2021年高考数学备考艺体生百日冲刺2.8不等式选讲(通用解析版)
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》全集汇编及答案解析
【最新】数学《不等式选讲》高考知识点一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。
【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„，即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。
【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。
3．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x …时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.4．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3C ．6D ．9【答案】D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．设n*∈N）A>BC=D．不能确定【答案】B【解析】【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．6．已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为n S，且()2*21221n na a S n n N+==++∈，，若对任意的*n N∈，1211120nn a n a n aλ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．(]2∞-，B．(]1∞-，C．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D．12，∞⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】2212,21n na a S n+==++()*n N∈，可得2n≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 【分析】首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由2x <可得22x -<<4<可得016x ≤<，22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，“2x <”是4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9- B ．9C ．10D ．0【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy= 时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C 【解析】 【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解.当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．已知不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是1132x ≤≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，即可求解．【详解】由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+， 因为不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是1132x ≤≤，则113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1423m -<<，即实数m 的取值范围是14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中正确求解不等式的解集，集合充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．()3,∞ B ．()3,∞-C ．(),3∞-D ．(),3∞--【答案】C 【解析】x 2x 1+--表示数轴上的x 对应点到2-和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当3a >时，关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，故实数a 的取值范围为(),3∞-，故选C.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.13．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。
高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》经典测试题及答案解析
【高中数学】数学《不等式选讲》试卷含答案一、141．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <C ．{|48}x x <≤D ．{|45}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时45x <<；当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}5x x <，故选B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.2．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以222222291||()()(31)4OM a b a b a b=+=+++=…，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，6e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．3．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式选讲》全集汇编附答案解析
【最新】数学复习题《不等式选讲》专题解析一、141．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <C ．{|48}x x <≤D ．{|45}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时45x <<；当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}5x x <，故选B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.2．若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.3．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．5．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.6．在平面内，已知向量(1,0)a =v，(0,1)b =v，(1,1)c =v，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v，则（ ）A ．p vB ．p v的最大值为C ．p vD ．p v的最大值为【答案】A【分析】求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v，所以23p xa yb zc =++v v v v=()3,23x z y z ++，又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，所以p v==≥==≥= 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p v， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．7．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．8．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞ B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案. 【详解】由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >， 即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()229ax -=的两个解为2151,33x x -==，即可求出a 的值. 【详解】由题意可知0a ≠，()22329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<，故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33x x -==， 则1212224455,39a x x x x a a +==-=-=-，解得3a =-. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．10．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由2x <可得22x -<<4<可得016x ≤<，22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，“2x <”是4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立，所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.12．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》分类汇编含解析
数学高考《不等式选讲》复习资料一、141．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <C ．{|48}x x <≤D ．{|45}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时45x <<；当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}5x x <，故选B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.4．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立，当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x „时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.6．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A 【解析】 【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】2a b +.所以ab≤14(a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋ 故答案为：A 【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.8．设n *∈N ）A>BC=D．不能确定【答案】B【解析】【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．9．已知1a>，且函数()2224f x x x a x x a=-++-+．若对任意的()1,x a∈不等式()()1f x a x≥-恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[]4,25B．(]1,25C．(]1,16D．[]4,16【答案】C【解析】【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解.【详解】当25a=时，()22252425f x x x x x=-++-+且22250,4250x x x x-+≥-+≥所以()23975f x x x=-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．不等式的解集是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.【详解】恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.11．已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=+，11132n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ） A ．n S M <且n T M > B ．n S M <且n T M < C ．n S M >且n T M < D ．n S M >且n T M >【答案】B 【解析】 【分析】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，根据三角不等式结合已知可得115566n nn n a c b c ++≤≤，进而有156n n c c +≤，求出{}n c 的前n 项和的范围，即可求出结论.【详解】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，由三角不等式可知11111532326n n n n n n a a b a b c +=+≤+≤， 11111532326n n n n n n b a b a b c +=-≤+≤， 所以156n n c c +≤，设{}n c 的前n 项和为n H ， 若0n c =时，则0n n n S T H ===， 存在0M >，使得n n S T M =<，若0n c ≠时，则156n n c c +≤，115[1()]66516nn c H c -≤<-， 取16M c =，,n n S M T M ∴<<. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的前n 项和，构造数列转化为等比数列是解题的关键，作为选择题或直接取0,0n n a b ==即可得出答案，要注意特殊方法的选取，属于中档题.12．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9 B ．3 C ．1 D ．27【答案】B 【解析】 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13．已知()()31f x x x R =+∈，若()4f x a -<的充分条件是()1,0x b a b -<>，则a 、b 之间的关系是（ ）A ．3b a ≤B ．3a b ≤C ．3a b >D ．3b a >【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式()4f x a -<和1x b -<，根据题中充分条件关系得出两解集之间的包含关系，然后得出不等式组，即可得出a 、b 之间的关系. 【详解】()31f x x =+Q ，且0a >，0b >，解不等式()4f x a -<，即33x a -<，解得1133a a x -<<+， 解不等式1xb -<，得11b x b -<<+.由于()4f x a -<的充分条件是1x b -<，则()1,11,133a a b b ⎛⎫-+⊆-+ ⎪⎝⎭， 113113a b ab ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤+⎪⎩，可得3a b ≤.故选：B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用充分条件关系求参数之间的关系，一般转化为集合的包含关系来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈…，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。
《艺术生新高考数学百日冲刺》考点24 基本不等式及其应用20200901
②ba＋ab≥2
③sin x＋sin1 x≥Biblioteka (x≠kπ，k∈Z)答案 ④
④ x＋ 1x≥2(x>0)
解析 对于选项①，当 x<0 时显然不成立； 对于选项②，当ba <0 时显然不成立； 对选项③，当 sin x<0 时显然不成立； 只有选项④正确.
解题要点 在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.
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艺术生新高考数学百日冲刺
考点 24 基本不等式及其应用
知识梳理
1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2．基本不等式： ab≤a＋2 b( a≥0，b≥0)，当且仅当 a＝b 时取等号． 其中a＋2 b称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙 述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等 差中项不小于它们的等比中项． 3.基本不等式的几个常见变形 (1) a＋b≥2 ab (a，b＞0)． (2) x＋1x≥2(x＞0)，ba＋ab≥2(a，b 同号)．
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当堂练习
1．若 0<x<32，则 y＝x(3－2x)的最大值是________． 2．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最小值是________． 3. 已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有________． 4．已知函数 f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝______. 5．若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是________．
高考数学压轴专题专题备战高考《不等式选讲》全集汇编及答案解析
新数学《不等式选讲》高考知识点一、141．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.2．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.3．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n =+++++L L ，则（ ） A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】 由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.4．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S nL L =+++++，那么下列结论正确的是（ ）A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞ B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案. 【详解】由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >， 即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.7．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
最新【通用版】高考数学(艺术生)考前冲刺专题《不等式选讲测试题》(含答案)
专题一、不等式选讲测试题【高频考点】绝对值不等式的求解，喊绝对值的函数的最值的求解，利用绝对值不等式求最值或解决与绝对值不等式相关的恒成立问题，有解，不等式的证明等。
【考情分析】本单元在高考中是选考部分，命题形式是解答题，全国卷分值是10分，考查含绝对值不等式的证明与求解，求参数分范围，不等式的证明等。
【重点推荐】第12题考察绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的几何意义的应用。
1（衡阳三模）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【解析】：（1）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，解得：x≤0或 x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }．……………（5分）（2）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．……………（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5．……………（10分）2. （郑州三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；因为a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2＞0，所以a2＞2a﹣3，且|x﹣a2|+|x﹣2a+3|≥|（x﹣a2）﹣（x﹣2a+3）|=|a2﹣2a+3|=a2﹣2a+3，①当2a﹣3≤x≤a2时，①式等号成立，即．（7分）又因为，②当时，②式等号成立，即．（8分）所以，整理得，5a2﹣8a﹣4＞0，（9分）解得或a＞2，即a的取值范围为．（10分）专题二、等差数列和等比数列测试题命题报告：1.高频考点：等差（等比数列）定义，通项公式以及求和公式以及数列的性质等。
2.考情分析：本部分是高考必考内容，多以选择题、填空题形式出现，突出小巧活的特征，有时候在解答题中出现，考察数列的基本量的计算，数列的性质，求数列的通项公式，利用定义法证明等差数列（等比数列）等，求和（裂项求和、错位相减法、分组求和等）。
2021年高考数学备考艺体生百日突围系列 强化训练02(文)解析版 Word版含解析
2106届艺体生强化训练模拟卷二 (文 )第|一卷 (共50分 )一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,以下结论成立的是 ( ) A ．N M ⊆ B ．MN M = C ． MN N =M N N⋂=D ．{}2MN =【答案】D 【解析】{}{}{}1,2,3,42,22MN =-= ,{}{}{}1,2,3,42,22,1,2,3,4M N =-=- ,应选D ．2．R a ∈ ,假设复数iia z +-=12为纯虚数 ,那么=+ai 1 ( ) A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 【答案】D 【解析】3．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况 ,采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中 ,抽取35人进行问卷调查 ,高二被抽取的人数为13人 ,那么n 等于( )A 、660B 、720C 、780D 、800 【答案】B【解析】由 ,抽样比为13178060= ,所以有351,72060078060n n ==++.应选B . 4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处 ,现随机抽取其中的200辆进行车速统计 ,统计结果如下面的频率分布直方图所示．假设该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ,试估计2000辆车中 ,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ( )A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆 【答案】D ．【解析】以正常速度通过该处的汽车频率为：1(0.010.005)100.85-+⨯= , ∴以正常速度通过该处的汽车约有：0.852*******⨯=辆 ,应选D ． 5．函数3121)(++-=x x f x的定义域为 ( ).(A )(]1,3- (B )(]0,3- (C )()(]0,33,-⋃-∞- (D )()(]1,33,-⋃-∞- 【答案】B 【解析】6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和 ,假设1353a a a ++= ,那么5S = ( )． A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】13533,1,a a a a ++=∴=()15535552a a S a+⨯∴===．7．如下图是一个几何体的三视图 ,假设该几何体的体积为12,那么主视图中三角形的高x 的值为 ( )A.12B.34C. 1D.32【答案】C【解析】由题意可知 ,该几何体为一个四棱锥 ,底面面积为32,高为x ,体积为131322V x =⋅⋅=,解得=1x ,应选C ． 8．同时具有性质 "①最|小周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数〞的一个函数是 ( ) A ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】9．函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是 ( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ． (1 ,2 )D ． (2 ,3 )【答案】A【解析】因为()012000<-=-+=e f 、02322121>-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛e e f ,所以根据零点的存在性定理可得函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是1(0,)2.10．以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ,且与y 轴交于P Q 、两点．假设MPQ ∆为正三角形 ,那么该双曲线的离心率为 ( )A ．4B ．7C ．233D ．3 【答案】D 【解析】二、填空题11．|a | =3 ,|b | =5 ,且=12a b ⋅ ,那么向量a 在向量b 上的投影为 【答案】512 【解析】由定义可知向量a 在向量b θcos a ,于是51212=⇒==⋅θθa b a b a . 12．实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩,那么11y x -+的取值范围是 .【答案】1[,1)2-【解析】由题意可知不等式所表示的区域如以下图,11y x -+表示可行域点到(1,1)-的连线的斜率的取值范围 ,由图可知1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.12108642255101520253035o(-1,1)y=02x-y-2=0x-y=0AB13．执行如下图的程序框图 ,那么输出的结果为 .【答案】9 【解析】三、解答题 (本大题共6小题 ,共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,11232,,2,3a S S S =成等差数列. (Ⅰ )求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ )数列{}n n b a -是首|项为 -6 ,公差为2的等差数列 ,求数列{}n b 的前n 项和.【解析】(Ⅰ )由得21343S S S =+,那么()()21111431a a q a a q q +=+++.代入12a = ,得230q q -= ,解得0q = (舍去 )或13q =.所以1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(Ⅱ )由题意得28n n b a n -=- ,所以11282283n n n b a n n -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.设数列{}n b 的前n 项和为n T ,那么()12136281213n n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+-⎢⎥⎣⎦=+-121733n n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.15. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学 ,测量他们的身高 (单位：cm ) ,获得身高数据的茎叶图如图．(1 )根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2 )计算甲班的样本方差；(3 )现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于cm 173的同学 ,求身高为cm 176的同学身高被抽中的概率． 【解析】由古典概型的概率计算公式可得：52104)()()(==Ω=n M n N P ． 12分 16．如图 ,在四棱锥P -ABCD 中 ,P D ⊥平面ABCD,底面ABCD 为菱形 ,6026BAD AB PD ∠===，，，O 为AC 与BD 的交点 ,E 为棱PB 上一点.(Ⅰ )证明：平面EA C ⊥平面PBD ；【解析】17. 抛物线21:8C y x =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>有公共焦点2F ,点A 是曲线12,C C 在第|一象限的交点 ,且25AF =．( I )求椭圆2C 的方程；【解析】 ( I )∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F , ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ,设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上 ,且25AF = ,由抛物线的定义得 ,025x += ,∴03x = ,∴2083y =⨯ ,∴026y =±,∴221||(32)(26)7AF =++± ,又∵点A 在双曲线2C 上 ,由双曲线定义得：275a =+ =12 ,∴6a = ,∴22232b a c =-= ∴椭圆2C 的方程为：22+13632x y =．18．函数2()ln ,()f x ax x x a R =+∈ (Ⅰ )当12a =-时 ,判断函数()f x 在定义域内的单调性并给予证明； 【解析】请考生在第19、20、21三题中任选一题做答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题记分.19. 如图 ,直线AB 经过圆O 上的点C ,并且OA ＝OB ,CA ＝CB ,圆O 交直线OB 于点E 、D ,其中D 在线段OB 上．连结EC ,CD ．(Ⅰ )证明：直线AB 是圆O 的切线； (Ⅱ )假设tan ∠CED ＝12,圆O 的半径为3 ,求OA 的长．【解析】 (1 )证明：连结OC . 因为OA OB CA CB ==， ,所以.OC AB ⊥ 又OC 是圆O 的半径 ,所以AB 是圆O 的切线. ………………………5分(2 )因为直线AB 是圆O 的切线 ,所以.BCD E ∠=∠ 又CBD EBC ∠=∠ ,所以.BCD BEC △△∽ 那么有BC BD CD BE BC EC == ,又1tan 2CD CED EC ∠== ,故12BD CD BC EC ==. 设BD x = ,那么2BC x = ,又2BC BD BE =⋅ ,故2(2)(6)x x x =+ ,即2360x x -=. 解得2x = ,即2BD =. 所以32 5.OA OB OD DB ==+=+= ………………………10分20. 在直角坐标系xOy 中 ,设倾斜角为α的直线l ：23x t t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋cos y ＝＋sin (t 为参数 )与曲线C ：2x θθ⎧⎨⎩＝cos y ＝sin (θ为参数 )相交于不同的两点A ,B ． (Ⅰ )假设α＝3π,求线段AB 中点M 的坐标： (Ⅱ )假设｜PA ｜·｜PB ｜＝｜OP ｜2 ,其中3) ,求直线l 的斜率． .【解析】21.函数f (x )＝｜x－3｜．(Ⅰ)假设不等式f (x－1 )＋f (x )＜a的解集为空集,求实数a的取值范围；(Ⅱ)假设｜a｜＜1 ,｜b｜＜3 ,且a≠0 ,判断()f aba与f (ba)的大小,并说明理由．【解析】(1 )因为(1)()|4||3||43|1f x f x x x x x-+=-+--+-=≥, 不等式(1)()f x f x a-+<的解集为空集,那么1a即可,所以实数a的取值范围是(1]-∞，. ………………………5分公众号：惟微小筑。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》专项训练及解析答案
数学《不等式选讲》高考知识点一、141．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <C ．{|48}x x <≤D ．{|45}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时45x <<；当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}5x x <，故选B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.4．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.5．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+，对任意正整数m 、n （m >n ）都成立的是（ ）. A ．12n m ma a -< B ．12n m ma a ->C ．12n m na a -<D ．12n m na a ->【答案】C 【解析】 【分析】先作差，再根据三角函数有界性放缩，进而根据等比数列求和确定选项. 【详解】212sin1sin 2sin sin(1)sin(2)sin 222222n m n n n n mn n n ma a a ++++=++⋅⋅⋅+∴-=++⋅⋅⋅+Q 12sin(1)sin(2)sin ||||222m n n n mn n ma a ++++∴-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n mn n m ++++≤++⋅⋅⋅+ 11211(1)11111122122222212n m n n n m n m n +-++-≤++⋅⋅⋅+==-<- 故选：C 【点睛】本题考查三角函数有界性、等比数列求和以及放缩法，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.6．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。
2021年-全国高考艺术体育生补差训练-集合不等式、函数
集合、简易逻辑与不等式限时训练1一、选择题：1、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 2、若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于（ ）A.{x |0＜x ＜1}B.{x |0＜x ＜3}C.{x |1＜x ＜3}D.￠3、满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312Ma a a a a =，，，的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4、“x y =”是“x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知，b 都是实数，那么“”是“>b ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．148、已知函数则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．a 22b a >a 20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，2()f x x ≥[]11-，[]22-，[]21-，[]12-，9、A={()}2137x x x -<-，则 A Z 的元素的个数 ．10、若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．11、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____12、设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的取值范围是_____________。
专题13 不等式选讲-2021年高考数学二轮专项复习
专题13 不等式选讲不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.【知识要点】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i，b i(i ∈N *)为实数，则(∑ni ＝1a 2i)(∑ni ＝1b 2i)≥(∑ni ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．【复习要求】（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。
专题13 不等式知识储备 高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习
基本不等式及其应用
1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2
( a ≥0，b ≥0)，当且仅当a ＝b 时取等号． 其中a ＋b 2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
3.基本不等式的几个常见变形
(1) a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)．
(2) x ＋1x ≥2(x ＞0)，b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
5.利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)和定积最大：若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24
； (2)积定和最小：若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .。
科学备考新指向——不等式选讲篇
高考数学2021年6月科学备考新指向—不等式选讲篇■江苏省泰兴市第一高级中学张琳《不等式选讲》为高考选考内容之一，主要考査绝对值不等式的求解、不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法等)，以及根据给定条件求参数的取值范围、用基本不等式研究代数式的最值等问题，交汇考査集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等内容。
题型一：绝对值不等式的求解解绝对值不等式的常用方法有：(1)基本性质法：对aW R+,|工|V a Q —a Vz Va;I z I>a<=>z V—a.,或ac.>a。
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号。
(3)零点分段法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解。
(4)几何法:利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解。
(5)数形结合法：在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解。
侧/已知函数/(工)=|2乂+2|—I—11W R。
(1)求的解集,(2)若/(x)=x+a有两个不同的解，求a的取值范围。
解析：(1)由绝对值的意义可得于s=•z+3口工19y3无+1,—1Vh VI9、一jc—3，:r W—1o①当hNI时，:r+3V1,解得h W0;②当一1<x<1时+解得一1 Vh V0；③当"V—1时，一工—3W1,解得一4W rcV—1o综合①②③可得的解集为{“|—4W je V0}o(2)若有两个不同的解，即y=f O)的图像与直线y=^c+a有两个交点。
如图1,当直线y=。
过点(-1,-2)时,a=—l；当直线y图1•X+3，"二19=jc~\~a与(:r)=y3兀+1,—IVhVI,中的第、一x.—3，:rV—1—段重合时,a=3o结合图像可得一lVaV3。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式选讲》难题汇编附答案解析
【高中数学】数学《不等式选讲》高考复习知识点一、141．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。
2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】 【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A 【解析】 【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】2a b +.所以ab≤14(a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋ 故答案为：A 【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．在平面内，已知向量(1,0)a =v ，(0,1)b =v ，(1,1)c =v，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v，则（ ）A ．p vB ．p v的最大值为C ．p vD ．p v的最大值为【答案】A 【解析】 【分析】求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v，所以23p xa yb zc =++v v v v=()3,23x z y z ++，又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，所以pv ==5≥==≥=， 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p v， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C 【解析】 【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》全集汇编附答案
数学《不等式选讲》复习知识要点一、141．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤ B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。
专题28不等式选讲《2021年高考数学备考艺考生百日冲刺系列(通用)》(解析版)
专题2.8不等式选讲本专题高考考查的主要数学素养是逻辑推理与数学运算.主要考向有：①考查含绝对值不等式的解法；②绝对值不等式性质的应用；③恒成立与存在性问题；④不等式的证明方法；⑤往往与含绝对值函数（分段函数）相结合.1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立. 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －b |≤|a －c |＋|c －b |，当且仅当(a －c )(c －b )≥0时，等号成立. 2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．常用结论：|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当ab ≤0且|a |≥|b |时，等号成立.(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立. 4．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b . (2)作商法：a b>1⇔a >b (a >0，b >0). 5．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.这是一种执果索因的思考和证明方法. 6．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法. 7．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法. 8．柯西不等式设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立. 9.常用结论： （1）a 2≥0(a ∈R ).（2）(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.（3）若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab ，特别地，b a ＋ab≥2.（4）a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【典例1】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【典例3】（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【解析】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意； 综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【典例4】（2018年全国卷Ⅲ文）设函数f (x )=|2x +1|+|x −1|． （1）画出y =f (x )的图像；（2）当x ∈[0 ， +∞)，f (x )≤ax +b ，求a +b 的最小值．【答案】（1）见解析（2）5 【解析】（1）f(x)={−3x,x <−12,x +2,−12≤x <1,3x,x ≥1.y =f(x)的图像如图所示．（2）由（1）知，y =f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax +b 在[0,+∞)成立，因此a +b 的最小值为5． 【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】 （1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【方法总结】1．解绝对值不等式的两个要点：(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”.2.形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 【典例6】（2016·全国高考真题（文））选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时，()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【典例7】（2018·全国高考真题（文））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞． 【规律方法】不等式恒成立问题常见解法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）1abc =111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥，a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥【典例9】（2020·安徽高三期末（文））已知函数()421f x x x =---的最大值为m . （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若a 、b 、c 均为正数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c aa b c++≥.【答案】（1）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）当1x ≤时，()()()4214212f x x x x x x =---=---=+， 令()1f x >，即21x +>，解得1x >-，此时11x -<≤；当14x <<时，()()()42142136f x x x x x x =---=---=-+， 令()1f x >，即361x -+>，解得53x <，此时513x <<； 当4x ≥时，()()()4214212f x x x x x x =---=---=--， 令()1f x >，即21x -->，解得3x <-，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()1f x >的解集为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）由（1）知，当1x ≤时，()23f x x =+≤； 当14x <<时，()()366,3f x x =-+∈-； 当4x ≥时，()26f x x =--≤-.综上所述，函数()y f x =的最大值为3m =，3a b c ∴++=.由基本不等式得222222222a b c a b c a b c c a b a b c c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a b c ===时，等号成立，所以2223b c a a b c a b c++≥++=.【典例10】（2019·全国高考真题（理））设,,x y z R ∈，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a ≥-. 【答案】(1) 43；(2)见详解. 【解析】 (1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立.所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a ≥-. 【总结提升】1．作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 2．作商比较法证明不等式的步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断与1的大小关系；(4)得出结论.其中“作商”要注意两式的正、负，不能随意作商. 3.综合法证明不等式的方法（1）综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.（2）在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件. 4.分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 5. 柯西不等式证明不等式（1）利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题.（2）利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件.1．（2021·四川成都市·高三月考（文））已知函数()12f x x x =-+． （1）解不等式()2f x ≥；（2）若()f x 的最小值为A ，且正实数m ，n 满足m n A +=，求11m n m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【答案】（1）[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）254【解析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1）求出1A =，即1m n +=，再将式子展开可得22mn mn+-，再利用基本不等式可得10,4mn ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，代入式子即可求解.【详解】解：（1）由()13,01,0131,1x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，当0x ≤，由()121323f x x x ≥⇒-≥⇒≤-当01x <<，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥（舍） 当1≥x ，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥综上：13x ≤-或1≥x ，即不等式的解集为[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦（2）由（1）当0x ≤时，()131f x x =-≥， 当01x <<时，()()11,2f x x =+∈，当1≥x 时，()312f x x =-≥，所以()1f x ≥， 即1A =，则1m n +=，由()()()2222212111mn m n mn m n mn m n m n mn mn +++++-+⎛⎫⎛⎫++==⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22222mn mn mn mn mn-+==+-由110,44m n mn mn ⎛⎤+≥⇒≤⇒∈ ⎥⎝⎦, 当且仅当12m n ==时取等号， 当14mn =时，原式取最小值为254. 2．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知函数()1f x x =+． （1）解不等式()421f x x <--；（2）已知1(0,0)m n m n +=>>，若13a -≤≤，求证11()2x a f x m n+-≤+-． 【答案】（1）4433xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用零点分界法去绝对值，解不等式即可.（2）利用绝对值三角不等式可得12a -≤，再利用基本不等式可得1122m n+-≥，即证. 【详解】（1）()421f x x <--等价于1421x x +<--， 当1x <-时，原不等式化为(1)4(21)x x -+<+-，即43x >-，∴413x -<<-； 当112x ≤≤-时，原不等式化为()1421x x +<+-，即2x >-，∴112x ≤≤-；当12x >时，原不等式化为1421x x +<-+，即43x <，∴1423x <<； 综上可得，原不等式的解集为4433xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣． （2）证明：||()1()(1)1x a f x x a x x a x a +-=+-+≤+-+=-， ∵13a -≤≤，∴212a -≤-≤，即12a -≤， ∴()2x a f x +-≤， ∵1(0,0)m n m n +=>>，∴1124m n m n n mm n m n m n +++=+=++≥， ∴1122m n +-≥，∴11()2x a f x m n+-≤+-． 3．（2020·安徽淮北市·高三一模（文））已知不等式14x x x +-<+的解集为(),m n . （1）求m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，()10n x y m -++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1,5m n =-=；（2）证明见详解. 【解析】⑴绝对值函数去绝对值得到分段函数，分别求得对应x 范围内不等式的解集，即求. ⑵由(1)可得91x y +=，则()114x y x y xy x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可得证 【详解】(1) 解：原不等式可化为：()014x x x x ≤⎧⎨---<+⎩或()0114x x x x <<⎧⎨--<+⎩或()114x x x x ≥⎧⎨+-<+⎩所以10-<≤x 或01x <<或15x ≤<，即15x -<< 所以1,5m n =-=(2)证明：由(1)知410,x y +-=即41x y +=，且00x y >>，所以()1144559x y y x x y xy x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当3116x y ==，时取“=” 所以9x y xy +≥4．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知函数()|2||1|,f x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()2f x 的解集；（Ⅱ）若()f x kx =有2个不同的实数根，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{1x x ∣或13x -}；（Ⅱ）23k <<．【解析】（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，利用数形结合，求实数k 的取值范围. 【详解】（I ）31,0()1,0131,1x x f x x x x x -+⎧⎪=+<<⎨⎪-⎩，312x x ≤⎧⎨-+≥⎩或0112x x <<⎧⎨+≥⎩ 或1312x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得：{1x x ≥或1}3x ≤-()2f x 的解集是{1x x ≥或1}3x ≤-（Ⅱ）问题转化为()y f x =与y kx =有两个交点，由图易知：202,310OA OB AC k k k -====-， A o OB k k k ∴<<，即23k <<．5．（2021·江西上饶市·高三一模（文））已知函数()215f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集；（2）若()a f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）()a f x ≤恒成立只需()min f x a ≥即可，利用单调性求出()min 11122f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而可得结论. 【详解】（1）()34,512156,52134,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-++=-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩若()7f x >，则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩， 解得5x <-或51x -≤<-或1x >.因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或}1x >；（2）()a f x ≤恒成立只需()min f x a ≥即可，而()34,512156,52134,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-++=-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()min 11111152222f x f a ⎛⎫==+=⇒≤⎪⎝⎭， ∴11,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦6．（2021·安徽马鞍山市·高三一模（文））已知函数f (x )=2|x -1|+|x +2|. （1）求不等式f (x )≥6的解集; （2）若2()f x m m≥+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞．（2）()[],01,2-∞⋃．【解析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解． 【详解】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞．（2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增， 所以min()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤，所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <，所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．7．（2021·安徽淮南市·高三一模（文））设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()34230f x x m m +--+=没有实数根，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(,5)(1,)-∞-+∞；（2）332m -<<.【解析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）先将题意转化为()2()3423g x f x x m m =+-=-没有实数根， 再求()g x 值域，利用223m m -取值为()g x 值域的补集，计算即得结果. 【详解】解：（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥； 当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->， 得1x >，所以14x <<； 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-． 综上，原不等式的解集为(,5)(1,)-∞-+∞；（2）方程()234230f x x m m +--+=没有实数根，即()23423f x x m m +-=-没有实数根，令()()3421242128212()89g x f x x x x x x x x =+-++-++-≥+-==-=， 当且仅当()()21280x x +-≤时，即142x -≤≤时等号成立，即()g x 值域为[)9,+∞， 若()223g x m m =-没有实数根，则2239m m -<，即22390m m --<，所以实数m 的取值范围为332m -<<． 8．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知函数()()32f x x x m m =-+->的最小值为1．（1）求不等式()2f x x m +->的解集﹔ （2）若2223232a b c m ++=，求2ac bc +的最大值． 【答案】（1）()13,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）3． 【解析】（1）根据条件利用绝对值三角不等式，求出()f x 的最小值，然后得到关于m 的方程，求出m 的值，再利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，利用基本不等式得到2222222232()2(2)a b c a c b c ac bc ++=++++，然后求出2ac bc +的最大值． 【详解】解：（1）∵333x x m x x m m -+-≥-+-=-， 当且仅当()()30x x m --≥时，()f x 取得最小值3m -． 又∵()3f x x x m =-+-的最小值为1，∴31m -=． ∵2m >，∴4m =．∴()2f x x m +->，等价于3242x x -+->．当3x ≤时，所求不等式等价于3112x -+>，解得3x <，符合题意； 当34x <<时，所求不等式等价于52x -+>，解得3x <，与条件矛盾； 当4x ≥时，所求不等式等价于3112x ->，解得133x >，符合题意． 综上，原不等式的解集为()13,3,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭． （2）∵4m =，∴22232362a b c m ++==．∴()()2222222623222a b c a c b c ac bc =++=+++≥+．∴23ac bc +≤．当且仅当1a b c ===±时，2ac bc +取得最大值3．9．（2021·河南郑州市·高三一模（文））已知0a b >>，函数()()1f x x b a b =+-（1）若1a =，12b =，求不等式()2f x >的解集﹔ （2）求证：()24f x x a +-≥.【答案】（1）{2x x >-或}6x <- ；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意可得()4f x x =+，解不等式42x +>即可求解； （2）由题意可得需证()214x x a b a b ++-≥-，利用绝对值三角不等式可得()()2211x x a a b a b b a b ++-≥+--，再利用基本不等式结合0a b >>即可求证.【详解】（1）由1a =，12b =可得()4f x x =+， 则()2f x >即42x +>，所以42x +>或42x <-＋， 解得：2x >-或6x <-故不等式()2f x >的解集为{2x x >-或}6x <-， （2）由题意即证，()214,x x a b a b ++-≥-因为()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ++-≥+--=+---，因为0a b >>，所以0a b ->，所以()2224b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，所以()()22221144a a a b a b b a b a +=+≥+≥=-- 当且仅当224a a b a b⎧=⎪⎨⎪=-⎩即a =2b =时，等号成立， 所以()()22114x x a a b a b b a b ++-≥+≥-- 故()24f x x a +-≥成立.10．（2021·陕西榆林市·高三一模（文））已知函数()|||23|=++-f x x a x .（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|5|+f x x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为52；（2）122,5⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 （1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案；（2）先得到a 的取值范围，判断各项的正负，去掉绝对值，转化为28a x ≤-+在[,22]x a a ∈-时恒成立，得到412a a ≤-+，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，23,13()1234,12332,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 由解析式可知，()f x 在(),1-∞-和31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在1x =-处连续，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在32x =处取得最小值，且3225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为52. （2）[,22]x a a ∈-，22a a ∴->，2a ∴>，又[,22]x a a ∈-，0x a +>，230x ->，50x +>，()5|||23|5235f x x x a x x x a x x ∴≤+⇒++-≤+⇒++-≤+.即28a x ≤-+在[,22]x a a ∈-上恒成立，令28y x =-+在[,22]x a a ∈-上单调递减，min 2(22)8412y a a =-⨯-+=-+ 412a a ∴≤-+，解得：125a ≤， 综上，a 的取值范围为122,5⎛⎤ ⎥⎝⎦. 11.（2019·辽宁高考模拟（文））已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]6,0-．（1）求实数a 的值；（2）若()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3a =-；（2）52m ≤【解析】（1）由()3f x ≤，得3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，又()3f x ≤的解集为[]6,0-．解得：3a =-；（2）()()5385f x f x x x ++=+++≥．又()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，525,2m m ∴≤≤12．（2020·重庆高三月考（文））已知函数()|2||2|f x x x =+--，设不等式()2f x ≤的解集为M .（1）求集合M ；（2）若,x y M ∈，求证：2(2)42x y x y +≥+-.【答案】（1）{|11}M x x =-≤≤（2）见解析【解析】（1）当2x ≥时，|()|224f x x x =+-+=，不满足()2f x ≤； 2x <-时，|()|224f x x x =--+-=，不满足()2f x ≤；当22x -≤<时，|()||2|211f x x x =≤⇒-≤≤； 综上，{|11}M x x =-≤≤；（2）222(2)424442x y x y x y xy x y +--+=++--+ 2244(1)(1)1x y x y y =+-+-++2(21)11x y y y =-+++≥+y M ∈，10y ∴+≥，2(2)42x y x y ∴+≥+-.。