高考备考——深度总结函数恒成立求参数范围的解题秘笈

对于函数恒成立问题，是当今高考数学的主旋律。恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。对于这类问题，都与函数、导数知识密不可分。

一般的解法是分析含有参数的函数在定义域内的单调性，且涉及到参数分情况讨论，这种解法计算量比较大，而且解题步骤比较复杂。本文给大家总结出解含参数恒成立问题的常用方法。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④利用线性规划。下面我就以近两年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法

1、二次函数：

①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >???

()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1.设函数3

9()62

f x x x x a =-

+-．（1）对于任意实数，()f x m '≥恒成立，求的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求的取值范围．

【分析】对于（1）中()f x m '≥恒成立，可转化为

恒成立，即为二次函数大

于等于0在R 上恒成立，则有0

a >??

因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-

，即的最大值为34

- (2) 因为当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =

-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52

a >. 例2. 设函数432()2()f x x ax x

b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，．

（Ⅰ）当10

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．

【分析】对于（Ⅱ）中，要使

()f x 仅在0x =处有极值，

322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++，必须24340x ax ++≥恒成立，即有00

a >?

【解析】（Ⅰ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．

当10

a =-

时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，21

x =，32x =．

当变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以()f x 在102?? ???，，

(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122??

???

，内是减函数．（Ⅱ）2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．

为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ?=-≤．解此不等式，得8833

a -≤≤．这时，(0)f

b =是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是8833

??-????

，．

（Ⅲ）由条件[]22a ∈-，

可知29640a ?=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．

为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当

(1)1(1)1f f ??-?≤，≤，即22b a b a

--??

-+?≤，

≤ 在[]22a ∈-，

上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，

． 2、其它函数：

()0f x >恒成立?min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立

?()f x 的下界大于0）

；()0f x <恒成立?max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立?()f x 的上界小于0）.

例3.（2013海南宁夏高考）已知函数3223()39f x x ax a x a =--+. （1）设1a =，求函数()f x 的极值；（2）若14

a >

，且当[]1,4x a ∈时，)('

x f 12a 恒成立，试确定a 的取值范围. 【分析】对于（2），由)('

x f 12a 恒成立，只要保证且即

可求出a 的范围。

【解析】（1）当a=1时，对函数()f x 求导数，得'2()369.f x x x =-- 令'

12()0,1, 3.f x x x ==-=解得列表讨论'(),()f x f x 的变化情况：

所以()f x 的极大值是(1)6f -=，极小值是(3)26.f =-

（2）'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称. 若

1,()4

a f x <≤则在[1,4a]上是增函数，从而 '()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a =

19.1.1《变量与函数》反思

19.1.1《变量与函数》教学反思本节课是八年级学生初步接触函数的入门课，必须让学生准确认识变量与常量的特征，初步感受现实世界各种变量之间相互联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁为简，知道在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系。函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”；函数的要点是：1 有两个变量，2 一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化，3 一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应；函数的实质是：两个变量之间的对应关系；学习函数的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究，有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例，让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化关系，把静止的表达式看动态的变化过程，让他们从原来的常量、代数式、方程式和算式的静态的关系中，逐步过渡到变量、函数这些表示量与量之间的动态的关系上，使学生的认识实现为了快速明了的引出课题，课前让学生收集一些变化的实例，从学生的生活入手，开门见山，来指明本节课的学习内容。本课的引例较为丰富，但有些内容学生解决较为困难，于是我采取了三种不同的提问方式：1.教师问，学生答； 2.学生自主回答； 3.学生合作交流回答。为了较好的突出重点突破难点，在处理教学活动过程中，让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化，并提出一个量确定时另一个量是否唯一确定的问题，在得出变量和常量概念的同时渗透函数的概念.为了更好的让学生理解变量和常量的意义，由“问题中分别涉及哪些量？哪些量是变化的，哪些量是始终不变的？”一系列问题，在借助生活实例回答的过程中，归纳总结出变量与常量的概念，并能指出具体问题中的变量与常量。函数的概念是把学生由常量数学的学习引入变量数学的学习的过程，学生初步接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义，我设置了以下二个问题：1.在前面研究的每个问题中，都出现了几个变量？它们之间是相互影响，相互制约的。2.在二个变量中，一个量在变化的过程中每取一个值，另一个量有多少个值与它对应？来理解具体实例中二个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念。为了进一步让学生理解“唯一对应”关系，借助函数图像，使学生直观的感受二个变量之间特殊对应关系-----唯一对应。通过这种从实际问题出发的探究方式，使学生体验从具体到抽象的认识过程，及时给出函数的定义。再从抽象转化到实际应用中去，加深学生对函数概念的理解。为了加强学生辨析函数的能力，我准备了一道思考题，Y2=X中对于X的每一个值Y都

!函数返回值

函数返回值 int Count() { int i,j; i=100; j=200; return i+j; } 测试函数: void Test() { int k=Count(); printf("\n k[%d]\n"); } C/C++的函数返回值一般是放在寄存器eax里的，而不是在栈里。你的这一句int k = Count()的汇编语句就是这样： mov [esp - 4], eax //eax里是300，esp - 4是局部变量k的位置你可以在vc里做个实验： int add(int a, int b) { __asm { mov eax,a // 把参数1存入eax add eax,b // eax += 参数2, 结果在eax里 } } int main() { printf("%d\n", add(3, 4)); return 0; } 楼主需要了解下寄存器这一概念，我就不把C/C++函数的汇编代码给发出来了。还有在汇编层面来看，函数的返回值根本就没有定论，函数可以通过多种方式返回。保存返回值在eax里只是C/C++的一个约定而已。

返回值可以放在栈里，但你在C的语言层面上可能做不到，其实随着函数的结束，mov esp, ebp这条指令过后，函数内部的局部变量就报废了。如果你之后没改变过栈的内容，你可以用栈来存返回值，但比起用寄存器来存储，存储和读取要慢的多。自己突发奇想在vc下试了下用栈“返回”值，写了段代码： #include void __declspec(naked) __stdcall return_a_value() { int local; local = 1990; // 栈空间 __asm ret } int main() { int local = 1; return_a_value(); // 用栈返回值 printf("%d\n", local); return 0; } 汇编看c之一，简单函数调用简单的函数调用，通过简单的函数调用反汇编可以清楚了解如下 1.栈到底是什么，如何操纵栈的？ 2.参数和临时变量是以什么形式在哪存放？ 3.如何传递返回值？举例： #include

函数不等式恒成立问题经典总结

函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(

含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。（1）当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；

C#多线程函数如何传参数和返回值

C#多线程函数如何传参数和返回值提起多线程,不得不提起委托(delegates)这个概念. 我理解的委托就是具有同样参数和返回值的函数的集合. 比如 public delegate void MyDelegate(int arg); 就是这种形式的函数 void Myfuntion(int i); 的集合. 如何将一个函数加入委托的集合? MyDelegate dele = new MyDelegate(Myfuntion1); 再增加一个 dele += new MyDelegate(Myfuntion2); ... 委托函数 dele 就是具有整数参数和空返回值的函数 Myfuntion1,2的集合. 调用这个委托函数 dele(1); 就是逐个调用 Myfuntion1,2,... 一般线程函数的声明和启动 Thread t = new Thread(new ThreadStart(MyFunction)); t.Start(); 正是调用了没有参数和返回值的委托函数 ThreadStart 其中的参数MyFunction 是这个委托函数中的一员. 很明显这样无法传参数和返回值,那我们该怎么办? 答案就在委托的BeginInvoke() 方法上, BeginInvoke() 也是(异步)启动一个新线程. 例如 MyDelegate dele = new MyDelegate (MyFunction); dele.BeginInvoke(10,"abcd"); void MyFunction(int count, string str); 可以实现参数的传递. 如何收集线程函数的返回值? 与BeginInvoke 对应有个 EndInvoke 方法,而且运行完毕返回 IAsyncResult 类型的返回值.这样我们可以这样收集线程函数的返回值 MyDelegate dele = new MyDelegate (MyFunction); IAsyncResult ref = dele.BeginInvoke(10,"abcd"); ...

含参不等式恒成立问题学考压轴题(函数专题)

个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容函数专题:含参不等式恒成立问题个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2）0)(对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。类型2：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立? ??>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

(完整版)初中函数知识点总结非常全

知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念

函数的参数

如果把函数比喻成一台机器，那么参数就是原材料，返回值就是最终产品；函数的作用就是根据不同的参数产生不同的返回值。函数的参数在函数定义中出现的参数可以看做是一个占位符，它没有数据，只能等到函数被调用时接收传递进来的数据，所以称为形式参数，简称形参。函数被调用时给出的参数包含了实实在在的数据，会被函数内部的代码使用，所以称为实际参数，简称实参。形参和实参的功能是作数据传送，发生函数调用时，实参的值会传送给形参。形参和实参有以下几个特点： 1) 形参变量只有在函数被调用时才会分配内存，调用结束后，立刻释放内存，所以形参变量只有在函数内部有效，不能在函数外部使用。 2) 实参可以是常量、变量、表达式、函数等，无论实参是何种类型的数据，在进行函数调用时，它们都必须有确定的值，以便把这些值传送给形参，所以应该提前用赋值、输入等办法使实参获得确定值。 3) 实参和形参在数量上、类型上、顺序上必须严格一致，否则会发生“类型不匹配”的错误。

函数调用中发生的数据传送是单向的，只能把实参的值传送给形参，而不能把形参的值反向地传送给实参。因此在函数调用过程中，形参的值发生改变，而实参中的值不会变化。【示例】计算1+2+3+...+(n-1)+n 的值。 1.#include 2.int sum(int n){ // 有参函数 3.int i; 4.for(i=n-1; i>=1; i--){ 5. n+=i; 6.} 7.printf("The inner n = %d\n",n); 8.return n; 9.} 10.int main(){ // 无参函数 11.int m, total; 12.printf("Input a number: "); 13.scanf("%d",&m); 14. total =sum(m); 15.printf("The outer m = %d \n", m); 16.printf("1+2+3+...+%d+%d = %d\n", m-1, m, total); 17.return0; 18.} 运行结果： Input a number: 100↙ The inner n = 5050 The outer m = 100

(完整word)高中数学恒成立问题.doc

高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例 1已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相的似，于是我们可以设则不等式对满足一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数 . 都有在上恒成立，求实数的（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数取值范围 . 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 3已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是.

一次函数知识点总结与常见题型

三乐教育名师点拔中心学生姓名：家长签名基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1 x (4)y =21－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（） A ．y B ．y C ．y D ．y 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1 +-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是（） A .2325≤<-y B .2523<0时，直线y =kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k <0时，?直线y =kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y =kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k >0时，图像经过一、三象限；k <0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大，越接近y 轴；|k |越小，越接近x 轴例题：(1).正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大. (2)若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（） A .0 B . 23 C .23- D .32 - .(3)函数y =(k －1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A .0k C .1≤k D .1

关于函数恒成立问题的解题策略

关于恒成立问题的解题策略整理人：凌彬一、恒成立问题的基本类型在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像．二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥；思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤．如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值．此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得．例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++；定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=．例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-．此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．

教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc

高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围．解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或（2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．

例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=，注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1

变量与函数知识讲解

变量与函数【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义. 4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值. 要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对

函数参数返回值总结

函数的参数、返回值总结（一）参数 ◆函数分：有参函数：函数名（实参列表）无参函数：函数名（） ◆有参函数调用语句中的实参应与被调函数中的形参在个数、类型、顺序上一致。 ◆参数传递时，实参向形参一一对应进行单向的值传递。值：可是数值（变量或数组元素）或数值的地址值（指针或数组名）。（二）返回值函数的返回值即为函数调用后的结果，可有如下返回结果的方法：（1）通过return语句返回一个值；（2）利用地址做参数返回一个或多个值；（3）利用全局变量返回一个或多个值。（三）例 1、170页实验内容（1）：打印由正三角和倒三角组成的图形。有一个参数，无返回值。实参向形参传递一个数值。 #include /* 有一个参数，无返回值的函数，打印正三角 */ void f1(int n) /* 形参只能是变量，用来接收实参传来的数值 */ { int i,j,k; for(k=1;k<=n;k++) {for(i=1;i<=10-k;i++) printf(" "); for(j=1;j<=k;j++) printf(" *"); printf("\n");} } /* 有一个参数，无返回值的函数，打印倒三角*/ void f2(int n) {int i,j,k; for(k=n;k>=1;k--) {for(i=1;i<=10-k;i++) printf(" "); for(j=1;j<=k;j++) printf(" *"); /*双引号内应为“空格加半角星号”*/ printf("\n");} } main() { int n; scanf("%d",&n);

求解恒成立问题的常见方法

求解恒成立问题的常见方法摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。关键词：恒成立；参数；解题方法一、一元二次不等式中的恒成立问题例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴00（或f（x）

≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。二、在给定区间上恒成立问题例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ）令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立，即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等

变量与函数教案

14.1变量与函数教学目标： 1、引导学生在探索生活情境中的数量关系和变化规律的过程中，自主建构常量和变量的概念、函数的定义，渗透函数的三种表示方法。 2、引导学生通过对比、总结两个变量之间的关系，从而理解函数概念的实质，体验函数是研究运动变化的重要数学模型。 3 培养学生观察、比较、分析、总结、概况的能力和良好的合作学习品质。教学重点：函数的概念。教学难点：函数概念的形成过程。教学过程：一、设置情境，激发探求兴趣（课前）投影一组运动变化的图片——感受变化的世界。在前面我们都是用定量的方法研究客观的世界。但是在生活中啊，我们经常会遇到一个量随着另一个量的变化而变化的问题，比如我们同学的身高随——年龄而变化，一天中的气温随着时间的变化而变化，圆的半径如果发生变化它的周长和面积也发生了变化……从这节课开始，我们将走进一个变量的世界，一起来探究它的奥秘。——板书课题：变量二、实例探究，学习常量、变量的概念 1、我们还是从大家比较熟悉的行程问题开始分析研究（投影）实例1：一辆汽车以60千米/时的速度在公路上行驶，行驶的时间为t小时，行驶的路程为s千米．请根据题意填表，再用含t的式子表示s。（指着表格）当t的值继续变化时，s会怎样？——s会随着t的值变化而变化。——这就是一个变化的过程。那么，这个变化过程我们用一个式子来表示——s=60t 小结：这个问题反映了________随_________的变化过程。在这个变化过程中涉及到哪几个量？数值始终不变的量是什么？数值发生变化的量是哪些？ 2、（幻灯片出示）我们生活中还有很多的例子，比如说物理中的弹簧称的问题，圆面积的问题。你能用像刚才分析问题的方法，先列式，然后对提出的问题进行讨论吗？实例2：如果弹簧原长10cm，每悬挂1千克重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为ιcm,怎样用含m的式子表示ι？