第8章 卷积码和其他纠错码

U＝u0(1)u0(2)…u0（k0）u1(1)u1(2)…u1(k0)…us(1)us(2)…us(k0)…
第8章 卷积码和其他纠错码
设编码器输出码序列为
C＝c0(1)c0(2)…c0(n0)c1(1)c1(2)…c1(n0)…cs(1) cs (2)…cs (n0)…
则编码器输出码序列中任一子码可以由如下卷积关系给出：
后一位的监督元由式（8-2）确定,即
cs(1)＝us(1) cs(2)＝us(2)
cs (3) us t (i) gt (i,3)
i 1 t 0
k0
2
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8.1.2 矩阵表述
类似(n，k)线性分组码，卷积码也用生成矩阵和监督矩 阵来描述。对于任意一个(n0,k0,m0)卷积码，其生成矩阵 G∞是一个半无限矩阵，即
cs ( j ) us t (i) gt (i, j )
i 1 ｔ＝０
k0
ｍ0
（j＝1，2，…，n0） (8－1)
式中：g(i，j)——非系统卷积码的生成序列。
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系统卷积码的码序列中任一子码Cs ，也是有n0个码元，
其前k0位与待编码的信息序列中的第s信息组us(i)相同，而 后n0-k0位监督元由生成序列生成。由于每个码中的前k0位就 是此时刻待编码的k0位信息元，所以在生成序列g(i,j)中有
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第8章
卷积码和其他纠错码
8.1 卷积码
8.2 秩距离码
8.3 8.4 8.5 突发错误的纠正 级联码及交织码 Turbo码
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8.1
8.1.1离散卷积表述
卷
积
码
分组码和卷积码两者主要差异在于卷积码编码器在任意 给定的时段，编码器的n0个输出不仅与此时段的k0个输入有 关，而且也与前m0个输入(记忆器件中存储的)有关。因此卷 积码一般可采用(n0，k0，m0)来表示，其中k0为输入码元数，
g 2 ,, g m0 ， 决定 的， 每一 个生 成子 矩阵 都是 一个 k0 n 0 阶 矩
阵。
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【例8－3】 设(3，1，2)卷积码的生成子矩阵
g 0 111
的输出码字序列。
g1 010
g 2 001
g g0 Dg 0 G 2 D g 0
g1 g0 0
g2 g1 g0
g2 g1
g m0 g2
0 g m0
0 0 g m0

（8－3）
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i 1ｔ ＝０
k0
ｍ0
(j＝k0＋1，…，n0)
（8－2）
式中：g(i，j)——系统卷积码的生成序列。
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【例8－1】 已知(3，1，2）系统卷积码的生成序列为：
g（1，1）＝[100] g（1，2）＝[g0（1，2）g1（1，2）g2（1，2）]＝[100] g（1，3）＝[g0（1，3）g1（1，3）g2（1，3）]＝[101]
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卷积码(n0，k0，m0)在任何一段规定时间内编码器产生
的n0个码元，不仅取决于这段时间中的k0个信息码元，而且 还取决于前m0段规定时间内的信息码元，设N=m0+1,编码过 程中相互关联的码元为Nn0个。它表明编码过程中互相约束 的码元数，这时，监督位监督着这N段时间内的信息。这N 段时间内的码元数目Nn0称为这种卷积码的约束长度。其编 码效率为R＝k0/n0。 设卷积码编码器输入码序列（待编码的信息序列）为
其任一子码为:
cs（1）＝us（1）
cs (2) us t (1) gt (1,2)
t 0
2
cs (3) us t (1) g t (1,3)
t 0
2
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【例8－2】 已知（3，2，2）系统卷积码的生成系列为：
g（1，3）＝[g0（1，3）g1（1，3）g2（1，3）]＝[101] g（2，3）＝[g0（2，3）g1（2，3）g2（2，3）]＝[110] 该码的任一子码Cs中前两位与us（1）、us（2）相同，而
上中式 D 是延时算子，表示一个时钟周期的延迟。 G 是一个 半无限矩阵，它有无限多的行和列。其中
g [ g 0 g 1 g 2 g m0 0 „ ]
称 做 卷积码(n0 ，k0，m0 )码的基本生成矩阵。 显 然 ，基 本生 成矩阵 g 也 是 一个 半无 限矩 阵，只要 已知 了基 本 生成 矩阵 g ，生 成矩 阵 G 也就 确定 了。从式 (8-4)还 可以 看 到， 基本 生成 矩阵 g 是 由前 m 0 +1 个 生成 子矩 阵 g 0 ， g 1 ，
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n0为输出码元数，而m0则为编码器的存储器数。典型的卷积 码一般选n0和k0(k0<n0)值较小，但存储器m0可取较大值 (m0<10)，以获得既简单又高性能的信道编码。卷积码的编 码器是由一个有k0个输入端、n0个输出端，且具有m0节移位
寄存器所构成的有限状态的有记忆系统，通常称它为时序网
络。
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k0×k0个生成序列是固定的，即:
1 ； i g (i, j ) 0 ； i
j j
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只有k0×(n0-k0)个生成序列需要给定,以便确定每个子
码中n0-k0个监督元,则码字:
cs(j)＝us（i）；(i＝j＝1，2，…，k0 )
cs ( j ) us t (i) g (i, j )
描述这类时序网络的方法很多，它大致可分为两大类
型，解析表示法与图形表示法。在解析法中又可分为离散卷 积法、生成矩阵法、码多项式法等；在图形表示法中也可分 为状态图法、树图法、格图法等。描述卷积码编译码的过程， 可以用不同的描述方法，如矩阵法、码树法、状态图法和篱 状图法等。采用何种方法与卷积码的译码方法有很大关系。 例如，在代数译码时，用矩阵法对译码原理的叙述和理解较 方便。而借助树码和篱状图能更为清晰地分析和了解概率译 码的过程和码的性能。