人教版高中数学教案：第6章：不等式,教案,课时第 (7)

第七教时

教材：不等式证明二（比较法、综合法）

目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法

证明不等式。 过程：

一、比较法：

1．复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型 2．例一、证明：3

42

2+-=x x

y 在),2[+∞是增函数。

证：设2≤x 1

4342121121

2122222212

12222-+-+--+-+-===x x x x x x x x x x x x y y

∵x 2 - x 1 > 0, x 1 + x 2 - 4 > 0 ∴1202

1

=>y y 又∵y 1 > 0， ∴y 1 > y 2 ∴3

42

2+-=x x

y 在),2[+∞是增函数

二、综合法：

定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 例二、 已知a , b , c 是不全相等的正数，

求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc

证：∵b 2 + c 2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a (b 2 + c 2) ≥ 2abc 同理：b (c 2 + a 2) ≥ 2abc , c (a 2 + b 2) ≥ 2abc ∴a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) ≥ 6abc

当且仅当b =c ,c =a ,a =b 时取等号，而a , b , c 是不全相等的正数 ∴a (b 2

+ c 2

) + b (c 2

+ a 2

) + c (a 2

+ b 2

) > 6abc 例三、 设a , b , c ∈ R ，

1︒求证：)(2

2

22b a b a +≥

+ 2︒求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++

3︒若a + b = 1, 求证：22

1

21≤+++

b a 证：1︒∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2

|2|222b

a b a b a +≥+≥+ ∴)(2

2

22b a b a +≥

+ 2︒同理：)(2

2

22c b c b +≥

+， )(2

2

22a c a c +≥

+ 三式相加：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ 3︒由幂平均不等式：

12

22

)

1(2

)

21

()21()2

121(21==++=+++≤+++b a b a b a ∴22

1

21≤+++

b a 例四、 a , b ,

c ∈R , 求证：1︒9)1

11)((≥++++c b a c b a

2︒2

9

)111)(

(≥+++++++a c c b b a c b a 3︒

2

3≥+++++b a c a c b c b a 证：1︒法一：33abc c b a ≥++, 3

1

3111abc

c b a ≥++, 两式相乘即得。 法二：左边)()()(3c

b b

c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++=

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9

2︒∵3

))()((2

3222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++

3

)

)()((1

3111a c c b b a a c c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得

3︒由上题：2

9

)111)((≥+++++++a c c b b a c b a ∴2

9

111≥++++++++

a c

b

c b a b a c 即：

2

3

≥+++++b a c a c b c b a 三、小结：综合法

四、作业： P15—16 练习 1，2 P18 习题6.3 1，2，3

补充：

1．已知a , b ∈R +

且a ≠ b ，求证：21

21

2

1

221

2)()(b a a

b b a +>+（取差）

2． 设α∈R ，x , y ∈R ，求证：y x y x +<⋅α

α

2

2

cos

sin

（取商）

3． 已知a , b ∈R +

，求证：2

)2(3

33b a b a +≤+ 证：∵a , b ∈R + ∴0)(2≥-b a ∴ab b ab a ≥+-22

∴)())((2233b a ab b ab a b a b a +≥+-+=+ ∴)(3)(333b a ab b a +≥+

∴33333)()(3)(4b a b b a ab a b a +=+++≥+

∴2

)2(3

33b a b a +≤+ 4． 设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：2

25

)1()1(22≥+++

b b a a 证：∵212=+≤

b a ab ∴41≤ab ∴41

≥ab

∴2

2

22211122112)1()1(⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+++≥+++b a b b a a b b a a 2252412211221222

2

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ab ab b a