数学期望

常见离散型分布的期望: （1）二项分布 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k n k P{ X k } p (1 p) , (k 0,1,2,, n), k 0 p 1 . n 则有 E ( X ) k P{ X k }
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p)]
n1
=np
两点分布b(1,p)的数学期望为 p.
(2) 泊松分布
设 X ~ ( ), 且分布律为 k
k 1

例5 设随机变量 X的分布律为
X p
2 13 0 1 3 1 2 1 12 1 12
求: E( X ). 解:
1 1 3 1 1 3 3 E ( X ) ( 2 ) 0 1 3 5 3 2 12 12
3 3
3
（2） 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f(x) 则
1 . 15
p
( X ,Y )
0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 (1,1) (1,0 ) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1)
2
0 .2
4
(X Y )
1
0
9
1
9
4
得 E[( X Y )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4
（3） 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 σ ( x μ )2 2σ 2
, σ 0, x .
则有
x μ 令 t σ
E ( X ) xf ( x ) d x ( x μ )2 1 2σ 2 x e dx 2σ
附 ： 函 数 ( s )
0
x e dx , (s 0)
0
s 1 x
或 ( s ) 2
x
2 s 1 x 2
e
dx ,
递推公式： ( s 1) s( s ) 一 般 地 (n 1) n（ ! n为 正 整 数 ） 1 (2) 1, (1) 1, （ ) 2 另外
E ( X ) k q k 1 p p k q k 1 p (q k )
k 1 k 1
k 1

k 1
q 1 1 ) p p( q ) p( 2 1 q (1 q ) p k 1
k

2.连续型随机变量数学期望的定义 定义1.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ),
E[ g( X )] g( x ) f ( x ) d x.


X ~ N（0， 1） ， 求 随 机 变 量 例6 已 知 随 机 变 量 Y X 2的 数 学 期 望 解 E(Y) E(X ) x
2 2
1 e 2
x2 2
dx 1
(教材P106例1.9，请记住结论!)
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值 , 3 1 200 0 150(元 ). 等于 4 4 即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 命中次数 nk
第一节 数学期望
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、小结
1.1
数学期望的概念
引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
dt
可见, N ( , )中的正是它的数学期望。
注意：不是所有的随机变量都有数学期望
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为 1 f ( x) , x 2 (1 x )
| x| 发散 | x | f ( x ) dx dx 2 (1 x )

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x μ σ t,
所以
1 E( X ) x e 2σ

( x μ )2 2σ 2
dx
1 ( μ σt )e 2
1 μ e 2
t2 2
t2 2
dt
t2 2
μ.
2
σ dt te 2
设射手命中的环数为随机变量 Y .
nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
5
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定 ? 5 5 值 nk n k k pk n k 0 k 0 随机波动 稳定值
“平均射中环数”等 于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
1. 离散型随机变量的数学期望
分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合, 即 A、B 赌完五局,
前三局 : 后二局: A胜 2 局 B 胜 1 局 AA AB A胜 BA BB B胜
故有, 在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,

但
它的数学期望不存在!
1.2 随机变量函数的数学期望
1. 一维随机变量函数的数学期望 （1） 离散型随机变量函数的数学期望 若X为离散型随机变量，分布律为
P{ X xk } pk , ( k 1,2,),
Y=g(X)为X的函数 则Y的期望为
E[ g( X )] g( xk ) pk .
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
4 20
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
10 90
20 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 nk 3.37. k n k 0
n k n k k p (1 p) k 0 k
k 0 n
kn! p k (1 p)n k k 0 k !( n k )!
np( n 1)! p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
则有
E ( X ) xf ( x ) d x




0
x e
x
dx
xe
x 0
e
0

x
d x 1/ .
（2） 均匀分布
设 X ~ U (a , b), 其概率密度为 1 , a x b, f ( x) b a 其 它. 0, b 1 则有 E ( X ) xf ( x ) d x xd x aba 1 (a b ). 2 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随
可能值的排列次序而改变. (3) 由定义可知，取值非负的随机变量的数学期 望必定非负.
分赌本问题
A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
射击问题
3 1 E ( X ) 200 0 150(元 ). 4 4
“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期 望 E (Y ) 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
5.
(教材P124-(B)-第2题/习题课教程P98例8） 例8 设X ～ N(0,1),Y ～ N(0,1), X 与Y相互独立, 求 E ( X 2 Y 2 ). 解: E ( X 2 Y 2 )



e
x2
dx 称为 概率积分。
2. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X , Y 为离散型随机变量, g( x , y ) 为二元函 数, 则 E [ g( X , Y )] g( x i , y j ) pij .
i 1 j 1
其中 ( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
由于
p
0 .2
0 .1
0 .1
0 .1
0 .1 0 . 3
0 .1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) Y X 1 0 1 1 2 1 2 0 1 3 于是
1 1 1 Y E 1 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0 0.3 0.1 2 2 3 X
若积分



x f ( x ) d x绝 对 收 敛 ,则 称 积 分



x f ( x) d x 的 值 为 随 机 变 量 X 的数学期望 ,

记 为 E ( X ). 即E ( X ) x f ( x ) d x .
常见连续型分布的数学期望: （1） 指数分布
设 随 机 变 量X 服 从 指 数 分 布 ,其 概 率 密 度 为 e x , f ( x) 0, x 0, x 0. 其 中 0.
P{ X k }

k!
e , k 0,1,2,, 0.
k
则有
E( X ) k
k 0

k!
e e
k 1

k 1
( k 1)!

e

e .

(3) 几何分布 设随机变量 X的分布律为
P{ X k } q p, q 1 p; k 1,2,; 0 p 1
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量 , g( x, y ) 为二元函 数, 则 E[ g( X , Y )]



g( x , y ) f ( x , y ) d x d y .
其中( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y).
(教材P123第9题)
例7 设 ( X , Y ) 的分布律为
A, B 最终获胜的
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P { X xk } pk , k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛 , 则称级数 xk pk
k 1 k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .
k 1
关于定义的几点说明: (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数 各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学
Y X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
2
0.1
求: E( X ), E(Y X ) , E[( X Y ) ].
解: X 的分布律为 X 1 p 0 .4
2
0 .2
3
0 .4
得
E ( X ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2.