人教版八年级上册数学培优精编讲义

三角形面积（讲义）

一、知识点睛

1．三角形相关概念：

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的____________．

（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．

（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．

在△ABC 中，作出AC 边上的高线．

________即为所求．（4）三角形的相关定理：

2．面积问题：

（1）处理面积问题的思路：

①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．

C

B A

180⎧⎪

︒⎧⎪⎨⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

⎩边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是；角直角三角形两锐角互余；

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）处理面积问题方法举例：

①利用平行转移面积：

如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．②利用等分点转移面积：

两个三角形底相等时，面积比等于_____之比，高相等时，面积比等于_____之比．

二、精讲精练

1．现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，

那么可以组成的三角形的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其

中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．10

3．△ABC 的三边分别为4，9，x ．

（1）求x 的取值范围；

（2）求△ABC 的周长的取值范围；（3）当x 为偶数时，求x ；

（4）当△ABC 的周长为偶数时，求x ；（5）若△ABC 为等腰三角形，求x

．

l 2l 1

第2题图

4．如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 交于点O ，则结论：

①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABC 的中线．其中（ ）A ．①，②都正确B ．①，②都不正确C ．①正确，②不正确

D ．①不正确，②正确

5．如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；

在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．

6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是

（

）

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．都有可能

7．如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE

的角平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．

第7题图

第8题图

8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，

连接BD ，BE ，若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积是__________．

9．正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK

上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________．

第4题图

O

E D C

B

A 第5题图

F

A

B

D E

C A

B

C

D E

第9

题图

10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小

方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．

第10题图 第11题图

11．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸

中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是_______个．12．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，

AE =2DE ，若△ABE 的面积是4，则△ABC 的面积是_______．

第12题图 第13题图

13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，

则S △DEF =_____________．

14．如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设

△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

15．如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =_______．

A

B

C

D

E

第14题图

A

B

C D

E

F

第15题图

B

C D