校车安排问题(论文)

50
⎪ s.t ⎨
j =1
x1 j
= 1,
i =1
xi50
= 1,
⎪n
50
∑ ∑ ⎪
⎪
j =1
x j1
=
0,
j =1
x50 j
=
0,
⎪ ⎩
xij＝
0
或1,
我们通过LINGO8.0求解得到50个区任意两点距离的50×50的矩阵 D50×50（部分 见表2）和最短路径（部分见附录一表1）。
表2：部分任意两点最短距离矩阵（前10×10）
意度矩阵 方差 权重 量纲分析法
1
一、问题的重述
许多学校都建有新校区，常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校 区。由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。必须让 教师和工作人员尽量满意，并有效的安排车辆，节省运行费用。因此对乘车点的 设立、教师和工作人员满意度问题的研究十分重要。 我们需要解决的问题： 假设老校区的教师和工作人员分布在 50 个区，各区的距离见表 1。各区人员分 布见表 2。
乘车有关，即如果没有人前往乘车点，则表示 j 点不设乘车点，因为如果有乘车
点，至少自己区的人会在本区乘车；同样，如果有人前往 j 点乘车，则 j 点必定
设立了乘车点，因此有 pj = max{yij},i =1,2,⋅⋅⋅,50, 要求设立站点的总人数为 n ，
50
故有 ∑ p j = n ，目标函数是50个区的人员到 n 个乘车点的总距离最小，于是选 j =1
校车安排问题
摘要
我们对老校区乘车点选址问题进行研究，根据校区内教师与员工的分布，提 出了最佳乘车点的选取办法，建立了满意度与区域到乘车点距离的函数关系，并 根据获得数据模拟了乘车点选址的最优化的模型，得到如下结果：
问题 1：根据 77 组给定数据，首先建立了动态规划模型，用 Dijkstra 算法 （Matlab 软件实现)求解任意两个区域之间最小路程并检验，得到了任意两点间
本的 3 个乘车点位置,其中，α1 、α 2 为运行成本和满意度的权重。最后求得设
立 3 个乘车点时，分别为 15、21 和 32 点，需要校车 55 辆；kk21αα12 的最大值为 12.962，
其中α1 = 1 ,α 2 = 2 , 方差 k1=2378.7，满意度 k 2 =2276.025。
的最短路径
2
符号 D5Biblioteka Baidu×50
W50×50
M 50×50
RM 50×50
R 5 0×1 n rji
RJ k1、 k 2 α1、α 2
三、符号说明
含义 任意两点之间的最小距离矩阵 表示弧（i，j）的长度矩阵
满意度矩阵
考虑人数的满意度矩阵
每个区的人员数矩阵 设立乘车点的个数 表示第 i 个乘车点的乘客总数
得出考虑人数的满意度矩阵 RM50×50 。再建立选址规划模型，求解各区域到 n 个 乘车点的总满意度的最大值，再分别求出设置 2 个和 3 个乘车点时的结果。针对 问题 3，考虑运行成本和满意度两个目标函数，建立双目标非线性规划模型。当 各乘车点人数平均分配的时候，运行成本最低，定义 k1为三个乘车点人数的方
n
∑ 点和终点以外的任意一个顶点 i ，如果 xij = 1 ，说明从 i 出发的所有弧中必然 j=1
有一条弧在最短路上，也就是说最短路经过该顶点，此时所有从其他顶点到达该
n
n
∑ ∑ 顶点的弧中必然也有一条弧在最短路上，因而必有 x ji = 1; 如果 xij = 0, 说明
j=1
j =1
n
∑ 最短路不经过顶点 i ，故必有 x ji = 0.且最短路径只有一条，两种情况可以合并 j =1
对于已达终点的不再往回走，则 j =1
目标函数是最短路上的各条弧的长度之和（总路程）最小，于是最短路问题 可以用如下0-1规划来描述：
50 50
∑ ∑ min z =
wij xij ,
i=1 j =1
∑ ∑ ∑ ∑ ⎧ 50
⎪
50
xij =
50
50
x ji ,
⎪ i=1 j =1
i=1 j =1
∑ ∑ ⎪ 50
5
910 510 810 210
0
230 200 370 570 750
6 1140 740 1040 440 230
0
320 340 540 720
7 1110 710 1010 410 200 320
0
170 370 550
8 1280 880 1180 580 370 340 170
0
200 380
画出 50 个区域分布路线
分析确立动态规划模型
LINGO 实现
得到各点最小距离矩阵 考虑满意度影响因素
确定满意度函数 考虑多个目标函数
分析所得数据 提出建议
选用 Dijkstra 算法
验证
Matlab 实现
求的各点最小距离
建立选址规划模型 求得乘车点位置
优化模型
模型建立： 问题1
4
这是一个图论模型中的最短路问题。我们通过数据整理分析，绘出了各区域 分布位置简图，如下：
针对问题 1，首先建立动态规划模型，用 Dijkstra 算法（Matlab 软件实现） 和 LINGO 软件分别求解任意两个区域之间最小路程并检验，得到任意两点间的最 短距离矩阵 dij 。再建立选址规划模型，求解各点到 n 个乘车点总距离的最小值， 进而求出 n 个乘车点的设立位置，再分别求出设置 2 个和 3 个乘车点时的结果。 针对问题问题 2：用归一法定义满意度与距离的函数关系，根据问题 1 中的任意 两点间的最短距离矩阵 D50×50 ，得到满意度矩阵 M50×50 。根据每个区域的人数，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
400 450 700 910 1140 1110 1280 1480 1614
2
400
0
850 300 510 740 710 880 1080 1214
3
450 850
0
600 810 1040 1010 1180 1380 1560
4
700 300 600
0
210 440 410 580 780 960
n
n
∑ ∑ 写成
x ij =
x ji < = 1, i = 1, 2 , ..., 5 0 .
j =1
j =1
5
n
n
∑ ∑ 对于起点1，则必然满足 x1 j =1, 对于终点 n 则必有 xjn = 1.
j=1
j=1
n
∑ 对于已走出起点的路径不得再返回起点，则 xj1 = 0. j=1
n
∑ xnj = 0.
3
差，
k 2 为总满意度，因此要尽量使
k1 最小，
k 2 最大。由此可用
k 2α 2 k1α 1
的最大值
求最优解,其中，α1 、α 2 为运行成本和满意度的权重。最后求出最优解。针对问
题 4：对解决问题四采取的方法是把问题三推广到 n 个乘车点的情况。根据前 3 问的方法求出更多的数据进行对比分析。考虑满意度，运行成本，乘车点数目三 个目标函数，建立多目标规划模型。分析出最佳乘车点数目，进而根据第 3 问的 模型给出最大满意度和需要车辆数。给出合理建议。
9 1480 1080 1380 780 570 540 370 200
0
180
10 1614 1214 1560 960 750 720 550 380 180
0
6
之后我们用0-1规划法求解使各区人员到最近乘车点的距离最小时 n 个乘车 点的位置。
故设0-1决策变量 yij 和 p j ,其意义为：
4、我们需要在 1、2、3 问所得数据的基础上，综合分析，总结归纳，结合实 际给出合理的建议和考虑，使教师及工作人员满意度高，运行成本降低。
二、模型的假设
1.题中所提供各项数据均真实合理。 2.表一提供的数据表示各个区域之间的所有相通路线。 3.把每个区域都视为一个点，乘车点建在各区域内。 4.不考虑乘车拥挤情况，满意度只与区域到乘车点距离有关。 5.每个人的满意度权重相同。 6.所有区域的老师及工作人员都会乘车。 7.同一区域内的所有老师和工作人员选择的路线相同，且为该区域到最近乘车点
三个乘车点的平均乘客数 分别为三个乘车点人数的方差和总体满意度 分别为运行成本和满意度的权重
四、模型的建立和求解
问题的分析： 用校车将分布在老校区 50 个区的教师和工作人员送到新校区，合理地安排
车辆和设置乘车点使得教师和工作人员的满意度最大。老师的满意度与到乘车点 的距离负相关。考虑站点个数约束和校车成本，我们研究制定既使教师和工作人 员满意度最大，又使校车成本最低的乘车点设置方案。
问题 3：这是一个双目标规划问题，考虑运行成本和满意度两个目标函数， 建立双目标非线性规划模型。当各乘车点人数平均分配的时候，运行成本最低，
定义 k1为三个乘车点人数的方差， k 2 为总满意度，因此要尽量使 k1最小， k 2
最大。由此可利用
k 2α 2 k1α 1
的最大值求得使教师和工作人员尽量满意并降低运行成
址0-1规划模型可以用如下0-1规划法描述：
50 50
∑ ∑ m in z =
d ij y ij
i=1 j=1
⎧ p j = m a x { y ij } , i = 1, 2 , ⋅ ⋅ ⋅, 5 0 ,
∑∑ s .t
=
⎪ ⎪
50
⎪⎪ j =1
⎨ ⎪
50
⎪ ⎪
j =1
⎪⎩ y ij
p j = n, y ij = 1, = 0 或 1,
的最短距离矩阵 D50×50 。再建立选址规划模型，求解使各区域人员到最近乘车点
距离最小得 n 个乘车点的位置。最后求得当 n =2 时，选取 18 和 31 点最佳，总最 短距离为 24492m；当 n =3 时，选取 15、21 和 31 点最佳，总距离为 19660m。
问题 2：我们用归一法定义满意度与距离的函数关系，根据问题 1 中的任意
2、我们需要在问题 1 的基础上，进一步考虑影响满意度的因素，使教师及工 作人员满意度最大化，建立乘车点为 n 时的一般模型，并给出 n =2，3 时的解， 需注意的问题是，找出与满意度相关的变量，建立合理的函数关系。
3、我们被要求在已知乘车点数量下，确立乘车点具体位置，确定各乘车点人 数建立 n =3 情况下的模型，需要考虑的约束是，教师和工作人员的满意度，安排 的车辆数。
图1：老校区区域及各区域间路线分布图
根据题目所给的各区的距离，我们采用0-1规划法求解50个区任意两点间的 最小路径。
故设0-1决策变量 xij ，其意义为：
⎧0 弧（i，j）不在最短路上 xij = ⎨⎩1 弧（i，j）在最短路上
w ij 表示弧（i，j）的长度（路程），若 i 和 j 没有弧连通， wij = +∞. 对于除了起
两点间的最短距离矩阵 D50×50 ，得到满意度矩阵 M50×50 。根据每个区域的人数，
得出考虑人数的满意度矩阵 RM50×50 。再建立选址规划模型，求解使教师和工作
人员满意度最大的 n 个乘车点的位置。结果：当 n =2 时，选取 19 和 32 点为乘车 点最佳，总最大满意度为 1945.877；当 n =3 时，选取 15、21 和 32 点最佳，总最 大满意度为 2066.743。
我们通过用Matlab求解得到 n =2和 n =3时乘车点最佳设立位置。求解结果如表1、 表2：
7
表1：设立两个乘车点时的乘车方案表 各区域到所选乘车点（区域 18）的距离
⎧1, i区的人选择去j区乘车， yij = ⎨⎩0,i区的人不选择去j区坐车，
⎧1, j区设立乘车点，
pj
=
⎨ ⎩0,
j不设立乘车点,
dij 表示 i 区到 j 区的最小距离。对于 i 区的人员，50个区中他们至少且至多
50
∑ 只能去其中一个区乘车，因而有 yij = 1, 且区是否设立乘车点跟是否有人前去 j =1
1、我们需要研究一个较为简单的乘车点建立问题，根据表中的数据，建立乘 车点为 n 时的一般模型，并给出 n =2，3 时解。需注意的问题是老校区分为 50 个 区域，每个区域人数不同，表 1 和表 2 中的数据给出了 77 条路线的距离和每个 区域的人数，而任意两个区域间可行路径不唯一，方向不定，需要用这些数据确 定任意两个区域间的最短距离。保证数据的准确性。然后找出合理的计算方法计 算出所有区域到所选乘车点的最小距离之和，判断出最佳的乘车点设置位置。
3
3
问题 4：对解决问题四采取的方法是把问题三推广到 n 个乘车点的情况。根
据前 3 问的方法求出更多的数据进行对比分析。考虑满意度，运行成本，乘车点
数目三个目标函数，建立多目标规划模型。分析出最佳乘车点数目，进而根据第
3 问的模型给出最大满意度和需要车辆数，给出的合理建议。
关键字：最小距离 归一法 0-1 规划法 多目标非线性规划 Dijkstra 算法 满