高中数学知识点：方差
高中数学必修2-3第二章2.3 2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差1．问题导航(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ (3)如何计算简单离散型随机变量的方差？ 2．例题导读(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P 68练习1题． (2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P 68练习3题．1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为①方差D (X )＝∑n i ＝1(x i －E (X ))2p i . ②标准差为________D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝________a 2D (X )． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝________p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝________np (1－p )．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为( )A.43B.83C.89D ．1答案：C3．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝2 D ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝2 答案：D4．已知随机变量X ________.答案：3.561．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差；[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[互动探究] 在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.1．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)写出随机变量X 的分布列；(4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X )．2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了1．(1)已知随机变量ξ若E (ξ)＝23，则D (ξ)的值为________．解析：由分布列的性质，得 12＋13＋p ＝1，解得p ＝16. ∵E (ξ)＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×12＋⎝⎛⎭⎫1－232×13＋⎝⎛⎭⎫2－232×16＝1527＝59. 答案：59(2)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324.两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差． [解] (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60(s)，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )；若ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．2．(1)(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13(2)在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.均值、方差的综合应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y 的分布列如下：(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好．试求D (X )和D (2X －1)．[解] E (X )＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D (2X －1)＝4D (X )＝4×1.56＝6.24.[错因与防范] (1)解答本例易将方差的性质用错，即D (aZ ＋b )＝aD (Z )＋b . (2)解决此类问题方法，应利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )，将求E (aX ＋b )，D (aX ＋b )的问题转化为求E (X )，D (X )的问题，从而可以避免求aX ＋b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．4．已知随机变量X ～B (100，0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320解析：选B.由X ～B (100，0.2)知n ＝100，p ＝0.2， 由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16， 因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256.1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.随机变量ξ∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X . 因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 答案：乙4．若随机变量X 的分布列为：(1)求m 的值；(2)求E (X )和D (X )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得0.1＋0.2＋0.4＋m ＋0.1＝1，解得m ＝0.2.(2)E (X )＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0，D (X )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值解析：选C.由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知，C 正确．故选C. 2．设X ～B (n ，p )，若D (X )＝4，E (X )＝12，则n 和p 分别为( ) A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解析：选A.∵X ～B (n ，p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np （1－p ）＝4，解得p ＝23，n ＝18.3．已知X 的分布列如下表所示，则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的有( )A.0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选C.E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故只有①③正确． 4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. ∴D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.5．(2015·滨州高二期末检测)若随机变量X 的分布列为：P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：选A.依题意有a ＝1－13＝23，所以E (X )＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (X )＝13(m－2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (X )有最小值为0.6．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2015·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：由独立重复试验的方差公式可以得到 D (ξ)＝np (1－p )≤n (p ＋1－p 2)2＝n4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25,D （ξ）max ＝25＝5.答案：1258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－53)2×13＋(3－53)2×16＝59.答案：599．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取1个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的分布列、期望值及方差．解：ξ的可能值为0，1，2，P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611；P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922；P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (ξ)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.10．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )．(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为：(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)， 得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132.[B.能力提升]1．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布列大致如下表所示：甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解：∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， ∵E (X )＝E (Y )，D (X )＜D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．2．如表，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X 的分布列及其均值、方差．解：可能为0个，1个，2个，4个．P (X ＝0)＝9A 44＝924，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝824， P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624，P (X ＝4)＝1A 44＝124. 故X 的分布列为：∴E (X )＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1， D (X )＝924×(0－1)2＋824×(1－1)2＋624×(2－1)2＋124×(4－1)2＝9＋0＋6＋924＝1. 3．某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．(1)任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；(2)任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差． 解：设事件A ：选报法语课；事件B ：选报日语课．由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.75，P (B )＝0.6.(1)法一：任选1名同学，该同学一门课程都没选报的概率是P 1＝P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝0.25×0.4＝0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名同学，该同学只选报一门课程的概率是P 3＝P (AB )＋P (AB )＝0.75×0.4＋0.25×0.6＝0.45，该人选报两门课程的概率是P 4＝P (AB )＝0.75×0.6＝0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的，所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B (3，0.9)，P (ξ＝k )＝C k 3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3， 即ξ的分布列是ξ的期望是E(ξ)＝(或ξ的期望是E(ξ)＝3×0.9＝2.7)，ξ的方差是D(ξ)＝3×0.9×(1－0.9)＝0.27.。
高一数学必修二方差的知识点
高一数学必修二方差的知识点方差是统计学中重要的概念之一，它用于衡量一组数据的离散程度。
在高中数学中，方差被列为必修内容之一，它不仅在数学中有着重要的应用，还广泛应用于其他学科以及实际生活中。
本文将介绍高一数学必修二中方差的相关知识点，包括定义、计算方法以及应用等内容。
一、方差的定义方差是用来度量一组数据的波动性或者离散程度的统计量。
对于一组包含n个观察值的数据集，记为x₁, x₂, ..., xn，方差的计算公式为：方差 = (x₁ - 平均值)² + (x₂ - 平均值)² + ... + (xn - 平均值)²其中，平均值是这组数据集的算术平均值。
方差的单位通常为观察值的单位的平方。
二、方差的计算方法计算方差有两种常用的方法：离差平方和法和公式法。
离差平方和法是最直接而常用的计算方差的方法。
它的计算思路是先计算每个观察值与平均值的离差，然后将所有离差的平方求和。
具体步骤如下：1. 计算平均值：先对给定的数据集进行求和，再除以观察值的个数，即可得到平均值。
2. 求每个观察值与平均值的离差：将每个观察值减去平均值得到离差。
3. 将离差的平方求和：对所有离差的平方进行求和操作。
公式法是一种简化计算步骤的方法。
它的计算公式为：方差 = (x₁² + x₂² + ... + xn²) / n - 平均值²这种方法可以在计算方差时避免计算每个观察值与平均值的离差，进而简化计算过程。
三、方差的应用方差在统计学中有着广泛的应用。
作为一种度量数据离散程度的指标，方差能够帮助我们判断数据的稳定性和波动性。
在实际生活中，方差也被广泛运用于各个领域。
1. 财务分析：方差可以用来分析个人或者企业的投资风险。
通过计算投资组合的方差，我们可以评估投资风险的大小，进而制定相应的风险管理策略。
2. 品质控制：在生产过程中，方差可以用于评估产品的品质。
通过对产品的测量数据进行方差分析，可以判断产品是否符合标准，从而进行相应的调整和改进。
方差高中数学公式
方差高中数学公式方差是概率论与统计学中一个重要的概念，用于衡量随机变量的离散程度。
在高中数学中，方差是一个常见的概念，下面将介绍方差的计算公式以及相关知识。
一、方差的定义方差是指随机变量与其数学期望之差的平方的期望值。
简单来说，方差衡量的是随机变量的取值与其平均值之间的差异程度。
方差越大，说明随机变量的取值离散程度越大；方差越小，说明随机变量的取值集中程度越高。
二、方差的计算公式设随机变量X的取值为x1，x2，...，xn，相应的概率为p1，p2，...，pn，其中p1+p2+...+pn=1。
则随机变量X的方差的计算公式如下：Var(X) = Σ(xi-μ)² * pi其中，μ为随机变量X的数学期望。
三、方差的性质1. 方差非负：方差始终大于等于零。
2. 方差与平移无关：如果随机变量X的方差为σ²，则随机变量X+a的方差也为σ²，其中a为常数。
3. 方差与线性变换相关：如果随机变量X的方差为σ²，则随机变量aX的方差为a²σ²，其中a为常数。
4. 方差的开平方即为标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量的离散程度。
四、方差的应用方差在实际问题中有着广泛的应用，特别是在金融领域和工程领域。
在金融领域，方差可以用来衡量股票或投资组合的风险程度。
方差越大，代表股票或投资组合的风险越高。
在工程领域，方差可以用来衡量产品的稳定性和可靠性。
方差越小，代表产品的稳定性和可靠性越高。
五、例题解析为了更好地理解方差的计算方法，下面通过一个例题进行解析。
例题：某班级有40名学生，他们的身高如下表所示，请计算学生身高的方差。
身高（cm）频数150-155 5155-160 7160-165 9165-170 8170-175 6175-180 5解析：计算身高的平均值：μ = (152.5*5 + 157.5*7 + 162.5*9 + 167.5*8 + 172.5*6 + 177.5*5) / 40 = 163.625 cm然后，根据方差的计算公式，计算方差：方差= (150-163.625)²*5/40 + (155-163.625)²*7/40 + (160-163.625)²*9/40 + (165-163.625)²*8/40 + (170-163.625)²*6/40 + (175-163.625)²*5/40 ≈ 45.57因此，学生身高的方差约为45.57。
高考高中数学方差知识讲解
因此第iC5一o名py同r学ig的ht射2击0成04绩-2稳0定1性1 较As差i5p，o第se二P名t同y 学Lt的d.射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
2、两个特殊分布的方差
Profile
5.2
从C而oEpXyrig1h1t 220014-2301114As1po5se1 P6ty1Ltd3..5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
D(aX b) a2DX
Evaluation only. ted w（it2h）A方s差p的os几ne个.S恒li等de变s形for .NET 3.5 Client Profile 5.2
CDopXyrigh(txi20E0X4)-22p0i 11 Aspose Pty Ltd. i 1 E( X EX )2 EX 2 (EX )2
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
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随机变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量X的标
准差，记为 X
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。
记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。
高中数学必修三方差计算公式
高中数学必修三方差计算公式例1 两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50 E(X)=72;Y：73，70，75，72，70 E(Y)=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
高中数学必修三方差的性质1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取);证：特别地D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差无负值)3.若X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)方差公式：S^2=〈(M-x1)^2+(M-x2)^2+(M-x3)^2+…+(M-xn)^2〉╱n高中数学必修3统计知识点分层抽样(1)分层抽样(类型抽样)：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
(2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
高中方差知识点总结
高中方差知识点总结一、方差的定义方差是用来衡量数据偏离其平均值的程度的统计量。
它是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值。
对于一组数据集合X={x1,x2,x3,...,xn}，其均值为μ，则方差的计算公式为：\[S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\]其中，S^2表示方差，n表示数据的个数，xi表示第i个数据，μ表示数据的平均值。
方差的单位是原数据单位的平方，它的值越大表示数据的变异程度越大，反之亦然。
二、方差的性质1. 方差永远大于0方差是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值，所以方差永远大于等于0。
当方差等于0时，表示数据集合中的所有数值都等于其均值，即数据没有任何偏离。
2. 方差的大小决定了数据的分散程度方差的值越大表示数据偏离均值的程度越大，数据的分散程度越大；而方差的值越小表示数据偏离均值的程度越小，数据的集中程度越大。
3. 方差与原数据单位相关方差是原数据单位的平方，所以在比较不同数据集合的方差时，应当考虑数据单位的影响。
通常情况下，可以使用标准差来度量数据的变异程度，它是方差的平方根，单位与原数据一致。
三、方差的应用1. 评价数据集的稳定性方差可以用来评价数据集的稳定性，当数据的方差较小时，表示数据的稳定程度较高，反之较低。
2. 比较不同数据集的分散程度方差可以用来比较不同数据集的分散程度，当数据的方差较大时，表示数据的分散程度较高，反之较低。
3. 帮助进行统计推断在统计推断中，方差可以用来帮助进行假设检验和置信区间估计，它是许多统计量的基础。
四、方差的计算在实际应用中，方差的计算可以分为两种情况：总体方差和样本方差。
1. 总体方差的计算总体方差的计算公式是：\[σ^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - μ)^2\]其中，σ^2表示总体方差，N表示总体的数据个数，xi表示第i个数据，μ表示总体的平均值。
方差的计算公式高中
方差的计算公式高中方差是统计学中常用的一种衡量数据变异程度的指标。
在高中数学中，方差的计算公式是学生们需要了解和掌握的重要内容之一。
本文将介绍方差的计算公式以及其在高中数学中的应用。
方差是一个关键的统计量，用于描述一组数据的离散程度。
它衡量的是每个数据点与平均值之间的差异。
方差计算的公式如下：方差= ∑(xi - x̄)² / N其中∑表示求和，xi表示第i个数据点，x̄表示数据的均值，N表示数据的总数。
方差的计算步骤如下：1. 计算数据的均值：将所有数据相加，然后除以数据的总数，即可得到数据的均值x̄。
2. 将每个数据点与均值的差异求平方：对于每个数据点xi，将其与均值x̄的差异求平方，即(xi - x̄)²。
3. 求和：将所有(xi - x̄)²的结果相加，得到总和。
4. 除以数据的总数：将总和除以数据的总数N，得到方差的值。
方差计算公式的解读：方差的计算公式其实是将每个数据点与均值的差异进行平方，并加权求和。
平方的操作使得方差只考虑了离均值的距离的大小，而不考虑数据点是偏离均值的方向。
这样可以确保方差始终为非负数，并且方差值越大，数据的离散程度越高。
方差的计算公式在高中数学中的应用：方差的计算公式在高中数学中常常用于描述实验数据的离散程度。
例如，如果一个班级进行了一次小测验，学生们的分数可以被看作是一组数据。
通过计算这组数据的方差，我们可以判断学生们的成绩分布是否比较集中，或者分散程度是否较高。
此外，方差的计算公式也在高中统计学中起到重要的作用。
在统计学中，我们经常使用样本数据来推断总体数据。
通过计算样本数据的方差，可以帮助我们估计总体数据的方差，并进一步进行统计推断。
总结：方差的计算公式是高中数学中涉及的重要内容之一。
方差通过测量数据点与平均值之间的差异，能够帮助我们判断数据的离散程度。
方差的计算公式简洁明了，易于理解和应用。
在实际应用中，方差的计算公式可以帮助我们分析数据的分布情况，并进行推断和预测。
方差高中数学公式
方差高中数学公式方差是描述一组数据离散程度的统计量，它能够衡量数据的分散程度。
在高中数学中，方差是一个重要的概念，它可以帮助我们分析和理解数据的变化规律。
本文将介绍方差的定义、计算公式以及应用案例，帮助读者更好地理解和运用方差。
一、方差的定义方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值。
简单来说，方差就是每个数据与平均值之差的平方的平均值。
方差越大，说明数据的离散程度越大；方差越小，说明数据的离散程度越小。
二、方差的计算公式假设有n个数据，分别为x₁、x₂、…、xₙ，它们的平均值为xₙ。
方差的计算公式如下：方差 = ( (x₁ - xₙ)² + (x₂ - xₙ)² + … + (xₙ - xₙ)² ) / n其中，(x₁ - xₙ)²表示第一个数据与平均值之差的平方，(x₂ - xₙ)²表示第二个数据与平均值之差的平方，依此类推。
将所有数据与平均值之差的平方相加，再除以数据个数n，即可得到方差。
三、方差的应用案例方差在实际问题中有着广泛的应用，下面以一个实际案例来说明方差的应用。
假设某班级的学生在一次数学考试中的成绩如下：85、90、92、88、95。
现在我们想要分析这组数据的离散程度，进而了解整个班级的考试情况。
我们需要先计算这组数据的平均值。
85、90、92、88、95的平均值为(85+90+92+88+95)/5=90。
接下来，我们将每个数据与平均值之差的平方相加，得到：(85-90)² + (90-90)² + (92-90)² + (88-90)² + (95-90)² = 20 + 0 + 4 + 4 + 25 = 53将上述结果除以数据个数5，即可计算得到方差。
方差= 53/5 = 10.6通过计算，我们得到了这组数据的方差为10.6。
方差的单位是原数据单位的平方，所以在这个例子中，方差的单位是成绩的平方。
方差计算公式有哪些
方差计算公式有哪些方差是高中数学的一个知识点, 那么方差的计算公式有哪些, 同学们知道吗。
下面是由小编为大家整理的“方差计算公式有哪些”, 仅供参考, 欢迎大家阅读。
方差计算公式有哪些方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
方差的计算公式是s2={(x1-m)2+(x2-m)2+(x3-m)2+…+(xn-m)2}/n,公式中M为数据的平均数, n为数据的个数,s2为方差。
文字表示为方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数。
其中, 分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差, 方差描述波动程度。
当数据分布比较分散时, 各个数据与平均数的差的平方和较大, 方差就较大;当数据分布比较集中时, 各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大, 数据的波动越大;方差越小, 数据的波动就越小。
拓展阅读: 标准差公式是什么标准差公式是一种数学公式。
标准差也被称为标准偏差, 或者实验标准差, 公式如下所示:两种证券形成的资产组合的标准差=(W12σ12+W22σ22+2W1W2ρ1, 2σ1σ2)开方, 当相关系数ρ1, 2=1时, 资产组合的标准差σP=W1σ1+W2σ2;当相关系数ρ1, 2=-1时, 资产组合的标准差σP=W1σ1-W2σ2。
样本标准差=方差的算术平方根=s=sqrt(((x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2)/(n-1))总体标准差=σ=sqrt(((x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2)/n)由于方差是数据的平方, 与检测值本身相差太大, 人们难以直观的衡量, 所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差(SD)。
在统计学中样本的均差多是除以自由度(n-1), 它的意思是样本能自由选择的程度。
当选到只剩一个时, 它不可能再有自由了, 所以自由度是(n-1)。
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
离散型随机变量的期望与方差-高中数学知识点讲解
离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 …x n …
P p1 p2 …p n …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n =
1
，Eξ＝（x1+x2+…+x n）
×
푛
1
，所以ξ
的数学期望又称为平均数、均值．
푛
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，
p2，…，p n…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ퐷휉是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根퐷휉叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散
的程度；
1/ 2
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
2/ 2。
人教版A版高中数学选修2-3：2.3离散型随机变量的均值与方差
反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为 1-
1 2
2
= 3.
4
所以在 2 次试验中成功次数 X 的取值为 0,1,2,
其中 P(X=0)=
1 4
2 = 116,
P(X=1)=C21
×
3 4
×
1 4
=
38,
P(X=2)=34
×
3 4
=
196,
所以在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 E(X)=0× 116+1×
他们考核所得的等次相互独立.
(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变 量ξ的分布列和均值E(ξ).
思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?
解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为 事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,
请同学们阅读课本，通过自学完成以下问题：
• 1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
• (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) • (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回 事.( ) • (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度, 方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( ) • (4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ 是正态分布的标准差.( )
(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培 训时间不少于90小时的人数.试求X的分布列、均值E(X)和方差D(X).
方差高中数学公式
方差高中数学公式方差是统计学中常用的一个指标，用来衡量数据分布的离散程度。
在高中数学中，方差一般用于描述统计样本的离散程度，具体公式为：方差公式：给定一组样本数据，假设样本数据有n个，分别为x1、x2、x3 ... xn。
首先计算样本的平均值，记为x̄，然后计算每个数据与平均值的差值的平方，并求和得到sum。
方差的计算公式如下：Var = sum((xi - x̄)^2) / n其中，Var表示方差，xi表示第i个数据点，x̄表示样本数据的平均值，sum表示求和。
在高中数学中，方差的计算方法主要有以下几种：全距法、四分位差法和方差法。
下面我们逐一介绍。
1.全距法：全距法是一种简单的计算方差的方法。
全距是指一组数据中最大值与最小值的差值，全距法通过计算全距的平方来估计样本数据的离散程度。
方差=(最大值-最小值)^22.四分位差法：四分位差法是另一种简单的计算方差的方法。
四分位差是指一组数据分别位于上四分位数和下四分位数之间的数据的范围，四分位差法通过计算四分位差的平方来估计样本数据的离散程度。
方差=(上四分位数-下四分位数)^23.方差法：方差法是最常用的计算方差的方法，它可以更准确地衡量样本数据的离散程度。
具体计算方差的步骤如下：1)计算样本数据的平均值x̄。
2) 计算每个数据点与平均值的差值的平方(xi - x̄)^23) 对所有差值的平方求和得到sum。
4)除以样本数据的个数n得到方差。
方差 = sum((xi - x̄)^2) / n方差法是最常用的计算方差的方法，也是统计学中标准的方差计算方法，因为它能够更准确地估计样本数据的离散程度。
【高中数学】第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差
7.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列如表所示．X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n我们用X 所有可能取值x i 与E (X )的偏差的平方(x 1－E (X ))2，(x 2－E (X ))2，…，(x n －E (X ))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E (X )的偏离程度．我们称D (X )＝(x 1－E (X ))2p1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差(variance)，有时也记为Var (X )，并称D (X )为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X )．知识点二 离散型随机变量方差的性质 1．设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．D (c )＝0(其中c 为常数)．1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × ) 2．若a 是常数，则D (a )＝0.( √ )3．离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( √ ) 4．若a ，b 为常数，则D (ax ＋b )＝a D (x ).( × )一、求离散型随机变量的方差例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又由E (η)＝aE (ξ)＋b ，得1.5a ＋b ＝1，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．反思感悟 (1)求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X 的意义，写出X 的所有取值； ②求出X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④计算E (X )； ⑤计算D (X )．(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b ，则D (η)＝a 2D (ξ)． 跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E (ξ)，D (ξ)，D (ξ)； (2)设η＝2ξ＋3，求E (η)，D (η)．解 (1)E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，D (ξ)＝53. (2)E (η)＝2E (ξ)＋3＝73，D (η)＝4D (ξ)＝209.二、方差的应用例2有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．反思感悟均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．跟踪训练2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平．解甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些． 三、分布列、均值、方差的综合应用例3 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X ，求X 的分布列、均值及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝13×13＝19.P (X ＝1)＝13×23＋23×14＝718，P (X ＝2)＝23×34＝12.故X 的分布列为E (X )＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－25182×19＋⎝⎛⎭⎫1－25182×718＋⎝⎛⎭⎫2－25182×12＝149324. ∴σ(X )＝D (X )＝14918. 反思感悟 处理综合问题的方法第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立．第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率． 第三步：列分布列，并计算均值及方差．跟踪训练3 有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝xy ，求： (1)X 所取各值的分布列；(2)随机变量X 的均值与方差．解 (1)由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,4.“X ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P (X ＝0)＝1－23×23＝59，“X ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P (X ＝1)＝13×13＝19，“X ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (X ＝2)＝2×13×13＝29，“X ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (X ＝4)＝13×13＝19.则X 的分布列为X 0 1 2 4 P59192919(2)E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E (X 甲)＝E (X 乙)，方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 答案 B3．(多选)下列说法中错误的是( )A ．离散型随机变量X 的均值E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值答案 ABD解析 E (X )反映了X 取值的平均水平，D (X )反映了X 取值的离散程度．4．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 Pabc112答案512 14解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.1．知识清单：(1)离散型随机变量的方差、标准差． (2)离散型随机变量的方差的性质． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：方差公式套用错误．1．随机变量X 的方差，反映其取值的( )A ．平均水平B ．分布规律C ．波动大小D ．最大值和最小值答案 C2．(多选)已知X 的分布列为则( ) A ．E (X )＝2912B ．D (X )＝121144C ．D (X )＝179144D ．E (X )＝1712答案 AC解析 ∵E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－29122×14＋⎝⎛⎭⎫2－29122×13＋⎝⎛⎭⎫3－29122×16＋⎝⎛⎭⎫4－29122×14＝179144. 3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲、乙均可 D ．无法确定答案 A解析 ∵E (X 1)＝E (X 2)＝1.1，D (X 1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D (X 2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D (X 1)<D (X 2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好．4．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k (1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )，D (X )的值分别是( ) A ．0和1 B ．p 和p 2 C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p答案 D解析 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ， 故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．5．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.6．已知随机变量X 的分布列如表所示：则a ＝________，D (X )＝________. 答案 0.5 3.56解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a ＝1，所以a ＝0.5， E (X )＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D (X )＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.7．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5 解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－p 1＋p 3＝0.1，1.21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89，p 1＋p 2＋p 3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.8．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________，此时p ＝________.答案 14 12解析 随机变量X 的所有可能的取值是0,1，并且P (X ＝1)＝p ，P (X ＝0)＝1－p . 从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2 ＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14. ∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (X )取最大值，最大值是14.9．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. 同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)>E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣． 10．已知X 的分布列为(1)求X 2的分布列； (2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎫1＋142×14＝1116. (3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2， D (Y )＝42D (X )＝11.11．设随机试验的结果只有A 发生和A 不发生，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则X 的方差D (X )等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )答案 D解析 显然X 服从两点分布，∴D (X )＝m (1－m )． 12．(多选)已知随机变量X 的分布列是X 1 2 3 P13ab若E (X )＝116，则( )A ．a ＝12B ．b ＝16C ．D (X )＝1736D ．D (X )＝2318答案 ABC解析 由题意得a ＋b ＝23.①由E (X )＝13＋2a ＋3b ＝116，②得2a ＋3b ＝32，联立①②，得a ＝12，b ＝16.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1162×13＋⎝⎛⎭⎫2－1162×12＋⎝⎛⎭⎫3－1162×16＝1736.故选ABC. 13．已知随机变量ξ的分布列为ξ m n P13a若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无法计算 答案 D解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝2(n －2)2，当n ＝2时，D (ξ)取得最小值，此时m ＝2，不符合题意，故D (ξ)无法取得最小值．14．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________． 答案 3解析 由已知得 ⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4，2⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫x 2－432＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2， 又x 1<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝3.15．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E (ξ)＝________，D (ξ)＝________. 答案 1 1解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.16．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别如下表：(1)在A ，B 两个投资项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资项目A ，(100－x )万元投资项目B ，f (x )表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B 所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取得最小值．解 (1)根据题意，知Y 1和Y 2的分布列分别如下表：从而E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2)＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝12 500(4x 2－600x ＋30 000) ＝1625(x －75)2＋3， 当x ＝75时，f (x )取得最小值3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中样本方差计算公式
高中样本方差计算公式在高中数学的学习中，样本方差计算公式可是个相当重要的知识点呢！咱们今天就来好好聊聊它。
不知道大家有没有这样的经历，比如说学校组织了一场义卖活动，每个班级都要统计自己的销售额。
老师把咱们班同学的销售额都记录下来，想要知道这组数据的离散程度，也就是大家销售额的差异大小。
这时候，样本方差计算公式就派上用场啦！咱们先来说说什么是样本方差。
简单来说，样本方差就是用来衡量一组样本数据离散程度的统计量。
它反映了样本中各个数据与样本均值的偏离程度。
那样本方差的计算公式到底是啥呢？它是这样的：假设一组样本数据为$x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$，样本均值为$\overline{x}$，那么样本方差$S^2$的计算公式就是：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ 。
这个公式看起来有点复杂，是吧？别担心，咱们来拆解一下。
首先，$(x_i - \overline{x})$表示的是每个数据与均值的差值，把这些差值平方后再求和，然后除以$n - 1$，就得到了样本方差。
比如说，咱们班同学的销售额分别是 100 元、120 元、90 元、110 元、130 元。
先算出均值：$(100 + 120 + 90 + 110 + 130)÷ 5 = 110$ 元。
接下来算每个数据与均值的差值：$(100 - 110)^2 = (-10)^2 = 100$$(120 - 110)^2 = 10^2 = 100$$(90 - 110)^2 = (-20)^2 = 400$$(110 - 110)^2 = 0^2 = 0$$(130 - 110)^2 = 20^2 = 400$把这些差值的平方加起来：$100 + 100 + 400 + 0 + 400 = 1000$ ，再除以$5 - 1 = 4$，得到样本方差$S^2 = 1000÷ 4 = 250$ 。
方差与方差的转换高中数学
方差与方差的转换高中数学
方差和协方差转换公式是Cov(x，y)=E（XY）-E（X）×E（Y）。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的
度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。
设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX.即D(X)=E{[X-E(X)]^2},而σ
(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差.
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
S^2=[(x1-x拔)^2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n 方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）.
（1）设c是常数,则D(c)=0.
（2）设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=(c^2)D(X).
（3）设X,Y是两个相互独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即
P{X=c}=1,其中E(X)=c.
方差是标准差的平方。
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第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s (即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 要点诠释：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；样本方差的算术根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.。