八年级数学上册期末试卷培优测试卷
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八年级数学上册期末试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,在ABC 中,45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高,连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ,G 为BE 中点,连接AF ,DG .
(1)如图1,若点F 与点G 重合,求证:AF DF ⊥;
(2)如图2,请写出AF 与DG 之间的关系并证明.
【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.
(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出.
【详解】
解:(1)证明:设BE 与AD 交于点H..如图,
∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高,
∴∠BEA=∠ADB=90°.
∵∠ABC=45°,
∴△ABD 是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
∵∠AHE=∠BHD,
∴∠DAC=∠DBH.
∵∠ADB=∠FDE=90°,
∴∠ADE=∠BDF.
∴△DAE ≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE.
∴△FDE是等腰直角三角形.
∴∠DFE=45°.
∵G为BE中点,
∴BF=EF.
∴AE=EF.
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AFE=45°.
∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.
(2)AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,
∵点G为BE的中点,BG=GE.
∵∠BGM∠EGD,
∴△BGM≌△EGD.
∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.
∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.
∵∠DAC=∠DBE,
∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.
∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,
∴∠BDF=45°-∠DBE.
∵∠ADE=∠BDF,
∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.
∵BD=AD,
∴△BDM≌△DAF.
∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.
∵∠BDM+∠MDA=90°,
∴∠MDA+∠FAD=90°.
∴∠AHD=90°.
∴AF⊥DG.
∴AF=2DG,且AF⊥DG
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.
2.已知:平面直角坐标系中,点A(a,b)的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16=0.
(1)如图1,求证:OA是第一象限的角平分线;
(2)如图2,过A作OA的垂线,交x轴正半轴于点B,点M、N分别从O、A两点同时出发,在线段OA上以相同的速度相向运动(不包括点O和点A),过A作AE⊥BM交x轴于点E,连BM、NE,猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,F是y轴正半轴上一个动点,连接FA,过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E,连接EF,过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H,过点H作HK⊥x轴于点K,求
2HK+EF的值.
【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)8
【解析】
【分析】
(1)过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM,
根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论;
(2)如图2,过A作AH平分∠OAB,交BM于点H,则△AOE≌△BAH,可得AH=OE,由已知条件可知ON=AM,∠MOE=∠MAH,可得△ONE≌△AMH,∠ABH=∠OAE,设BM 与NE交于K,则∠MKN=180°﹣2∠ONE=90°﹣∠NEA,即2∠ONE﹣∠NEA=90°;(3)如图3,过H作HM⊥OF,HN⊥EF于M、N,可证△FMH≌△FNH,则FM=FN,同理:NE=EK,先得出OE+OF﹣EF=2HK,再由△APF≌△AQE得PF=EQ,即可得
OE+OF=2OP=8,等量代换即可得2HK+EF的值.
【详解】
解:(1)∵|a﹣b|+b2﹣8b+16=0
∴|a﹣b|+(b﹣4)2=0
∵|a﹣b|≥0,(b﹣4)2≥0
∴|a﹣b|=0,(b﹣4)2=0
∴a=b=4
过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM
∴OA平分∠MON
即OA是第一象限的角平分线
(2)过A作AH平分∠OAB,交BM于点H
∴∠OAH=∠HAB=45°
∵BM⊥AE
∴∠ABH=∠OAE
在△AOE 与△BAH 中
OAE ABH OA AB
AOE BAH ==∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
, ∴△AOE ≌△BAH (ASA )
∴AH =OE
在△ONE 和△AMH 中
OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
=, ∴△ONE ≌△AMH (SAS )
∴∠AMH =∠ONE
设BM 与NE 交于K
∴∠MKN =180°﹣2∠ONE =90°﹣∠NEA
∴2∠ONE ﹣∠NEA =90°
(3)过H 作HM ⊥OF ,HN ⊥EF 于
M 、N
可证:△FMH ≌△FNH (SAS )
∴FM =FN
同理:NE =EK
∴OE+OF ﹣EF =2HK
过A 作AP ⊥y 轴于P ,AQ ⊥x 轴于Q
可证:△APF ≌△AQE (SAS )
∴PF =EQ
∴OE+OF =2OP =8
∴2HK+EF =OE+OF =8
【点睛】
本题考查非负数的性质,平面直角坐标系中点的坐标,等腰直角三角形,全等三角形的判定和性质.
3.如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥