高考复习数学期望试题及详解.docx
高考数学期望练习题
高考数学期望练习题
1. 某商场进行抽奖活动，设中奖概率为0.1，未中奖概率为0.9。
若中奖可获得100元奖金，未中奖无奖金。
求该抽奖活动的期望奖金。
2. 一袋中有10个球，其中5个红球，3个蓝球，2个绿球。
随机抽取一个球，求抽到红球的期望次数。
3. 抛一枚均匀硬币5次，求正面朝上次数的期望值。
4. 某工厂生产零件，合格率为90%，不合格率为10%。
若生产100个零件，求合格零件的期望数量。
5. 某彩票每张售价2元，中奖概率为0.01，中奖金额为100元。
若购买10张彩票，求中奖金额的期望值。
6. 某射击运动员射击10次，每次击中目标的概率为0.5，未击中的概率为0.5。
求该运动员击中目标次数的期望值。
7. 某保险公司承保100辆汽车，每辆汽车发生事故的概率为0.05，若发生事故，保险公司需赔偿1000元。
求保险公司赔偿金额的期望值。
8. 某工厂生产一批零件，每个零件合格的概率为0.95，不合格的概率为0.05。
若生产1000个零件，求不合格零件的期望数量。
9. 某商场进行购物满100元抽奖活动，设中奖概率为0.2，未中奖概率为0.8。
若中奖可获得50元代金券，未中奖无奖励。
求该抽奖活动的期望奖励金额。
10. 某彩票每张售价5元，中奖概率为0.001，中奖金额为50000元。
若购买100张彩票，求中奖金额的期望值。
山东省2023届高考考前押题卷数学试题(含解析)
山东省2023届高考考前押题卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．290mB ．420.25mC ．490m 5．定义两个向量u 与v 的向量积u v ⨯是一个向量，它的模方向与u 和v同时垂直，且以,,u v n 的顺序符合右手法则（如图）体ABCD 中，则()AB AD AC ⨯⋅=（ ）A ．42B ．46．已知5458<，设4log 5,a =A ．a c b >>C ．c b a>>A ．8081-B ．1698．已知非零数列{}123,n n n a b a a a a =⋅⋅ ()12n n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⋅⎪⎪⎩⎭的前2023项的和为（ ）A ．12-二、多选题9．甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为B．若甲、乙两组成绩的方差分别为C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差三、填空题15．设20a b >>，则()2212a ab a a b ++-的最小值为16．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,x y a b a b -=>>直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记AF F △的内切圆半径为(1)证明：GC //平面EDB ；(2)若ACG 为等边三角形，点求sin α的最小值．21．已知圆22:4,O x y O +=为坐标原点，点以L 为准线的拋物线恒过点F 为S ．参考答案：【详解】，sin,=⋅⋅AB AD AB ADABD的中心为O，连接COAB，AD⊂平面ABD，故223⨯⨯=，OC=AB【详解】选项，取1CD BB 、的中点分别为对于B 选项，取11B C 中点T ,把直线BET △中，213,BE BT TE ==5252425cos 25226TBE +-∠==⨯，故选项对于C 选项，当球与直四棱柱的上底面和当球与直四棱柱的下底面和4对于D 选项，设四边形1111D C B A 内切圆半径为1111314416,22A B C D S r r =⨯⨯=⨯⨯=由题可知在直四棱柱11ABCD A B C -心P ,如图建系，()(10,0,33,0,2,0P A 此时两球心的距离为31，【详解】由图可知：AB DE FG IJ JK=====AQC，∴30ACB∠=︒，∴BC十三边形的面积为316832⨯=．:83由122AF AF a -=，即1AM F +得122F M F N a -=，即1F E F -记C 点的横坐标为0x ，则(0,0E x 则()002x c c x a +--=，得0x a =（2）设底面圆的圆心为O ，过以O 为坐标原点，,,OA ON OG ()()(0,0,0,1,3,0,1,O B D --因为34AE AG =，所以由34AE =设()2π2cos ,2sin ,003F θθθ⎛≤≤ ⎝设平面BDE 的一个法向量为n ()30,23,0,,3,2DB BE ⎛==- ⎝ ∴2303333022y x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取23cos -4（2）设点()00,P x y ，过点P 的直线的斜率为联立方程组()002244y y k x x x y ⎧-=-⎨+=⎩，消y【点睛】关键点点睛：第二问，设切线方程，联立椭圆方程并整理，根据切线与椭圆的位置关系有Δ0=得到关于切线斜率的一元二次方程，求出直线的方程，利用根与系数的关系得到AB 12,d d ，则()1212PAOB S AB d d =+四边形，结合22．(1)1a <1x ∴>时，()()('0,h x p x h =<在1x =处取得极大值也是最大值存在两条切线重合等价于y =（2）因为12a =，由（1）知，取令()()'22ln 1,e x x x x ϕϕ=--当()0,e x ∈ 时，()'0,x ϕϕ<。
高等教育数学：数学期望例题解析
数学期望一射手进行打靶练习，规定射入区域2e （图4-1）得2分，射人区域1e 得1分，脱靶，即射人区域0e ，得O 分，射手一次射击得分数X 是一个随机变量．设X 的分布律为 P{X=k}=k p ，k=0，1，2．现在射击N 次，其中得0分的有0a 次，得1分的有1a 次，得2分的有2a 次，0a +1a +2a =N ．他射击N 次得分的总和为0a ×0+1a ×1+2a ×2．于是平均一次射击的得分数为=⨯+⨯+⨯Na a a 210210Na kkk ∑=2. 这里，N a k /是事件{X=k}的频率．在第五章将会讲到，当N 很大时，N a k /在一 定意义下接近于事件{X=k}的概率k p 量，就是说，在试验次数很大时，随机变量 X 的观察值的算术平均∑=2k k N ak/在一定意义下接近于∑=20k k k p ，我们称∑=2k k k p 为随机变量X 的数学期望或均值．一般，有以下的定义，定义 设离散型随机变量X 的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…．若级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k kp x的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=∑∞=1k k kp x. (1.1)设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分dx x f x )(-⎰∞∞绝对收敛，则称积分dx x f x )(-⎰∞∞的值为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=dx x f x )(-⎰∞∞． (1.2)数学期望简称期望，又称为均值．数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定，若X 服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望．例l 某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X 是一个随机变量．据以往的资料表明X试求X 的数学期望E(X)．解 E(X)=0×0. 002+1×0.001+2×0.002+3×0.005+4×0.02+5×0.04+6×0.18+7×0. 37+8×0.25+9×0.12+10×0.01=7.15（分） 这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如1000个，那么一个新生儿的平均得分约7. 15分，1 000个新生儿共得分约7 1 50分．例2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计）k X ((k=l ，2)服从同一指数分布，其概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,1x x e x θθ.0>θ若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N 的数学期望．解 k X ((k=l ，2)的分布函数为)(x F =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,00,-1x x e x ，θ由第三章§5的(5.12)式N= min{1X ，2X }的分布函数为[]=--=2min )(11)(x F x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,-12x x e x θ因而N 的概率密度为=)(min x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,22x x ex θθ于是N 的数学期望为E(X)==⎰∞∞dx x f x )(min -dx e xx θθ202-∞⎰=2θ. 例3 按规定，某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立．其规律为 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望．在上表中，例如P{X=70}=P(AB)=P(A)P(B)=6361⨯， 其中A 为事件“第一班车在8：10到站’’，B 为“第二班车在9：30到站”．候车时间的数学期望为E(X) =10×63+30×62+50×361+70×363+90×362 =27. 22（分）．例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式．记使用寿命为X （以年计），规定：X ≤1，一台付款1 500元； 1<X ≤2，一台付款2 000元； 2<X ≤3，一台付款2 500元； X>3，一台付款3 000元． 设寿命X 服从指数分布，概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,10110x x ex试求该商店一台这种家用电器收费Y 的数学期望．解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率．即有P{x ≤1} =dx e x 1010101-⎰=1.0-e -1=0.095 2， P{1 <X ≤2} =dx e x 1021101-⎰=2.0-1.0e --e =0. 086 1, P{2<X ≤3}=dx e x 1032101-⎰=3.0-2.0e --e =0. 077 9,P{x>3} =dx e x 103101-∞⎰=3.0-e =0. 740 8.得 E(Y) =2 732. 15，即平均一台收费2732. 15元．例5 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行．(i)将每个人的血分别去验，这就需验N 次．(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这是个人的血液分别进行化验．这样，k 个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．解 各人的血呈阴性反应的概率为q=l-p ．因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为l-k q ．设以k 个人为一组时，组内每人化验的次数为X ，则X 是一个随机变量，其分布律为X 的数学期望为E(x)=k 1k q +（1+k 1）（1-k q ）=1-kq +k1． N 个人平均需化验的次数为N(1-kq +k1)． 由此可知，只要选择k 使1-kq +k1<1， 则N 个人平均需化验的次数<N ．当p 固定时，我们选取k 使得L=1-kq +k1 小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法．例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时，L=1-kq +k1取到最小值．此时得到最好的分组方法．若N=1000，此时以k=4分组，则按第二种方法平均只需化验1000(1-419.04+)=594(次)． 这样平均来说，可以减少40%的工作量．例6 设X ～）（λπ，求E(X)． 解 X 的分布律为}{==k X P 0,,2,1,0,!>=-λλλk k e k ．X 的数学期望为E(x)=∑∞=0k k!k e k λλ-=()∑∞=---11!1k k k eλλλ= λλλe e⋅-=λ，即 E(X)=λ．例7 设X ～U （a ，b ），求E(X)． 解 X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=.,0,1)(其他bx a a b x fX 的数学期望为E(x)=dx x f x )(-⎰∞∞=dx a b x ab⎰-=.2b a + 即数学期望位于区间（a ，b ）的中点．我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，倒如飞机机翼受到压力W=2kV （V 是风速，k>0是常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W 是随机变量V 的函数．这时，可以通过下面的定理来求W 的数学期望．定理 设Y 是随机变量X 的函数：Y=g(X)（g 是连续函数）．(i)如果X 是离散型随机变量，它的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…，若∑∞=1)(k kkp xg 绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=∑∞=1)(k k kp xg ． (1.3)(ii)如果X 是连续型随机变量，它的概率密度为)(x f ，若 dx x f x g )()(⎰∞∞-绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=dx x f x g )()(⎰∞∞- (1.4)定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必算出Y 的分布律或概率密度，而只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，定理的证明超出了本书的范围．我们只对下述特殊情况加以证明．证 设X 是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件． 由第二章§5中的(5.2)式知道随机变量y=g(X)的概率密度为[]⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,)()()('其他，βαx y h y h f y f x Y于是E(Y)=dy y f y Y )(-⎰∞∞=[].)(')(dy y h y h f y x ⎰βα．当)('y h 恒>0时E(Y)= []dy y h y h f y x )(')(⎰βα=dx x f x g )()(⎰∞∞-.当)('y h 恒<0时E(Y)= －[]dy y h y h f y x)(')(⎰βα= －dx x f x g )()(-⎰∞∞=dx x f x g )()(⎰∞∞-.综合上两式，(1.4)式得证．上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况． 例如，设Z 是随机变量X,Y 的函数Z=g(X ，Y)（g 是连续函数），那么，Z 是一个一维随机变量．若二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ，则有E(Y)=E []),(Y X g =dxdy y x f y x g ),(),(⎰⎰∞∞-∞∞-, (1.5)这里设上式右边的积分绝对收敛．又若(X ，Y)为离散型随机变量，其分布律为P{X=i x ,Y=i y )=j i p ,i,j=l,2，．．．，则有E(Z)=E []),(Y X g =),(11j i i j y x g ∑∑∞=∞=j i p ， (1.6)这里设上式右边的级数绝对收敛．例8 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=.,0,0,1)(其他a a f υυ又设飞机机翼受到的正压力w 是V 的函数：W=2kV (k>0，常数)，求w 的数学期望．解 由(1.4)式有E(W)=υυυd f k )(2⎰∞∞-=υυd a k a102⎰=.312ka例9 设随机变量(X ，Y)的概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=.,0,1,1,23),(23其他x x y xy x y x f ．求数学期望E(Y)，E （XY1）． 解 由(1.5)式得 E(Y)=dydx y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-=dydx yx xx31123⎰⎰∞=[]dx y In x xx131123⎰∞=dx x x In 313⎰∞ =∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1223x Inx +dx x ⎰∞13123=43． E （XY1）=dydx y x f xy ),(1⎰⎰∞∞-∞∞-=53233411=⎰⎰∞dy y x dx x x ． 例10 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量．他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失．再者，他们预测销售量Y(件)服从指数分布，其概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤>=,0.0,00,1)(-θθθy y e y f y Y ，问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m ，n ，θ均为已知）?解 设生产x 件，则获利Q 是x 的函数Q=)(x Q =⎩⎨⎧≥<--.,,),(x Y mx x Y Y x n mYQ 是随机变量，它是Y 的函数，其数学期望为E(Q)=dy y Qf Y )(0⎰∞=[]dy e y x n my y xθθ-⎰--1)(0+dy e mx y xθθ-∞⎰1=nx en m n m x -+-+-θθθ)()(．令dxd E(Q)=n en m x -+-θ)(=0 ， 得 nm nIn x +-=θ ．而 22dxd E(Q)= 0)(<+--θθx e n m ， 故知当nm nInx +-=θ时E(Q)取极大值，且可知这也是最大值． 例如，若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>=,0,00,000101)(00010-y y e y f y Y ，且有m=500元，n=2000元，则x =0002500000200010+-In=2 231.4．取x=2231件．例11 某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜．若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人．可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7～11千美元之间均匀分布．问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大（若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下）．解 设321,,X X X 是其他三人的报价，按题意321,,X X X 相互独立，且在区间(7，11)上服从均匀分布，其分布函数为.11,1,117,47,7,0)(≥<≤-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F 以Y 记三人最大出价，即Y=max{321,,X X X }．y 的分布函数为.11,1,117,47,7,0)(3≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F Y 若甲的报价为x ，按题意7≤x ≤10，知甲能赢得这一项目的概率为{}()347⎪⎭⎫⎝⎛-==≤=x x F x Y P p Y (7≤x ≤10)．以G(x)记甲的赚钱数，G(x)足一个随机变量，它的分布律为E[G(x)]= 347⎪⎭⎫⎝⎛-x (10-x)．令[])(x G E dx d =()()[]x x 43774123--=0， 得 x=37/4，x=7（舍去）．又知 []4/3722)(=x x G E dx d <0． 故知当甲的报价为x=37/4千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值．现在来证明数学期望的几个重要性质 ①（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）．1 设C 是常数，则有E(C) =C ．2 设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX) =CE(X)．3 设X ，Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)十E(Y)． 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况．4 设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)．这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况，证1、2由读者自己证明．我们来证3和4．———————————————————① 这里我们只对连续型随机变量的情况加以证明，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情况的证明．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ．其边缘概率密度为)(x f X ，)(y f Y ．由(1.5)式E(X+Y)= dxdy y x f y x ),()(⎰⎰∞∞-∞∞-+=dxdy y x f x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- +dxdy y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-= E(X)十E(Y)．3得证．又若X 和Y 相互独立， E(XY) =dxdy y x yf x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- =dxdy y f x f y x Y X )()(⎰⎰∞∞-∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dy y f y dxx f x Y x )()(= E(X)E(Y)． 4得证．例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）．解 引入随机变量 .10,,2,1,1,0 =⎩⎨⎧=i i i X i 站有人下车，在第站没有人下车，在第易知 .1021X X X X +++= 现在来求E(X)．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为109，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为1-20109⎪⎭⎫⎝⎛，也就是{}==0i X P 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛， {}==1i X P 1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=l ，2， (10)由此E(i X )=1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=1.2， (10)进而 E(X)= ).(1021X X X E +++ =).()()(1021X E X E X E +++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-20109110=8. 784(次) ．本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义．例13 设一电路中电流I(A)与电阻R(Q)是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=.0,30,9h(r),0,10,2)(2其他，其他，r r i i i g 试求电压V-=IR 的均值．解 E(V)=E(IR)= E(I) E(R)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dr r rh di i g i )()(=)(2392303102V dr r di i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰．。
高考数学概率期望练习题
高考数学概率期望练习题
1. 抛掷一枚均匀的硬币3次，求正面朝上次数的期望值。
2. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取3个球，求抽到红球
的期望个数。
3. 某工厂生产的一批产品中，次品率为2%，现在随机抽取100件产品，求至少有2件次品的概率。
4. 一个射手射击10次，每次击中目标的概率为0.5，求击中目标次数的期望值。
5. 某城市的公交车每10分钟发车一次，乘客到达车站的时间是随机的，求乘客等待时间不超过5分钟的概率。
6. 一个骰子连续投掷两次，求两次点数之和为7的概率。
7. 某彩票的中奖率为1/1000，求购买100张彩票至少中一张的概率。
8. 甲、乙两人进行射击比赛，甲每次击中目标的概率为0.6，乙每次
击中目标的概率为0.7，求甲比乙先击中目标的概率。
9. 一个工厂有10台机器，每台机器在一定时间内发生故障的概率为
0.1，求至少有3台机器发生故障的概率。
10. 某学校有100名学生，其中10%的学生近视，求随机抽取5名学生，至少有1名近视的概率。
数学期望练习题及答案
数学期望练习题及答案一、基础题1. 某射手射击10次，命中率为0.6，求射手命中的次数的数学期望。
2. 投掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的次数的数学期望。
3. 一批产品的合格率为0.85，从这批产品中随机抽取10件，求合格产品数量的数学期望。
4. 某人打出租车，每次等车时间服从参数为2的指数分布，求此人等车时间的数学期望。
二、进阶题1. 设随机变量X的分布列为：X=1，2，3，P(X=x)=1/4，1/2，1/4，求X的数学期望。
2. 一批电子元件的寿命X（单位：小时）服从正态分布N(100, 25)，求这批电子元件的平均寿命。
3. 某商店每天销售某种商品的数量X服从泊松分布P(5)，求该商店每天销售这种商品的平均数量。
4. 两个独立随机变量X和Y，X的数学期望为2，方差为3，Y的数学期望为4，方差为5，求随机变量Z=X+Y的数学期望和方差。
三、综合题1. 甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的数学期望。
2. 一位学生参加数学、语文、英语三门考试，数学成绩的数学期望为80分，语文成绩的数学期望为85分，英语成绩的数学期望为90分，求该学生三门课程总成绩的数学期望。
3. 某地区一天的气温X（单位：℃）服从正态分布N(20, 5)，求该地区一天气温超过25℃的概率。
4. 一批产品的重量X（单位：kg）服从正态分布N(50, 2)，求这批产品中重量超过52kg的概率。
四、应用题1. 某通信公司推出一款手机套餐，每月固定费用为50元，通话费用每分钟0.2元，假设用户每月通话时长X服从正态分布N(300, 100)，求用户每月平均通话费用的数学期望。
2. 一家保险公司推出一款车险，每年固定保费为2000元，如果发生事故，保险公司赔偿金额Y服从指数分布λ=0.01，求保险公司从这款车险中获得的平均利润。
3. 某电商平台的日销售额X（单位：万元）服从对数正态分布，其均值μ=5，标准差σ=2，求该电商平台日销售额的数学期望。
新课标高考期望与方差经典高考题
期望与方差1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．5.（20XX年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,+道此次调题工作结束.试题库中现共有n m试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).6.（20XX年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:ξ-,求随机(Ⅲ)用,X Y X Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||变量ξ的分布列与数学期望Eξ.本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ，分布列为说明：n 次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P所以ξ 的分布列为说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +1. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=.。
【理科附加】概率分布与数学期望-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(江苏专版)(Word含解析)
专题7 概率分布与数学期望【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等20182017201620152014 22 概率分布与数学期望一般分布列与数学期望20132012 22 概率分布与数学期望一般分布列与数学期望20112010 22 概率分布与数学期望一般分布列，概率2009【真题展示】1. 【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【答案】（1）（2）0.8192【解析】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．∴X的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4-n 件． 由题设知4n-（4-n ）≥10， 解得n≥又n ∈N ，得n=3，或n=4．所求概率为P=C 43×0.83×0.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．2. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)． 【答案】411． (2) ξ 012P (ξ)411 611 11162()E ξ+=【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有238C对相交棱，因此232128C 834(0)C 6611P ξ⨯====.(2)若两条棱平行，则它们的距离为122的共有6对，故21261(2)C 11P ξ===， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)2)＝4161111111--=， 所以随机变量ξ的分布列是ξ 012P(ξ)411 611 111因此6162()12111111E ξ+=⨯+=3. 【2014江苏，22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. （1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】（1）由题意22243229518C C C P C ++==； （2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===， 313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==， 所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=.【对症下药】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.【考题预测】1．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，根据相互独立时间的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量的可能取值为，求得随机变量取每个值的概率，得到随机变量的分布列，利用公式求解数学期望即可.【详解】（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，，则，，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为．（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以的概率分布为故．【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的计算和随机变量的分布列和数学期望，其中认真审题，准去判断，根据相互独立事件的概率计算公式得到随机变量的分布列，是解答关键，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.2．从集合的所有非空子集中，等可能地取出个．（1）若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．【答案】(1) .(2) 分布列见解析，.【解析】分析：（1）集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，由古典概型概率公式可得结果；（2）当时，的所有可能取值为，由组合知识，利用古典概型概率公式可得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.3．已知正六棱锥的底面边长为，高为．现从该棱锥的个顶点中随机选取个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求的分布列，并求其数学期望．【答案】(1) .(2)分布列见解析，.【解析】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．详解：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.4．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为.(I)求随机变量的概率分布及数学期望；(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】分析：（1）由题意得到的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可得出答案；（2）设，，则则，，再把、……、用表示，得到，从而说明为等比数列，由等比数列的通项公式得答案.解析：(1)由题意可知.当时，即二次摸球均摸到红球，其概率是；当时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率；当时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.所以随机变量的概率分布如下表：(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望.(Ⅱ)设，.则，.，，，，，.所以，..由此可知，.又，所以.点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．5．如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由古典概型的概率计算公式，能求出取出的三角形的面积S＝的概率；（2）由题设条S的所有可能取值为为，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望．详解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝)＝＝.（2）S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝)＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P(S＝)＝＝.又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为SP所以E(S)＝×＋×＋×＝.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．6．某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响．（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率（结果用分数表示）；（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求的分布列及数学期望（结果用分数表示）．【答案】（1）0.384；（2）见解析【解析】【分析】(1)先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）设为该运动员在3次投篮中投进的次数，则. 在3次投篮中，恰有2次投进的概率;（2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.,;;;.所以的分布列是0 1 2 3 6P 0. 008 0.096 0.128 0.256 0.512.7．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．【答案】(1) ,(2)【解析】分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值. （2）先计算出a,b的值再求的数学期望．详解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.8．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中， 至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ 【答案】(1)1116(2)见解析 【解析】试题分析：（1）根据卡片上分别标有数﹣i ，i ，﹣2，2其中i 是虚数单位，可求P （A ），利用对立事件的概率公式，可求P （B ）；（2）确定随机变量ξ=|a•b|的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望Eξ． 试题解析：（1）∵卡片上分别标有数﹣i ，i ，﹣2，2其中i 是虚数单位， ∴P （A ）=24=12， P （B ）=1﹣P （B ）=1﹣[00413441111()()()2222C C ⋅⋅+⋅⋅]=1﹣516=1116（2）a ，b ，ξ的可能取值如下表所示：由表可知：P （ξ=1）=416=14，P （ξ=2）=816=12，P （ξ=4）=416=14∴随机变量ξ的分布列为∴Eξ=1×14+2×12+4×14=949．某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出其对立事件（该公司在星期四最多有一辆汽车出车）的概率，则所求概率 .（2）的可能值为0，1，2，3，4，分别求出即可得的分布列和数学期望.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.10．在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率；（2）求的概率分布及数学期望．【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．∴．（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．则，，，．∴的概率分布列为：X300 400 500 600 700 P∴（元）．。
高考总复习数学期望和方差
科 教学设计高中数学离散型随机变量的期望方差习题及详解一、选择题1．(全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 [答案] B2．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19C.23D.59 [答案] D3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )A ．100人B ．125人C ．150人D ．200人 [答案] C5．(模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2 [答案] A6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元 D.1003元 7．(广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )A ．450元B ．900元C ．600元D ．675元 [答案] D8．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256 B.9256 C.247256 D.764 [答案] C9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.13B.12C.112D.16 [答案] C 二、填空题11．(如图，A 、B 两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．[答案]42512．(江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X 1、X 2的分布列分别如下：X 1 0 1 2 3 P0.40.40.10.1X 2 0 1 2 P0.30.50.2两台机床中，较好的是________． [答案] Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)13．(南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．(1)袋中原有白球的个数为________． (2)随机变量X 的数学期望E (X )＝________. [答案] (1)6 (2)10714．(高考调研)如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.[答案] 0 三、解答题15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．16．(2010·新乡市调研)高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； (2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；(3)求3位同学中，选择选修课程A 的人数ξ的分布列与数学期望．17．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)．(1)若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望.。
数学期望练习题及答案
数学期望练习题及答案一、选择题1. 某工厂生产零件，每个零件合格的概率为0.8，求生产5个零件中恰好有3个合格的概率是多少？A. 0.0512B. 0.4096C. 0.5120D. 0.20482. 某公司员工的月工资服从正态分布，平均月工资为5000元，标准差为1000元。
求员工月工资超过6000元的概率是多少？A. 0.1587B. 0.5012C. 0.8413D. 0.31733. 抛一枚均匀的硬币，求连续抛掷5次恰好出现3次正面的概率是多少？A. 0.3125B. 0.5000C. 0.1875D. 0.0625二、填空题4. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，求X的数学期望E(X)为______。
5. 某随机变量Y服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=100，σ=15，求Y的数学期望E(Y)为______。
三、解答题6. 某彩票每注售价1元，中奖概率为0.01，奖金总额为10000元。
假设有1000人购买彩票，求中奖者平均获得的奖金是多少？7. 某工厂生产零件，每个零件合格的概率为0.9，不合格的零件需要返工，返工后合格的概率为0.5。
求一个零件最终合格的概率。
8. 某公司员工的月工资服从正态分布，平均月工资为3000元，标准差为500元。
求员工月工资在2000元到4000元之间的概率。
答案：1. B2. A3. C4. 35. 1006. 解：设中奖者获得的奖金为X，由题意知X的数学期望为E(X)=10000*0.01=100元。
因为1000人购买彩票，所以中奖者平均获得的奖金为E(X)/1000=10元。
7. 解：设零件第一次不合格为事件A，返工后合格为事件B。
根据题意，P(A)=0.1，P(B|A)=0.5。
要求的是一个零件最终合格的概率，即1-P(A)*P(B|A)=1-0.1*0.5=0.95。
8. 解：根据正态分布的性质，员工月工资在平均值一个标准差范围内的概率约为68.27%。
高中数学期望试题及答案
高中数学期望试题及答案一、选择题1. 设随机变量X的分布列为：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5，则E(X)=（）。
A. 1.4B. 2C. 3D. 42. 某射击运动员射击一次命中10环的概率为0.7，射击一次命中9环的概率为0.2，射击一次命中8环的概率为0.1，则该运动员射击一次的期望环数为（）。
A. 9.5B. 9.3C. 9.2D. 9.13. 一个袋中有5个球，其中3个红球，2个白球。
从袋中随机取出2个球，设取出的红球数为X，则E(X)=（）。
A. 1B. 1.2C. 1.4D. 1.6二、填空题4. 设随机变量X服从二项分布B(3, 0.5)，则E(X)=____。
5. 一个工厂生产的某种零件寿命服从正态分布N(100, 9)，那么该零件寿命的期望值是____。
三、解答题6. 某工厂生产一种零件，其寿命（以小时计）服从正态分布N(500, 100)。
若该零件寿命超过600小时，则认为合格。
试求该零件的合格率。
7. 一袋中有10个球，其中5个红球，3个白球，2个黑球。
从袋中随机取出3个球，设取出的红球数为X，求E(X)。
四、答案1. 答案：A解析：根据期望的定义，E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=1.4。
2. 答案：A解析：根据期望的定义，E(X)=10×0.7+9×0.2+8×0.1=9.5。
3. 答案：B解析：根据超几何分布的期望公式，E(X)=5×2/5=2。
4. 答案：1.5解析：根据二项分布的期望公式，E(X)=np=3×0.5=1.5。
5. 答案：100解析：根据正态分布的期望公式，E(X)=μ=100。
6. 答案：0.9772解析：根据正态分布的性质，P(X>600)=1-P(X≤600)=1-Φ((600-500)/√100)=1-Φ(1)=0.9772，其中Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2【答案】B【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.2.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．【答案】（1）（2）X的分布列为X0100030006000∴X的数学期望E(X)＝2160，【解析】(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1＝()2×(＋×)＝．则P1(2)X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝＋×＝，P(X＝1000)＝()2×(＋×)＝，P(X＝3000)＝()2×()2×[()2＋×()2×2]＝，P(X＝6000)＝()2×()2×[()2＋ ()2×]＝，∴X的分布列为∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160．3.甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝×＝．故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．4.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．0123【答案】【解析】∵a＝××＋××＋××＝，b＝××＋××＋××＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．5.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；3（2）详见解析【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示概率，概率和为1，则可求得。
高考复习数学期望试题及详解
1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A.65 B.65C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2. 答案 D2．已知X 的分布列为X －1 0 1P 12 13 16设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为(A.73B ．4C ．－1D ．1 解析E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案 A3．(2010·湖北)ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望E (ξ)＝8.9A ．0.4B ．0.6C ．0.7D ．0.9 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧n ＝8，p ＝0.2.答案 A5．(2010·上海)随机变量ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15该随机变量ξ的均值是解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________.解析 ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370；P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案 347．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125.答案 125考向一 离散型随机变量的期望和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875，P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的分布列为X 0 1 2 3P 325 25 2875 875Y 的分布列为Y 3 2 1 0P 325 25 2878 875(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×5＋0×25＝15；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.2.广东17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.2.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．3.（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．【答案】【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：4.已知离散型随机变量ξ1的概率分布为离散型随机变量ξ2的概率分布为求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．【答案】4；4；0.2.【解析】E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2.E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2.5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)＝________．【答案】【解析】用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.6.为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差σ(ξ)为.(1)求n、p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．【答案】（1）n＝6，p＝，（2）【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝，ξ的分布列为(2)记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝.7.甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.【答案】（1）0.18；（2）详见解析.【解析】本题主要考查二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由题意分析，“甲乙二人共命中”共有2种情况：一种是甲射击2次中一次、乙没中，一种情况是甲射击2次都没中、乙中一次；第二问，由题意分析：甲乙射击是否命中有以下几种情况：1.甲2次都没中、乙没中，2.甲2次都没中、乙中一次，3.甲2次中一次、乙没中，4.甲2次中1次、乙中1次，5.甲2次都中、乙没中，6.甲2次都中、乙中一次，共6种情况，所以得分情况分别为0分、5分、10分、15分、20分，共5种情况，分别与上述情况相对应，求出每一种情况的概率，列出分布列，再利用计算数学期望.试题解析：（1）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则P(A)＝0.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． 4分（2）X的可能取值为0，5，10，15，20．P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．X的分布列为X05101520X的期望为E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． 12分【考点】二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望.8.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）乙、丙有且只有一个人应聘成功分为乙成功且丙不成功和乙不成功且丙成功两种情况，根据相互独立事件有一个发生的概率公式列出关于t的方程，解之即可.（2）写出随机变量的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列出分布列，求出E（）的表达式，由于=2时概率最大，可得，，，而0<t<2，解得，即得E（）的取值范围..试题解析：（1）由题意得，解得. 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3；；；.故的分布列为：7分. 8分由题意得：，，，又因为所以解得的取值范围是. 11分. 12分【考点】1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列和数学期望.9.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．【答案】1.6【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.10.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：81240328（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为（Ⅱ）（i）（ii）所以的分布列为：1509030-30【解析】（Ⅰ）用频率估计概率值;（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。
理科数学数学期望练习题
理科数学数学期望练习题
1. 定义随机变量X，其可能的取值为1, 2, 3, 4，对应的概率分别为0.1, 0.2, 0.3, 0.4。
求X的数学期望E(X)。
2. 假设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5。
计算Y 的数学期望E(Y)。
3. 一个骰子被投掷两次，设随机变量Z为两次投掷结果的和。
求Z的
数学期望E(Z)。
4. 某工厂生产的产品合格率为0.95，不合格率为0.05。
设随机变量W 表示检查100件产品中不合格产品的数量。
求W的数学期望E(W)。
5. 考虑一个几何分布的随机变量U，其成功概率为p=0.3。
计算U的
数学期望E(U)。
6. 随机变量V表示从1到10中随机选择一个整数，求V的数学期望
E(V)。
7. 一批产品中有5%是次品。
如果随机抽取100件产品，设随机变量T
表示其中次品的数量。
求T的数学期望E(T)。
8. 某彩票的中奖概率为0.01，未中奖概率为0.99。
设随机变量S表
示购买100张彩票中奖的次数。
求S的数学期望E(S)。
9. 随机变量Q表示抛掷一枚公平硬币直到第一次出现正面所需的次数。
求Q的数学期望E(Q)。
10. 某银行账户的日利率为0.05%，设随机变量R表示账户余额在一年内增长的期望值，假设初始余额为1000元。
求R的数学期望E(R)。
高中数学期望试题及答案
高中数学期望试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5，那么E(X)等于多少？A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A2. 随机变量X的期望值E(X)是2，方差Var(X)是4，求E(2X+1)。
A. 5B. 6C. 9D. 11答案：B3. 抛一枚公平的六面骰子，随机变量X表示骰子朝上的点数，求E(X)。
A. 3B. 3.5C. 4D. 5答案：B4. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，求E(X)。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，且E(X)=5，a=2，则b等于________。
答案：86. 随机变量X的期望值E(X)是3，若随机变量Y=3X-2，则E(Y)等于________。
答案：77. 抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.6，反面朝上的概率为0.4，随机变量X表示硬币正面朝上的次数，若抛掷两次，则E(X)等于________。
答案：1.28. 随机变量X服从泊松分布P(λ)，若E(X)=4，则λ等于________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知随机变量X服从指数分布，参数λ=2，求E(X)。
答案：E(X) = 1/λ = 1/210. 抛掷一个骰子三次，随机变量X表示三次抛掷中朝上的点数之和，求E(X)。
答案：E(X) = 3 * (1+2+3+4+5+6)/6 = 15.511. 随机变量X表示一个学生在一次考试中的得分，假设X服从正态分布N(70, 20^2)，求E(X)。
答案：E(X) = 7012. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，不放回地再抽取第二个球，随机变量X表示两次抽取中红球的个数，求E(X)。
答案：E(X) = (5/8) + (3/8) * (4/7) = 47/5613. 随机变量X表示一个工厂生产的零件重量，假设X服从正态分布N(μ, σ^2)，已知E(X)=10kg，Var(X)=4kg^2，求μ和σ。
高考数学期望,二项分布大题
1.（09年福建高考）（13分）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。
（1） 记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； （2） 记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ2．（05年福建高考）（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；3.（08年福建高考）（本小题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。
假设各次考试成绩合格与否均互不影响。
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ.4.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量 2 3 4 频数205030⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.5（本小题满分14分）在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.（Ⅰ）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求ξ的分布列和数学期望．6．（本小题满分12分）三个人进行某项射击活动，在一次射击中甲、乙、丙三人射中目标的概率分别为12、14、13．（1）一次射击后，三人都射中目标的概率是多少？（2）用随机变量ξ表示三个人在一次射击后射中目标的次数与没有射中目标的次数之差的绝对值．求证ξ的取值为1或3，并求3ξ=时的概率7．（本题满分13分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。
专题15分布列、期望与方差-高考数学复习资料.docx
一、选择题1.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量§满足£(1-§) = 4, 2^(1-0=4,则下列说法止确的是A. Ef=-4,Df = 4B. Ef=-3,Df = 3C. Eg =- 4,Df =- 4D.Eg =- 3,DC = 4【答案】D【解析】随机变量F満足-厂=4,巩1 —门=4,则:1_砖=4丄_1円疋=4,据此可得：必=-3,巧=4.本题选择。
选项.2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有尬个红球，“个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，八+ 1个蓝球(m>3,n>3),同时从甲乙两个盒子屮取出迫=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为戸(心").⑴)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为乞(心1忆)则()A. P] > P2'E(§1)V E(§2)B. P I V 卩2疋(§1)> E(§2)C. Pl > 卩2上(§1)> E(§2)D. Pl V 卩2力(§1)V E(§2)【答案】A【解析】根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现mm - l,m + 1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是尬- l,m,m + l,m + 2五种情况，所以分析可以求得內 > 卩2力(§1)< W,故选A.3.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量f的分布列如下:其屮Q, X c成等差数列，贝的最大值为()2 5 2 3A. 3 乩© C. ® D. 4【答案】A【解析】因为b, c成等差数列，・・・2b = e + G・・・ti + b + t? = 1.A b = =扌一亿□ □E^ = ~a+c = ~2a + i则Df的最犬值为扌・本题选择卫选项.4.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量f满足巩1-§) = 4, D(l-()=4,则下列说法正确的是A. Ef=-4,D£ = 4B. Ef=-3,Df = 3C.図=-4,D£ =- 4D. Ef =- 3,Df = 4【答案】D【解析】随机变量§满足-0 = 4, D(l-0 =4f则：1-Ff = 4,(-l)2Df = 4,据此可得：昭=-3必=4.本题选择〃选项.10 V a V —5.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】己知4,随机变量g的分布列如下: g-101P 314—a4a当a增大时，()A. E代)增大，D(2)增大B. E(g)减小，DU)增大C. E(g)增大，D(§)减小D. E(§)减小，D(§)减小【答案】A【解析】由随机变量§的分布列，得应(V =。
新高考数学备考专题离散型随机变量的期望与方差考点真题训练(解析版)
新高考 离散型随机变量的期望与方差 专题训练一、单选题1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆前后继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有A ，B ，C 三个接种点位，每个市民需间隔28天左右完成两针的疫苗接种，每一针都可以随机选择去任何一个点位接种.则该区有接种意愿的人，在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是（ ）A ．15B ．13C ．12D ．23【答案】B 【分析】结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设事件A 为两针疫苗都在A 点位接种，则()111339P A =⨯=，同理在B ，C 点位接种的概率也为19，所以在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是11393P =⨯=.故选：B2．（2021·广东·石门中学模拟预测）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．38【答案】C 【分析】由于抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，进而可得结果. 【详解】因为抛每一个硬币正面朝上的概率均为12，且抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，所以在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为12. 故选：C.3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.4．（2019·浙江·高考真题）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．（2018·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B 【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．6．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．（2017·浙江·高考真题）已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．8．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．将日均课外阅读时间在[]30,60内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（）A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，则这2人恰好是一男一女的概率为5 9C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人【答案】B【分析】利用组中值乘以频率最后作和，求得平均值，可以判断A 项是错误的；根据题中所给的条件，可以判断出合格的同学有80人，根据男生20人，得到女生60人，从而求得不合格男女生人数，利用分层抽样方法，结合概率公式求得B 项是正确的；利用中位数满足的条件，可以确定其为26，可得C 项错误；利用所占比例可求得其人数为3000，得到D 项错误，最终选出正确结果. 【详解】50.25150.1250.25350.3450.06550.0426x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≠，A 错；合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人 不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人 在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人10人中任取两人为一男一女的概率为1155210C C 5C 9P ==，B 对；设中位数为x ，则200.250.10.250.510x -++⨯= ∴2624x =≠，C 错课外阅读合格女生所占全体学生的概率60320010P == 30100003000100⨯=人，D 错． 故选：B ．二、多选题9．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A ．1A 、2A 为对立事件 B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】AB 【分析】只需注意到事件B 是在事件1A 或2A 发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A 正确；当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故D 不正确；14137()21121122P B =⨯+⨯=，故 C 不正确.故选：AB10．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）下列说法正确的有（ ） A ．1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，且()2D X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ≤= 【答案】BD 【分析】A 利用二项分布的方差公式求参数即可；B 根据回归方程直接可判断x 、y 的增量间的影响；C 线性相关性强弱与|r |有关；D 根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】A ：由1~,3XB n ⎛⎫⎪⎝⎭，()12233D X n ==⨯⨯，则，所以9n =，故不正确；B ：若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确；C ：线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，由于正态曲线关于1x =对称，则(1)0.5P ξ≤=，正确． 故选：BD ．11．（2021·湖南长沙·模拟预测）人民日报智慧媒体硏究院在2020智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个､图片b 张()*,,1a b a b ∈>>N ，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（ ） A ．()()()P A P B P C =+ B ．()()()P A P B P C =⋅ C ．()()()P A P BC P BC >+D ．()()P BC P BC < 【答案】BC 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A 错误，B 正确；事件A 包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以()()()()P A P BC P BC P BC =++，则()()()P A P BC P BC >+，所以C 正确；由题可知，111()1a P BC a b ab -⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，111()1b P BC a b ab -⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，因为a ，*b N ∈，1a b >>，所以11a b ab ab-->，即()()P BC P BC >，故D 错误. 故选:BC .12．（2021·全国·模拟预测）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =【答案】BD 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误.易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD.三、填空题13．（2011·广东·一模（理））在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>.若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为_______________. 【答案】0.8 【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】因为正态分布的平均数为1， 所以(12)(01)0.4P P ξξ<<=<<=所以(02)(01)(12)0.8P P P ξξξ<<=<<+<<= 故答案为： 0.814．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.【答案】35【分析】利用条件概率公式即可得到结果. 【详解】设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率()2435C ()3()|C 5n AB P B A n A ===. 故答案为：3516．（2022·重庆·模拟预测）已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,,101aP X n n n n ===⋅⋅⋅+，则实数=a ______．【答案】1110【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，()11()1P X n a n n ==-+， 由分布列的性质得1011111110()[(1)()()]1223101111n a P X n a ===-+-++-==∑，解得1110a =， 所以实数1110a =. 故答案为：1110。
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高考复习考点自测含答案1．(2017·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A.65 B.65C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2. 答案 D2．已知X 的分布列为X －1 0 1P 12 13 16设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.73B ．4C ．－1D ．1 解析E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案 A3．(2017·湖北)ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6， D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧n ＝8，p ＝0.2.答案 A5．(2017·上海)随机变量ξξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15该随机变量ξ的均值是解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2 6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________. 解析 ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370；P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案 347．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125.答案 125考向一 离散型随机变量的期望和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，(1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875，P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的分布列为Y 的分布列为(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×25＝15；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.2.广东17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人， 该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ， 求ξ的数学期望。
【解析】（1）0.0061030.01100.054101010.018x x ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⇔= （2）成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012+⨯⨯=人，其中成绩在90分以上（含90分）的人数为0.0610503⨯⨯=随机变量ξ可取0,1,221129933222121212691(0),(1),(0)112222C C C C P P P C C C ξξξ=========69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=答：（1）0.018x =（2）ξ的数学期望为12考向二 期望与方差性质的应用【例2】►设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，D X －1.[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.D (2X －1)＝4D (X )＝8，D X －1＝D X ＝ 2.【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．一、选择题1．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( ).X 4 a 9 P 0.5 0.1 bA ．5B ．6C ．7D ．8解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a ＝7. 答案 C2．(2017·安徽合肥)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )．A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1解析 由题意得⎩⎨⎧ np ＝2.4，np 1－p ＝1.44，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4.答案 B3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( )． A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析 若两个随机变量η，X 满足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B4．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316则在下列式子中：①E (X )＝－13；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确． 答案 C5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )．A.323B.283C.143D.163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋2 2b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.答案 D。