数学期望优秀PPT

即A 应获得赌金的 3 , 4
而
B
1
只能获得赌金的4
.
因此, A 能“期望”得到的数
为
200 3 0 1 150 (法郎),
44
而B 能“期望”得到的数目则
为
200 1 0 3 50(法郎).
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0
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若设随机变量 X 为:在 A胜2局B胜1局的前提下 , 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
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二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
0
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1、离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P{ X xk } pk , k 1,2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即
E( X ) xk pk .
k 1
0
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2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
0
杨敏
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
0
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示
数学期望又称期望或均值,是随机变量
按概率的加权平均,表征其概率分布的中心
位置。数学期望是概率论早期发展中就已
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即
( X ) xf (x)dx
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关于定义的几点说明：
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一 种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本 质上体现了随机变量 X 取可能值的真正 的平均值, 也称均值.
设头等奖1个， 奖金 1万元, 二等奖2个，奖金各 5 千元；三等奖 10个， 奖金各1千元； 四等奖 100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各 10 元。每张彩票的成本费为 0.3 元， 请计算彩 票发行单位的创收利润。
分析：设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
产生的一个概念。当时研究的概率问题大
多与赌博有关。
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一、数学期望的起源
引例 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100法郎,并约定先胜三局者 为胜, 取得全部 200 法郎.由于出 现意外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博, 如果要分 赌金,该如何分配才算公平?
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分析：
很容易设想出以下两种分法：
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
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既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
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假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
100000 1.2 120000(元).
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实例3 投资决策问题
某人现有10万元现金，想投资 于某项目，预估成功的机会为 30%， 可得利润8万元 ， 失败的机会为70% ，将损失 2 万元。若存入银行，同期 间的利率为5% ，问是否作此项投资?
分析：设 X 为投资利润，则
X8 p 0.3
2 0.7
(2) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
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X1 2 假设
p 0.02 0.98
则随机变量 X 的算术平均值为1 2 1.5,
而其数学期望为：
2
E( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
•
• • ••
x
O
1
2
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.
当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X
问哪个射手技术比较好?
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分析：
设甲乙两射手射中的环数分别为：X1, X2 故有：
E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
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实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元。
BB
A胜B负 A胜B负
A胜B负 B胜A负
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局B胜1局)与上述结果 相结合, 即 A、B 赌完五局,
前三局: A 胜 2 局 B 胜 1 局
后二局: A A A B B A BB
A胜
B胜
0
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故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 3 : 1,
的期望值与算术平均值相等.
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三、数学期望的应用
数学期望反映了离散型随机变量取 值的平均水平，在社会生活中存在着广 泛的应用。
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实例1 谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
0
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 105 1000 105 p0
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每张彩票平均能得到奖金
1
2
E( X ) 10000 105 5000 105 0 p0
0.5(元),
每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
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分析:
设这个人一次购物得奖金X元，X的分布 列为：
X 500 100
10
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p 1 105 10 105 102 105 103 105 0
0
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X的数学期望为：
( X ) 500 1/105 100 10 /105 10 102 /105 2103 /105 0 0 0.045（元）
E(X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元)
存入银行的利息: 10 5% 0.5(万元)
0
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实例4 有奖促销决策问题
某商场某月开展有奖促销活动，按规定 100000人次中，一等奖1个，奖金500元；二 等奖10个，各奖100元；三等奖100个，各奖 10元；四等奖1000个，各奖2元。某人这个月 内在该商场买了5次商品，他期望得奖多少元?