高中数学概率期望与方差 ppt课件
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高中数学离散型随机变量的期望及方差课件
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
(2)∵该同学的得分 η， η＝10ξ＋(5－ξ)×(－1)＝11ξ－5， ∴得分 η 的期望为 Eη＝E(11ξ－5)＝11Eξ－5 ＝11×130－5＝935， 方[思差维D拓η＝展D] (11(1ξ－)当5求)＝随11机2×变D量ξ＝ξ的12期1×望1与90＝方1差291时0.，可首先分析 ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算 量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方 差．
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知nnpp＝1－1.6p，＝1.28， 解得np＝ ＝80， .2. 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A
高三总复习
人教A版 ·数学（理）
离散型随机）
1．离散型随机变量的均值与方差
(1)均值 若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
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人教A版 ·数学（理）
则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.
又Eη＝aEξ＋b，
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人教A版 ·数学（理）
∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴ab＝ ＝2－2 或ab＝ ＝－ 4 2 即为所求．
《数学期望与方差》课件
相关系数的计算公式
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
10-9 期望与方差(共60张PPT)
2个 白 球 和
4个 黑 球 ， 每 次
1 ( ) 采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜 色 不 同 的 概 率 ； 2 ( ) 采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的 个 数 的 均 值 和 方 差 ．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
【解析】 1 ( ) “有放回摸取”可看作独立重复试验，每次 摸 出 一 球 是 白 球 的 概 率 为 记“有 放 回 摸 两 次 ， 颜 色 不 同 4 ＝ . 9 2 ( ) 设 摸 得 白 球 的 个 数 为 X， 则 X的 取 值 为 4 3 2 P(X＝0)＝ × ＝ ， 6 5 5 4 2 2 4 8 P(X＝1)＝ × ＋ × ＝ ， 6 5 6 5 15 2 1 1 P(X＝2)＝ × ＝ . 6 5 15
2
1 1 －3) × ＝ (4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5 5
2
∴D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8， σ(ξ－1)＝ Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
【答案】 11 8 2
课前自助餐
授人以渔
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高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
探究 1 若 ξ 是 随 机 变 量 ， 则
η＝f(ξ)一 般 仍 是 随 机 变 量 ， 在
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
3．常 见 离 散 型 随 机 变 量 1 ( ) 两 点 分 布 ： 若 随 机 变 量
ξ的 期 望 与 方 差 ξ 满足 P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－
p，则 E(ξ)＝p，D(ξ)＝ p(1－p) ． 2 ( ) 二 项 分 布 ： 若 随 机 变 量 ＝np(1－p) ． 3 ( ) 几 何 分 布 ： 若 随 机 变 量
高考数学二轮复习 7.3 概率与离散型随机变量的分布列、期望与方差课件 理
为 为
为
“ 从中取出两个红球 ” 的不同取法数为 C 42 , 2 C3 “ 从中取出两个黄球 ” 的不同取法数为 2 C3 , 2 2 2 C3 C3 C4 2 2 ，其概率 2 “ 从中取出两个白球 ” 的不同取法数为 C10 C10 C10 15 , 所以取出两个同色球的概率为
36 ． 36 2 C10 45 (2)“任取三个小球至少有两个球颜色相同 ” 的对立事件 36 1 为“取出三个球，颜色全不相同 ”，而取出三个球，颜色全 45 5 不相
பைடு நூலகம் 考点二
相互独立事件的概率与离散型随机变量的 分布列
命题规律 高考对相互独立事件同时发生的概率的考查
通常在选择、填空题中独立出现或在解答题中予以体现． ●例 2 我国准备选派 A 、 B 、 C 三地分别独立地参加世 界自然遗产申报．根据综合分析，A地能通过测试的概率 3 2 是 ，A、B、C三地都能通过测试的概率是 ，A、B、C 20 5 3 三地都不能通过测试的概率是 ，且B地通过测试的概率比C 40 地要大． (1)求B、C两地各自通过测试的概率； (2)求测试结束后，申报通过的数目X的数学期望EX． 【分析】可以根据A、B、C三地申报世界自然遗产的独 立性，求出B、C两地各自通过测试的概率．
第 3讲
概率与离散型随机变量的分布列、
期望与方差
重点知识回顾 古典概型的概率计算公式：
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ ． 基本事件的总数
2．互斥事件有一个发生的概率： ①如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2
＋…＋An 发生( 即A1 ，A2 ，…，An中有一个发生 ) 的概率等于
6．数学期望的性质：
(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b； (2)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np； (3)若随机变量ξ服从几何分布，且P(ξ＝k)＝g(k，p)，
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
人教版高中数学选修二离散型随机变量的期望、方差优秀PPT下载
2.若随机变量X满足P（X=c)=1,其中c为 常数，求EX,DX.
思考：
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2
EX2 (EX)2
3. D(的D值) 为_______;
新疆 王新敞
奎屯
4.已知随机变量 的数学期望为 E方 ,差为 D , 随机变量 则E , 的值D为______.
。
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
（2）若 X ~ B(n，, 则p) 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
分2期或3期付款，其利润为250元；
DXnp(1p)
某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
计算探究中两名同学射击成绩的方差：
很接近时，比较DX1和DX2，可以确定哪个随机变量
x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p 2 ··· p i ··· pn
则称 D ( x 1 E ) 2 p 1 ( x i E ) 2 p i ( x n E ) 2 p n
n
(xi E)2 pi 为随机变量x的方差.
i1
称 D 为随机变量x的标准差.
1
P
0.5 1 2q
q2
2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛 规则规定：每题回答正确的100分，回答不正确的100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8， 且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 的数学
期望； （2）求这名同学总得分不为负分的概率。
④根据方差、标准差的定义求出 D X 、 X
小结：
点数的均3值.、能方差熟和标准练差. 地直接运用两个特殊分布的方差公式
思考：
n
DX (xi EX)2 pi i1 E(XEX)2
EX2 (EX)2
3. D(的D值) 为_______;
新疆 王新敞
奎屯
4.已知随机变量 的数学期望为 E方 ,差为 D , 随机变量 则E , 的值D为______.
。
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
（2）若 X ~ B(n，, 则p) 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
分2期或3期付款，其利润为250元；
DXnp(1p)
某商场经销某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
计算探究中两名同学射击成绩的方差：
很接近时，比较DX1和DX2，可以确定哪个随机变量
x1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p 2 ··· p i ··· pn
则称 D ( x 1 E ) 2 p 1 ( x i E ) 2 p i ( x n E ) 2 p n
n
(xi E)2 pi 为随机变量x的方差.
i1
称 D 为随机变量x的标准差.
1
P
0.5 1 2q
q2
2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛 规则规定：每题回答正确的100分，回答不正确的100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8， 且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 的数学
期望； （2）求这名同学总得分不为负分的概率。
④根据方差、标准差的定义求出 D X 、 X
小结：
点数的均3值.、能方差熟和标准练差. 地直接运用两个特殊分布的方差公式
高二数学离散型随机变量的期望与方差PPT精品文档15页
x1 x2 … xn …
P
p1
p2 … pn
…
则称E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为 数学期望，简称期望，也称为平均值、
均值。
例1、商场促销问题 解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
益为 万元，则 的分布列为
10 －4
P 0.6 0.4
E = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
910元
变式：若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元， 为使保险公司收益的期望值不低于a的百 分之七，则保险公司应将最大赔偿金额 定为多少元？
1000 1000－a
P 0.97 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7, 若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)
1
2
3
4
5
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
0.34
E =1.43
课堂小结：
本节课我们讲了一个定义，一个公式
1）E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
2）若 ab ，则 EaE b
（a、b是常数）
； lsbtly/ 墓地 ath63cwb
2)若投中得5分 ,求他得分的期望;
3)若组委会规定,每位运动员以10分为基础,
求他得分的期望。
例4、有一批数量很大的产品，其次品率是15%， 对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果 抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直 到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
数学期望与方差ppt课件
频率 nk n
2 13 15 10 20 30 90 90 90 90 90 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
2
解
平均射中环数
射中靶的总环数 射击次数
0 2 113 2 15 3 10 4 20 5 30 90
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 90 90 90 90 90
P{ X xk } pk , k 1,2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即
E( X ) xk pk .
k 1
5
2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x),
若积分
第一节 数学期望
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结
1
一、数学期望的概念
ห้องสมุดไป่ตู้
引例 射击问题
设某射击手在同样的条
件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下
命中环数 k 0 1 2 3 4 5
命中次数 nk 2 13 15 10 20 30
k
k
4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
E( XY ) E( X )E(Y ).
说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随 机变量数学期望的性质类似.
14
数学期望在医学上的一个应用
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
高中数学离散型随机变量的期望、方差精品ppt课件
(x1-3)2 x2 (x2-3)2
x1
1 2 3 4 4 8 5 4 5 1 5 2 1 2 0 4 1 0 1 1 5 2 1 2
ξ
1 2 3 4
4 1 0 1
0 1 2 4 5 8 1 4 4 2 4 1 P 16 16 16 16 16 16 E(ξ)=3
例4.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2， 3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下 的数字分别为x1，x2，记ξ=(x1-3)2+(x2-3)2． （1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望．
x1=1,2,3,4, x2=1,2,3,4, ξ=(x1-3)2+(x2-3)2
离散型随机变量 的期望与方差
复习：
1. 离散型随机变量X的概率分布为 X P
n
x1 p1
x2 … p2 …
xi … pi …
n
xn pn
2
E ( X ) xi pi
i 1
D( X ) ( xi E ( X )) pi
i 1
2. E (aX b) aEX b
D(aX b) a 2 DX
(2) X ~ B(3,0.9), E ( X ) 3 0.9 2.7, D( X ) 3 0.9 017）（12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买 ”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖 ，中奖概率为六分之一。甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶 该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数 . 1 5 ξ 5 的分布列及数学期望，方差 25 1 1 5 ( I ) P ( A BC ) (II ) ~ B( 3, ), E ( ) , D( ) 6 6 6 216 6 2 12 练2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定： Y 0 1 2 3 每题回答正确的100分，回答不正确的-100分。假设这名同学每题 P 0.008 0.096 0.384 0.512 回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分 X -300 X的数学期望； -100 100 300 （2）求这名同学总得分不为负分的概率。 解：设答对的题数为Y，则Y~B(3，0.8), X=100Y-100(3-Y)=200Y-300 (1)E(Y)=3×0.8=0.24, E(X)=200×2.4-300=180 2 3 (2)P(X≥0)=P(Y ≥1.5)= C3 0.820.2 C3 0.83 0.896
x1
1 2 3 4 4 8 5 4 5 1 5 2 1 2 0 4 1 0 1 1 5 2 1 2
ξ
1 2 3 4
4 1 0 1
0 1 2 4 5 8 1 4 4 2 4 1 P 16 16 16 16 16 16 E(ξ)=3
例4.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2， 3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下 的数字分别为x1，x2，记ξ=(x1-3)2+(x2-3)2． （1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望．
x1=1,2,3,4, x2=1,2,3,4, ξ=(x1-3)2+(x2-3)2
离散型随机变量 的期望与方差
复习：
1. 离散型随机变量X的概率分布为 X P
n
x1 p1
x2 … p2 …
xi … pi …
n
xn pn
2
E ( X ) xi pi
i 1
D( X ) ( xi E ( X )) pi
i 1
2. E (aX b) aEX b
D(aX b) a 2 DX
(2) X ~ B(3,0.9), E ( X ) 3 0.9 2.7, D( X ) 3 0.9 017）（12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买 ”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖 ，中奖概率为六分之一。甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶 该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数 . 1 5 ξ 5 的分布列及数学期望，方差 25 1 1 5 ( I ) P ( A BC ) (II ) ~ B( 3, ), E ( ) , D( ) 6 6 6 216 6 2 12 练2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定： Y 0 1 2 3 每题回答正确的100分，回答不正确的-100分。假设这名同学每题 P 0.008 0.096 0.384 0.512 回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分 X -300 X的数学期望； -100 100 300 （2）求这名同学总得分不为负分的概率。 解：设答对的题数为Y，则Y~B(3，0.8), X=100Y-100(3-Y)=200Y-300 (1)E(Y)=3×0.8=0.24, E(X)=200×2.4-300=180 2 3 (2)P(X≥0)=P(Y ≥1.5)= C3 0.820.2 C3 0.83 0.896
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
回归分析
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
高三数学总体期望与方差PPT优秀课件
2 关于“总体期望值的估计”
总体期望值的计算，在其个体较少时，易 算；但在其个体较多或无限时，难以计算. 这时常通过抽取样本，用样本的算术平均数 来推断总体期望值(总体的算术平均数)，这 种方法称为对“总体期望值的估计”.
3 平均数公式 (1)x=(x1+x2+…+xn) ／n
(2)x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
二 基础探究：
1 总体期望值
总体中所有观察值的总和除以个体总数 所得的商称为总体期望值. 即“总体期望值”为“总体的算术平均值”
总体期望值能反映总体分布中大量数 据向某一方向集中的情况，利用总体期望值 可以对两个总体的差异进行比较.
如：平行班级某一学科的测试分数的 总体期望值的比较，能较好地反映平行 班级这一学科之间的差异.
一 复习回顾
1 统计的基本思想方法是什么？ 用样本去估计总体
2 如何对样本进行分析？ 用样本估计总体大体分为两类：
一类是用样本的平均数、方差等数字特征去估计总体 的相应数字特征； 一类是用样本的频率分布去估计总体分布
3 总体分布的估计的解题步题 (1).计算最大值与最小值的差(极差) (2).决定组距与组数 （组距=极差/组数） (3).决定分点 (4).列出频率分布表 (5).画频率分布直方图
4 平均数： 总体平均数：总体中所有个体的平均数. 它表示总体取值的平均水平 样本平均数：样本中所有个体的平均数 加权平均数：
公式： x=(x1+x2+…+xn) ／n x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
概率论与数理统计数学期望与方差专项PPT课件
9
第9页/共66页
定理：设Y是随机变量X的函数：Y g(X )g是连续函数,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g(xk )pk绝对收敛，则有E(Y ) E[g( X )] g(度为f (x)
服
从
同
一
指
数
分
布，
其
概
率密
度
为
： f (x)
1
e
x
x0
0
若将这2个电子装置串联联接
0
x0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 是
解 ：X k
(k
1,
2)
的分布函数F ( x)
1
e
x
x0
0
x0
串联情况下，N min X1, X2 ,故N的分布函数为：
指 数 分 布 的
密
Fmin (x)
dx
1
x
1 x
2
3 x4
y3
dy
1
3 2x4
[
1 2y2
] |x1
x
dx
3 4
(
1
1 x6
1 x2
)dx
3 4
(
1 5
1)
3 5
考虑：先求E(Y )
yfY
(
y)dy，这里
你算对了吗？哪个更容易呢? 第14页/共66页
fY
(
y)
1 y
y
3 2x3 y2
3 2x3 y2
dx dx
0
2
2
2
sin (0 1) 0.25 sin (11) 0.2 sin (0 2) 0.15
《数学期望与方差》课件
二项分布期望
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望 值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公 式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质 和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方 差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计 算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数 量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定 性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳 定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质 量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通 过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可 以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以 用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异 和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数 时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资 组合的风险和预期收益。通过计算期望 收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据 的集中趋势和离散程度。例如，在计算 平均数和标准差时，期望和方差是重要
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望 值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公 式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质 和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方 差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计 算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数 量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定 性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳 定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质 量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通 过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可 以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以 用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异 和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数 时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资 组合的风险和预期收益。通过计算期望 收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据 的集中趋势和离散程度。例如，在计算 平均数和标准差时，期望和方差是重要
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离散型随机变量的数学期望和方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
x1
x 2 ··· x i
···
P p1
p2 ··· p i
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1 1 1 1 2 2 2 3 3 42 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
加
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X142332412 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
二、性质E(aX b)aEX b D(aXb)a2DX
三、如果随机变量X服从两点分布，
EX p DXp(1p)
四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p）
EX np DXnp(1p)
作业
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测 验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 的期望和方差。
0.33 C310.70.32 C320.720.3 0.73
(2) E 0 0 X . 3 3 1 C 3 1 0 . 7 0 . 3 2 2 C 3 2 0 . 7 2 0 . 3 3 0 . 7 3
EX2.130.7 DX0.63
一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EXnpDXnp(1p)
数学期望与方差的性质
E (aXb)aE Xb D(aXb)a2DX
基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
(1)则Eξ= 2.4
. Dξ = 2.44
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 2、随机变量ξ的分布列是
. Dη = 9.76
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值和方差是多 少？
E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
3
2
1
6
6
6
X1 8 12 4 13 6 12(元 3/k)g 236
一、离散型随机变量的均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
则称 E X x 1 p 1 x 2 p 2 L x i p i L x n p n
解：E1X 14,E 02 0 X 1400 D X 1 4 0 0 0 0 ,D X 2 1 6 0 0 0 0
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单 且 1,则 3 D 117 8
.
课堂小结
一、离散型随机变量的期望和方差
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
D ( x 1 E X ) 2 p 1 X ( x i E ) 2 p i X ( x n E ) 2 p n
何分布,则 E X nM
N
四、应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
则 E X 1 p 0 ( 1 p ) p
DXp(1p)
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望和方差。 解：(1) X～B（3，0.7）
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
D X ( x 1 E X ) 2 p 1 L ( x i E X ) 2 p i L ( x n E X ) 2 p n
为随机变量X的方差。
称
D X 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散与集中，稳定与波动的水平。
2、已 X ～ B 知 (n,p)， E X 8D , X 1.6
则 n10,p0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球
和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红
球次数的数学期望是 3
例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数ξ的分布列；
（2）求ξ的期望和方差。 解： (1) ξ 服从超几何分布
C
0 2
C
3 3
C
3 5
C
1 2
C
2 3
C
3 5
C
2 2
C
1 3
C
3 5
(2)E 0116231.2 D
小结：
10 10 10
一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
x1
x 2 ··· x i
···
P p1
p2 ··· p i
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1 1 1 1 2 2 2 3 3 42 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
加
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X142332412 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
二、性质E(aX b)aEX b D(aXb)a2DX
三、如果随机变量X服从两点分布，
EX p DXp(1p)
四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p）
EX np DXnp(1p)
作业
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测 验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 的期望和方差。
0.33 C310.70.32 C320.720.3 0.73
(2) E 0 0 X . 3 3 1 C 3 1 0 . 7 0 . 3 2 2 C 3 2 0 . 7 2 0 . 3 3 0 . 7 3
EX2.130.7 DX0.63
一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EXnpDXnp(1p)
数学期望与方差的性质
E (aXb)aE Xb D(aXb)a2DX
基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
(1)则Eξ= 2.4
. Dξ = 2.44
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 2、随机变量ξ的分布列是
. Dη = 9.76
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值和方差是多 少？
E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
3
2
1
6
6
6
X1 8 12 4 13 6 12(元 3/k)g 236
一、离散型随机变量的均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
则称 E X x 1 p 1 x 2 p 2 L x i p i L x n p n
解：E1X 14,E 02 0 X 1400 D X 1 4 0 0 0 0 ,D X 2 1 6 0 0 0 0
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单 且 1,则 3 D 117 8
.
课堂小结
一、离散型随机变量的期望和方差
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
E x 1 p 1 X x 2 p 2 x i p i x n p n
D ( x 1 E X ) 2 p 1 X ( x i E ) 2 p i X ( x n E ) 2 p n
何分布,则 E X nM
N
四、应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：E1X 9,E2X 9 D1 X 0 .4 ,D2 X 0 .8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
则 E X 1 p 0 ( 1 p ) p
DXp(1p)
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望和方差。 解：(1) X～B（3，0.7）
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
D X ( x 1 E X ) 2 p 1 L ( x i E X ) 2 p i L ( x n E X ) 2 p n
为随机变量X的方差。
称
D X 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散与集中，稳定与波动的水平。
2、已 X ～ B 知 (n,p)， E X 8D , X 1.6
则 n10,p0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球
和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红
球次数的数学期望是 3
例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中摸出3个球. （1）求得到黄球个数ξ的分布列；
（2）求ξ的期望和方差。 解： (1) ξ 服从超几何分布
C
0 2
C
3 3
C
3 5
C
1 2
C
2 3
C
3 5
C
2 2
C
1 3
C
3 5
(2)E 0116231.2 D
小结：
10 10 10
一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几