高等数学第五章_定积分总结

第五章 定积分创新生技102班 张梦菲2010015066一、主要内容Ⅰ. 定积分概念：1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1()ni i i f x ξ=∆∑，若01lim()niii f x λξ→=⋅∆∑ 1(max{})ii nx λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分()baf x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质1. 补充规定：(1)当a b =时，()0baf x dx =⎰(2)当a b >时,()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰2. 性质：(1) [()()]()()bbba aaf xg x dx f x dx g x dx --+=+⎰⎰⎰(2) ()(),()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数(3) ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(4)badx b a =-⎰(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()baf x dx a b ≥<⎰推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()bbaaf x dxg x dx a b ≤<⎰⎰.推论2：()(),()bbaaf x dx f x dx a b ≤<⎰⎰.(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()ba y f x dxb a-=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数 1. 若对任意[,]x a b ∈，()xaf t dt ⎰存在，则称()()xax f t dt Φ=⎰为积分上限的函数.2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且'()()(),()xa d x f t dt f x a xb dxΦ==≤≤⎰. 4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()''()()[()]()x a d x f t dt f x x dxφφφΦ==⎰. 5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxφϕφφϕϕΦ==-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰.Ⅵ. 定积分的换元法设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()baf x dx f t t dt βαφφ=⎰⎰.注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立.Ⅶ. 定积分的分部积分法设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有()()()()()()bbba aau x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰Ⅷ. 几类特殊的积分公式1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.2()()[,]()()[,]a aaf x dx f x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ，有()()a llaf x dx f x dx +=⎰⎰.3. 设()f x 在[0,1]上连续，则220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰4. 2200123134221242sin cos 13531n n n n n n n n n xdx xdx n n n n πππ--⎧⎪-⎪--⎪==⎨-⎪=⎪⎪⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim()ba ab f x dx f x dx ∞→+∞=⎰⎰(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,()lim()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,()()()lim()lim()baa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞-∞-∞→-∞→+∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞-∞⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞-∞⎰就发散.2. 无界函数的反常积分(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()bba tt af x dx f x dx +→=⎰⎰(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()btaat bf x dx f x dx -→=⎰⎰(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，()()()lim ()lim ()bc b t baacatt ct cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()baf x dx ⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()baf x dx ⎰就发散.3. 反常积分的审敛法(1) (比较审敛法1) 设()f x 在[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥. 若存在常数0M >及1p >，使得()p Mf x x≤ ()a x ≤<+∞，则反常积分()a f x dx +∞⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x≥ ()a x ≤<+∞，则反常积分()a f x dx +∞⎰发散.(2) (极限审敛法1) 设()f x 在[,)a +∞上连续，且()0f x ≥. 若存在常数1p >，使得lim ()px x f x →∞存在，则反常积分()af x dx +∞⎰收敛；若lim ()0x xf x d →∞=>，(或lim ()x xf x →∞=+∞)则反常积分()af x dx +∞⎰发散.(3) (比较审敛法2)设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点.若存在常数0M >及1q <，使得()()()q Mf x a x b x a ≤<≤-，则反常积分()b a f x dx ⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x a≥- ()a x b <≤，则反常积分()b a f x dx ⎰发散.(4) (极限审敛法2) 设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点. 若存在常数01q <<，使得lim()()qx ax a f x +→-存在，则反常积分()baf x dx ⎰收敛；若lim()()0x a x a f x d +→-=>，(或lim()()x ax a f x +→-=+∞)则反常积分()baf x dx ⎰发散.2'0'02)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f aa aa=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。