矩阵代数
矩阵代数的基本概念与应用
矩阵代数的基本概念与应用矩阵代数是现代数学的一个重要分支，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的工具。
在计算机图像、多维数据分析、神经网络及人工智能等领域，矩阵代数的应用越来越广泛。
一、矩阵的定义及运算矩阵是一个由数个数构成的矩形排列，即由$m$行$n$列的数排成一个$m\times n$的矩形，通常用大写字母表示，如$A$，$B$等。
矩阵的加法：设$A=(a_{ij})$,$B=(b_{ij})$是同型矩阵，则$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的数乘：设$k$是一个实数，则$kA=(ka_{ij})$。
矩阵的乘法：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times p$矩阵，则$AB=C$是$m\times p$矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。
矩阵的转置：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$的矩阵，则$A^T=(a_{ji})$是$n\times m$的矩阵。
二、矩阵的行列式及特征值矩阵的行列式：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，则$A$的行列式$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$，其中$S_n$表示$n$个元素的置换群。
矩阵的特征值和特征向量：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，若存在一个非零向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和一个标量$\lambda$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。
三、矩阵的求逆矩阵的逆：设$A$是$n$阶方阵，若存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$是$A$的逆矩阵，$A$可逆。
大学线性代数2矩阵代数知识点总结
2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。
设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。
此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
代数和矩阵的转化
代数和矩阵的转化
摘要：
1.代数和矩阵的转化的背景和意义
2.代数和矩阵的基本概念
3.代数和矩阵之间的转化方法
4.代数和矩阵转化在实际问题中的应用
5.总结和展望
正文：
一、代数和矩阵的转化的背景和意义
代数和矩阵是数学中的两个重要概念，代数主要研究的是数和数之间的关系，而矩阵则主要研究的是线性方程组。
在实际问题中，代数和矩阵的转化能够帮助我们更好地理解和解决一些复杂的问题。
二、代数和矩阵的基本概念
代数是数学的一个重要分支，主要研究的是数和数之间的关系，包括加法、减法、乘法等。
矩阵则是代数的一种特殊形式，它是由一些数按照一定的规则排列组成的。
矩阵的主要作用是表示线性方程组，它能够清晰地表示出方程组中各个变量之间的关系。
三、代数和矩阵之间的转化方法
代数和矩阵之间的转化，主要是通过一些数学方法将代数问题转化为矩阵问题，或者将矩阵问题转化为代数问题。
常见的转化方法有高斯消元法、克莱姆法则等。
四、代数和矩阵转化在实际问题中的应用
代数和矩阵的转化在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学、经济学、计算机科学等领域。
通过代数和矩阵的转化，能够更好地理解和解决一些复杂的问题，提高问题的解决效率。
五、总结和展望
代数和矩阵的转化是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们更好地理解和解决一些复杂的问题。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
矩阵代数概述
矩阵代数概述一、基本定义定义1：矩阵：一个矩阵就是一个矩阵数组，更准确地讲，一个m*n 维矩阵就有m 行和n 列。
正整数m 被称为行维数，n 被称为列维数。
111212122212n n ij m m mn a a a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义2：方阵方阵具有相同的行数和列数。
一个方阵的维数就是其行数和列数定义3：向量（1）一个1*m 的矩阵被称为一个（m 维）行向量，并可记为：[]12,,...,m x x x x ≡（2）一个n*1的矩阵被称为一个（n 维）列向量，并可记为：12n y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义4：对角矩阵当一个方阵A 的非对角元素都为零时，它就是一个对角矩阵。
我们总能将一个对角矩阵写成：1122000000ij mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义5：单位矩阵和零矩阵（1）用I （或为了强调维数而用I n ）表示的n*n 单位矩阵就是对角位置都是1，而其它位置都是0的对角阵；10002000n I I n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）一个用0表示的m*n 零矩阵，就是所有元素都为零的m*n 矩阵。
它并不一定是方阵。
二、矩阵运算1. 矩阵加法两个都是m*n 维的矩阵A 和B 可通过对应元素相加而相加：A+B=[a ij ]+[b ij ]。
更准确地，有：111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦数值例子：说明：不同维数的矩阵不能相加2. 数乘给定任意一个实数k （常被称为一个数量），数乘被定义为kA=[ka ij ]数值例子：3. 矩阵乘法为了使矩阵A 乘以矩阵B ，得到AB ，A 的列维数和B 的行维数必须相同。
第三讲 矩阵的代数运算
第三讲 矩阵的代数运算教学目的：讲解矩阵的代数运算第一部分：加法、数乘、乘法，重点是乘法； 教学内容：第二章 矩阵 § 2.2 矩阵的代数运算（一 ～ 三节）； 教材相关部分：§ 2.2 矩 阵 的 代 数 运 算（1）一、矩阵的加法定义2.2 设矩阵n m ij a A ⨯=)(、n m ij b B ⨯=)(，则A 与B 可加，规定其和为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=+mn mn n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111 (2.9) 根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（O C B A ,,,都是同规格矩阵）： （1）交换律： A B B A +=+；（2）结合律： )()(C B A C B A ++=++；（3）若n m ij a A ⨯=)(，则存在矩阵n m ij a A ⨯-=-)(，满足O A A =-+)(。
称A -为A 的负矩阵。
由此可以定义矩阵减法为： )(B A B A -+=-。
二、数与矩阵相乘（“数乘”）：定义2.3 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ是一个数，规定矩阵的数乘为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===mn m m n n ij a a a a a a a a a a A A λλλλλλλλλλλλ212222111211)( (2.10)矩阵的数乘满足下列运算律（设B A ,为同规格矩阵，μλ,为数）： （1）交换律：λλA A =；（2）结合律： )()()(A A A λμμλλμ==； （3）第一分配律： B A B A λλλ+=+)(； （4）第二分配律： A A A μλμλ+=+)(。
说明：同规格矩阵的加减运算以及数乘可以统一定义为：()n m ij ij b a B A ⨯+=+λμλμ， (2.11)称为矩阵的线性运算，加法、减法、数乘都是它的特例。
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
矩阵代数知识点总结
矩阵代数知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数域中的元素排成的矩形阵列。
通常记作一个大写字母加括号，如A=(a_ij)，其中a_ij表示矩阵的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的元素对于一个m×n的矩阵A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n，a_ij称为矩阵A的元素。
1.3 行向量和列向量行向量指的是只有一行的矩阵，列向量指的是只有一列的矩阵。
1.4 矩阵的维数矩阵A的维数通常表示为m×n，其中m表示矩阵行数，n表示矩阵列数。
1.5 零矩阵所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
1.6 方阵如果一个矩阵的行和列相等，则称该矩阵为方阵。
1.7 对角矩阵具有形如a_ii=0(i≠j)的矩阵称为对角矩阵。
1.8 单位矩阵对角矩阵的对角元素都为1的矩阵称为单位矩阵，通常用I表示。
1.9 转置矩阵若A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，其转置矩阵记作A^T=(b_ij)，其中b_ij=a_ji，即A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。
1.10 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
1.11 矩阵的加法对于两个维数相同的矩阵A=(a_ij)和B=(b_ij)，它们的和记作C=A+B，其中c_ij=a_ij+b_ij。
1.12 矩阵的减法同样是维数相同的矩阵A和B，它们的差记作C=A-B，其中c_ij=a_ij-b_ij。
1.13 矩阵的数乘对于一个维数为m×n的矩阵A=(a_ij)，以及一个实数k，它们的数乘记作B=kA，即b_ij=ka_ij。
1.14 矩阵的乘法对于一个维数为m×n的矩阵A=(a_ij)和一个维数为n×p的矩阵B=(b_ij)，它们的乘积记作C=AB，其中c_ij=∑(a_ik * b_kj)，即C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵的代数重数和几何重数
矩阵的代数重数和几何重数
矩阵代数重数和几何重数是数学里一个重要的概念，一般可概括为“矩阵的复杂度”，得到特定矩阵形式的重要指标。
从代数角度上来看，矩阵的代数重数指的是矩阵的特征值的秩；从几何角度上来看，矩阵的几何重数就是矩阵模式的大小。
矩阵代数重数是指特定一矩阵的一个特征值的特定次数的乘积，这个特定次数取决于矩阵特征值的秩，而不是矩阵的形状或维数大小。
当然，就算矩阵形状或者维数略有不同，也可能导致矩阵特征值的秩发生变化。
矩阵代数重数通常也称为矩阵模式，是指矩阵特征值的乘积，而不是矩阵本身的模式。
而矩阵几何重数则是一个矩阵形式，需要考虑矩阵中每个元素出现的次数，取决于元素的频率，也可以被视为矩阵的规模和复杂性的印象指标。
对于同一个矩阵而言，几何重数会随着矩阵模式发生变化而发生变化，而代数重数，则不会受到矩阵模式影响。
综上所述，矩阵代数重数和几何重数是两个重要的概念，它们反映了特定矩阵的复杂程度，并且可以用来分析不同的矩阵模式。
矩阵代数重数反映的是矩阵的特征值的秩，而几何重数反映的是矩阵模式的大小，二者均作为重要参数在数学研究中有重要应用。
矩阵代数知识复习
Joe Shen Email: shenjinzhou7@ Phone: 15018711931
术语与概念
• 矩阵：对数字的矩形排列，一般记为
⎡a11, a12,....a1K ⎤ ⎢a21, a22,....a2 K ⎥ ⎥ A=⎢ ⎢. ⎥ .... ⎢ ⎥ ⎣an1, an 2,.....anK⎦
1, 若A为n × m矩阵， B为m × s矩阵，应有： i) ０≤ r( A ) ≤ min( m, n) ii)r( AB ) ≤ min( r ( A ), r (B)) iii) 若Pn × n与Qm × m 都为满秩矩阵，则 r ( AQ ) = r (PΑ ) = r ( Α )
证明：iii)令M = PA ⇒ r (M ) ≤ r ( A) 又A = P −1M ⇒ r ( A) ≤ r (M ), 所以r ( A) = r (M ) = r (PA ) 同理，r ( A) = r ( AQ)
证明：i)由定义可得。
矩阵的秩
• 一些性质：
1, 若 A为n × m矩阵， B 为m × s矩阵，应有： i) ０≤ r( A ) ≤ min( m, n ) ii)r( AB ) ≤ min( r ( A ), r (B )) iii) 若P n × n与 Qm × m都为满秩矩阵，则 r ( AQ ) = r ( PΑ ) = r ( Α )
定理１：若A可对角化，则λ 1, λ 2.....λn为A的特征根， P的每列为A的特征向量。 证明： A可对角化 ⇒ 存在可逆矩阵 P使得 P −1AP = Λ ⇒ AP = PΛ，i.e. A (p1, p2,....p n ) = (p1, p2,....p n ) Λ ⇒ Ap i = piλi（i = 1,2...n)
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
矩阵代数知识简介
矩阵代数知识简介矩阵：由mn个元素排列起来的长方形阵列称为矩阵。
记作a ij是第i行和第j列的元素，其中i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …,n。
A表示的是mn阶矩阵。
它包括m行n列，共有mn个元素。
方阵：若矩阵的行数等于其列数，即m = n, 则称此矩阵为方阵。
当A为方阵时，i = j的元素，即a11, a22, …, a nn，称作主对角线元素。
当m = n = 1时，A减化为一个标量。
行向量：仅有一行的矩阵称作行向量。
列向量：仅有一列的矩阵称作列向量。
单位矩阵：一个方阵，若其主对角线元素都为1，其余元素都为零，则称此矩阵为单位矩阵，记为I。
对角矩阵：若n阶方阵中的元素满足条件当i j时，a ij = 0，（i, j = 1, 2, …, n），则称为对角矩阵。
由此可知，单位矩阵是对角矩阵的一个特例。
零矩阵：元素全为零的矩阵称作零矩阵，记为0。
对称矩阵：若n阶方阵A中的元素满足条件a ij = a ji，(i j，i, j = 1, 2, …, n), 则称A为n阶对称矩阵。
矩阵相等：如果两个矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn同阶且所有对应元素相等，即a ij = b ij，(i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n), 则称矩阵A与B相等，记为A = B。
矩阵加法与减法：两个同阶矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn对应元素相加（减）得到的矩阵称作A与B的和（差）。
记为A + B（或A - B）。
矩阵加法的性质：若A、B、C、0都是mn阶矩阵，则(1) A + B = B + A （交换律）(2) A +（B + C）=（A + B）+ C （结合律）(3) A - A = 0 或A + 0 = A标量与矩阵相乘：标量k与矩阵A相乘是k与A的所有元素相乘，记为k A，即k A = k (a ij)mn = (ka ij)mn标量与矩阵相乘的性质（k, l是自然数）：(1) k A = A k(2) k (A + B) = k A + k B(3) k l A = k (l A)(4) (-1) A = - A矩阵的乘法：设矩阵A = (a ij)mr，B = (b ij)rn，则规定A和B的乘积是A B = C = (c ij)mn，其中即两个矩阵的乘法要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，积的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵的相应列元素，并将所有积相加得到。
矩阵运算的代数意义
矩阵运算的代数意义
矩阵是线性代数中的重要概念，它们在数学和实际应用中都扮演着重要的角色。
矩阵运算是对矩阵进行加法、数乘和乘法等操作的过程，这些运算在代数意义上具有重要的意义。
首先，矩阵的加法代表着对应位置上元素的相加。
这反映了代数中的加法性质，即满足交换律和结合律。
矩阵加法的代数意义在于展示了矩阵的线性结构，使得我们可以将矩阵看作是线性空间中的向量，从而可以利用向量空间的性质来研究矩阵。
其次，矩阵的数乘代表着矩阵中每个元素与一个标量相乘。
这体现了代数中的数乘性质，即满足分配律和结合律。
矩阵数乘的代数意义在于它使得我们可以对矩阵进行缩放或者反向操作，这对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常有用。
最后，矩阵的乘法代表着对应位置上元素的相乘和相加。
这体现了代数中的乘法性质，即满足结合律但不满足交换律。
矩阵乘法的代数意义在于它使得我们可以将多个线性变换组合起来，从而可以表示更加复杂的线性关系和变换。
总的来说，矩阵运算的代数意义在于它们展示了矩阵的线性结构和线性变换的组合，为我们研究和解决各种代数问题提供了有力的工具。
通过深入理解矩阵运算的代数意义，我们可以更好地应用矩阵理论来解决实际问题，同时也能够更好地理解代数结构的内在性质。
线性代数 矩阵
线性代数矩阵
矩阵是线性代数中最基础和最重要的概念，它由零个或更多的数（称为元素）组成，这些数组成几行几列的矩形。
矩阵可以用数学符号表示，以方括号中的符号表示，例如：A是1x3的矩阵：A =
[1,2,3]。
矩阵在多种不同的计算中都很有利用价值，其中一些如下：
1. 加法：通过矩阵加法，可以求出两个矩阵之和，例如：A + B = [a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3]，其中a1，a2，a3代表A矩阵的元素，b1，b2，b3代表B矩阵的元素。
2. 乘法：矩阵乘法是一种非常常用的计算，给定A，B两个M×N 矩阵，可以求出两个矩阵的积AB=C，其中C的元素可以通过把A的行元素乘以B的列元素求和得出，例如：A，B是2x2的矩阵，A = [a1, a2, a3, a4]，B = [b1, b2, b3, b4]，那么A×B将得到：[a1×b1 + a2×b2, a1×b3 + a2×b4, a3×b1 + a4×b2, a3×b3 + a4×b4]。
3. 逆矩阵：一个方阵（n×n矩阵）的逆矩阵，被用来代表多个不同的量，将矩阵的每个元素变为它的倒数，并按此方式重新排列就可以得到逆矩阵（若可能），例如：A是2x2的矩阵：A= [a,b,c,d]，那么A的逆矩阵B= [d/ad-bc, -b/ad-bc, -c/ad-bc, a/ad-bc]。
矩阵是线性代数中一个新生的概念，但是它已经在各种领域中被大量使用了，也常常被用作数学模型，为各种问题提供解决方案。
矩阵代数基本知识
附录I 矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。
一、 向量矩阵的定义将n p ⨯个实数111212122212,,,,,,,,,,,,p p n n np a a a a a a a a a L L L L 排成如下形式的矩形数表，记为A则称A 为n p ⨯阶矩阵，一般记为()ij n p a ⨯=A ，称ij a 为矩阵A 的元素。
当n p =时，称A 为n 阶方阵；若1p =，A 只有一列，称其为n 维列向量，记为若1n =，A 只有一行，称其为p 维行向量，记为当A 为n 阶方阵，称1122,,,nn a a a L 为A 的对角线元素，其它元素称为非对角元素。
若方阵A 的非对角元素全为0，称A 为对角阵，记为进一步，若11221nn a a a ====L ，称A 为n 阶单位阵，记为n I 或=A I 。
如果将n p ⨯阶矩阵A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p n ⨯的矩阵，记为称其为矩阵A 的转置矩阵。
若A 是方阵，且'=A A ，则称A 为对称阵； 若方阵()ij n n A a ⨯=，当对一切i j <元素0ij a =，则称为下三角阵；若'A 为下三角阵，则称A 为上三角阵。
二、 矩阵的运算1．对()ij n p a ⨯=A 与()ij n p b ⨯=B 的和定义为：2．若a 为一常数，它与矩阵n p ⨯阶矩阵A 的积定义为： 3．若()ik p q a ⨯=A ，()kj q n b ⨯=B ，则A 与B 的积定义为： 根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律 2．乘法满足结合律()()a a ββ=A A ， ()()()a a a ==AB A B A B3．乘法和加法满足分配律()a a a +=+A B A B ， ()a a ββ+=+A A A()+=+A B C AB AC ，()+=+A B C AC BC 4．对转置运算规律()'''+=+A B A B ， ()()a a ''=A A()'''=AB B A ， ()''=A A另外，若()ij n n a ⨯=A 满足''==A A AA I ，则称A 为正交阵。
代数-矩阵
矩阵的概念矩阵就是一个用圆括号或方括号括起来的数表．与行列式不同，矩阵的行数和列数不一定相等．行数和列数相等的矩阵称为方阵． A B =：矩阵A 和矩阵B 必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等．如111000 0⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ 1⎝⎭⎝⎭，而行列式相等只是意味着两个值相等． 只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算．矩阵的数乘kA 表示对矩阵A 中的每一个元素都乘以k ．注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列．矩阵的乘法A B 必须要求A 的列数等于B 的行数．矩阵的幂kA 要求矩阵A 必须是方阵．矩阵的乘法一般不满足交换律，对于某些矩阵，即使A B 与B A 都有意义，它们仍不一定相等，即A B B A ≠．例如：0A 0 0⎛⎫=⎪ 1⎝⎭，0B 0 1⎛⎫= ⎪ 0⎝⎭，00A B B A 0 00 1⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪ 0 0⎝⎭⎝⎭．如()A =1 0 4，B 1⎛⎫⎪=1 ⎪ ⎪0 ⎝⎭，A B 与B A 都有意义，但A B 为11⨯矩阵，而B A 为33⨯矩阵，显然不相等．一般的，A B B A ≠，()k k k A B A B ≠，222()2A B A A B B +≠++，22()()A B A B A B +-≠-．但并不等于说对任意的两个矩阵A 与B ，必有A B B A ≠．例如，若20,02a b A B cd ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，就有22222ab A B B A B cd ⎛⎫===⎪⎝⎭．当A B B A =时，称A B 可交换(或A 与B 可交换)，这时上面四个式子都成为等式．但对于n 阶矩阵,A B ，一般来说A B B A ≠，但总有||||||||A B A B B A == （行列式是数，可以交换）．矩阵的乘法不满足消去律，即0A ≠时，有AB AC =，但B C ≠．只有当A 为非奇异矩阵，即||0A ≠时，若0A B =，则必有0B =；若A B A C=，则必有B C =．由0A B =，不能推出0A =或0B =．等价地说，0A ≠且0B ≠，有可能使0A B =，如上例．当A 为n 阶方阵时，nkA kA =．例1 设4阶矩阵234(,,,)A r r r α=，234(,,,)B r r r β=，其中234,,,,r r r αβ是4维列向量，且||4A =，||1B =，则||A B +=＿ ．解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质．由于234(,2,2,2)A B r r r αβ+=+，所以234234234234|||222|8||8(||||)8(41)40A B r r r r r r r r r r r r αβαβαβ+=+ =+ = + =+=小结：很多同学容易把矩阵运算与行列式的性质混淆，注意矩阵运算有()()()A B A B +=+，但行列式运算||||||A B A B +≠+．例 2 设A 是3阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式1||2A =，求行列式1*|(3)2|A A --的值．解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质． 由于1*1||A A A -=，故*111||2A A AA--==，故1*1111131122816|(3)2||(3)|||||()||23332727A A A AAAAA--------=-=-=-=-=-⨯=-小结：不少考生把||||n kA k A =错误地写成||||kA k A =，把111()kA Ak--=错误地写成11()kA kA--=．7.2 关于关于A 的行列式等于0的问题0A =是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型．当A 为n 阶方阵时，由0A ≠不能推出0A ≠．如11011A ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，但有0A =． 下面举两例说明：例1 设A 是n 阶非0矩阵，满足2A A =，且A E ≠，证明行列式0A =．证法一（反证法）：若||0A ≠，那么A 可逆．用1A-左乘2A A =的两端，得121A AA AA E --===与A E ≠矛盾，故||0A =．证法二（用秩）：据已知有()0A A E -=，那么()()r A r A E n +-≤ 因为A E ≠，即0A E -≠，那么秩()1r A E -≥从而秩()r A n <，故0A =．证法三（用0A x =有非零解）：据已知有()0A A E -=，即A E -的列向量是齐次方程组0A x =的解，又因0A E -≠，所以0A x =有非零解，从而0A =．误解一：据已知有()0A A E -=，又A E ≠，即0A E -≠，故0A =，从而0A =．注：由0,0A B B =≠，错误的得到0A =．误解二：据已知有()0A A E -=，故0A A E -=．又A E ≠，即0A E -≠，故0A E -≠，从而0A =．注：由0A ≠，错误的以为0A ≠．例2 设A 为n 阶矩阵，满足TA A E =，0A <，证明0A E +=．证明：因为()()T T T A E A A A A E A A E A A A E +=+=+=+=+ 所以 (1)0A A E -+=，又因0A <，于是10A ->，故必有 0A E +=小结： A 、B 是方阵，由||0A B =，又||0B ≠，得||0A =7.3矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数．矩阵的秩既是矩阵的行秩也是矩阵的列秩．下面是由矩阵秩的定义得到的一些结论：()r A r A =⇔中有．r 阶子式不为0，任何．．1r +阶子式(若还有)必全．为0（不是说所有的r 阶子式都不为0）；()r A r A <⇔中r 阶子式全．为0； ()r A r A ≥⇔中有．r 阶子式不为0；特别的，()00r A A =⇔=；0()1A r A ≠⇔≥ 关于矩阵的秩易混淆的几条性质：1. 0()m in{,}m n r A m n ⨯≤≤；m in{(),()}(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+，()()()r A B r A r B ±≤+；若m n n t A B O ⨯⨯=，则()()r A r B n +≤，()()()m n n t r A B r A r B n ⨯⨯≥+-；()()()()}r A B r A r A B r B ≤≤且()m in{(),()}r A B r A r B ⇒≤，2. ()()A O r r A r B OB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()()()()AO r A r B r r A r B r C CB ⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭43、伴随矩阵伴随矩阵是线代中比较重要的概念，也是一个常考的点．1112121222123n n n n n a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A 的伴随矩阵1121112222*123n n nnn A A A AA A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 在求伴随矩阵的时候切记：一是伴随矩阵是由行列式||A 的各个元素的代数余子式构成的，(1)i jij ij A M +=-，要注意符号；二是注意代数余子式在伴随矩阵中的排列顺序．涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式**||A A A A A E ==及伴随矩阵的相关结论着手分析．以下结论可以直接使用：(),()1()1,0() 1.n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若*1*()n kA k A -=， 2**()(2)n A AA n -= , ≥**A A A A A E ==；*1A A A -=；1*n A A-=；**()()T T A A =；*11*1()()A AA A--==例1. 设A 为n 阶非零矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠．证明 由**||A A A A A E ==，及*T A A =，有*||TA A A A A E ==．若0A =，则0TA A =，设A 的行向量为(1,2,...,)i i n α=，则0(1,2,...,)T i i i n αα==，即0i α=，于是0A =，与已知矛盾，故0A ≠．例2. 设矩阵33()ij A a ⨯=满足*TA A =，其中*A 是A 的伴随矩阵，若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a =＿．解析 题设与A 的伴随矩阵有关．由**||A A A A A E ==，及*T A A =，有,,1,2,3ijij aA i j ==，且2||||||||0TA AA E A A A =⇒=⇒=或||1A =，而211111212131311||30A a A a A a A a =++=≠，于是||1A =，且113a =．44、逆矩阵若,A B 为n 阶可逆矩阵，A B +未必可逆．如12,42A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均可逆，而1224A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭不可逆． 对于1()A B -+没有运算规则，注意111()A B AB---+≠+．关于矩阵的逆运算与转置运算还有一些性质需要大家注意区别一下： 逆运算： 111()A Aλλ--=，111()A B BA---=；转置运算：()T TA A λλ=， ()TTTA B B A =．例 设100023000-45000-67A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭，E 为4阶单位矩阵，且1()()B E A E A -=+-，则1()E B -+=？解析 对于1()E B -+没有运算法则，通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式．1111111111()[()()][()()()()]1121[()()][2()]()23234E B E E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A ----------+=++-=++++-⎛⎫⎪-⎪ =+++-=+=+= ⎪ - ⎪ - ⎝⎭本题是考生失误较多的一个考题，这里涉及的思路方法应很好体会． 逆矩阵的计算一般有四种方法：（1）伴随矩阵法1*1||A A A -=；（2）通过恒等变形，利用定义进行计算，即找出B ，使A B E =或B A E =； （3）用初等变换求逆矩阵．1A E E A -−−−−→初等行变换（ ）（ ），1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换在用初等变换法求逆矩阵的整个过程中，如果置E 于A 之右A E （ ），则必须只用行初等变换，而不能用列初等变换．如果置E 于A 之下A E ⎛⎫⎪⎝⎭，则必须只用列初等变换，而不能用行初等变换．这点务必注意．（4）分块矩阵法：111AO A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 111OA O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45、初等变换与初等矩阵初等变换是一个非常重要的概念，它可以简化许多问题，但是考生在应用初等变换上还不是很熟练，有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的．首先建议学员一定要弄清楚概念，它具有什么性质．进行行变换就是左乘初等矩阵，列变换就是右乘初等矩阵．初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵．例如：1001001010010,100100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1100100102000,201001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1100100310310,001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即 1111(),()().ijij i i ij ij E E E k E E k E k k---===-，（）例 设122,331A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1,P A P B P -==其中答案：001100010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦分析：利用初等矩阵．矩阵A 的一、二两行互换后再二、三两行互换，然后一、二两列互换后再二、三两列互换，即是矩阵B ，即10001001010000110010000101000101010A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可见，010100001100001100001010010P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．46、矩阵方程对于矩阵方程，经恒等变形之后有三种可能的形式：;;A X B X A B A X C B ===，如果矩阵,A C 是可逆的，则依次有1111;;X A B X B A X A B C ----===，然后经计算就可求出X ．这里一定要注意在乘逆矩阵时是左乘还是右乘．因为矩阵乘法没有交换律，所以在恒等变形时，运算法则一定要正确，注意是用左分配律()A B A C A B C +=+还是右分配律()B C A B A C A +=+．例 已知X XA B =+，其中1111A ⎛⎫=⎪ ⎝⎭，1234B ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，则X =＿．解析 由X X A B =+，得()X E A B -=．因为0110E A -⎛⎫-= ⎪- ⎝⎭可逆，所以有111201120121()3410341043X B E A -- - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ - ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.注意：在本题中，不要把X X A B =+错误地变形为()E A X B -=，而得到10112()134X E A B - 3 4⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ 0 1 2⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这是一个特别要防止的错误．47、线性相关性m 个向量12,,,m ααα 线性相关是指有m 个不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= 成立，否则，称12,,,m ααα 线性无关．对于向量组12s ,,...,ααα恒有12s 00...00ααα+++=．所以判断向量组12s,,...,ααα是否线性相关，其实就是问除上述情况之外，能否再找到另一组12,,...,s k k k 使得1122...0s s k k k ααα+++=成立．而判断12s ,,...,ααα线性无关就是判断是否对任一组非零常数12,,...,s k k k 均有1122...0s s k k k ααα+++≠．向量组的线性相关（无关）是一个抽象概念，在理解时需仔细体会“有一组”与“任一组”．“有一组”只要求存在，而“任一组”要求全部，强调任意性．许多错误往往发生在此．证明向量线性相关的方法有很多种：n 维向量12s ,,...,ααα线性相关⇔存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++=成立；⇔齐次方程组1212(,,...,)0...s s x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解； ⇔向量组的秩12(,,...,)s r s ααα<；⇔向量组中某个向量i α可以用其余向量12-1,1,,...,,...,i i s ααααα+线性表出．特别的，如果12s ,,...,ααα中有一个为零向量，则该向量组线性相关；但反之不成立． 例设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若10m A α-≠，0mA α=，证明向量组α，A α，2A α，21,,m A Aαα- 线性无关证明（用定义、同乘）设211230m m k k A k A k A αααα-++++= （1） 由于0mA α=知10m A α+=，20m Aα+=，用1m A-左乘（1）式两端，并把0mA α=，10m Aα+=，20m Aα+=， 代入（1），有110m k Aα-=因为10m Aα-≠，故1k =0．把10k =代入（1）式，同理可知120m k A α-= 从而20k =．类似可得30k =， ，0m k =，所以α，A α，21,,m A Aαα- 线性无关．分析用定义证明向量的线性无关性是很常用的方法．部分考生在设出211230m m k k A k A k Aαααα-++++= 之后，不知如何往下做，没有想到可用1m A -左乘等式的两端，使问题得到解决．48、线性表出线性表出也是常考的一类题型，考察的形式多结合线性相关、线性无关．应结合它们的定义与线性表出的概念，以及他们之间的联系来解题．要注意区分线性表出和线性相关的区别．如果向量b 可以写成给定向量组12,,,m ααα 的线性组合的形式，即存在一组数12,,,m λλλ ，使1122m m b λαλαλα=+++ ，则向量b 是向量组12,,,m ααα 的线性组合，也称向量b 能由向量组12,,,m ααα 线性表示．这里并没有像线性相关的定义那样要求系数12,,,m λλλ 不全为零，也就是说任意的系数都可以，如120000m ααα=+++ ，我们说零向量可以由12,,,m ααα 线性表出．如果向量b 可以由向量组12,,,m ααα 线性表出，那么向量组12,,,,m b ααα 线性相关．如果向量组12,,,m ααα 线性相关，则至少可以找到一个向量i α可以由其余向量线性表出，注意不是向量组中的每一个向量都可以由余下的向量线性表出．如果向量组12,,,m ααα 线性无关，而向量组12,,,,m b ααα 线性相关，那么向量b 一定可以由向量组12,,,m ααα 线性表出．若向量组12,,,s ααα 可以由向量组12,,,t βββ 线性表出，则1212(,,,)(,,,)s t r r αααβββ≤向量组12,,,s ααα 可以由向量组12,,,t βββ 线性表出，若s t >，则向量组12,,,s ααα 线性相关；若向量组12,,,s ααα 线性无关，则s t ≤．例设12,,,s ααα 是n 维向量组，12(,,,),s r r ααα= 则（）不正确． （A ）如果r n =，则任何n 维向量都可以用12,,,s ααα 线性表示； （B ）如果任何n 维向量都可以用12,,,s ααα 线性表示，则r n =； （C ）如果r s =，则任何n 维向量都可以用12,,,s ααα 唯一线性表示； （D ）如果r n <，则存在n 维向量不能用12,,,s ααα 线性表示． 分析利用“用秩判断线性表示”的有关性质．当r n =时，任何n 维向量添加进12,,,s ααα 时，秩不会增大，从而（A ）正确． 如果（B ）的条件成立，则任何n 维向量组12,,,t βββ 都可以用12,,,s ααα 线性表示，从而1212(,,,)(,,,).t s r r n βββααα≤≤ 如果取12,,,n ηηη 是一个n 阶可逆矩阵的列向量组，则得到1212(,,,)(,,,)n s n r r n ηηηααα=≤≤ ，从而12(,,,),s r n ααα= （B ）正确．（D ）是（B ）的逆否命题，也正确．当r s =时，不能保证任何n 维向量可用12,,,s ααα 线性表示（如r n <时），因此（C ）不正确．49、向量组的等价和矩阵的等价向量组的等价是指两个向量组能够互相线性表出，如果向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ 等价，那么有1212(,,,)(,,,)s m r r αααβββ= ；但反之不成立．而矩阵的等价是指其中一个矩阵经过有限次的初等变换能化作另一个矩阵，矩阵A 与B 等价的充要条件是,A B 是同型矩阵，且()()r A r B =．如果两个向量组所含向量个数相同且等价，则可推知两个矩阵等价．即向量组12,,,m ααα 与12,,,m βββ 等价⇒矩阵12(,,,)m ααα 与12(,,,)m βββ 等价， 但是向量组12,,,s ααα 与12,,,t βββ （s t ≠）等价时，矩阵12(,,,)s ααα 与12(,,,)t βββ 不等价．例设n 维列向量组12,,,()m m n ααα< 线性无关，则n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充要条件为(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表出 (B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表出 (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价 (D) 矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价解析简记向量组12,,,m ααα 为I ，向量组12,,,m βββ 记为II ，(I)r m =，(II)r m ≤，那么：II 线性无关(II)r m ⇔=，(A)若I 可由II 线性表出，则(I)(II)r r ≤．又I 线性无关，有(I)(II)m r r m =≤≤，从而(II)r m =，即II 线性无关，充分性成立．那么，当m n <时，条件必要吗？设1100α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2001β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则向量组12,αα与向量组12,ββ均线性无关，但向量组12,αα不能由向量组12,ββ线性表出，故(A)仅为充分条件，不是必要条件．(B)若II 可由I 线性表出，则(II)(I)r r m ≤=，即有12(,,,)m r m βββ≤ ，12,,,m βββ 的线性无关性不能确定，故(B)不充分．而由(A)的反例可知(B)也不是必要条件． (C)由(A)，(B)知(C)只是充分条件．(D)如果矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价，则1212()(,,,)(,,,)()m m r A r r r B αααβββ=== ，因为12,,,m ααα线性无关，故12(,,,)m r m ααα= ，故12(,,,)m r m βββ= ，故向量组12,,,m βββ 线性无关，充分性成立．反之，若向量组12,,,m ααα 与12,,,m βββ 均线性无关，故1212(,,,)(,,,)m m r r m αααβββ== ，从而()()r A r B =，即矩阵,A B 等价，必要性成立，故选(D)．分析由于两个等价的概念不清，本题错误率很高． 小结：1. 向量b能由向量组12,,,s ααα 线性表出的充要条件是1212(,,,)(,,,,)s s r r b αααααα=2. 向量组12,,,t βββ 能由向量组12,,,s ααα 线性表出的充要条件是121212(,,,)(,,,,,,,)s s t r r ααααααβββ=3. 向量组12,,,t βββ 和向量组12,,,s ααα 等价的充要条件是12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s t s t r r r αααβββαααβββ==57、矩阵的相似、合同、等价（1）等价：矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称A 与B 等价； 矩阵等价的充要条件：,A B A B ≅⇔是同型矩阵且()()r A r B =⇔存在可逆矩阵P 和Q ，使P A Q B =（2）相似：设,A B 是n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=，则称A 与B 相似，记为：~A B相似矩阵的性质：如果~A B ，,E A E B λλ⇒-=-从而,A B 有相同的特征值11nnii iii i a b==⇒=∑∑ (,A B 有相同的迹)A B ⇒=()()r A r B ⇒=注意：这些都是必要条件，可排除哪些矩阵不相似，亦可用来确定相似矩阵的一些参数．若其中有一个不成立，说明A 与B 不相似．例 1 已知420,,201a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭若~A B ，则由迹相等知：42(1)b +=+-，得3.b =-由行列式相等知：1222a --=-，得-5a =．并且，由于B 是对角矩阵，2与-1就是B 的特征值，则根据特征值相等知，2与-1也是A 的特征值．（3）合同：两个n 阶实对称矩阵A 和B ，如存在可逆矩阵C ，使得TC A C B =，则称矩阵A 和B 合同．两个实对称矩阵合同的充要条件：二次型Tx A x 与Tx B x 有相同的正、负惯性指数； 两个实对称矩阵合同的充分条件：A 与B 相似．例2 设1030,,0204A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有A 和B 合同． 证明因为有可逆矩阵C ⎤=⎢⎣，使10300204TC A C B ⎤⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎣，或者，由二次型22122T x A x x x =+与221234T x B x x x =+有相同的正惯性指数2p =及相同的负惯性指数0q =，所以合同．注意：A 和B 不相似，因为相似的必要条件是特征值相同，显然不满足．58、正交变换化二次型为标准型的方法正交变换化二次型为标准型是历年常考的一个知识点，考生在这块主要的错误就是有时候忘记单位化，再有这块内容的计算量比较大，所以一有疏忽就容易出错误，下面将介绍具体解题步骤，考生应按照步骤进行，仔细计算．（1）写出二次型矩阵A （注意A 是对称矩阵）（2）求矩阵A 的特征值（求解||0E A λ-=）（3）求矩阵A 的特征向量（对每一个i λ，求()0i E A x λ-=的基础解系） （4）改造特征向量1,,n γγ （Schimidt 正交化、单位化） （5）构造正交矩阵()1,,n P γγ= ，则经坐标变换x P y =，得2221122TTn n x A x y y y y y λλλ=Λ=+++注意：1. 特征值的顺序与正交矩阵P 中对应的特征向量的顺序是一致的．2. 在进行Schimidt 正交化时，只有当属于某个特征值的特征向量多于一个时，需对这几个特征向量进行Schimidt 正交化．59、正定二次型（正定矩阵）正定二次型是常考点，考生主要掌握定义，因为定义在这块中是最好的证明方法，也是最常用的证明方法．若对任意的n 维实向量0x ≠，恒有0Tx A x >，则A 是正定矩阵．注意：正定矩阵必须是对称矩阵，因此在论证之前应注意A 是否为对称矩阵．若不是对称矩阵，根本谈不上讨论它的正定性．正定矩阵的性质和判别：1. 充要条件：实对称矩阵A 是正定矩阵A ⇔合同于E ⇔存在可逆矩阵C ，使得TA C C =（从而0A >）⇔A 的正惯性指数n = ⇔A 的特征值全大于0⇔存在正交矩阵Q ，使得121,0,1,2,...,...T i n Q A Q Q A Q i n λλλλ-⎛⎫⎪⎪==>= ⎪ ⎪⎝⎭⇔A 的各阶顺序主子式全大于0从而得到判别实对称矩阵（实二次型）是否正定的常用方法有三种：用定义，顺序主子式法，特征值法2. 必要条件：n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵⇒0,1,2,,ii a i n >=0A ⇒>从而有：（1）有一个0ii a ≤⇒ A 不是正定矩阵；（2）0A ≤⇒A 不是正定矩阵例1 220251012A - ⎛⎫⎪=- - ⎪ ⎪ - ⎝⎭是否为正定矩阵．解析（顺序主子式法） 12∆=，222625-∆==- ，310∆=，顺序主子式全大于0，故A 正定．例2 A 为m n ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵TB E A A λ=+，试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵．证明（定义法）ⅰ、因为()()()()T T T T T T T T TB E A A E A A E A A B λλλ=+=+=+=，所以B 是n 阶实对称矩阵．ⅱ、构造二次型Tx B x ，有()()()T T T T T T T Tx B x x E A A x x x x A A x x x A x A x λλλ=+=+=+因为0.x ∀≠Tx x 0>，()()0TA x A x ≥，所以，当0λ>时，0x ∀≠，恒有T x B x =()()T Tx x A x A x λ+0>即二次型Tx B x 正定，故B 是正定矩阵.（特征值法）B 的对称性证明略．设μ是矩阵TA A 的任一特征值，x 是相应的特征向量，即,0,T A A x x x μ=≠用Tx 左乘上式的两端得，()().T TA x A x x x μ=由0,x ≠必有0,()()0T Tx x A x A x >≥，故0μ≥因为TB E A A λ=+的特征值是λμ+，可见当0λ>时必有0λμ+>，即B 的特征值全部大于0，所以B 是正定矩阵．以下为概率内容60、连续型随机变量，则是否成立？答：成立．因为连续型随机变量在一点处的概率为零，所以对于连续型随机变量去掉或者添加有限个点，其概率是不变的，如注意：离散型随机变量无此性质，因为离散型随机变量在一点处的概率不一定为零，离散型随机变量落在某一区间上的概率为对任意的．所以，其它两个概率类似可推．说明：X 为连续型随机变量，则；X 为离散型随机变量，则61、判断下面随机变量的分布若随机变量的分布函数是严格单调的连续函数，则随机变量服从区间内的均匀分布．事实上，由于是严格单调的连续函数，知它有唯一反函数，故对于任意的，有因此随机变量的分布函数为所以 ，所以服从内的均匀分布．62、设随机变量都服从正态分布，则一定服从正态分布？答：不是．我们举一个反例：假设随机变量服从标准正态分布，则易见随机变量Z ()()P Z x P Z x ≤=<()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=<≤=≤≤()()()b aF b F a f x d x =-=⎰,()()()a b P a X b F b F a <<≤=-有()()()()()()()()P a X b P a X b P X a P X b F b F a P X a P X b ≤<=<≤+=-==-+=-=()0P X a ==()()(0)P X a F a F a ==--X ()F x ()Y F X =(0,1)()y F x =()G x (,)y ∈-∞+∞{}{}{},0()()01,1y Y y F x y X G y y y φ≤⎧⎪≤=≤=≤<<⎨⎪≥⎩Ω 若， 若 若()Y F X ={}()()()H y P Y y P F x y =≤=≤{}(),0()01(),1P y P X G y y P y φ≤⎧⎪=≤<<⎨⎪≥⎩Ω 若， 若 若0,0(())011,1y F G y y y y ≤⎧⎪==<<⎨⎪≥⎩ 若 若 若1,01()0,y h y <<⎧=⎨⎩其它()Y F X =(0,1)X Y 和X Y +X也服从标准正态分布．事实上，随机变量的分布函数为：是标准正态分布的分布函数．这样，随机变量都服从正态分布，然而不服从正态分布． 但是，当都服从正态分布且相互独立时，一定服从正态分布．推广：设随机变量相互独立，且，则63、证明下面命题若是离散型随机变量，其概率分布为：，是连续型随机变量，并且与相互独立，则也一定是连续型随机变量．证明:已知离散型随机变量的概率分布为：，设连续型随机变量的概率密度与分布函数为，以表示随机变量的分布函数，则由全概率公式和独立性，有所以因此随机变量有概率密度，从而是连续型随机变量．说明：本题证明了一个结论：若是离散型随机变量，是连续型随机变量，并且相互独立，则可以根据全概率公式与独立性求得的分布函数与密度函数，得出它也是连续型随机变量．注意：其中离散型随机变量的取值必须是有限个，如果取可列个值，则该结论未必成立．Y X =-Y X =-{}{}{}()F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≥-222211()xxy yed x ed x y Φ+∞+----∞===X Y X =-和0X Y +≡X Y 和X Y +12,,,n X X X 2(,)i i i X N μσ 22111,nn ni i i i i i i i i c X N c c μσ===⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑ X {}(1,2,,)k k P X a p k n === Y X X Y +X {}(1,2,,)k k P X a p k n === Y ()()f y F y 与()G z Z X Y =+{}{}{}11(),,nnk k k k k G z P X Y z P Xa X Y z P Xa Y z a ===+≤==+≤==≤-∑∑{}{}11()nnk k k k k k P Xa P Y z a p F z a ====≤-=-∑∑11()()()()nnk k k k k k g z G z p F z a p f z a ==''==-=-∑∑Z X Y =+()g z X Y Z X Y =+X X50、向量组的秩、矩阵的秩与极大线性无关组 向量组的极大线性无关组有两种定义方式：一是在向量组A 中能选出r 个向量线性无关且任意r +1个向量线性相关；二是在向量组A 中能选出r 个向量线性无关，且向量组A 中的任一个向量都能由这r 个向量线性表出．注意：向量组的极大线性无关组往往是不唯一的，其成员可以不一样，但这些极大线性无关组之间是等价的，每个极大线性无关组中向量的个数是相同的，由原向量组唯一确定．向量组的秩为r 就是指该向量组的极大线性无关组中含有r 个向量． 矩阵的秩就是矩阵的行向量组或列向量组的秩．即：记1212(,,,)TT s T tA ββαααβ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1212()(,,,)(,,,)s t r A r r αααβββ=== 两个向量组的极大线性无关组中向量的个数．周二51、基础解系基础解系的概念及求法是齐次线性方程组的核心问题，是线性代数中一个非常重要的概念，对于这块内容的考察也是一个重点，但是我们在答疑或者是改卷过程中发现还是有很多同学概念混淆．定义：设12,,,p x x x 是0A x =的解向量，如果（1）12,,,p x x x 线性无关；（2）0A x =的任一个解向量可由12,,,p x x x 线性表示，则称12,,,p x x x 是0A x =的一个基础解系． 基础解系就是解向量组的极大线性无关组．若0m n A x ⨯=且()r A r =，则n 元齐次线性方程组0A x =的解集的秩为n -r ，即0A x =的基础解系中含有n -r 个解向量．例 齐次方程组12341234123412342340234503456045670x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩的基础解系是＿．(A) (3,0,1,0),(2,3,0,1)T T-- (B) 12(1,2,1,0)(2,3,0,1)T T k k -+- (C) 31(2,3,0,1),(1,,0,)22TT--(D) (3,4,1,2),(3,5,1,1)T T---解析 严格根据定义，判断基础解系要从是不是解向量，是否线性无关及基础解系所含向量的个数三个方面来思考．(B)中的形式就不对，应首先排除．(C)中的两个解向量线性相关，也排除．(A)中的第一个向量只满足第一个方程，不是解向量，也排除．故选（D ）．周三52、如何确定自由变量并赋值？（求解基础解系）很多考生在这块也容易犯错误，因为选取不同的自由变量、采用不同的赋值方法可能得到不同的基础解系．考生首先要理解清楚概念，按照下面的步骤就一定能得到齐次线性方程组0A x =的基础解系．下面介绍确定自由变量并赋值的基本步骤：（1）对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形（注意：只能做初等行变换）（2）由秩()r A 确定自由变量的个数为()n r A -（3）从矩阵A 中挑出线性无关的()r A 列，则其余的()n r A -列对应的变量就是自由变量（4）每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意共需赋值()n r A -次）．通过上面步骤解得()n r A -个解向量，即是该齐次线性方程组的基础解系．求解非齐次线性方程组A x b =的特解，一般在第（4）步中对所有自由变量赋值为0，得到的解向量就是非齐次线性方程组的一个特解．对于求解含参数的齐次线性方程组，方法是对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形，然后对阶梯形方程组由下往上依次求解，就可以得到原方程组的解．该方法是最一般的方法，不论方程的个数与未知数的个数是否相同都可使用，应熟练掌握．例 齐次方程组124523452345302202340x x x x x x x x x x x x + +-=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的基础解系是＿．解析 系数矩阵110212102134A 0 3 -1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭进行初等行变换化为阶梯型11021210 0 3 -1⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ 0 0 1 3⎝⎭，由()3r A =，知()532n r A -=-=．选取35,x x 为自由变量．令351,0x x ==，得421110,,22x x x ==-=，令350,1x x ==，得4215153,,22x x x =-==，故基础解系是1211155(,,1,0,0),(,,0,3,1)2222TTηη=-=-． 注意：由于自由变量的选取不唯一，从而齐次线性方程组的基础解系也可以不唯一． 此题也可选取25,x x 为自由变量，令251,0x x ==，得1431,0,2x x x =-==-，令250,1x x ==，得13410,5,3x x x ===-，故基础解系是()()121,1,2,0,0,10,0,5,3,1TTξξ=--=-周四53、特征向量与线性方程组的解矩阵的特征向量与解线性方程组似乎没有直接联系，其实两者还是有关联的．这就是ξ是A 属于特征值0的特征向量⇔ξ是0A x =的非零解ξ是A 属于特征值λ的特征向量⇔ξ是A x x λ=即()0E A x λ-=的非零解这是由特征值和特征向量的定义直接推过来的，大家容易忽略，但在考研题中会经常用到，学员应熟练使用．例 设矩阵21222313233123A a a a a a a - ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有特征向量1(1,2,1)T ξ=，1(1,1,1)T ξ=-，3(1,2,2)T ξ=-，求线性方程组A x b =的通解，其中(1,2,2)Tb =-．解析 由题设123,,ξξξ均是A 的特征向量，故有12122231313233123112211A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)， 22122232313233123-1-11111A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= = ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）， 32122233313233123-1-12222A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3） 由（1）解得10λ=，即有10A ξ=．由（2）解得20λ=，即有20A ξ=．由（3）解得31λ=-，即有33A ξξ=-．注意到方程组为A x b =，其中3b ξ=，由33A ξξ=-可推出33()A b ξξ-==，所以3ξ-是A x b =的一个特解．由10A ξ=，20A ξ=知12,ξξ是0A x =的两个解．由12(,)2r ξξ=知，12,ξξ是0A x =的两个线性无关的解．由0A ≠知，()1r A ≥，故0A x =的基础解系由3()2r A -≤个线性无关的解向量组成．现12,ξξ是0A x =的两个线性无关的解向量，故12,ξξ是0A x =的一个基础解系．从而A x b =的通解为31122k k ξξξ-++，其中12,k k 为任意常数．周五54、A x b =与0A x =的解之间的关系()(,)r A r A b <A x b ⇔=无解，这时不能判断0A x =的解的情况；()(,)r A r A b n ==A x b ⇔=有唯一解 ⇒()r A n =0A x ⇔=只有零解； ()(,)r A r A b n =<A x b ⇔=有无穷多解⇒()r A n <0A x ⇔=有非零解；后两种情况，即只知道0A x =的解的情况是不能推断出A x b =的解的情况的．）A x b =的解的性质（1）,αβ为A x b =的解，则αβ-为0A x =的解.证 因为()0A A A b b αβαβ-=-=-=，故αβ-是0A x =的解.（2）设12,,,s ααα 为A x b =的解，则111(1)s s s k k k k αα++++= 仍为A x b =的解.需要注意：若12,x x 是A x b =的两个解，则1122k x k x + (12,k k 为任意常数)一般不是A x b =的解，因为112211221212()()A k x k x k A x k A x k b k b k k b b +=+=+=+≠周六55、关于公共解关于公共解，有以下几种处理方法：（1）把（Ⅰ）和（Ⅱ）联立起来直接求解；（2）令（Ⅰ）的通解和（Ⅱ）的通解相等，找出参数的范围；（3）把（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）中，找出其中也满足（Ⅱ）解，即为公共解． 例 设有两个4元齐次线性方程组（Ⅰ）122400x x x x +=⎧⎨-=⎩ （Ⅱ）12323400x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩1、求线性方程组（Ⅰ）的基础解系；2、试问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由．如：（Ⅰ）的基础解系为 1(0,0,1,0)T ξ=，2(1,1,0,1)T ξ=-，那么它的通解11222212(,,,)Tk k k k k k ξξ+=-要是（Ⅱ）的解，就因该满足（Ⅱ）的方程，故2212120k k k k k k --+=⎧⎨-+=⎩， 解出122k k =，所以其公共解是：2222(0,0,1,0)(1,1,0,1)(1,1,2,1)T T T k k k +-=-周日56、求A 相似标准型的方法（对可对角化的矩阵）n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量⇔矩阵A 可对角化． n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值 ⇒矩阵A 可对角化．（原因：属于不同特征值的特征向量线性无关）．矩阵A 可对角化⇔每一个特征值i λ的重数与其线性无关的特征向量的个数相等； 相似对角化是一个重要的考察点，这部分牵涉的计算量比较大，所以考生一定要细心．基本步骤如下：（1）求A 的特征值12,,,,s λλλ 设i λ是i n 重根；（2）对每个特征值i λ，求()0i E A x λ-=的基础解系，设为12,,,;ii i in X X X（3）令12111212122212(,,,,,,,,,,,,),sn n s s sn p X X X X X X X X X = 则11122(,,,,,,,),s s PA P diag λλλλλλ-= 其中有i n 个i λ(1,2,,)i s = ．注意：有一个特征值i λ的线性无关的特征向量的个数小于i λ的重数⇒A 不可对角化．例 判断矩阵320131571A - ⎛⎫⎪=- - ⎪ ⎪- -⎝⎭是否与对角矩阵相似？解 由特征方程2320120||131131(2)(1)0571171E A λλλλλλλλλλλ- - -= - =- - =--= - +- - +，得特征值122λλ==（二重根），31λ=．对于122λλ==，解方程1123120()1110573x E A x x x λ- ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= - = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ - ⎝⎭⎝⎭，因为(2)2r E A -=，故属于122λλ==的线性无关的特征向量的个数等于对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数即1，不等于根的重数2，故A 不可对角化，即A 不与对角形矩阵相似．。
高中阶段矩阵的代数性质教案
高中阶段矩阵的代数性质教案矩阵是线性代数中的一个重要概念，研究矩阵的代数性质有助于深入理解线性代数的基本概念和运算规则。
本教案将介绍高中阶段矩阵的常见代数性质，包括加法、数乘、矩阵乘法以及矩阵的逆等相关内容。
一、矩阵的加法性质在矩阵加法中，需要满足以下几个性质：1. 交换律：对于任意矩阵A和B，有A + B = B + A。
2. 结合律：对于任意矩阵A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 零矩阵：对于任意矩阵A，有A + O = A，其中O为零矩阵。
4. 相反元：对于任意矩阵A，存在一个矩阵-B，使得A + (-B) = O，其中O为零矩阵。
二、矩阵的数乘性质在矩阵数乘中，需要满足以下几个性质：1. 数量乘法结合律：对于任意数k和矩阵A，有k(A + B) = kA + kB。
2. 数字乘法结合律：对于任意数k和矩阵A，有(k + m)A = kA + mA。
3. 数量乘法分配律：对于任意数k和矩阵A、B，有(km)A = k(mA)。
4. 单位矩阵：对于任意矩阵A，有1 • A = A，其中1为单位元。
三、矩阵的乘法性质在矩阵乘法中，需要满足以下几个性质：1. 结合律：对于任意矩阵A、B和C，有(A • B) • C = A • (B • C)。
2. 分配律：对于任意矩阵A、B和C，有A • (B + C) = A • B + A • C。
3. 零矩阵：对于任意矩阵A，有A • O = O • A = O，其中O为零矩阵。
4. 单位矩阵：对于任意矩阵A，有I • A = A • I = A，其中I为单位矩阵。
四、矩阵的逆性质对于可逆矩阵A，满足以下性质：1. 逆的唯一性：对于矩阵A的逆矩阵A-1，如果存在，那么A-1是唯一的。
2. 逆的乘法：对于可逆矩阵A和B，有(A • B)的逆矩阵为B-1 • A-1。
3. 逆的逆：对于可逆矩阵A，它的逆矩阵A-1的逆矩阵为A。
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A B {aij bij}
3、系数相乘 A {aij} ,其中 为一实数。
4 矩阵相乘 令Amn {aij}，Bnp {bij}，那么C AB是一个m p 的
矩阵，其中(i, j) 第个元素为 cij
。 a b n
k 1 ik kj
ai1b1 j aib2 j L
ainbnj
3 7 1
A
2 6
1 4 1
1 4 1
B
2
0
6
3 7 1
有 B A
3、如果 A的某行（列）中的每个元素都乘以一个实数 而 得到 B ，有：
B A
3 7 1
A
2
0
6
1 4 1
有 B 2 A
4、 Ann n A
37 1
B
4 1
0 4
12 1
3 7 1
32
A13
1
4
12 2 10
c13 (1)13 A13 1g10 10
26 A32 3 3 6 18 12
c32 (1)32 A32 (1)g(12) 12
• 定理 令 A 为 n n矩阵，有
n
A aijcij 对于每个i, (由i行展开) j 1
n
aijcij 对于每个j, (由j列展开) i 1
2 3 4 r1r1r3
234
• 定理 令A {aij}为n n 矩阵，cij为aij 的代数余子式，有
aijckj 0 i k j
aijcik 0 j k i
该结论经常被称为“利用异代数余子式进行展开”
1.3 矩阵的逆
在实数体系中，对于任意实数a 0 ，总存在一个数a1 ，a
• 步骤 • 如果矩阵的某一行或者某一列中有多个零，可以用此行或
者此列对行列式进行展开。
• 行列式的性质
1、 A A
3 7 1
A
2
0
6
1 4 1
3 2 1
3 2 1
A
7
0
4
1 6 1
371
7 0 4 2 0 6
1 6 1 1 4 1
2、任意两行或者两列进行交换会使得行列式的符号发生 改变。
第一章 矩阵代数
• 本章先介绍一些矩阵的基本概念，引入矩 阵的基本运算和一些常见矩阵，然后介绍 行列式和矩阵的逆，接着介绍作为特殊矩 阵——向量的线性相关性以及矩阵的秩， 最后作为补充介绍克罗内克乘积和矩阵向 量化
1.1 基本概念
• 矩阵是元素的矩形组合。
a11 a12 L a1n
Amn
a21
用 Aij 表示去除 i 行 j 列后矩阵A 的子行列式。
aij 的代数余子式记为 cij ，cij (1)i j Aij 。
例
2 4 6
A
3
2
3
1 4 9
则
23 A11 4 9 18 12 6
c11 (1)11 A11 1g6 6
33
A12
1
9
27 3 24
c12 (1)12 A12 (1)g24 24
M
a22 L ML
a2n
M
am1 am2 L amn
用大写字母表示矩形，用下标表示其行数和列数;用小写 字母表示其中元素，用元素的下标表示该元素在矩阵中所 占据的位置。
• 基本矩阵运算
1、相等
， ，当且仅当 时， Amn {aij} Bmn {bij}
aij bij
AB
2、相加
， ，则 Amn {aij} Bmn {bij}
a21
a22
a23
a31 a32 a33
A a11a22a33 a12a21a33 a12a23a31 a13a22a31 a13a21a32 a11a23a32
• 利用代数余子式对行列式进行展开 定义
如果去掉A 的一行一列，我们可以得到一个 A的 n 1n 1 阶子矩阵。取该子矩阵的行列式，我们就得到 A 的一个子 行列式。
将（1.1）完整的写出，有：
A ai1ci1 ai2ci2 L aincin
将（1.2）完整的写出，有：
A a1 jc1 j a2 jc2 j L anjcnj
（1.1） （1.2）
•例 在上例中
A a11c11 a12c12 a13c13 2g6 4g(24) 6g10 12 96 60 24
• 特殊矩阵 1、单位矩阵 主对角线上元素为1而其余元素为0的方阵 2、系数矩阵 系数矩阵可表示为Inn ，其中 为系数
3、对角矩阵
0
I {ij} O
0
4、零矩阵
1 0
D
{iij
}
O
0 n
所有元素都为零的矩阵，常用一个大写的零
加以表示。
5、幂等矩阵 如果 AA A，则 A 为幂等矩阵 6、向量 行向量是一个1 n的矩阵而列向量是一个 m1的 矩阵
向量x和向量y间的欧几里德距离：
d(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 L (xn yn )2
第二节 行列式
• 引言
行列式 ： A ，det A
1、2 2情形
A
a11 a21
a12
a22
A a11a22 a12a21
2、 33情形
a11 a12 a13
A
例1
123
7 0 1
547
11 0 3
4 1 1 r1r12r3
4 11
r2 r24r3
1g(1)32 7 1 11 3
1g(2111) 10
例2
2468
2 0 0 0
3234 1493
3234
1493
2 2 3 4 r1r12r4
234
2234 000
2g(1)11 4 9 3
2 4 9 3 0
注意：1、矩阵乘法的相容性
2、矩阵乘法不遵循交换律
5 矩阵的迹 只有方阵才有迹，方阵A 的迹tr A为其主对角线
元素之和：
n
tr A aii i 1
6 矩阵的转置 A ，将 A 的行与列互换即可得
如果 A A ，则 A 是对称的
转置规则： （i）(A) A （ii）(A B) A B （iii） (AB) BA （iv） AA 和 AA 是对称的
的倒数，使得 aa1 a1a 1
那么这种性质在矩阵中是否存在呢？对于给定矩阵 A ，是 否存在矩阵A1 使得：
A
2 0 6
1 4 1
6 14 2
C
4 2
0 8
12 2
有
C 23 A
8 A
5、 如果 A 和B 都是 n n阶的， AB BA AgB
6、将一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。
性质（6）使得我们能够回答在本节前面所提出的问题。
• 步骤
如果 A 中没有零，则用一行（列）的倍数加到另一行 （列）上以使得其出现尽可能多的零。