
s {m, n, p},
: Ax By Cz D 0, n {A, B,C},
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
20
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
y
x
• ••
L
24
旋转曲面方程
总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
25
如 yOz坐标面上的已知曲线f ( y, z) 0 绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程:
第六章 向量代数与空间解析 几何(二)
主要内容 典型例题 堂上练习题
小结
1
一、主要内容
第4节 平面的方程
关键确定平面的法向量
一、平面的点法式方程
经过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 法向量为 n {A, B, C} 的平面的点法式方程为:
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
z
O
y
x
28
z
5. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
6. 单叶双曲面
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
7. 双z叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x
y
z
高等数学第06章 向量代数与空间解析几何习题详解
ab AC 2 AM 即 (ab) 2 MA 于是 MA 1 (ab) 2 因为 MC MA 所以
MC 1 (ab) 又因ab BD 2 MD 所以 MD 1 (ba) 2 2
2 2
M1M 3 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6 ，即 M1M 3 M 2 M 3 ， 因此结论成立.
11、 在 yoz 坐标面上，求与三个点 A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设 yoz 坐标面所求点为 M (0, y, z ) ，依题意有 | MA || MB || MC | ，从而
14 14 ，故所求点为 (0,0, ) . 9 9
13、 求 使向量 a { ,1,5} 与向量 b {2,10,50} 平行.
2
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
解：由 a // b 得
2
1 5 1 得 . 10 50 5
14、 求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a = 10 ( j ) 10 j = {0, 10,0} .
7、已知点 A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐
1
第六章 向量代数与空间解析几何习题详解
标）. 解：分别为 (a, b,0), (0, b, c), (a,0, c), (a,0,0), (0, b,0), (0,0, c) .
8、过点 P(a, b, c) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy 面的平面，问它们上面的点的 坐标各有什么特点？ 解：平行于 z 轴的直线上面的点的坐标： x a, y b,z R ；平行于 xOy 面的平面上的 点的坐标为 z c, x, y R . 9、求点 P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离 . 解：到原点的距离为 3 5 ，到 x 轴的距离为 41 ，到 y 轴的距离为 2 5 ,到 z 轴的距离 为 29 .
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高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结
向量代数与空间解析几何知识点：
（1）向量代数知识点
（2）两平面夹角与两直线夹角公式
两平面夹角和两直线夹角公式（3）点到直线的距离公式
点到直线的距离
（4）常见二次曲线
常见二次曲线
题型一：求曲线上一点到某一固定平面的最近距离和最远距离例1：
【分析】:曲线上一点(x,y,z)到XOY面的距离为|z|，但把目标函数设为
f(x,y,z)=|z|，不便于计算，因而常把目标函数设为f(x,y,z)=z^2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。
解：
题型二：求直线方程
建立直线方程有两个基本方法：
（1）已知直线L上的一个点P（x0,y0,z0）和直线L的方向向量s={l,m,n}就可以确定直线L；
（2）两个不平行的平面相交于一直线；
例2：求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线方程。
分析：只要求出所求直线方向向量即可，可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。
解：。
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
r a
与三个坐标面
xoy,
yoz,
zox
的夹角分别为1, 2,
3 （
0
1, 2,
3
2
），则
cos2 1 cos2 2 cos2 3
;
解： cos2 1 cos2 2 cos2 3 2 ，所以填 2。（内容要求 2）
r 4、向量 a
(1,
1,
).
(A) a b a b
(B) a b a b
(C) a b a b
(D) a b a b
解： a b 2 | a |2 | b |2 2 | a | | b | cos | a |2 | b |2 ，（ cos =0）
a b 2 | a |2 | b |2 2 | a | | b | cos | a |2 | b |2
{2, 4,
}
，且
r a
/
r /b
，则
(
)；
10
(A)
(B) 10
(C) 6
(D) 6
3
3
解：因为
ar
/
r /b
，所以
1
2
3
，所以选 C。（内容要求 8）
24
r
r
r
r
16、设向量 a {2, 1, 10} ， b {4, 2,1}，则向量 a 与向量 b 的关系是(
5）
11、已知 a 1, b
2
，且 a 与 b 的夹角为
，则
a
b
(
).
4
(A) 5
向量代数与空间解析几何
（一）向量代数 1．知识范围 （1）向量的概念 向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦 （2）向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 （3）向量的数量积 二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件 （4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件 2．要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的件。
解: AB = {3, 1, 2}
|AB|
解
解
实例
定义
两向量的数量积
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
证
数量积符合下列运算规律：
交换律：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分配律：
若 为数：
数量积的坐标表达式
设
数量积的坐标表达式
两向量夹角余弦的坐标表示式
解
证
4、两向量的向量积
实例
定义
（3）
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
[3] 向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律：
结合律：
分配律：
按照向量与数的乘积的规定，
3. 向量的坐标
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01
02
向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 的方向角：
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
由图分析可知
向量的方向余弦
空间解析几何例题
第4章 向量代数与空间解析几何习题解答习题一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有==,由矢量合成的三角形法则有+=+=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。
向量代数与空间解析几何-平面及其方程
−1 −1 1 2 Q = = = , 两平面重合 −4 2 2 −2
例8 求过点 M1 (0, −1,0), M 2 (0,0,1)，且与xoy面
成 60 角的平面.
o
r n
60o
解 所求平面的法向量为： r n = ( A, B , C ), ⎯ ⎯→ r Q n ⊥ M 1 M 2 = (0, 1, 1) ⎯→ r ⎯ ∴ n ⋅ M 1 M 2 = 0, B + C = 0 r∧ r 又 Q ( n , k ) = 60o r r 1 n⋅k C o = cos 60 = r r = r ∴ 2 nk n
⎯ ⎯→
r n
⋅ P0 P1 ⋅
N
Π
P1 P0 ⋅ n Prjn P1 P0 = n
⎯ ⎯→
P1 P0 = ( x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 )
⎯ ⎯→
r n = ( A, B , C )
P1 P0 ⋅ n Prjn P1 P0 = n
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→
A( x0 − x1 ) + B( y0 − y1 ) + C ( z0 − z1 ) = A2 + B 2 + C 2
第七章
第三节 平面及其方程
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 平面方程
设有平面 Π ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Π 点 z r 如果一非零向量垂直于一 n 平面，这向量就叫做该平 M0 Π 面的法向量． M r o 平面 Π 的法向量 n 的 特征： r r x ① n≠0 r ② n⊥Π
y
r 设法向量：n = ( A, B , C ), r ( n = A2 + B2 + C 2 ≠ 0)
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
(完整版)高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。
(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。
6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。
向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2。
向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。
空间解析几何与向量代数
，其方向向量
s
A1
,
B1
,
C1
A2
,
B2
,
C2
注：直线与平面垂直：直线的方向向量即为平面的法向量；
平面的法向量即为直线的方向向量。
直线与直线平行：两直线的方向行：两平面的法向量平行（也可说相同）。
求直线方程关键是求点、方向向量或两个点
例 1、过点（1，2，3）且平行于直线 x 2 y 1 z 的直线方程为
cos(a,
b)
a
b
，
ab
Prja
b
b
cos(a,
b)
（
b
向量在 a
向量上的投影）
例：已知向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角是 ，则它在 u 轴上的投影是 3
a
b
a
b
0
例 1、设
a
5,
b
2,
(a,b) π ,
求
2a
3b
3
提示： 2a 3b 2 (2a 3b).(2a 3b)
例 2、若 a (1,0, 2), b (0,1,3) ，求（1）与 a,b 都垂直的单位向量；（2）以 a,b 为邻边的
平行四边形的面积
例 3、若 A(1, 2,3), B1, 2,5,C(0, 2,1) ，求三角形 ABC 的面积
二、平面方程
（1）点法式： A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
例 2、若 a (1, 1, m), b (2, 2,6) ，且 a // b ，则 m= , ，若 a 垂直 b ，则 m= 。
例 3、若 a 1,0, 2 b 3,0,1 ，求 a,b 的夹角。
向量积：
向量代数与空间解析几何知识题详解
第六章 向量代数与空间解析几何习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2）上半球面z 0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩；（2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z（3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,04522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影2220y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴,即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3,-1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, 、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ )解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C)⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z 解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+.0,1222z y x 解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解:(1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3)21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-ij kc a b，01⎧==⎨⎩c cc ，故与a、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d 垂直于a 与b，故d 平行于b a ⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2： }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos32=≠=，所以0≠B），令CBC'=，则有0='+zCy，由题设得22222212)5(112153cos++'++⨯'+⨯+⨯=πCC，解得3='C或13C'=-，于是所求平面方程为03=+zy或03=-zy．6、一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx且与平面01284=+--zyx垂直，求该平面方程；解法1：直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx在平面上，令x=0，得54-=y，z=4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n=},,{CBA，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为1n={1，5，1}，2n={1，0，-1}，则直线的方向向量s=1n⨯2n=11151-kji={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅ns={-5，2，-5}•},,{CBA=CBA525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--zyx垂直，则}8,4,1{},,{--⋅CBA=CBA84--=0，解方程组{5250,480,A B CA B C-+=--=⇒2,5,2A CB C=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所求平面方程为0)4()54(25)0(2=-++---zCyCxC，即012254=+-+zyx．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面1:43x zπ-=和2:251x y zπ--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．。
向量代数与空间解析几何大题
向量代数与空间解析几何大题
向量代数是数学中的一个重要分支，它与空间解析几何密切相关。
在高中数学学习中，向量代数与空间解析几何大题也是难点之一，本文将从以下几个方面来探讨这个话题。
一、向量的概念和基本性质
向量是有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
向量的加法和乘法运算是向量代数中比较常见的操作。
在空间直角坐标系中，向量的表示方式为（a，b，c），其中a、b、c分别代表向量在x、y、z三个方向的长度。
二、空间几何中的向量应用
在空间解析几何中，向量可以用于表示直线、平面和其他几何图形的方向和性质。
例如，两个向量的数量积可以用来判断两个向量的夹角是否为直角。
另外，向量的叉积和向量的模可以用来计算三角形面积和四面体体积。
三、典型问题解析
1.求向量的模和方向角
向量的模是向量长度的概念，而向量的方向角是指向量与某一轴之间所成的夹角。
由此我们可以通过向量的坐标来直接求出向量的模和方向角。
2.求两条直线的位置
在空间直角坐标系中，两条不共面的直线可能相交、平行或异面。
利用向量的特点，我们可以通过两条直线的方向向量来判断两条直线的位置关系。
3.求平面的参数方程
平面的参数方程是指通过平面上一点和平面的法向量来确定平面的方程形式。
在空间直角坐标系中，平面参数方程的形式为
Ax+By+Cz+D=0。
综上所述，向量代数与空间解析几何是高中数学学习中的难点，
需要注重理论知识的学习和实际问题的应用。
只有通过大量的习题练习，才能在这一领域取得更好的成绩。
向量代数与空间解析几何(19)
注 当分母为零理解为分子也为零.
21
四、向量的模、方向角
(direction angle )
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为
非零向量 a的方向角： 、 、
z
M1•
a
• M2
0 , 0 ,
O
x
y
0 .
22
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
•
A
u
A
B
B
u
已知向量的起点A和终点B
过点A作轴u的垂直平面, 在轴u上的投影点分别为 A, B
交点A 即为点A在轴u上 那么终点的投影点的坐标
的投影.
减去起点的投影点的坐标
称为向量在轴u上的 投影.
轴u称为投影轴.
15ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Projection
向量 AB 在轴u上的投影 记为 Pr ju AB AB
投影性质1
i
当右手的四个手指 横轴 x
y 纵轴
从正向x轴以 角度
2
转向正向y 轴时, 大
空坐间标直系角或坐[O标;i系, j,,称k]O坐xy标z 系.
拇指的指向就是z轴 的正向.
点O叫做坐标原点 (或原点)
8
z zOx面
yOz面 Ⅲ
Ⅱ
ⅦⅣ
Ⅰ
O
xOy面
Ⅵy
Ⅷ
Ⅴ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
9
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
cos
axbx a yby azbz
两向量夹角
向量代数与空间解析几何相关概念和例题-8页word资料
空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有两种:→a、→AB向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为||→a、||→AB.单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的.相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行.二、向量运算向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b .当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的减法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
→→→→→AOOBOBOAAB-=+=,2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.(1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a；(2)分配律(λ+μ)a=λa+μa；λ(a+b)=λa+λb.例1在平行四边形ABCD中,设−→−AB=a,−→−AD=b.试用a和b表示向量−→−MA、−→−MB、−→−MC、−→−MD,其中M是平行四边形对角线的交点.解 ：a +b −→−−→−==AM AC 2于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ).又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ).由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b = λa .三、空间直角坐标系过空间一个点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点。
向量代数与空间解析几何(9)
25
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
26
例1
求过点 (1, 0, 2) 且平行于向量
a
(1,1,2和)
b (2,1,0)的平面的方程.
解 ∵所求平面平行于向量
a (1,1,2), b (2,1,0),
∴可取所求平面的法线向量为
i j k
n a b 1 1 2 2i 4 j 3k,
6
空间曲线在坐标面上的投影
H(x, y) 0
z 0
,
R( y, z) 0
x
0
,
(4) 平面及其方程
点法式方程.
平面的方程
一般方程.
截距式方程.
T ( x, z) 0
y
0
.
6
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
7
(5) 空间直线及其方程
空间直线的方程
一般方程.
对称式方程.
参数方程.
21 0
由平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
2( x 1) 4( y 0) 3( z 2) 0,
即 2x 4 y 3 z 4 0.
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微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
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1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
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微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
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2、空间解析几何
(1) 空间直角坐标系 (2) 曲面 旋转曲面 柱面 二次曲面. (3) 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程、参数方程
x x(t)
F(x, y, z) 0 G( x, y, z) 0,
空间解析几何与向量代数
空间解析几何与向量代数一、向量代数（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。
1．（4'）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A) ），，（432- (B) ），，（432- (C) ），，（432-- (D) ），，（432-- 解：（A ）Ⅳ （B ）Ⅴ （C ）Ⅷ （D ）Ⅲ 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为3(1,1,)2，=||AB 5 .3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。
解：（1）(,,),(,,),(,,)xoy a b c yoz a b c xoz a b c ------（2）(,,),(,,),(,,)x a b c y a b c z a b c --------- （3）(0,0,0)(,,)o a b c ----4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM 用坐标可表示为(,,)x y z 或{},,x y z . 5．（8'）一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。
解：),22,0(),,0,22(),0,22,0(),0,0,22(a a a a a a ±±±±6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=AB ，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标。
解：1080206---55（） 或， （2）（，，）或（，，）22（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。
7．（8'）设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角及单位向量。
解：（1）模2，（2）1123222343πππαβγ--===（，，），，，（3）1111222222---（，，）或（，） 8．（6'）若γβα,,为向量a的方向角，则=++γβα222cos cos cos 1 ；=++γβα222sin sinsin 2 .9.（6'）设）（8,5,3=m ，）（7,4,2--=n 和）（4,1,5-=p ，求向量p n m a-+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量。
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空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的表示方法有两种:→a、→AB向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为||→a、||→AB.单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的.相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行.二、向量运算向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b .当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.向量的减法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
→→→→→AOOBOBOAAB-=+=,2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.(1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a；(2)分配律(λ+μ)a=λa+μa；λ(a+b)=λa+λb.例1在平行四边形ABCD中,设−→−AB=a,−→−AD=b.试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点. 解 ：a +b −→−−→−==AM AC 2于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ).又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ).由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b = λa .三、空间直角坐标系过空间一个点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点。
这三条数轴分别叫做x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴。
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。
其中x 轴与y 轴所确定的平面叫做xOy 面，y 轴与z 轴所确定的平面叫做yOz 面，z 轴与x 轴所确定的平面叫做zOx 面。
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。
含x 轴、y 轴、z 轴正半轴的那个卦限叫做第I 卦限，其它第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，在xOy 坐标面的上方，按逆时针方向确定。
第Ⅴ到第Ⅷ卦限分别在第Ⅰ到第Ⅳ卦限的下方（如图）。
设P 为空间一点，过点P 分别作垂直x 轴、y 轴、z 轴的平面，顺次与x 轴、y 轴、z 轴交于P X ，P Y ，P Z ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x ，y ，z 称为点P 在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x ，y ，z ）称为点P 的坐标。
依次称x ，y 和z 为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P （x ，y ，z ）。
坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M 在yOz 面上, 则x =0; 同相, 在zOx 面上的点, y =0; 在xOy 面上的点, z =0. 如果点M 在x 轴上, 则y =z =0; 同样在y 轴上,有z =x =0; 在z 轴上 的点, 有x =y =0. 如果点M 为原点, 则x =y =z =0.四、利用坐标作向量的线性运算对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa , 即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是zzy y x x a b a b a b ==.例2求解以向量为未知元的线性方程组⎩⎨⎧=-=-b y x ay x 2335,其中a =(2, 1, 2), b =(-1, 1, -2).解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x =2a -3b , y =3a -5b . 以a 、b 的坐标表示式代入, 即得x =2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y =3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16).例3已知两点A (x 1, y 1, z 1)和B (x 2, y 2, z 2)以及实数λ≠-1, 在直线AB 上求一点M , 使→→MB AM λ=.解 设所求点为M (x , y , z ), 则→) , ,(111z z y y x x AM ---=, →) , ,(222z z y y x x MB ---=. 依题意有→→MB AM λ=, 即(x -x 1, y -y 1, z -z 1)=λ(x 2-x , y 2-y , z 2-z ) λλ++=121x x x , λλ++=121y y y , λλ++=121z z z . 点M 叫做有向线段→AB 的定比分点. 当λ=1, 点M 的有向线段→AB 的中点, 其坐标为221x x x +=, 221y y y +=, 221zz z +=.空间向量数量积与向量积目的：掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。
重点与难点：数量积与向量积的计算方法。
过程：一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2. 以s 表示位移→21M M . 由物理学知道, 力F 所作的功为W = |F | |s | cos θ ,其中θ 为F 与s 的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积,记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ . 数量积与投影:当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量b 在向量a 的方向上的投影 数量积的性质:(1) a·a = |a | 2.(2) a 、b , 为非零向量， a·b =0是 a ⊥b 的充要条件 数量积的运算律: (1)交换律: a·b = b·a (2)分配律: (a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c .(3) (λa )·b = a·(λb ) = λ(a·b ), 数量积的坐标表示:设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z ), 则a·b =a x b x +a y b y +a z b z .设θ是a 与b 的夹角，则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ复习高中时的有代表性的例题例1 一质点在力F=4i + 2j +2k 的作用下,从点A(2, 1, 0)移动到点B(5, –2, 6) ,求F 所做的功及F 与间的夹角.解 由数量积的定义知, F 所做的功是W=F .s, 其中s=AB =3i – 3j+6k 是路程向量, 故W=F .s=(4 i + 2j +2k).( 3i – 3j+6k )=18.如果力的单位是牛顿(N),位移的单位是米(m),则F 所做的功是18焦耳(J).再由式(6.7),有 cos θ =s F s F ⋅=2222226)3(322418+-+++=21, 因此, F 与s 的夹角为θ=3π. 例2 求向量a=(5, –2, 5)在 b=(2, 1, 2)上的投影. 解 Cos<a,b >=b b a ⋅=41410210+++-=6. 二、两向量的向量积向量积: 设向量c 、 a 、b 满足：c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定. 则称向量c 是a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即c = a ⨯b .向量积的运算律:(1) 交换律a ⨯b = -b ⨯a ;(2) 分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c .(3) (λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b ) (λ为数).向量积的坐标表示: 若a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k . 则zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=zyz y b b a a i –zxz x b b a a j +yxy x b b a a k .= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . .例3 设a =(1,2,–2), b =(–2,1,0), 求a ⨯b 及与a 、b 都垂直的单位向量.解 a ⨯b =012221--kj i =0122-i –0221--j +1221-k= 2i +4j +5k .所求的单位向量为±2225)4(21++(2i +4j +5k )=±155(2i +4j +5k ).例4 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆. 由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222kj i =⨯AC AB =4i -6j +2k .于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .例5设a =(–2, 3, 1), b =(0,–1, 1), c =(1, –1, 4),三个向量是否共面?解 因为r =a ⨯b 与a 、b 所确定的平面垂直,所以当a 、b 、c 三个向量共面时, 应该有 r ⊥c ,即r .c =0.r =a ⨯b =110132--kj i=(4, 2, 2) ,所以有r .c = (4i +2j +2k ).( i – j +4k )=4–2+8=10≠0,因此三个向量不共面.空间简单图形及其方程方程目的：掌握直线、平面、常见曲面的方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。