初中数学 代数式化简 因式分解 课件
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初中数学 代数式化简 因式分解 课件
（2）由图2，得
＝
（3） ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1)（如图3）．
(4)如图4，分解 系数及常数项，验证 系数分解后交叉相乘的和，是否等于原式xy系数， 系数、 系数分解后与常数分解后交叉相乘后的和是否分别等于原式x、y项的系数。得：
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=(x+2y-3)(2x-11y+1)
因式分解是数学代数式运算的一项重要技能，在代数式化简、解方程、解不等式中都有重要的应用，主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法、待定系数法、求根法。熟练掌握因式分解技能的关键在哪里呢？
“打蛇打七寸”，就是打蛇要打蛇致命的地方。要熟练因式分解这项技能，就必须掌握对不同因式分解方法的关键之处，解题时能得心应手地抓住要害，选择行之有效的方法。
即有a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立。
点评：公式法因式分解，首先要熟悉公式特征，灵活运算公式及公式的变形。首先得熟悉公式的特征，做题时，看到题目中有式子与公式中的形式特征相同，自然就有办法了。
【实战演练】
1．分解因式：
（1） ；（2） ；（3）x2＋x－(a2－a)
2． 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状．
(2)计算： ；
解：(1)解：∵ ，
∴ 解得 。
（2）解：由（1）可知
＝ 。
点评：题中是代数式的裂项相消运算，是拆项化简的一种方法。
例3求以下函数的最大值或最小值：
(1) (2)
解：(1) ；故函数有最大值3。
(2)令 则 。
又 ，当 时取等号，故函数有最小值4。
点评：常数分离是分式化简的重要方法，关键是把分子配凑成关于分母的代数式，再进行约分消元，把分母进行整体代换是常用的技巧，如例3（2）。
＝
（3） ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1)（如图3）．
(4)如图4，分解 系数及常数项，验证 系数分解后交叉相乘的和，是否等于原式xy系数， 系数、 系数分解后与常数分解后交叉相乘后的和是否分别等于原式x、y项的系数。得：
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=(x+2y-3)(2x-11y+1)
因式分解是数学代数式运算的一项重要技能，在代数式化简、解方程、解不等式中都有重要的应用，主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法、待定系数法、求根法。熟练掌握因式分解技能的关键在哪里呢？
“打蛇打七寸”，就是打蛇要打蛇致命的地方。要熟练因式分解这项技能，就必须掌握对不同因式分解方法的关键之处，解题时能得心应手地抓住要害，选择行之有效的方法。
即有a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立。
点评：公式法因式分解，首先要熟悉公式特征，灵活运算公式及公式的变形。首先得熟悉公式的特征，做题时，看到题目中有式子与公式中的形式特征相同，自然就有办法了。
【实战演练】
1．分解因式：
（1） ；（2） ；（3）x2＋x－(a2－a)
2． 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状．
(2)计算： ；
解：(1)解：∵ ，
∴ 解得 。
（2）解：由（1）可知
＝ 。
点评：题中是代数式的裂项相消运算，是拆项化简的一种方法。
例3求以下函数的最大值或最小值：
(1) (2)
解：(1) ；故函数有最大值3。
(2)令 则 。
又 ，当 时取等号，故函数有最小值4。
点评：常数分离是分式化简的重要方法，关键是把分子配凑成关于分母的代数式，再进行约分消元，把分母进行整体代换是常用的技巧，如例3（2）。
因式分解法-ppt课件
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
x1=2，x2=-1.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
x1
1 2
,
x2
1. 2
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
完全平方公式 平方差公式
课后作业
1.用合适的方法法解下列一元二次方程. (1)(5x)2-9=16； (2)x2+4x+5=2； (3)2x2-3x-2=0； (4)(x-2)(x-3)=12；
2.填空 ①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2=2(x-2). (1）适合运用直接开平方法 ② ⑥ ； (2）适合运用因式分解法 ③ ⑤ ⑨ ； (3）适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ； (4）适合运用配方法 ④ . 【提示】每个题都有多种解法，选择更 合适的方法，可以简化解题过程！
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
因式分解ppt
因式分解什么是因式分解？在代数学中，因式分解是指将一个多项式表达式写成两个或多个乘积的形式。
通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式，更好地理解和计算。
为什么要进行因式分解？因式分解有很多实际应用，尤其在代数学和求解方程问题中非常重要。
以下是因式分解的几个重要作用：1.简化计算：通过将多项式进行因式分解，我们可以将复杂的计算简化为一系列简单的乘法运算。
2.找到根：通过因式分解，我们可以将多项式等式转化为相等的乘法形式，从而更轻松地找到方程的解。
3.转化问题：将多项式进行因式分解，可以让问题转化为更容易解决的形式。
因式分解的基本方法公因式提取法公因式提取法是最常用的因式分解方法，它基于以下原则：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，则可以将这个因子提取出来。
下面是一些例子来解释这个方法。
例子1：将多项式2x^2 + 4x进行因式分解。
首先观察多项式的每一项，我们发现每一项都有2x这个因子，因此我们可以将2x提取出来：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)我们得到了因式分解的结果。
例子2：将多项式6a^3b^2 + 9ab^2进行因式分解。
观察多项式的每一项，我们发现每一项都有3ab^2这个因子，因此我们可以将3ab^2提取出来：6a^3b^2 + 9ab^2 = 3ab^2(2a^2 + 3)我们得到了因式分解的结果。
分组法分组法是另一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在四项及以上的情况。
下面是一个例子来解释这个方法。
例子3：将多项式x^3 + x^2 + x + 1进行因式分解。
这个多项式有四项，我们可以将其分为两组：(x^3 + x^2) + (x + 1)在每一组中，我们可以提取因子x^2和1：x^2(x + 1) + 1(x + 1)现在，我们可以再次提取公因子(x + 1)：(x + 1)(x^2 + 1)我们得到了因式分解的结果。
公式法公式法适用于特定的多项式形式，包括差平方和、和平方差、二次三项完全平方等。
《因式分解》ppt课件
因式分解涉及多次运算，强调 计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
代数式ppt
02
代数式的分类和表示
单项式、多项式
代数式的分类
按照项数
一次式、二次式、三次式、...
按照次数
整数系数代数式、有理数系数代数式、实数系数代数式、复数系数代数式
按照系数
符号表达式
用符号表示代数式的形式和运算关系
文字表达式
用文字描述代数式的形式和运算关系
图形表达式
用图形表示代数式的形式和运算关系
代数式的表示方法
代数式的性质
交换律：$a+b=b+a$
分配律：$a(b+c)=ab+ac$
结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
$
03
解代数式
解代数式是指通过代数运算求出给定代数式的值或解析式的过程。
定义
代数式的形式可以是一个多项式、分式或其他类型的函数。
代数式的形式
解代数式的定义
解代数式的方法
将已知值代入代数式中，求出未知数的值。
合并同类项
代数式的化简
将代数式中所有公因式提取出来，例如：$ax+ay=a(x+y)$
提取公因式
运用一些特定的公式进行因式分解，例如：$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
运用公式法
将代数式分解为两个一次因式的乘积
十字相乘法
代数式的因式分解
பைடு நூலகம்
代数式的运算规则
两个代数式相加，可以交换位置，例如：$a+b=b+a$
代数式的分类
代数式可以用数学符号、文字或图形等多种方式表示。
代数式的表示方法
03
代数的发展历程
自16世纪以来，代数得到了快速发展，成为现代数学的重要分支。
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
中考数学复习课件第五节代数式求值及因式分解课件
式
方法
a2±2ab＋b2
___(a_±__b_)_2__
整式乘法
分
解
一般
步骤
代数式求值
1．已知 a＝7－3b，则代数式 a2 Nhomakorabea6ab＋9b2 的值为 49 ．
2．已知当 x ＝1 时，2ax2＋bx 的值为 3，则当 x ＝2 时，ax2＋bx 的值 为 6． 3．已知 x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式 x2＋4xy＋4y2 的值为 0.36 ．
式
非负数 1.所有非负数均大于或等于0，常见非负数有|a|，a ，a2
求 值
与非负
的性质
2.几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0
数结合
常见的
若a2＋|b|＝0；若a2＋ 非负数
若a2＋b2＝0；若|a|＋ 情势
b＝0；若|a|＋ b ＋c2＝0
b ＝0； ⇒a＝b＝c=___0___
1.把一个多项式化为几个整式的____积_____的情势 目的 2.必须分解到每一个因式都不能再分解为止
因 式 分 基本 解 方法
ma＋mb＋mc＝_m_(_a_＋__b_＋__c_)__ 提公 因式法 公因式的 系数:取各系数的最大公约数
字母：取各项相同的字母 确定
指数：取各项相同字母的最低次数
分解因式
公式法:a2－b2 整式乘法 _(_a_＋__b_)_(_a_－__b_) ____
因 基本
分解因式
直接代入法 整体代入法 与非负数结合
代数式 求值
代数式求值 及因式分解
因式分解
目的 基本方法 一般步骤
直接代入法：把已知字母的值直接代入运算
整体代入法：将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系，一般会用到提公
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3．若关于x的方程 的两个实数根是 、 ，则二次三项式 就可分解为 ，同样，若x=x0时，关于ｘ的代数式等于零，则该代数式必有一个因式x－x0，这是因式分解方法中的求根法。用求根法分解因式：
（1） ；（2）
答案：
1．（1） ；(2) ；(3) 。
2．等边三角形
3.（1） ；（2） (观察得根x=2有因式ｘ－2)。
【实战演练】
1.(1)若 ，则 ______ __。
(2)已知 ，则 ____________________。
2．利用完全平方公式化简：（1） ； （2） ．
3．试证：对任意正整数n， ＜ ．
Hale Waihona Puke 答案：1.(1) ；(2)1；2．(1) ；(2) 。
3．提示： .
第08招 蛇打七寸
---突破因式分解
【绝招传授】
点评：“拆两边，验中间”，不是一拆了之，关键还要验算“交叉相乘后，积的和等于中间项系数”，也是“拆”的目标。
例2分解因式：a3+b3+c3-3abc，若a、b、c为正数，证明a3+b3+c3≥3abc．
分析：分析代数式特点，须用立方和或全立方公式，而直接用立方和公式行不通，所以，考虑用公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
即有a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立。
点评：公式法因式分解，首先要熟悉公式特征，灵活运算公式及公式的变形。首先得熟悉公式的特征，做题时，看到题目中有式子与公式中的形式特征相同，自然就有办法了。
【实战演练】
1．分解因式：
（1） ；（2） ；（3）x2＋x－(a2－a)
2． 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状．
解析：原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
考虑分解后的后面一个因式结构特点，联想公式 ，可得：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) [(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2］≥0。
提取公因式法，关键要分析式子各部分的相同因式；
公式法的关键是分析式子特点，寻找与公式相同的结构，有针对性地应用公式；
用十字相乘法分解二次三项式 ( )，是因式分解中最重要的内容之一，其原理是运算关系式 =(a1x+b1)(a2x+b2)。关键是分解a、c，使a=a1.a2、c=b1.b2，并要求b=a1b2+a2b1，可用“拆两边，验中间”六个字来概括。
第07招 看菜吃饭
---代数式化简绝招式连连看
【绝招传授】
看菜吃饭，量体裁衣，说的是遇到具体问题要具体分析。在数学中，遇到不同特点的代数式，它们最有效的化简方法也各不相同；适用于一类重要代数式的化简方法，在高中的代数式运算中有着不可替代的作用，也是数学学习中必备技能。
熟练掌握代数式化简，首先要理解、记住并用熟以下公式：
(2)计算： ；
解：(1)解：∵ ，
∴ 解得 。
（2）解：由（1）可知
＝ 。
点评：题中是代数式的裂项相消运算，是拆项化简的一种方法。
例3求以下函数的最大值或最小值：
(1) (2)
解：(1) ；故函数有最大值3。
(2)令 则 。
又 ，当 时取等号，故函数有最小值4。
点评：常数分离是分式化简的重要方法，关键是把分子配凑成关于分母的代数式，再进行约分消元，把分母进行整体代换是常用的技巧，如例3（2）。
①平方差公式
②立方(和)差公式：
③完全平方公式 ，
④全立方公式
在高中数学学习中，必须熟练掌握以下类型的代数式及它们的化简方法。
(1)含根式代数式化简：利用 (左边两个因式叫做互为共轭根式)
(2)代数式的拆与并：利用 、
(3)分离常数：如 类型式子，通常把分子配凑成关于分母的式子，消去分子中的变量，也可令分母为t，化为关于t的代数式。通常又称作分离常数法。
因式分解是数学代数式运算的一项重要技能，在代数式化简、解方程、解不等式中都有重要的应用，主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法、待定系数法、求根法。熟练掌握因式分解技能的关键在哪里呢？
“打蛇打七寸”，就是打蛇要打蛇致命的地方。要熟练因式分解这项技能，就必须掌握对不同因式分解方法的关键之处，解题时能得心应手地抓住要害，选择行之有效的方法。
如 。
(4)连比(或等)式：如 、a:b:c=1:2:3，常设其值为k。如演练1(2)。
【典例分析】
例1.(1)已知 ，求 的值．
(2)化简 。
解：(1)∵ ，
，
∴ 。
(2)原式＝ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
点评：利用共轭根式进行有理化运算，是含根式的代数式化简的基本方法。
例2．(1)若 ，求常数 的值。
【典例分析】
例1用十字相乘法分解因式：
（1）x2－3x＋2（2）
(3) (4)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3
解析：（1）如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，
所以，x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
（2）由图2，得
＝
（3） ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1)（如图3）．
(4)如图4，分解 系数及常数项，验证 系数分解后交叉相乘的和，是否等于原式xy系数， 系数、 系数分解后与常数分解后交叉相乘后的和是否分别等于原式x、y项的系数。得：
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=(x+2y-3)(2x-11y+1)
（1） ；（2）
答案：
1．（1） ；(2) ；(3) 。
2．等边三角形
3.（1） ；（2） (观察得根x=2有因式ｘ－2)。
【实战演练】
1.(1)若 ，则 ______ __。
(2)已知 ，则 ____________________。
2．利用完全平方公式化简：（1） ； （2） ．
3．试证：对任意正整数n， ＜ ．
Hale Waihona Puke 答案：1.(1) ；(2)1；2．(1) ；(2) 。
3．提示： .
第08招 蛇打七寸
---突破因式分解
【绝招传授】
点评：“拆两边，验中间”，不是一拆了之，关键还要验算“交叉相乘后，积的和等于中间项系数”，也是“拆”的目标。
例2分解因式：a3+b3+c3-3abc，若a、b、c为正数，证明a3+b3+c3≥3abc．
分析：分析代数式特点，须用立方和或全立方公式，而直接用立方和公式行不通，所以，考虑用公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
即有a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立。
点评：公式法因式分解，首先要熟悉公式特征，灵活运算公式及公式的变形。首先得熟悉公式的特征，做题时，看到题目中有式子与公式中的形式特征相同，自然就有办法了。
【实战演练】
1．分解因式：
（1） ；（2） ；（3）x2＋x－(a2－a)
2． 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状．
解析：原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
考虑分解后的后面一个因式结构特点，联想公式 ，可得：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) [(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2］≥0。
提取公因式法，关键要分析式子各部分的相同因式；
公式法的关键是分析式子特点，寻找与公式相同的结构，有针对性地应用公式；
用十字相乘法分解二次三项式 ( )，是因式分解中最重要的内容之一，其原理是运算关系式 =(a1x+b1)(a2x+b2)。关键是分解a、c，使a=a1.a2、c=b1.b2，并要求b=a1b2+a2b1，可用“拆两边，验中间”六个字来概括。
第07招 看菜吃饭
---代数式化简绝招式连连看
【绝招传授】
看菜吃饭，量体裁衣，说的是遇到具体问题要具体分析。在数学中，遇到不同特点的代数式，它们最有效的化简方法也各不相同；适用于一类重要代数式的化简方法，在高中的代数式运算中有着不可替代的作用，也是数学学习中必备技能。
熟练掌握代数式化简，首先要理解、记住并用熟以下公式：
(2)计算： ；
解：(1)解：∵ ，
∴ 解得 。
（2）解：由（1）可知
＝ 。
点评：题中是代数式的裂项相消运算，是拆项化简的一种方法。
例3求以下函数的最大值或最小值：
(1) (2)
解：(1) ；故函数有最大值3。
(2)令 则 。
又 ，当 时取等号，故函数有最小值4。
点评：常数分离是分式化简的重要方法，关键是把分子配凑成关于分母的代数式，再进行约分消元，把分母进行整体代换是常用的技巧，如例3（2）。
①平方差公式
②立方(和)差公式：
③完全平方公式 ，
④全立方公式
在高中数学学习中，必须熟练掌握以下类型的代数式及它们的化简方法。
(1)含根式代数式化简：利用 (左边两个因式叫做互为共轭根式)
(2)代数式的拆与并：利用 、
(3)分离常数：如 类型式子，通常把分子配凑成关于分母的式子，消去分子中的变量，也可令分母为t，化为关于t的代数式。通常又称作分离常数法。
因式分解是数学代数式运算的一项重要技能，在代数式化简、解方程、解不等式中都有重要的应用，主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法、待定系数法、求根法。熟练掌握因式分解技能的关键在哪里呢？
“打蛇打七寸”，就是打蛇要打蛇致命的地方。要熟练因式分解这项技能，就必须掌握对不同因式分解方法的关键之处，解题时能得心应手地抓住要害，选择行之有效的方法。
如 。
(4)连比(或等)式：如 、a:b:c=1:2:3，常设其值为k。如演练1(2)。
【典例分析】
例1.(1)已知 ，求 的值．
(2)化简 。
解：(1)∵ ，
，
∴ 。
(2)原式＝ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
点评：利用共轭根式进行有理化运算，是含根式的代数式化简的基本方法。
例2．(1)若 ，求常数 的值。
【典例分析】
例1用十字相乘法分解因式：
（1）x2－3x＋2（2）
(3) (4)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3
解析：（1）如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，
所以，x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
（2）由图2，得
＝
（3） ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1)（如图3）．
(4)如图4，分解 系数及常数项，验证 系数分解后交叉相乘的和，是否等于原式xy系数， 系数、 系数分解后与常数分解后交叉相乘后的和是否分别等于原式x、y项的系数。得：
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=(x+2y-3)(2x-11y+1)