2014秋涟水进修学校西大2015年0088《数学分析选讲》作业解答

0088《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误

1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确 （正确）

2. 函数()2cos 1f x x =-为(,)-∞+∞上的有界函数 （正确）. 3．函数()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数. （正确）

4. 若数列{}n a 收敛，则数列2

{}n a 也收敛. （正确）

5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 不一定收敛. （正确） 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. （正确） 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. （错误） 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确） 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定有定义.

二、选择题

1．设⎩⎨⎧>-≤+=1

,31,1)(x x x x x f , 则 5

[()]2f f =( A )

A

23 ； B 25 ； C 29

； D 2

1-

2．设函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩

为有理数

为无理数 ， 则

(0)f f -=（ A ）．

A 1- ；

B 1 ；

C 0 ； D

1

2

3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；

C 必定有无穷多个 ；

D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）．

A 收敛；

B 发散；

C 是无穷大；

D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ C ）

A 数列}{n x 收敛；

B a x n n =∞

→lim ；

C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；

D a x n n -=∞

→lim ；

6．已知 2

lim(

)01

x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（B ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D

1,1-=-=b a

三、计算题

1．求极限 9020

70)

15()58()63(lim --++∞→x x x x . 解 1、90

20

709020

7090

2070583155863lim )15()58()63(lim

⋅=⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=--++∞

→+∞→x x x x x x x x

2

．求极限0

x →

x x →→=0sin 24lim x x x →=0sin 24lim 282x x x →=⋅=. 3．

求极限2

n

n

→∞

++

+

.

解：因2

n

≤+≤

+

1n n

==， 故 2

1n n →∞

+

++

=+.

4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x

x

x

x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 当0x <时，有221

()lim lim 11

x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.

而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪

===⎨⎪>⎩

。所以0是f 的跳跃间断点.

四、证明题

设a a n n =∞

→lim ，b b n n =∞

→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有

n n b a <.

证 由b a <，有b b a a <+<

2. 因为2

lim b

a a a n n +<

=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。 又因为2

lim b

a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得

当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b b

a a <+<2

.

《数学分析选讲》 第二次作业 一、判断下列命题的正误

1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在. （ 正确）

2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一致连续．（ 正确） 3．若函数)(x f 在0x 处有定义，则)(x f 在0x 处一定连续. （错误 ）

4. 若()f x 在[,]a b 上有定义，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ=（错误 ）

5. 初等函数在其定义区间上连续. （ 正确） 6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. （ 正确） 7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根. （ 正确）

二、选择题

1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞

→lim 的定义等价（ A ）

A )1,0(∈∀ε，0>∃N ，N n ≥∀，ε≤-||A a n ；

B 对无穷多个0>ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||A a n ；

C 0>∀ε，0>∃N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；

D 0>∀ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内

2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当X x -<时，M x f -<)(，则（A ） A -∞=-∞

→)(lim x f x ； B -∞=∞

→)(lim x f x ； C ∞=-∞

→)(lim x f x ； D ∞=+∞

→)(lim x f x