2021年极坐标与参数方程含答案经典39题整理版
高中数学极坐标与参数方程大题及答案
高中数学极坐标与参数方程大题及答案一、题目1.将直角坐标方程x2+y2=4转化为极坐标方程，并求出对应的参数方程；2.已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并作图；3.曲线的参数方程为 $x=\\sin\\theta$，$y=\\cos\\theta$，求对应的直角坐标方程并判断曲线形状。
二、解答1. 将直角坐标方程转化为极坐标方程给定直角坐标方程x2+y2=4，我们可以假设 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，将其带入方程得：$(r\\cos\\theta)^2+(r\\sin\\theta)^2=4$化简得：$r^2(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta)=4$由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，所以方程可以简化为r2=4，即r=±2。
因此，直角坐标方程x2+y2=4对应的极坐标方程为r=2和r=−2。
对应的参数方程为：当r=2时，$x=2\\cos\\theta$，$y=2\\sin\\theta$；当r=−2时，$x=-2\\cos\\theta$，$y=-2\\sin\\theta$。
2. 求曲线的直角坐标方程并作图已知曲线的极坐标方程为 $r=2\\cos\\theta$，我们将其转化为直角坐标方程。
利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r\\cos\\theta$，$y=r\\sin\\theta$，我们将$r=2\\cos\\theta$ 代入得：$x=2\\cos\\theta\\cos\\theta=2\\cos^2\\theta$$y=2\\cos\\theta\\sin\\theta=\\sin2\\theta$所以，曲线的直角坐标方程为 $x=2\\cos^2\\theta$，$y=\\sin2\\theta$。
我们现在来作图，首先确定参数的范围。
(完整word版)高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆Ma 的值．解：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；(5分）（2）把直线l的参数方程431x t ay t=-+⎧⎨=-⎩（t为参数）化为普通方程得：34340x y a+-+=，∵直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心(0,3)M到直线l的距离|163|19522ad a-===⇒=或376a=，∴376a=或92a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。
解：(1)∵曲线c的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsincosyx代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ(2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c到直线l的距离为d=22=2∴弦长为225-=234．已知曲线C：2219xy+=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）设(3cos ,sin )P αα，P 到直线l的距离d =ϕ为锐角，且1tan 3ϕ=）当cos()1αϕ+=时，P 到直线l的距离的最大值max d =5．设经过点(1,0)P -的直线l 交曲线C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60α=时，求||||PA PB +与||||PA PB ⋅的值．解：（1）C ：22143x y +=．（2）设l：112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立得：254120t t --=1216||||||5PA PB t t +=-==，1212||||||5PA PB t t ⋅==6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB⋅．解：（1）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为θρsin 6=. （2）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +--=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为)4ρθπ=+.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB+的值.解：（1）由)4ρθπ=+，展开化为2(cos sin )4(cos sin )2ρρθρθρθρθ=-=-，将代入,得22440x y x y +-+-， 所以，圆C 的直角坐标方程是22440x y x y +-+-. cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）把直线l的参数方程2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：240t +-=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121240t t t t +=-⋅=-<，所以12t t -==∴121212111142t t PA PB t t t t -+=+===⋅.8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194x y +=（2）曲线C 的标准方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ==0αϕ∴-=时，mind =98(,)55M9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点. （1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)(1)_看图王
方程． C1 与 C2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
29．在平面直角坐标系
xoy
中，圆
C
的参数方程为
x
y
4 cos 4 sin
（
为参数），直线
l
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，并求 | MA | | MB | 的值．
(2, )
6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 3 ，半径 r=1，P 在圆 C 上运动。 （I）求圆 C 的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O 为原点， 以极轴为 x 轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP 的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
程是
4 cos
，直线 l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
（t
为参数）。求极点在直线 l
上的射影点
P
的
极坐标；若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点，求 MN 的最小值。
x 4 cos
8．平面直角坐标系中，将曲线
y
sin
（ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的
为
t
2
，Q
为
C
2
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线
C3
:
2x
y
7
0
（t
为参数）距离的最大值。
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◎
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极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题)在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为)4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.8．平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.21, 233t y t x （t 为参数）．求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
极坐标参数方程大题(含答案)
1、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程； （2与圆交于点，求线段的长.2、在直角坐标系中，以原点为极点，点的，点，曲线．（1和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.3、在平面直角坐标系中，直线（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为 （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求xOy C O xC C ,M N MN O A B 22:(1)1C x y -+=AB O l C M AB N ||||2OM ON =l xOy l t O x C l C P C l B A ,4、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线和曲线的普通方程； （2）已知点，且直线和曲线交于两点，求的值5、在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. （1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.6、在平面直角坐标系中，直线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若是直线C最大值.xOy C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k x l l C (2,0)P l C A B ，||||||PA PB -l ()0,1P x C 4sin ρθ=l C l C A B 、xoy l t x 2sin ρθ=l ()1,A ρθl参考答案1、【答案】（1（2试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标代入，得到，所以试题解析： （1（2得，∴，，∴2、【答案】（1）,；（2）.试题分析：（1）将代入化简得.同理求出点,的直角坐标分别为,，所以的直角坐标方程为，极坐标方程为；（2）设射线，代入曲线得,代入直线得：，代入求得，即方程为. 试题解析：(1)点,的直角坐标分别为,，所以直线的极坐标方程为；曲线化为极坐标为(2)设射线，代入曲线得,代入直线得：所以射线所在直线的直角坐标方程为 考点：坐标系与参数方程.cos ,sin x y ρθρθ==2250ρρ--=2250ρρ--=122ρρ+=125ρρ=-2cos ρθ=sin 3ρθ=3y x =cos ,sin x y ρθρθ==22(1)1x y -+=2cos ρθ=A B (0,3)A AB 3y =sin 3ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB ||||2OM ON =tan 3α=3y x =A B (0,3)A AB sin 3ρθ=C 2cos ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB l 3y x =3、【答案】（1（2试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法．试题解析：（1得直线得圆的直角坐标方程为把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得故可设，又直线l ，两点对应的参数分别为，，考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与圆的综合问题．4、【答案】（1）（2试题分析：（1）消去曲线C 中的参数可得C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的普通方程.（2）由直线的普通方程可知直线过P ，写出直线的参数方程，与曲线C 的普通方程联立，利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果. 【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数，得曲线的普通方程为y x ,y x ,θρcos =x θρsin =y θρcos θρsin 2ρρl C l C 1t 2t B A ,1t 2t 24y x =l l l C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k k C 24y x =因为直线所以直线（2）因为直线经过点，所以得到直线（为参数）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及参数的几何意义，属于中档题.5、【答案】（1）直线(为参数）；曲线的直角坐标方程为；（2试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线的参数方程，利用化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方试题解析：（1）直线(为参数）. ∵，∴，∴，即， 故曲线的直角坐标方程为.l l l 20P （，）l t l C l t C ()2224x y +-=l y sin ,x cos ρθρθ==l t 4sin ρθ=24sin ρρθ=224x y y +=()2224x y +-=C ()2224x y +-=（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，显然,∴,∴6、【答案】（1，曲线；（2）2试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，利用公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2这个最大值易求．【详解】（1）∵直线（为参数），∴消去参数，得直线由，得直线C的极坐标方程为，即，∴由，，得曲线C的直角坐标方程为.（2）∵在直线C上，l C230t t--=∆>2121,3lt t t t+==-2220x y y+-=cos,sinx yρθρθ==l tlcos,sinx yρθρθ==l2sinρθ=22sinρρθ=222x yρ=+sin yρθ=2220x y y+-=()1,Aρθl2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公是解题基础，在求论易得，学习时应注意体会．cos,sinx yρθρθ==。
极坐标与参数方程题型及答案
极坐标与参数方程题型及答案数学选择题：1. 下列哪个极坐标表示点(3, 5)？A. (5, 53.13°)B. (3, 53.13°)C. (5, 37.12°)D. (3, 37.12°)答案：A2. 唯一表示点(-4, 60°)的极坐标是A. (4, 60°)B. (4, 120°)C. (-4, 60°)D. (-4, 240°)答案：C3. 参数方程x = 2cosθ、y = 3sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 表示的图形是A. 长方形B. 正方形C. 长椭圆D. 圆答案：C4. 必要条件方程x = 1 + cosθ、y = 2 + sinθ （0 ≤ θ ≤ 2π）表示的图形是A. 点B. 圆C. 椭圆D. 双曲线答案：B填空题：1. 将极坐标(4, 240°)转化为直角坐标形式，其对应的坐标为(______, ______)。
答案：(-2, -3.46)2. 给出参数方程x = 2cosθ、y = 5sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 所表示直线的斜率，其斜率为 _______。
答案：2.5判断题：1. 下列哪些图形可以由参数方程表示？I. 点 II. 圆 III. 双曲线 IV. 三角形A. I、II、IIIB. I、II、IVC. II、III、IVD. I、II、III、IV答案：B2. 唯一表示点(4, 30°)的极坐标是(4, π/6) 。
答案：正确简答题：1. 极坐标系表示的是平面直角坐标系的哪些信息不同？答案：极坐标系表示的是点与极点之间的距离和点与极轴的夹角，而直角坐标系则表示的是点在x、y轴之间的坐标。
2. 怎样将一个极坐标转换为另一个等价的极坐标？答案：若(r, θ)为一个点在极坐标系中的坐标，则其等效于(r, θ + 2kπ) (k 为整数)。
3. 参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的图形是什么？有何特点？答案：参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的是单位圆，其特点是对于任意θ值，点到原点的距离都是1。
极坐标与参数方程高考题(含答案)
极坐标与参数方程高考题1。
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求12,C C 的极坐标方程.(II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=,2ρ=,｜MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12。
2。
已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:(t 为参数) （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.解:（1）曲线C 的参数方程为(θ为参数)。
直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2）曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ—6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)—6|，其中α为锐角，且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，当sin （θ+α)=1时,｜PA|取得最小值, 3。
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,（1）求C 的参数方程;（2）设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1)。
极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解(可编辑修改word版)
⎩ ⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t A + t B．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r cosy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数） （或x = b c os ）y = a s in中 心 在 点 （ x0,y0） 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B○2 0x = a s ec （为参数） （或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x 0 + t cos（t 为参数）．⎨⎩ y = y 0+ t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程测试题及答案
极坐标与参数方程测试一、选择题（每题 4 分）1．点 M 的极坐标 (5,2) 化为直角坐标为（C ）3A ． (5 , 5 3 ) B ．(5, 53) C ．(5,5 3) D ．(5,5 3)222222222．点 M 的直角坐标为 (3, 1) 化为极坐标为（B ）A ． (2, 5 )B． (2, 7 ) C ．(2,11 ) D ． (2, )66663．已知曲线 C 的参数方程为x 3t(t 为参数 ) 则点 M 1 (0,1), M 2 (5,4) 与曲线 Cy 2t21的地点关系是（ A ）A ． M 1 在曲线 C 上，但 M 2不在。
B ． M 1不在曲线C 上，但 M 2 在。
C ． M 1 ， M 2都在曲线 C 上。
D． M 1， M 2 都不在曲线 C 上。
4．曲线 5 表示什么曲线（ B）A ．直线B．圆C．射线D ．线段5．参数方程x t 1(t 为参数 ) 表示什么曲线（C ）y1 2 tA ．一条直线B．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆x 3 cos)6．椭圆1( 为参数 ) 的两个焦点坐标是 (By5sinA ． (-3 ， 5) ， (-3 ， -3)B ．(3 ，3) ，(3，-5)C ．(1 ，1)， (-7 ， 1)D ．(7 ，-1) ， (-1 ，-1)7．曲线的极坐标方程 ρ=４sin θ 化 成直角坐标方程为 ( A)A ． x 2+(y+2) 2=4B ． x 2+(y-2) 2=4C ． (x-2) 2+y 2=4D ． (x+2) 2+y 2=48．极坐标方程 4sin2θ=3 表示曲线是 (D)A．两条射线 B ．抛物线C．圆D．两条订交直线x 2 cosD ) 9．直线： 3x-4y-9=0 与圆：，( θ为参数 ) 的地点关系是 (y2sinA．相切 B ．相离C．直线过圆心 D ．订交但直线可是圆心10．双曲线x2tanC ) y 1( θ为参数 ) 的渐近线方程为 (2 secA．y 11( x2) B ．y 1 x 22C．y 12( x 2) D ．y 12(x 2)二、填空题（每题 5 分，共 20 分）x t 12 t11．双曲线y t11tx cos12．参数方程1cosy sin1cos 的中心坐标是。
2021高三数学专题 极坐标与参数方程(有答案)
2021高三数学专题极坐标与参数方程（有答案）2021高三数学专题-极坐标与参数方程（有答案）2022高级三数学题-极坐标和参数方程一、线段乘积1.【选修课4-4：坐标系与参数方程】（本课题满分10分）1?x?1?t?2?在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为?（t为参数），椭圆c的参数方程Y3t？？2.十、余弦？，对于（？是一个参数）让线L和椭圆C在两点a和B相交，求出线ab的长度y?2sin??【答案】167注a为固定点2、(2021三省三校一模)以直角坐标系的原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相等的长度单位，曲线c的极坐标方程为?sin2??4cos?⑴求曲线c的直角坐标方程⑵设过点p（2,0）倾斜角为11 直线L和曲线C在a点和B点相交，求出6|pa||pb|答案：⑴y?4x⑵25/41? 十、T23.例如，已知直线L的参数方程为：？，曲线C的极坐标方程为？？22sin（？？）直线L4？Y1.3t？2.在a点和B点与曲线C相交，在P点与y轴相交，⑴求出直线L的一般方程和曲线C的直角坐标方程⑵4、已知直线l经过点p(,1)倾斜角??11? papb512?6，圆c的极坐标方程为??2cos(4)第1页，共1页⑴写出l的参数方程，并把圆c的方程化为直角坐标方程⑵设l与圆相交于a，b，求p到a，b的距离之积14? 3倍？5.T25.（2022湖南）已知直线L:？（t为参数），坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴？Y3.1吨？？2建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为？？2cos？。
（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设点m的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线c的交点为a，b，求|ma|?|mb|的值.【答案】（1）x?y?2x?0；（2）18..6、（10福建）选修4-4：坐标系与参数方程22? 2倍？3.T2在直角坐标系xoy中，线L的参数方程是？（t是参数）。
选修专题极坐标与参数方程(含答案)
2021高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1．极坐标的根本概念极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的〔极角相差2的正数倍〕．2．极坐标与直角坐标的互化．假设极点在原点且极轴为x轴的正半轴，那么平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：x＝ρcosθ，x2＋y2，tanθ＝y，或者ρ＝y＝ρsinθx其中要结合点所在的象限确定角θ的值，一般取[0,2).3．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：x＝x0＋tcosα，y＝y0(t为参数)，＋tsinα其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论：①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，那么|AB|＝|tB－tA|＝〔t B＋t A〕2－4t A·t B；②线段AB的中点所对应的参数值等于tA＋tB.2(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：x＝x0＋rcosθ，(θ为参数)y＝y0＋rsinθ(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：x＝acosθ，x＝bcosθ，(θ为参数)或.y＝bsinθy＝asinθ4．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．1高考热点突破〔掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与普通方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提〕例：在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为 x tcos〔t 为参数， y tsin〕，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为p 〔p0〕，写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程.cos1突破点1：求交点坐标x 4 5cost,(2021全国1卷)曲线C 1的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，55sint轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将x45cost,消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，y 55sint 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将xcos,代入 x 2＋y 2－8 x－10＋16＝0得ysinyρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由x 2 y 2 8x 10y160,x 2y 2 2y解得x 1, 或 x 0,所以C 1与C 2交点的极坐标分别为2,π，2,π.y 1 y2.42相关练习：x 1 cos1.在直角坐标系 xoy 中，圆C 的参数方程( 为参数〕,以O 为极点，x 轴的y sin 非负半轴为极轴建立极坐标系。
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*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07高考极坐标参数方程(经典39题)1．欧阳光明（2021.03.07）2．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 辨别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为)4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.8．平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变成原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍获得曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=. 21, 233t y t x （t 为*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07参数）．求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N辨别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
10．已知极坐标系下曲线C 的方程为θθρsin 4cos 2+=，直线l 经过点)4,2(πP ，倾斜角3πα=. （Ⅰ）求直线l 在相应直角坐标系下的参数方程;（Ⅱ）设l 与曲线C 相交于两点B A 、，求点P 到B A 、两点的距离之积.11．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中．曲线2C的极坐标方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）辨别把曲线12C C 与化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们辨别暗示什么曲线．（Ⅱ）在曲线1C 上求一点Q ，使点Q 到曲线2C 的距离最小，并求出最小距离．12．设点,M N 辨别是曲线2sin 0ρθ+=和sin()42πρθ+=上的动点，求动点,M N 间的最小距离.13．已知A 是曲线θρcos 3=上任意一点，求点A 到直线1cos =θρ距离的最年夜值和最小值.14．已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=，点1F 、2F 为其左，右焦点，直线l 的参数方程为)(22222R t t t y t x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数，． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求点1F 、2F 到直线l 的距离之和. 15．已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．（1）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．16．已知1O 的极坐标方程为4cos ρθ=．点A 的极坐标是(2,)π.（Ⅰ）把1O 的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点A 的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）点M （x y 00，）在1O 上运动，点(,)P x y 是线段AM 的中点，求点P 运动轨迹的直角坐标方程．17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为24π)，求直线l 被曲线C 所截的弦长．18．已知曲线C1的极坐标方程为θρcos 4=，曲线C2的方程是4422=+y x , 直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 135135为参数）t (. （1）求曲线C1的直角坐标方程，直线l 的普通方程；（2）求曲线C 2上的点到直线l 距离的最小值. 19．在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为04=+-y x ，曲线C 的参数方程为x 3cos y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07距离的最小值．20．经过M （10，0）作直线l 交曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数）于A 、B 两点，若||MA ，||AB ，||MB 成等比数列，求直线l 的方程.21．已知曲线1C 的极坐标方程是2=ρ，曲线2C 的参数方程是θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x 是参数）． （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）求t 的取值规模，使得1C ，2C 没有公共点． 22．设椭圆E 的普通方程为2213x y += (1)设sin ,y θθ=为参数,求椭圆E 的参数方程;(2)点(),P x y 是椭圆E 上的动点,求3x y -的取值规模. 23．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:22,4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩直线l 与曲线C 辨别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若||PM ，||MN ，||PN 成等比数列,求a 的值.24．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()24πρθ-=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为对数），求曲线C 截直线l 所得的弦长. 26．已知曲线C1：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线C2：313x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）． （1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，辨别获得曲线12C C ''，．写出12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你的理由．27．求直线415(315x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩为参数）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长. 28．已知圆的方程为2226sin 8cos 7cos 80y y x x θθθ-+-++=求圆心轨迹C 的参数方程;点(,)P x y 是（1）中曲线C 上的动点，求2x y +的取值规模.29．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点(2,2)P ，倾斜角3πα=.（I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值.30．已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，*欧阳光明*创编 2021.03.07*欧阳光明*创编 2021.03.07求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程。
31．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为(3，)，求PA PB +与PA PB-．32．已知A,B 两点是椭圆14922=+yx 与坐标轴正半轴的两个交点.(1)设2sin ,y αα=为参数，求椭圆的参数方程； (2)在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB的面积最年夜，并求此最年夜值. 33．已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， C 2：2cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。