向量代数与空间解析几何相关概念和例题

空间解析几何与向量代数

向量及其运算

目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；

重点与难点

重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握

过程：

一、向量

既有大小又有方向的量称作向量

通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

向量的表示方法有两种:→a、

→AB

向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为|

|→a、|

|→AB.

单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.

零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的.

相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量

平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行.

二、向量运算

向量的加法

向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b .

当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.

向量的减法:

设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。

→→→→→

A

O

OB

OB

O

A

AB-

=

+

=,

2、向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义:

向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.

(1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a；

(2)分配律(λ+μ)a=λa+μa；

λ(a+b)=λa+λb.

例1在平行四边形ABCD中,设

−→

−

AB=a,

−→

−

AD=b.

试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→

−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点. 解 ：a +b −→

−−→

−==AM AC 2于是 21-=−→

−MA (a +b ).

因为−→−−→

−-=MA MC , 所以

2

1=−→

−MC (a +b ).

又因-a +b −→

−−→

−==MD BD 2, 所以2

1=−→

−MD (b -a ).

由于−→

−−→−-=MD MB , 所以2

1=−→

−MB (a -b ).

定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b = λa .

三、空间直角坐标系

过空间一个点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点。这三条数轴分别叫做x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中x 轴与y 轴所确定的平面叫做xOy 面，y 轴与z 轴所确定的平面叫做yOz 面，z 轴与x 轴所确定的平面叫做zOx 面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x 轴、y 轴、z 轴正半轴的那个卦限叫做第I 卦限，其它第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，在xOy 坐标面的上方，按逆时针方向确定。第Ⅴ到第Ⅷ卦限分别在第Ⅰ到第Ⅳ卦限的下方（如图）。

设P 为空间一点，过点P 分别作垂直x 轴、y 轴、z 轴的平面，顺次与x 轴、y 轴、z 轴交于P X ，P Y ，P Z ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x ，y ，z 称为点P 在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x ，y ，z ）称为点P 的坐标。依次称x ，y 和z 为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P （x ，y ，z ）。

坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M 在yOz 面上, 则x =0; 同相, 在zOx 面上的点, y =0; 在xOy 面上的点, z =0. 如果点M 在x 轴上, 则y =z =0; 同样在y 轴上,有z =x =0; 在z 轴上 的点, 有x =y =0. 如果点M 为原点, 则x =y =z =0.

四、利用坐标作向量的线性运算

对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算

利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa , 即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是

z

z

y y x x a b a b a b ==.

例2求解以向量为未知元的线性方程组⎩

⎨⎧=-=-b y x a

y x 2335,

其中a =(2, 1, 2), b =(-1, 1, -2).

解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x =2a -3b , y =3a -5b . 以a 、b 的坐标表示式代入, 即得

x =2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y =3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16).

例3已知两点A (x 1, y 1, z 1)和B (x 2, y 2, z 2)以及实数λ≠-1, 在直线AB 上求一点M , 使→→

MB AM λ=.

解 设所求点为M (x , y , z ), 则→

) , ,(111z z y y x x AM ---=, →

) , ,(222z z y y x x MB ---=. 依题意有

→

→

MB AM λ=, 即

(x -x 1, y -y 1, z -z 1)=λ(x 2-x , y 2-y , z 2-z ) λλ++=

121x x x , λλ++=121y y y , λ

λ++=12

1z z z . 点M 叫做有向线段→

AB 的定比分点. 当λ=1, 点M 的有向线段→

AB 的中点, 其坐标为

221x x x +=

, 221y y y +=, 2

21z

z z +=.

空间向量数量积与向量积

目的：掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。 重点与难点：数量积与向量积的计算方法。 过程：

一、两向量的数量积

数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2. 以s 表示位移→

21M M . 由物理学知道, 力F 所作的功为

W = |F | |s | cos θ ,

其中θ 为F 与s 的夹角.

数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积,记作a ⋅b , 即

a ·

b =|a | |b | cos θ . 数量积与投影:

当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量b 在向量a 的方向上的投影 数量积的性质:

(1) a·a = |a | 2.