微积分(上册)第一章PPT课件
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《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章 函数、极限、连续 高等数学第一章第9-10节
12
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
微积分第一章第一节课件
微积分的重要性
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法， 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发 学生对数学的兴趣和热爱，树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似，但需要注意参 数的影响。同时，含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用，如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不 定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有 限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分(第一章)
f ( x) g ( x) h( x)
函数的积 f g ： ( f g )(x) f ( x) g ( x), x D f f f ( x) , x D, g ( x) 0 函数的商 ： ( )(x) g g ( x) g 例 设函数 f ( x) 的定义域为 (l , l )，证明必存在 (l , l ) 上的偶函数 g ( x) 和奇函数 h( x) ，使得
构成了 R f 到 X 上的一个映射，称为 f 的逆映射，记为 f 1 1 其定义域为 D ，值域为 R Rf X 。 f f
1
第一章 函数
§2 映射与函数
设有如下两个映射
g : X U1 , x u g ( x) f : U 2 Y , u y f (u)
g f f g ( ，称 f g )(x) f [ g ( x)] 对复合函数 为中间变量，其中
为自变量。 f g
u g ( x)
x Df g
第一章 函数
§3 复合函数与反函数
初等函数
把函数 F ( x) 3arcsin 分成几个简单函数的复合。 例2
例1
1 x 2
则称 f 为单射 ，如果映射 f 满足 R f Y ，则称 f 为满 射；如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射(又 称一一对应)。
第一章 函数
§2 映射与函数
二 、 逆映射与复合映射
设 f : A B 是单射，对应关系 g : R f X y x( f ( x) y )
和 F ( x) lg sin tan x
设有函数 y f (u) u 和 u ( x) a x ， 考察 a 1 ， a 1 时 y f [ ( x)] 是否为复合函数。
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
同济大学微积分第三版课件第一章第一节
• 这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点 •在各个时刻的“速度”（称为瞬时速度）. • 1.匀速运动: 在匀速直线运动中, 我们知道路程与速 •度、时间的关系为
•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度 是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
同济大学微积分第三版课件 第一章第一节
•
•第一节 微积分中的极限方法
•
• 典型问题一 面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与 轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
, 动点
•从 移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处 的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节 中•我们将全面引入各类形式的极限.
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二 瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即
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！
•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度 是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
同济大学微积分第三版课件 第一章第一节
•
•第一节 微积分中的极限方法
•
• 典型问题一 面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与 轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
, 动点
•从 移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处 的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节 中•我们将全面引入各类形式的极限.
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二 瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即
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《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ， 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
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目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
大一微积分课件1-3
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
6）反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
5）三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的 最大整数
-4 -3 -2 -1
y 4 3 2 1 o
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
多个函数生成复合函数，把复合函数分解成 简单函数。
2.反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y
反函数y ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
余割函数
y csc x
y csc x
6）反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
5）三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的 最大整数
-4 -3 -2 -1
y 4 3 2 1 o
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
多个函数生成复合函数，把复合函数分解成 简单函数。
2.反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y
反函数y ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
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CIA或AC . 例如，在实数集R中，集合A={x|-3≤x≤5}
AC={x|x<-3 或x>5}.
一、集合、区间和邻域
集合的并、交、差运算满足下面的基本法则. 设A，B，C (1)交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C), (A\\B)∩C=(A∩C)(B∩C); (4)幂等律A∪A=A，A∩A=A;
A×B={(x，y)|x∈A ，y∈B}. 例如，设A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d} A×B={(x，y)|a<x<b，c<y<d} 它表示xOy平面上以(a，c)，(b，c)，(b，d)，(a，d)为顶
R×R ={(x，y)|x∈R， y∈R}就表示整个坐标平面，记作R2.
一、集合、区间和邻域
2. 区间
在很多情况下，集合可以用区间来表示.设a和b都是实数，且a<b， 集合{x|a<x<b}称为开区间，记作(a，b)
(a，b)＝{x|a<x<b} 它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点a及端点b,如 图1-1所示.
图 1-1
一、集合、区间和邻域
集合{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作［a，b ［a，b］＝{x|a≤x≤b} 它在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括两个端点,如 图1-2所示.
设A，B是两个集合，如果集合A中的元素都是集合B中的 元素，则称集合A是集合B
A B(读作A包含于B)或B A(读作B包含A). 如果集合B与集合A互为子集，即A B且B A，则称集合 B与集合A
A=B.
一、集合、区间和邻域
例如，集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x＋6=0}， 则A=B. 并规定空集是任何集合的子集.
例如，{x|x2＋1=0 且x∈R}是空集，因为满足条件 x2＋1=0的实数是不存在的.
一、集合、区间和邻域
注
以后用到的集合主要指数集，即元素都是数的集合. 如果没有特别声明，以后提到的数都是指实数.
一、集合、区间和邻域
集合的基本运算有以下几种：并、交、差. 设A，B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元 素组成的集合，称为A与B的并集(简称并)，记作A∪B，
微积分
（上册）
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总体概述
点击此处输 函数
第一节 函数的概念 第二节 函数的几种特性 第三节 反函数与复合函数 第四节 行车工作认知
第 一节
函数的概念
1. 集合
一、集合、区间和邻域
图 1-2
一、集合、区间和邻域
集合{x|a<x≤b}记作(a，b］，称为左开右闭区间,如图1-3所示.
图 1-3
一、集合、区间和邻域
集合{x|a≤x<b}记作［a，b)，称为左闭右开区间, 如图1-4所示.
图 1-4
一、集合、区间和邻域
上述两个区间(a，b］和［a，b)统称为半开区间. 以上这些区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度.从 数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段. 此外还有所谓无限区间，引进记号＋∞(读作正无穷大)及∞(读作负无穷大) (a，＋∞)={x|x>a}，如图1-5所示.
集合概念是数学中的一个最基本的概念，一般可以把集合(简 称集)理解为具有某种特定性质的事物的总体.例如，某学校全体师 生组成的一个集合；某学校某个班级的全体同学组成的一个集合； 全体实数组成的一个集合；全体正整数组成的一个集合；等等.集 合中的每个事物称为集合的元素(简称元).习惯上用大写字母A，B， C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示集合的元素.如果元 素a是集合A中的元素，记作a∈A(读作a属于A)；如果元素a不是集 合A中的元素，记作a A(读作a不属于A).
一、集合、区间和邻域
如果一个集合只含有有限个元素，那么称这个集合 为有限集；不是有限集的集合称为无限集.例如，全体英 文字母组成的一个集合是有限集，全体整数组成的集合 是无限集.
给定一个集合，就是给出这个集合由哪些元素组成. 给出集合的方法通常有两种：列举法和描述法.
一、集合、区间和邻域
列举法就是把集合中的所有元素都列举出来写在大括号内.例 如，由1，2，3，4，5，6，7，8八个数组成的集合A
A={1，2，3，4，5，6，7，8}.
A={x|x 具有性质P}. 例如，A={x|0<x<6}表示满足不等式0<x<6的实数.B={(x， y)|x2＋y2≤4}表示在xOy平面上以原点O为中心，半径为2的圆周及 其内部所有点所组成的集合.
一、集合、区间和邻域
习惯上，全体实数组成的集合记作R，即R={x|x 为实数}； 全体有理数组成的集合记作Q，即Q={x|x 为有理数}；全体整 数组成的集合记作Z，即Z={x|x 为整数}；全体自然数组成的集 合记作N，即N={x|x 为自然数}.
A∪B={x|x∈A 或x∈B} 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A 与B的交集(简称交)，记作A∩B A∩B={x|x∈A 且x∈B}
一、集合、区间和邻域
由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集 (简称差)，记作A\\B
A\\B={x|x∈A 且x ∈ B}. 特别地,若集合B包含于集合A(即B A),则称A\\B为B关于A的余 集,或称为补集,记作 CAB.通常我们所讨论的问题是在一个大集合I中进行的,所研究 的其他集合A都是I的子集,此时称I\\A为A的余集,记作
一、集合、区间和邻域
(5)吸收律A∪Ø=A，A∩Ø=Ø, A∪B=B，A∩B=A，其中A B, A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A; (6)对偶律(A∪B)C=AC∩BC, (A∩B)C=AC∪BC. 以上法则都可以利用集合的定义来验证.
一、集合、区间和邻域
在许多问题中还经常用到乘积集合的概念.设A，B是任意两 个非空集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一 个元素y，把有序对(x，y)作为新的元素，它们的全体组成的集 合称为集合A与集合B的直积，记作A×B
AC={x|x<-3 或x>5}.
一、集合、区间和邻域
集合的并、交、差运算满足下面的基本法则. 设A，B，C (1)交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C), (A\\B)∩C=(A∩C)(B∩C); (4)幂等律A∪A=A，A∩A=A;
A×B={(x，y)|x∈A ，y∈B}. 例如，设A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d} A×B={(x，y)|a<x<b，c<y<d} 它表示xOy平面上以(a，c)，(b，c)，(b，d)，(a，d)为顶
R×R ={(x，y)|x∈R， y∈R}就表示整个坐标平面，记作R2.
一、集合、区间和邻域
2. 区间
在很多情况下，集合可以用区间来表示.设a和b都是实数，且a<b， 集合{x|a<x<b}称为开区间，记作(a，b)
(a，b)＝{x|a<x<b} 它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点a及端点b,如 图1-1所示.
图 1-1
一、集合、区间和邻域
集合{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作［a，b ［a，b］＝{x|a≤x≤b} 它在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括两个端点,如 图1-2所示.
设A，B是两个集合，如果集合A中的元素都是集合B中的 元素，则称集合A是集合B
A B(读作A包含于B)或B A(读作B包含A). 如果集合B与集合A互为子集，即A B且B A，则称集合 B与集合A
A=B.
一、集合、区间和邻域
例如，集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x＋6=0}， 则A=B. 并规定空集是任何集合的子集.
例如，{x|x2＋1=0 且x∈R}是空集，因为满足条件 x2＋1=0的实数是不存在的.
一、集合、区间和邻域
注
以后用到的集合主要指数集，即元素都是数的集合. 如果没有特别声明，以后提到的数都是指实数.
一、集合、区间和邻域
集合的基本运算有以下几种：并、交、差. 设A，B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元 素组成的集合，称为A与B的并集(简称并)，记作A∪B，
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第一节 函数的概念 第二节 函数的几种特性 第三节 反函数与复合函数 第四节 行车工作认知
第 一节
函数的概念
1. 集合
一、集合、区间和邻域
图 1-2
一、集合、区间和邻域
集合{x|a<x≤b}记作(a，b］，称为左开右闭区间,如图1-3所示.
图 1-3
一、集合、区间和邻域
集合{x|a≤x<b}记作［a，b)，称为左闭右开区间, 如图1-4所示.
图 1-4
一、集合、区间和邻域
上述两个区间(a，b］和［a，b)统称为半开区间. 以上这些区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度.从 数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段. 此外还有所谓无限区间，引进记号＋∞(读作正无穷大)及∞(读作负无穷大) (a，＋∞)={x|x>a}，如图1-5所示.
集合概念是数学中的一个最基本的概念，一般可以把集合(简 称集)理解为具有某种特定性质的事物的总体.例如，某学校全体师 生组成的一个集合；某学校某个班级的全体同学组成的一个集合； 全体实数组成的一个集合；全体正整数组成的一个集合；等等.集 合中的每个事物称为集合的元素(简称元).习惯上用大写字母A，B， C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示集合的元素.如果元 素a是集合A中的元素，记作a∈A(读作a属于A)；如果元素a不是集 合A中的元素，记作a A(读作a不属于A).
一、集合、区间和邻域
如果一个集合只含有有限个元素，那么称这个集合 为有限集；不是有限集的集合称为无限集.例如，全体英 文字母组成的一个集合是有限集，全体整数组成的集合 是无限集.
给定一个集合，就是给出这个集合由哪些元素组成. 给出集合的方法通常有两种：列举法和描述法.
一、集合、区间和邻域
列举法就是把集合中的所有元素都列举出来写在大括号内.例 如，由1，2，3，4，5，6，7，8八个数组成的集合A
A={1，2，3，4，5，6，7，8}.
A={x|x 具有性质P}. 例如，A={x|0<x<6}表示满足不等式0<x<6的实数.B={(x， y)|x2＋y2≤4}表示在xOy平面上以原点O为中心，半径为2的圆周及 其内部所有点所组成的集合.
一、集合、区间和邻域
习惯上，全体实数组成的集合记作R，即R={x|x 为实数}； 全体有理数组成的集合记作Q，即Q={x|x 为有理数}；全体整 数组成的集合记作Z，即Z={x|x 为整数}；全体自然数组成的集 合记作N，即N={x|x 为自然数}.
A∪B={x|x∈A 或x∈B} 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A 与B的交集(简称交)，记作A∩B A∩B={x|x∈A 且x∈B}
一、集合、区间和邻域
由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集 (简称差)，记作A\\B
A\\B={x|x∈A 且x ∈ B}. 特别地,若集合B包含于集合A(即B A),则称A\\B为B关于A的余 集,或称为补集,记作 CAB.通常我们所讨论的问题是在一个大集合I中进行的,所研究 的其他集合A都是I的子集,此时称I\\A为A的余集,记作
一、集合、区间和邻域
(5)吸收律A∪Ø=A，A∩Ø=Ø, A∪B=B，A∩B=A，其中A B, A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A; (6)对偶律(A∪B)C=AC∩BC, (A∩B)C=AC∪BC. 以上法则都可以利用集合的定义来验证.
一、集合、区间和邻域
在许多问题中还经常用到乘积集合的概念.设A，B是任意两 个非空集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一 个元素y，把有序对(x，y)作为新的元素，它们的全体组成的集 合称为集合A与集合B的直积，记作A×B