概率分布与数学期望

例谈离数型随机变量概率分布与数学期望

数学期望=每个个数X 每个它的概率，再相加

从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。

一、定义法求解概率分布与数学期望

定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。

可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。

例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79

． （1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

7

10

．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。

解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球的概率为

9

7

，设其中有X 个白球，我们将至少得到一个白球的事件为A ，则P （A ）=97

，又∵P （A ）=972102

1

1

10=+C C C C x x ，∴

97

2

10

2

1

1

10=+C C C C x x ，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。 （2）记从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ的事件为B ，则P （B i ）=P(ξ=i) i =0,1,2,3

则P （ξ=o ）=12131035=C C ，P （ξ=1）=125

3102

515=C C C ，

P （ξ=2）=1053101

52

5=C C C ，P （ξ=3）=1213

10

3

102

5=C C C

∴ξ的分布列为：

ξ

0 1 2 3

P

121 125 125 12

1

数学期望E ξ=O ×121+1×125+2×125+3×121=2

3

（3）记从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的事件为C ，且其中共有n 个球，其中y 个黑色球。

∴由⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+==-2211)(52n y y

n y c C C C C P n y 变形得P （c ）=

)1(25142524-+n 由

0)

1(25142524107)(≤-+=-n P C , 设袋中有n 个球，其中y 个黑球，x 个白球，z 个红球，由题意得2

5

y n =

，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．则97

22

1

1

=+-n

x x x n C C C C ，

即97)1()1()(2=--+-n n x x x n x ，化简得（视n 为已知）解之得=x

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

-===++x n z n

y n z y x 5152∵x y z n 是数，则n 必为5的倍数；取n =55，则y =22； ∵x z -=33，又33=+z x ，取10=x ，则1=z 所以2y n <，21y n -≤，故

1

12

y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则

23()551y P B n =

+⨯-231755210

+⨯=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n

．

故袋中红球个数最少．

二、公式法求随机变量的概率分布与数学期望

公式法即根据随机事件概率发生的等可能性、互斥性、独立性、等计算公式求随机变量的概率分布与数学期望的方法。

可使用本法求解的离散型随机变量的概率分布与数学期望的高考题，通常会把可能发生的随机事件的基本事件的概率作为已知，考生可用随机事件的可能事件概率公式（m

n A P =

)(），互斥事件公式（)()()()()(321321n n A P A P A P A P A A A A P ++++=++++ΛΛΛΛ）

，独立事件概率公式（)()()()()(321321n n A P A P A P A P A A A A P ••••=••••ΛΛΛΛ）与对立事件概率公式（)(1)(A P A P -=）进行计算。

例2：（08湖南理）（湖南理）（16）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公

司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是1

2

，且面试是否合格互不影响.求：

（1）至少有1人面试合格的概率; （2）签约人数ξ的分布列和数学期望.

分析：本题中每人面试合的概率都是

2

1

，是本题的基本事件，因为每个人的面试合格事件是相互独立互不影响的，所以可用公式法计算随机事件的概率。若每个人面视合格事件记为A ，则其不合格事件为A 的对立事件，记为A ，合格事件概率记为P （A ），对立的事件是面试不合格事件的概率是)(1)(A P A P -=。

解 面试互不影响，甲乙丙三人面试合格事件分别记为A 、B 、C 其不合格事件记为A 、B 、

C ，（与合格对立）用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独

立，且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝

1

2

. （1）至少有1人面试合格的概率是

317

1()1()()()1().28

P ABC P A P B P C -=-=-=

（2）三人参加面试合格与不合格都是等可能的所以，ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++

＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝3

2

3

1

113()()().2

2

2

8

++= (1)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++

=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++