汉诺塔问题实验报告

1.实验目的：

通过本实验，掌握复杂性问题的分析方法，了解汉诺塔游戏的时间复杂性和空间复杂性。

2.问题描述：

汉诺塔问题来自一个古老的传说：在世界刚被创建的时候有一座钻石宝塔（塔A),其上有64个金碟。所有碟子按从大到小的次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外两个钻石宝塔（塔B和塔C）。从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔A 上的碟子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。每次只能移动一个碟子，任何时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。当牧师们完成任务时，世界末日也就到了。

3.算法设计思想：

对于汉诺塔问题的求解，可以通过以下三个步骤实现：

(1)将塔A上的n-1个碟子借助塔C先移到塔B上。

(2)把塔A上剩下的一个碟子移到塔C上。

(3)将n-1个碟子从塔B借助于塔A移到塔C上。

4.实验步骤：

1.用c++ 或c语言设计实现汉诺塔游戏；

2.让盘子数从2 开始到7进行实验，记录程序运行时间和递

归调用次数；

3.画出盘子数n和运行时间t 、递归调用次数m的关系图，

并进行分析。

5.代码设计：

Hanio.cpp

#include"stdafx.h"

#include

#include

#include

void hanoi(int n,char x,char y,char z)

{

if(n==1)

{

printf("从%c->搬到%c\n",x,z);

}

else

{

hanoi(n-1,x,z,y);

printf("从%c->%c搬到\n",x,z);

hanoi(n-1,y,x,z);

}

}

void main()

{

int m ;

printf("input the number of diskes:");

scanf("%d",&m);

printf("The step to moving %3d diskes:",m);

hanoi(m,'a','b','c');

}

自定义头文件

：#pragma once

#include"targetver.h"

#include

#include

结果如下：

6.递归应用中的Hanoi塔问题分析

1）Hanoi塔问题中函数调用时系统所做工作

一个函数在运行期调用另一个函数时，在运行被调用函数之前，系统先完成3件事：

①将所有的实参、返回地址等信息传递给被调用函数保存。

②为被调用函数的局部变量分配存储区；

③将控制转移到被调用函数的入口。

从被调用函数返回调用函数前，系统也应完成3件事：

①保存被调用函数的结果；

②释放被调用函数的数据区；

③依照被调用函数保存的返回地址将控制转移到调用函数。

当有多个函数构成嵌套调用时，按照“后调用先返回”的原则（LIFO），上述函数之间的信息传递和控制转移必须通过“栈”来实现，即系统将整个程序运行时所需的数据空间安排在一个栈中，每当调用一个函数时，就为其在栈顶分配一个存储区，每当从一个函数退出时，就释放其存储区，因此当前运行函数的数据区必在栈

顶。堆栈特点：LIFO，除非转移或中断，堆栈内容的存或取表现出线性表列的性质。正是如此，程序不要求跟踪当前进入堆栈的真实单元，而只要用一个具有自动递增或自动递减功能的堆栈计数器，便可正确指出最后一次信息在堆栈中存放的地址。

一个递归函数的运行过程类型于多个函数的嵌套调用，只是调用函数和被调用函数是同一个函数。因此，和每次调用相关的一个重要的概念是递归函数运行的“层次”。假设调用该递归函数的主函数为第0层，则从主函数调用递归函数为进入第1层；从第i层递归调用本函数为进入下一层，即i＋1层。反之，退出第i层递归应返回至上一层，即i－1层。为了保证递归函数正确执行，系统需设立一个“递归工作栈”，作为整个递归函数运行期间使用的数据存储区。每一层递归所需信息构成一个“工作记录”，其中包括所有实参、所有局部变量以及上一层的返回地址。每进入一层递归，就产生一个新的工作记录压入栈顶。每退出一层递归，就从栈顶弹出一个工作记录，则当前执行层的工作记录必是递归工作栈栈顶的工作记录，称这个记录为“活动记录”，并称指示活动记录的栈顶指针为“当前环境指针”。

2）Hanoi塔问题递归程序的复杂度分析

① 运行hanoi程序的时间

程序 hanoi.c 在硬件环境为赛扬 400MHz、内存128M的计算平台（不同机器运行时间有一定差别）运行，可得出如下时间结果：

盘子数时间结果

<=12个 <=1秒

14个 2秒

16个 13秒

20个 204秒

② 时间复杂度

程序所花时间正比于所输出的信息行数目，而信息行的数目则等价于盘子的移动次数。考察程序，设盘子移动次数为moves（n），则：

moves(n)=

用迭代方法计算公式，得到结果moves(n)=2n-1。因此，hanoi函数的时间复杂度为O(2 n) 。

③ 空间复杂度

从每个塔上移走盘子时是按照LIFO进行，因此可以把每个塔表示成一个堆栈。3座塔在任何时候总共拥有的盘子都是n个。如果使用链表形式的堆栈，只需申请n个元素所需要的空间。如果使用的是基于公式化描述的堆栈，塔1和塔2的容量都必须是n，而塔3的容量是n－1，因此所需要的空间总数为3n－1。

Hanoi塔问题的复杂性是以n为指数的函数，因此在可以接受的范围内，只能解决n值比较小（n<=30）的hanoi问题。对于这个较小的n值，堆栈在空间需求上的差别相当小，可以随意使用。

7、结论

通过对上述递归在Hanoi塔问题上的应用分析，我们可以得出如下结论：

1、递归调用过程中，在程序执行之前无法知道控制这种调用栈的规模，因为这一规模取决于递归调用的次序。在这种情况下，程序的地址空间可能动态变化；

2、递归应用于程序设计时，结构清晰、程序易读，编制和调试程序很方便，不需要用户自行管理递归工作栈。但递归应用于计算机时需要占用大量系统资源（包括堆栈、软中断和存贮空间等），并消耗大量处理时间。因此，可以考虑采用并行计算进行处理，但

3、递归是串行的，其第n步运算依赖于第n-1步运算，所以在计算机软件理论上不存在递归问题并行计算的可能性。实际上是否存在并行递归计算有待进一步探讨。

8、总结