线性代数复习题

线性代数复习题

一：判断题

1. 任何一个非零向量组均可以进行施密特正交化

2. n 个n+1维向量组一定线性相关

3. 若 n 元线性方程组的系数矩阵的秩小于n, 则此方程组有无穷多解.

4. 若 n 元齐线性方程组有非零解，则这个方程组有无穷多个解。

5. 任何一个n 阶矩阵都相似于一个n 阶对角矩阵.

6. k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量.

7. 如果n 阶行列式中有n n -2个（以上的）元素为0，

则该行列式的值为0。

8. 秩为r 的矩阵的所有r 阶子式都不为零.

9. 向量组线性无关当且仅当其中任一向量均不能被其他向量线性表出.

10. 如果两个同阶矩阵有相同的特征值，则他们相似。

二：选择题

1. 如果D = ⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211

a a a a a a a a a ，且D = M, D 1 = ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

333231232221

131211222222222a a a a a a a a a , 则1D

= (

) A. 2 M B.-2 M C. 8 M D. -8 M

2．设A, B 为2个n 阶矩阵，则关于矩阵的秩，下列式子不正确的是： （ ）

A. )}(),(min{)(B r A r AB r ≤

B. )()()(B r A r B A r +≤+

C. )()()(B r A r B A r -≤-

D. )()(*A r A r ≤

3.设A 为四(三，二)阶矩阵且|A|=a, 则其伴随矩阵A *的行列式|A *|为: ( )

A. a

B.a 2

C.a 3

D.a 4

4.下列结论中不正确的是: ( )

A.若向量α与β正交,则对任意实数a,b, a α与b β也正交.

B 若向量β与向量α1, α2正交,则β与α1, α2的任一线性组合也正交.

C.若向量α与β正交,则α与β中至少有一个是零向量.

D.若向量α与任意同维向量正交,则α是零向量.

5. 21,λλ都是n 阶距阵A 的特征值且21,λλ≠，21,X X 分别是对应于21,λλ 的特征向量，下面哪个条件使得2211X k X k X +=

必是A 的特征向量 （ ）

A. 021==k k

B. 0021≠≠k k 且

C. 021=⋅k k

D. 0021=≠k k 且

6.下面是n 阶矩阵A 与B 相似的充分条件的是: ( )

A. |A|=|B|

B. r(A)=r(B)

C. A 与B 有相同的特征多项式

D. A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同

7.设矩阵A= (a ij )mxn , 则AX=0仅有零解当且仅当 ( )

A. A 的行向量组线性无关

B. A 的行向量组线性相关

C. A 的列向量组线性无关

D. A 的列向量组线性相关

8．设向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅的秩为r ，则下列说法不对的是 （ ）

A. 与n ααα,,,21⋅⋅⋅等价的任意一个线性无关的向量组均含r 个向量

B. n ααα,,,21⋅⋅⋅中任意r 个向量都是这个向量组的极大无关组

C. n ααα,,,21⋅⋅⋅中任意r 个线性无关的向量都是这个向量组的极大无关组

D. n ααα,,,21⋅⋅⋅中任意极大无关组均含r 个向量

三．计算证明题

1. a 取何值时线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1ax x x 1x x ax a x x x 3

21321321有唯一解？并求其解。 2. 求矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131241232的特征值并写出每个特征值的所有特征向量. 3. 设矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111，求一正交矩阵Q 使得Q -1AQ 为对角矩阵 4．已知1326,2743,5005,3874都能被13整除,不计算行列式的值,

试证D=4

7835005

34726231能被13整除. 5．设m xn ij a A )(=，nxs ij b B )(=且0=AB 。证明n B r A r ≤+)()(.