学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

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新人教版八年级上册数学培优讲义(全套15讲)

第一讲三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.(第1题图)FE DBA C(例4题图)BDACE(第3题图)A BCDE FOBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)OBA C(第3题图)P OBA C(例6题图)E DAB C(第2题图)DE PC AG B F (第1题图)F E DAB C C'B'A BC2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第1题图)α22°OBMA(第2题图)B'A'AO B(第3题图)αEDCBAE D AB CF G10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形 B ． C ．2．已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a ≤b ≤c ，如果b ＝7，则这样的三角形共有( )A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个 3．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE 、CF 交于O 点，则∠BOC ＝______________. 4．在等腰△ABC 中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 5．如图，BP 平分∠ABC 交CD 于点F ，DP 平分∠ADC 交AB 于点E ，若∠A ＝40°，∠C ＝38°，则∠P ＝ ______________.6．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.(第9题图)D EBACxy EBG FOCAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC(第13题图)D E ABC4321(第12题图)DBA CG FE PAB CDBACDEF 7．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .第二讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式题组】 1．（武汉2011）下列判断中错误的是（） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 MQPABCDA F C ED B 2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．52.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A BC DO F E A C E F B D3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图B （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AFECB DA B C D F E【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【变式题组】 1．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .2．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am3．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DBF AC E NMPDD A CB FE21ABC P Q EF D1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°D C10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.B第10题图AB CDE 第9题图EABC D ABC DEF O C AEBD 第7题图第8题图D B A CE FA EB F DC BD E C l AAEF C DB 培优升级·奥赛检测1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③3．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC4．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 6．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）7．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC ＝2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图4321NM ABO DP A D EG CHBA EB DC 9．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G. 求证：GD＝GE .第三讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PNP CA B MN M N A B D C P E D A BC D CA B 321FEDCAB 1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBDSS ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDD E C A B DF E B A C第1题图D C B A第2题图D B CA E P 第3题图Q S R PBA C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A 1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC＝∠PCB .其中正确的结论个数有（）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED C AB 第10题图K NMQ CBA F BDE C A OFE D A B Cl 1l 2DC FG E P AB C D E O B A 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .培优升级·奥赛检测1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB边的距离为（） A ．18 B ．16 C ．14 D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________GPF E DCBAPD AB C Q P C B A4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD间的距离等于__________ 6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP第四讲轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【变式题组】1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．2．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。

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第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

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第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是.邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝AOCBOC21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180°∴∠EOF ＝21×180°＝90°⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P到直线l 的距离为（）A ．4cmB ．5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、ABCDEFAB CDEFPQRABCEFOEAACDO（第1题图） 143 2（第2题图）ABOl 2l 1Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A ．4对B ．8对C．12对FBAOCDECDB AEOBACDOABAEDCFEBAD14 2 365A B DCHＧEFD ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?⑴∠CBD ＝∠ADB ；⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠（已知）∴AC ∥ED （）⑵∵∠C ＝∠（已知）∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＝∠（已知）∴AB ∥DF （）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴（）又∵∠1＝∠2（已知）∴（）∴AB∥DE（）03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙3 23 4 5 6123 4甲1 A BC2 3 456 7 ABCD OABDEFCABC DEA BCDE F12ABCDEF【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BDA．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .l1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.A．60 B．55 C．50 D．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图ABCDEFA D6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A．35 B．40 C．45 D．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A．60°B． 75°C．90°D．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC 的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°321l1l2（第2题图）（第1题图）EDCBAa bABC02．（安徽）如图，直线l 1 ∥l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60°∠EFC ＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD ＝45°又∵GC ⊥CF∴∠GCF ＝90°（垂直定理）∴∠GCD ＝90°－45°＝45°∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D∴∠DBC ＋∠D ＝180°∴DF ∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACBABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EABDα12 C F（第3题图）EAFGD CB BAMCDNP（第3题图）CDABE F1 3 2G3C A 1D2 E （第1题图）A2CF 3 ED1B（第2题图）DA 2E1BCBF E ACD03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O ′Ｂ平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3.求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC∴∠EGC ＝∠ADC ＝90°（垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF.3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB∴∠1＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360°即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.ADMCNEBO/αO θβB31ABG DCEFED21 A B CαβP BC D A∠P ＝α＋β 3 21γ 4ψDαβE BC AFHFγD αβEBCA FDEB CABCAA ′lB ′C ′DBCA结论：⑴____________________________⑵____________________________ ⑶____________________________⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG ∥AB ．∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图，AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A ．∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ．∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A/就得到平移后的三角形A /B /C /. 【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）B B/AA/CC/BAPCACCDAAPCBDPBPDBD ⑴⑵⑶⑷西B 30°A北东南演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AE ⊥BC ，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射P .P.P.P.⑴⑵⑶⑷D5 38 AFCB E150°120°DBCE湖43 21 ABEFCD4P231 ABEFCD线AD 的方向. 平移距离为线段BC 的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C ，这时道路CE 恰好和道路AD 平行，问∠C 是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共DEABCEDBCEDABCEDAB CEDABCF ADECBFEBA CGD有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm. 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF.⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出FEBACGD100°A 2B 2A 3B 3B 4A 4A 1B 1草地草地A 1B 2⑵B 1A 2B 2A 1B 1A 3B 3A 2⑴⑶⑷⑸CB 1AA 1C 1D 1BD .B.O.ABDCFAE 变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝±a ，其中a 的平方根为x ＝a 叫做a 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x ＝3a ．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p q（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数），a ≥0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m -4与3m-l 是同一个数的平方根，∴2m-4 ＋3m-l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m 是小于152的最大整数，则m 的平方根是____．03．9的立方根是____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数FEBA COABC D【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足2242342a b a ba ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解法指导】若23ab 有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a≥3 ∵2242342ab a b a ∴2242342a b a b a ，∴2230ba b．∴2230b ab ，∴32a b，故选C ．【变式题组】0l ．在实数范围内，等式223a a b ＝0成立，则a b＝____．02．若2930a b ，则a b的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且220x y ，则2009x y的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 是实数，则1x x x 的值是( )A ．11B ．11C ．11D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足123a b b ．求a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵123a bb ，∴123a b b即112a b b，∴1312a b ，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b 的平方根为：255a b ．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n 是有理数，且（5＋2）m ＋(3－25)n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123）x ＋（132）y-4-＝0，则x-y ＝____．【例4】若a 为17-2的整数部分，b-1是9的平方根，且a b b a ，求a＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17-2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17-2 -2＝17-4．∵a ＝2，b-1＝±3，∴b ＝－2或4∵a bb a ．∴a<b ，∴a ＝2，b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a ，3-5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____．02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝____．演练巩固反馈提高0l ．下列说法正确的是()A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ．16的平方根是± 4D ．27的立方根是± 302．设3a，b ＝－2，52c，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<a<cD ．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是()A ．－9与81的平方根B ．4与364C ．4与364D ．3与904．在实数 1.414，2，0.1?5?，5-16，，3.1?4?，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b>aB ．a bC ．－a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个07．设m 是9的平方根，n ＝23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－nD.m n08．（烟台）如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23B ．－13C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b，如3※2＝3232＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7<b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝22a b a b aba b≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a ，213a 在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a-1的平方根是±3，3a＋b-1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a＋153a＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn-2）(3mn＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x-y＋1）2与533x y互为相反数，求22x y的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a-3，则a值为( )A． 2 B．－1 C． 1 D．002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x＋2x的最小值是( )A．0 B．1＋2C．1 D． 203．代数式53x-2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21-53，则a＋b＝____．05．若a b＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足20092010a a a，则a- 20092＝_______．m满足关系式3523199199x y m x y m x y x yg，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b ＝7，S ＝23a b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030aaa2830ag g g 2930a18，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y ＋231x a ，231x y b ，求22x ya b的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范。

人教版八上数学培优体系全套讲义

第1讲内角和初步基础回顾（一）三角形三边间关系1．若△ABC中，AB＝40，BC＝50，第三边长为x，则x的范围为________ ．2．已知等腰△ABC的周长为20，一边为5，求另两边的长．3．如图，AB＝AC，△ABC的周长为16cm，中线BD将△ABC分成的两个三角形，周长差为2cm, 求△ABC三边的长．4．有4m和6m的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，求第三根小棒的长x cm的取值范围．5．已知等腰三角形一边长3cm，另一边长6cm，求三角形的周长.6．已知△ABC周长为10，三边长为整数，求三边．7．已知三角形△ABC，AB＝3 , AC＝8，BC长为奇数，求BC的长.（二）三角形重要线段1．中线8．如图AD为△ABC的中线，点E为AD上一点，求证：S△ABE＝S△ACE.9．如图AD、BE、CF为△ABC的三条中线，求证：16BOD ABCS SD D= .10.如图，△ABC的面积是60，AD:DC＝1:3，BE:ED＝4:1，EF:FC＝4:5，求△BEF的面积．2.高11．(1)如图，作出△ABC三边上的高AD、CE、BF;(2)若AB＝2AC，求BFCE的值方法运用25，求∠A12．如图，AB∥CD，∠C＝∠E＝063，求∠DAC的13.如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝0度数．14.已知，如图，点P是△ABC内一点，连接PB、PC，请比较∠BPC与∠A的大小？并说明理由．90，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝0AC＝6cm，求：(1)CD的长；(2)△ABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE＝∠CEF．16．如右图，∠A ＝040，∠B ＝020，∠C ＝030，求∠BPC.17．如右图，在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝2∠C ，AD 、BE 为角平分线①求∠C ； ②求∠APE .18．如图△ABC ，∠B 、∠C 的外角平分线相交于P 点，若∠P ＝080，求∠A ．19．如图，∠A ＝∠ABD ，∠C ＝∠BDC ＝∠ABC ，求∠A.20、如图，∠D ＝040，∠C ＝030，AE 、BE 平分∠DAC 、∠CBD ，求∠AEB.21．如图，在直角坐标系中，已知B (b ，0)，C (0，c )，且2|3|(28)0b c ++-=(1)求B 、C 坐标；(2)点A 、D 是第二象限的点.点M 、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM ＝∠CBO ，CD ∥AB ,MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA ＝070，∠NFC ＝030，求∠CMB －∠CNF 的值；(3)如图，AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，求DQB QBC QPC??Ð 的值.第2讲三角形内角和专题基础回顾1.如图，△ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD、CE相交于点F. ∠BCE＝2∠ACE，120，求∠ABF及∠A的度数．∠BFC＝036，求∠BED 2．如图，已知：AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，ED∥AC，若∠BAE＝0的度数.3．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于点E，若∠1:∠DCE＝2:3，求∠A的度数．4．如下两图是一幅三角板叠放在一起，求a .5．如图所示，三角形纸片ABC 中，∠A ＝065， ∠B ＝075，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1＝020，则∠2的度数是_________.6．如图，∠B －∠C ＝030，AD 为高，AE 为角平分线，求∠DAE .7．如图，△ABC 三条角平分线相交于O ，OE ⊥BC ，∠BOD ＝040，求∠COE .二、与平行线结合8.如图，点E在CA延长线上，DE、AB交于F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C(1)说明AB与CD的位置关系，并予以证明；40，求∠G．(2) ∠EAF、∠BDF的平分线交于G，∠EDC＝09．如图，AB∥CD，P A平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．(1)求证：P A⊥PC；(2)当E、M在AB、CD上运动时，求∠3＋∠4－∠1－∠2的值．90．10.如图，AB∥CD，∠AEC＝0(1)当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；(2)移动直角顶点E点，如图，∠MCE＝∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．三、基本图形变式11、如图AC平分∠OAB，BD平分△ABO的一个外角，AD⊥BD于D点，求∠CAD12．如图P A、PB分别平分△AOB的两个外角，AE⊥PB，求∠P AE.13．如图BD平分∠OBC，AD平分∠OAC，∠C＝080，求∠D的大小．14.如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED＋∠BCD的值.问题探究15．平面直角坐标系中，OP平分∠xOy，B为y轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x 轴于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A.(1)若∠D＝750，如图1，求∠OAC的度数；(2)若AC、ED的延长线交于F，如图2，则∠F与∠OBC是否具有确定的相等关系？请写出这种关系，并证明你的结论；(3) ∠BDE的平分线交OP于G；，交直线AC于M，如图3，以下两个结论：①∠GMA ＝∠GAM；②2OGD OEDOAC??Ð为定值，其中只有一个结论是正确的，请确定正确的结论，并给出证明.16.如图在平面直角坐标系中，AB 交y 轴于点C ，连结OB ．(1) A （－2，0），B (2，4)，求△AOB 的面积及点C 的坐标；(2)点D 在x 轴上，∠OBD ＝∠OBC ，求BDA BAD BOC??Ð 的值； (3)BM ⊥x 轴于点M ，N 在y 轴上，∠MNB ＝∠MBN ，点P 在x 轴上，∠MNP ＝∠MPN ，求∠BNP 的度数．第3讲三角形、多边形的内角和、外角和基础回顾（一）利用三角形的内角和解决下面问题（不作平行线）1. 如图，已知AB//CD，求∠BEC.2. 如图，已知AB//CD，求∠ABF.3. 如图，已知AB//CD，求∠BEC.（二）特殊到一般4. 如图，△ABC中∠B＞∠A，CD为角平分线，点E在CD上，EF⊥AB于F点. （1）若∠B＝600，∠A＝400，求∠DEF；（2）若∠DEF＝，求∠B－∠A的值.5. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于D点.（1）若∠A＝200，求∠CBD的大小；（2）若∠A＝，求∠CBD的大小.（三）设未知数列方程6. 如图，在△ABC中，∠CAB＝∠B＝∠ACD，∠BCD＝∠CDB，AE为BC边上高，求∠CAE.7. 如图，△ABC中，∠ACE＝∠AEC，∠BCD＝∠CDB，∠DCE＝400，求∠ACB.（四）多边形的内角和外角和8. 一个多边形内角和为5400，求边数.9. 多边形内角和与外角和之比为9:2，求边数.10. 多边形每个外角相等且为150，求边数.11.（1）如图，∠A＝∠B，∠C＝∠D，求证：AB//CD.（2）已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：①AD//BC；②AB//CD.12. 如图所示，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝3600.13. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝900，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE与DF有怎样的位置关系？为什么？14. 如图，∠1＝600，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F .方法运用15. 如图，在平面直角坐标系中，D (－3，0)、F (0，4) .（1）求ODF S ；（2）将等腰直角三角板△ABC 如图放置，且∠1＝∠2，求证：∠FMN ＝∠FNM（3）在（2）中探求∠DFO 与∠CBD 的相等的数量关系并证明.16. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴上，点D 在AB 上，DF ⊥AB交y 轴于E 点，交x 轴于F 点，∠BAO 、∠BFD 的平分线相交于C 点.（1）求证：∠BAO ＝∠BFD ；（2）问AC 与CF 的位置关系，并证明.17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H .求证：（1）CBE ABE S S ∆∆=；（2）∠AFG ＝∠AGF ；（3）∠FAG ＝2∠ACF .18. 如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE 是高，CD 交AE 于O ，∠B ＝∠BAC .求证：（1）CD ⊥AB ；（2）∠ACB ＝2∠BAE ；（3）∠EOC ＝∠BAC ；（4）AE BC CD AB ⋅=⋅；问题探究19. 如图AD//BC ，DE 平分∠ADB 、∠BDC ＝∠BCD .（1）求证：∠1＋∠2＝900；（2）BF 平分∠ABD 交CD 的延长线于F 点，若∠ABC ＝700，求∠F 的大小；（3）若H 是BC 上一动点，F 是BA 延长线上一点，FH 交BD 于M ，FG 平分∠BFH ，交DE 于N ，交BC 于G. 当H 在BC 上运动时（不与B 重合），求证：DNGDMH BAD ∠∠+∠的值为定值.第4讲平面镶嵌与小结复习基础回顾1. 杨老师家客厅用正方形和正三角形镶嵌地面，则一个顶点周围正三角形、正方形个数为___________；2. 一个正n边形与一个正方形，一个正六边形构成一个平面镶嵌，则n的值为____________；3. 在△ABC中，AD、BE为高，M为AD、BE所在直线的交点，∠BMD＝500，求∠C的大小（画图说明）.4. 若一个角的两边与另一个角两边互相垂直，则这两个角有何关系，画图说明.5. 在平面直角坐标系中，AC为角平分线，CD//AB，且CD平分∠ACO.（1）求∠B的大小；（2）点E是第二象限内一动点，若∠AEO、∠ABO的平分线相交于点F，且∠EFB＝200，问：①∠EOB－∠BAE不变；②∠EOB＋∠BAE不变，选择正确的证明.6. 如图，△ABO 为等腰直角三角形，A (－1,3)，B (2，m ) .（1）5=∆AOB S ，求m ；（2）如图，E 点在x 轴上，且∠1＝∠2，求证: ∠3＝∠4；（3）如图，若PC 平分∠BCO ，OP 平分∠BOX ，求∠P 的大小.7. 如图，∠BAE ＝∠AEB ，∠CAD ＝∠ADC ，∠DAE ＝200，求∠BAC 的大小.8. 如图所示，已知∠3＋∠DCB ＝1800，∠1＝∠2，∠CME : ∠GEM ＝4:5，求∠CME 的度数.方法运用9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.（1）若∠B＝350, ∠ACB＝850，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明.10. 如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝500，∠D＝100，求∠P的度数.11. 四边形ABCD的两组对边AD、BC与AB、DC延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，∠A＝640, ∠BCD＝1360.求证：（1）∠EPF＝1000；（2）∠ADC＋∠ABC＝1600；（3）∠PEB＋∠PFC＋∠EPF＝1360；（4）∠PEB＋∠PFC＝360；12. 如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于点G，若∠BDC＝1400, ∠BGC＝1100，求∠A的度数.13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE＝∠AED.（1）求证：∠BAD＝2∠CDE；（2）如图，若D在BC的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.14. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值.15. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，点C是直线AB上一动点.（1）若∠OAB比∠OBA大200，OC⊥AB，求∠AOC的度数.（2）过点C作直线交y轴的负半轴于N，AM平分∠BAO，BM平分∠OBN，当A点在x 轴负半轴上运动时，∠AMB的值是否发生变化？若不变求出∠AMB的度数；若变化请说明理由；（3）沿AB、OB放置两面镜子，从O点发出的光线AB、OB两次反射后，反射光线DF 与入射光线OP交于E点.若∠OAB＝450，下面两个结论：①DF//AB，②DF⊥OP.其中有且只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并说明理由.16. 一个外角等于720的正多边形的周长为45cm，求它的边长.17. 两个正方形连成如图所示，求x的度数.18. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数.问题探究19. 如图，AE 平分∠BAO ，∠ABF ＝3∠FBE ，EF 平分∠AEO ，求∠BFE .20. 在平面直角坐标系中，B (2，0)，A (6，6)，M (0，6)，P 点为y 轴上一动点.（1）当P 在线段OM 上运动时，是否存在一个P 使PAB POB PAM S S S ∆∆∆=+，若存在求出P 点的坐标，不存在，试说明理由；（2）当P 在线段OM 上运动时，PBOPAM APB∠+∠∠的值是否为定值，若是，试求解，若不是，试说明理由；（3）当P 点运动到x 轴下方时，试判断∠PAM 、∠APB 、∠PBO 三者之间的数量关系，并证明；21. 在平面直角坐标系中，A (0，1)，B (4，1)，为x 半轴上一点且AC 平分∠OAB . （1）求证：∠OAC ＝∠OCA ；（2）若分别作∠AOC 的三等分线及∠OCA 的外角的二等分线交于P ，即满足∠POC ＝31∠AOC ，∠PCE ＝31∠ACE ，求∠P 的大小；（3）在（2）中，若射线OP 、CP 满足∠POC ＝n 1∠AOC ，∠PCE ＝n1∠ACE ，猜想∠OPC 的大小，并证明你的结论（用含n 的式子表示）.第5讲全等三角形判定方法专题（一）本讲知识归纳1. 形状、大小相同的两个三角形放在一起能够完全重合，称这样的两个三角形叫做全等三角形.2. 如图，平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.3. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.4. 全等三角形的判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）.基础回顾例1 如图，已知，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE =BF ，AF =CE .求证：AB ∥DC .CDB AEF分析：从要证明的结论入手，要证AB ∥DC ，转化为证∠C =∠A ；要证∠C =∠A ，只要证△ABF ≌△CDE ；要证△ABF ≌△CDE ，只要有两边和它们的夹角对应相等. 显然，这与已知条件相吻合. 证明：BAFEC DBA点评：探求证明题的思路，有两种较常见的方法. 从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、公理，逐步退出要证的结论，这种方法叫综合法. 有时“顺着”已知条件去证会产生一定困难，这时我们可采用与综合法的思考顺序相反的方法——分析法，去探求证题的途径. 分析法的思路是：从要证明的结论出发，根据已学过的知识，倒过来寻找使结论成立所需的条件，这样一步一步地逆求，一直追溯到结论成立所需的条件与已知条件或已学过的一些结论相吻合，这种方法可简单地说成“要什么，找什么，向已知条件靠拢”. 分析法是探求证题思路的一种非常有效的方法. 本例的“分析”便是运用的分析法，探求的过程大致如下：AB ∥CD⇑∠A =∠C⇑△ABF ≌△CDEAF CE DE BF AFB CED ==∠=∠⇑，，⇑BF ⊥AC ， DE ⊥AC例2 如图，已知AB =CD ，AB ∥CD ，BE =DF ，E 、F 是BD 上两点，求证：∠DAE =∠BCF .CD BAE F分析：要证∠DAE =∠BCF ，可考虑△ADE ≌△BCF . 目前由BE =DF 得到DE =BF 可用，其它所需要另行解决. 结合条件，可以证明△AEB ≌△CED ，直接得到AE =CF ，间接地可以得到∠AED =∠CFB . △ADE ≌△BCF 的条件就都具备了. 证明：点评：本题将分析法与综合法结合起来，这种既从条件着手，又从结论逆向探索的方法称为分析综合法，这是一种最为有效和最常用的思考方法.1. 如图，已知，AC 、BD 相交于O ，AE =FC ，AO =OC ，BO =OD . 求证：∠1=∠2.C DAOF 21BE2. 如图，已知BE 、CF 分别是△ABC 的AC 、AB 边上的高. 在BE 的延长线上取点P ，使BP =AC ，在CF 的延长线上取点Q ，使CQ =AB . 求证：AQ ⊥AP .QPCBAEF方法运用例3 如图，已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且CD =AB ，∠BDA =∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC =2AE .CDBAEF分析：要证AC =2AE ，可先构造出2AE ，即延长AE 至F ，使EF =AE ，于是问题转化为证AC =AF . 考虑证△AFD ≌△ACD ，直接证较困难，结合条件，可先证△EFD ≌△EAB .证明：点评：（1）若从条件“AE 是△ABD 的中线”出发，本题作辅助线的方法可概括为“倍长中线法”.今后，当遇有中线条件时，可尝试运用，中线倍长后，立即出现一对全等三角形.（2）从结论上看，本题属“线段的和差倍分”问题，常用“截长补短”来解决，本例上面提供的证法属于“补短法”. 当然，在学了等腰三角形知识和中位线定理后，也可运用“截长法”，即取AC 的中点G ，连DG ，再由三角形全等得AE =AG .例4 如图，已知，AB =DE ，BC =EF ，CD =FA ，∠A =∠D . 求证：∠C =∠F .CD B AEF分析：由已知条件AB =DE 、CD =FA 和∠A =∠D ，观察图形，若连BF 、EC ，可得到△ABF≌△DEC .对比求证的∠C =∠F .，命题转化为求证∠BFE =∠ECB . 于是继续连接BE ，考虑证△BEF ≌△EBC .证明：点评：本题再次体现了分析综合法（即“两头凑”）的方法，解决问题的合理、准确性，避免了“撞南墙，不回头”现象，学会及时、正确调整解题方向，是解决较复杂问题的前提.3. 如图，已知，AB =AE ，BC =DE ，∠B =∠E ，M 为CD 的中点. 求证：AM 平分∠BAE .M CDBAE4. 如图，△ABC 为直角三角形，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ，AE =3，AB =8，求EG 的长.GC DBAE F问题探究例5 如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为AC 中点，F 为BC 上一点，∠ADB =∠FDC . 试判断AF 与BD 的位置关系，并说明理由.GM21CDBAE F分析：猜想AF ⊥BD . 要证明这一猜想，可转化为证∠1=∠2，观察图形，现有的三角形中，难以通过全等解决，需要构造全等三角形. 注意△ABC 是一个等腰直角三角形，尝试作斜边BC 上的高AG ，交BD 于M ，得到两个新的等腰直角三角形ACG 和等腰直角三角形ABG ，结合条件，得到△CDF ≌△ADM ，进而，可证明△ACF ≌△BAM ，得证.解：点评：构造三角形全等解决问题，是几何中的一个难点. 在作辅助线时，应紧紧围绕已知条件进行. 本例中，作一条高线AG ，构造出两对全等三角形，因为它很好地融合了等腰直角三角形、角相等和中点等条件，形成了联接这些条件的真正“纽带”.例6 如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA =BC ，EB =AC ，FC =AB . 试探求∠AFB 与∠DFE 的数量关系.分析：∠AFB 与∠DFE 的数量关系不是很明显，先搁置一下. 从条件上看，线段相等较多，考虑是否有全等三角形. 结合图形，显然有△ACF ≌△EBA 、△BCF ≌△DAB ，于是得到两个等腰直角△AEF 和△BDF . 所以，4545AFB DFE ∠=︒+︒-∠，即90AFB DFE ∠+∠=︒解：CDB AEF点评：当一个命题中的条件较多时，往往是从条件出发，得出一些结论，达到化繁为简的目的，这便是综合法的好处.5. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和△DEF . 将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .CDAO B (E )B (E )CDFF AO CDBA EF图 ① 图 ② 图 ③（1）当旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是；（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图③中，连接BO 、AD ，BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明.6. 已知：AC =BC ，AC ⊥BC （∠CAB =∠B =45°），AE 为中线，CN ⊥AE ，交AE 于M ，交AB 于N . 求证：CN EN AE +=.NAMOCDBE7. 已知：如图，AB =AC ，AB ⊥AC ，AD =AE ，AD ⊥AE ，点M 为CD 的中点. 求证：12AM BE =. AC DB E第6讲全等三角形判定方法专题（二）本讲知识归纳1. 一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS四种；2. 直角三角形的全等，除了上述四种判定方法外，还有独有的一种判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”或“HL”）.基础回顾例1如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且AE=AF，连接EF. 求证：AD垂直平分EF.分析：从条件出发，由“HL”判定方法可证△AED≌△AFD，得∠1=∠2. 进而得△AEO≌△AFO.证明：21E BF AOC D点评：直角三角形的全等判定方法最多，一共有五个，其中的“HL”方法是直角三角形所独有的，要注意运用多种方法证明两个直角三角形全等.例2如图，△ABC的高BD、CE相交于O，且OD=OE. 求证：AB=AC.分析：由条件联想“HL”判定方法，容易想到连接AO，便有Rt△ADO≌Rt△AEO，得到AD=AE. 于是要证明AB=AC，可转化为证△ABD≌△ACE，运用“AAS”方法易证.证明：EBAOCD点评：由已知条件能够得到什么，要求证的结论需要什么，两者若能“接通”，就得到了证明思路，这种思维方法就是前面多次提到的分析综合法（“两头凑”）.1. 如图，已知，AD ⊥BD ，AE ⊥EC ，AD =AE ，AB =AC ，BD 、CE 交于点O . 求证：（1）BD =CE ；（2）OE =OD ；（3）BE =CD .E BAO CD2. 如图，AD 、BE 是△ABC 的两条高，它们交于点F ，且BF =AC ，CD =DF ，ED 平分∠BEC .求证： ∠ABE =∠ADE .EBFAC D方法运用例3 如图，正方形ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和CD 上的点，AG ⊥EF 于G ，若∠EAF =45°.求证：AG =AD .G H54321EB F ACD分析：要让AG =AD ，可考虑证Rt △AGF ≌Rt △ADF ，但还差一条边相等或锐角相等，得去挖掘条件∠EAF =45°的作用. 结合正方形ABCD 的条件，当∠EAF =45°时，1245∠+∠=︒，应考虑通过构造三角形全等，把∠1与∠2移到一起. 于是，延长CD 至H 使DH =BE ，则△ADH ≌△ABE . 进而易证△AEF ≌△AHF ，得∠4=∠5，得证. 证明：点评：本题通过构造△ADH 与△ABE 全等，使得问题迎刃而解. 所构造的△ADH 相当于将△ABE 绕A 点旋转90°而得到，所以辅助线也可以表述为：将△ABE 绕A 点逆时针旋转90°至△ADH ，由正方形性质得C 、D 、H 共线. 习惯上称这种探求思路的方法为“旋转法”. “旋转法”的一个优点是将分散的角或线段集中在一起，便于问题的解集. 要予以说明的是，“旋转法”主要是在思维方式上的，在具体交待辅助线作法中，较少采用“旋转方式”，更多的是以延长线段或作角相等来构造全等.例4 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形. 以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，试求△AMN 的周长.分析：由于∠MDN =60°，∠BDC =120°，所以60BDM CDN ∠+∠=︒. 注意到DB =DC ，考虑运用“旋转法”将∠BDM 和∠CDN 移到一起，寻找全等三角形. 两一方面，△AMN 的周长A M A N M N A B A C M N =++=++--. 猜想M N B M C=+，证三角形全等解决. 解：P321NBAM C D点评：运用“旋转法”，可将分散的元素（如角或线段）集中起来，为利用条件提供便利. “旋转法”常用于等边三角形、正方形、等腰三角形等特殊图形中.3. 已知：△ACB 为等腰直角三角形，点P 在AC 上，连BP ，过B 点作BE ⊥BP ，BE =PB ，连AE 交BC 于F .（1）如图①，问PA 与CF 有何数量关系，并证明；（2）如图②，若点P 在CA 的延长线上，问上结论是否仍成立，画图证明.PCPEBF AC图① 图②问题探究例5 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么，在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，试证明它们全等. （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.分析：（1）画出图形，并结合图形将条件具体化. 如图为两个锐角三角形，AB =A 1B 1，BC =B 1C 1，∠C =∠C 1. 注意到角相等，可作高构造直角三角形全等（△BDC ≌△B 1D 1C 1），进而另一对直角三角形也全等（△ABD ≌△A 1B 1D 1），得∠A =∠A 1，问题得证.D 1C 1B 1A 1B AC D（2）（1）的本质是就这一问题进行分类讨论，从讨论的结果来看，满足条件的同类的两个三角形全等.证明：点评：在八年级课本中，我们知道了“SSA ”不能作为两个三角形全等的依据，但没有弄清楚“SSA ”中的全等情形，本例既让我们深入认识了“SSA ”，又让我们学到探究问题的一种思维方法——分类讨论.例6 如图，已知(2,0)A -.（1）如图①，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ，若(0,4)B -，求C 点坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点. 当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由.（3）如图③，已知F 点坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt △FGH ，H 点在x 轴上，∠GFH =90°. 设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴负半轴上沿负方向运动时，m n +的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由.图① 图② 图③ 分析：（1）将求C 点坐标转化为求相关线段长度，过C 作CH ⊥x 轴于H ，得△ACH ≌△BAO ，求出线段CH 、OH 的长度.（2）欲求“OP DE -”的值，结合等腰Rt △APD 的条件，考虑到垂线段构造三角形全等. 如作DF ⊥y 轴于F ，得△DPF ≌△PAO ，进行线段转换后，可求出OP DE -的值.（3）点(4,4)F --到两坐标轴的距离相等，过F 点作x 轴、y 轴的垂线段FM 、FN ，得到△FGN ≌△FHM ，GN =HM . 用m 、n 表示出这一等量关系，即得m 、n 之间的关系.解：点评：（1）过等腰直角三角形的顶点，作相关直线的垂线段，就可构造全等三角形；（2）求点的坐标的一种方法是转化为求相关线段的长度；（3）求两个点坐标之间关系的一种方法是从几何方面得到相关线段的等量关系，再用坐标表示出线段的长度.4. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，∠MDN =60°，点M 在AB 的延长线上，点N 在CA 的延长线上，连接MN . 试探求线段BM 、MN 、CN 之间的数量关系，并予以证明.AB CNMD5. 如图，AC ⊥CB ，AD 为△ABC 的中线，CG 为高，DE ⊥AD ，BC =2AC . 求证：AD DF DE =+.GABCEFD6. 如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，已知(0,2)A 、(5,0)C . （1）如图①，求点B 的坐标；（2）如图②，BF在△ABC的内部且过B点的任意一条射线，过A作AM⊥BF于M，过C 作CN⊥BF于N点，写出BN NC与AM之间的数量关系，并证明你的结论.图①图②第7讲全等三角形判定方法专题（三）1．如图，点C．E分别为∆ABD的边BD、AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD．∠D＝070，∠ECD＝0150，求∠B的度数．2．如图，∠1＝∠2, ∠3＝∠4，点B、D、C、F在一条直线上，EF⊥AD于E，(1) 求证：∠ADF＝∠DAF;(2) 求证：AE＝DE.3．已知AC＝BC，AC⊥BC，CD＝CE，CD⊥CE，连AD、BE，求证：(1) AD＝BE：(2) AD⊥BE.4．已知△ACB和△CDE都为等腰直角三角形，连AE、BD，求证：(1) AE＝BD;(2) AE⊥BD.（一）作垂线构造直角全等三角形5.已知AC＝BC，AC⊥BC，过C点任意作直线l，过A点、B点分别作l的垂线AM、BN，垂足为M、N．若AM＝2，BN＝4，求MN的长．6.已知AC＝BC，AC⊥BC，BD为∠B的平分线，AE⊥BD，垂足为E点，求证：BD＝2AE90，AC＝BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足7.如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝0为D点．(1) 求证：CD＝BD；(2) 求∠CDA的大小、8.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC ，∠CDA ＝045，求证：AD ⊥BD ．9.如图Rt △ACB 中，∠ACB ＝090，∠CAB ＝030，以AC 、AB 的边向外作等边三角形△ACE 和△ABD ，连DE 交AB 于M .求证：ME ＝DM .（二）利用直角坐标系构建全等的直角三角形10.如图△ACB 为等腰直兔三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A (0，3)，C (1，0)，求B 点的坐标．11.如图△ACB 为等腰直角三角形，A （－1，0），C (1，3)，求B 点坐标．12. 如图P(2，2)，BC⊥AP.(1) 求OM＋OC的值；(2) 求OB－OA的值．13.如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF＝∠AOF，FE⊥OF交OA于M 点．求证：EM＝2OF90，AB＝AD，∠EAF＝α, ∠BAD＝2α.14.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝0求证：EF＝BE＋DF.45，交AC于E，交BC于F点，15.已知∆ACB为等腰直角三角形，D为BD的中点，∠EDF＝0连EF.(1) 求证：CD⊥AB；(2) 求证：CE＋EF＝BF．第8讲全等三角形与角平分线知识点归纳1．角平分线的性质(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2．三角形三内角平分线交于一点（三角形的内心），这点到三角形三边的距离相等．基础回顾例1如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P是BD上一点，PM⊥AD于M，PN⊥CD 于N，求证：PM＝PN.分析：要证PM＝PN，联想角平分线性质，可考虑证DP平分∠ADC. 注意到BD平分∠ABC和AB＝BC的条件，易证△ABD≌△CBD.于是问题解决．证明：例2. 设P为∆ABC中∠B与∠C两个外角平分线的交点，试探讨点P与∠A的平分线的关系.【练习1】如图，已知∠ACB ＝090，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，BD ＝DF 交CA 的延长线于F 点，求证：BE ＝AE ＋AF .【练习2】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21(AB ＋AD )．求∠ABC ＋∠ADC 的度数.例3 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于G ，求证：AB ＋AC ＝2AF .分析：由DE 垂直平分BC ，连结EB 、EC ，得EB ＝EC .由AE 平分∠BAC ，过E 作 ∠BAC 两边的垂线段，得EF ＝EG .于是Rt △BEF ≌Rt △CEG ，得BF ＝CG .易证△AFE ≌△AGE ，得AF ＝AG .问题得证.证明：点评：当遇到角平分线时，过角平分线上一点向角的两边作垂线段是一个很好的方向，这样一来就可以运用“角平分线的性质”，得到相等的线段，往往容易形成全等形，为寻找证题思路作好了铺垫．例4 如图，△AOB 为等腰直角三角形，点P 为动点，PA ⊥PB .(1) 如图(1)，为P 点在第一象限时，求∠OPA ；(2) 如图(2)，为P 点在第四象限时，求∠OPA .解：点评：本例中辅助线的本质，运用角平分线的逆定理作垂线【练习1】如图，在∆ABC 中，∠ABC ＝0100，∠ACB ＝020，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，D在AC 上，且∠CBD ＝020，求∠CED 的度数.【练习2】如图，已知，∆ABC 中，∠A ＝060，BD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，求证：BC ＝CD ＋BE .例5如图，正方形ABOC ，点M 、N 分别在AB 、AC 上．(1)若∠NMO ＝∠MOC ，问△AMN 的周长是否变化，若不变，请求其值；(2)若点M 在AB 延长线上，点N 在CA 的延长线上，其它条件不变，问CN 、MN 、BM 三者存在怎样的关系，试证明，解：点评：(1)直角坐标系背景下的几何问题，注意挖掘点的坐标所隐含的几何关系：(2)强化通过证角平分线达到证垂线段相等的意识．例6 如图，∠C ＝090．AM ⊥AB ，MA ⊥AC ，PQ ⊥AB ，且AQ ＝MN .求证：PC ＝AN .【练习1】分别以∆ABC 的AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 和等边∆ACE ，连结CD 、BE 交于F ．求证：AF 平分∠DFE【练习2】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α.60，且点D在AC上，连BD、AE，相交于点G，如图①，求∠BGA；(1) 当α＝090，如图②，求∠BGC.(2) 若00＜α＜0【练习3】如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．90，如图1，则∠BDC＝___________;(1) 若∠MON＝060，如图2，则∠BDC＝___________;(2) 若∠MON＝0(3) 若∠MON＝α，如图3，∠BDC＝___________，请给予证明.第9讲角平分线、垂直平分线知识点归纳1. (1) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2) 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等．例1已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于，P是AD上任一点．求证：PE＝PF.分析：显然，可以通过两次全等来证PE＝PF．从“垂直平分线”角度考虑，要证PE＝PF，转化为证AD垂直平分EF，易得DE＝DF，需证AE＝AF，因此证△ADE≌△ADF.证明：点评：运用线段垂直平分线性质，可减少证三角形全等的次数，使得问题解决变得简洁和“节省思维”例2如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点，交x轴于G．(1) 求∠AME；(2) 求证：AM＝MN;(3) 连FG，问FG与BE的位置关系并证明.解：。

人教版八年级上册数学培优精编讲义

三角形面积（讲义）一、知识点睛1．三角形相关概念：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的____________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．在△ABC 中，作出AC边上的高线．________即为所求．（4）三角形的相关定理：180⎧⎪︒⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是；角直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．面积问题：（1）处理面积问题的思路：①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例：①利用平行转移面积：如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．②利用等分点转移面积：两个三角形底相等时，面积比等于_____之比，高相等时，面积比等于_____之比．二、精讲精练1．现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．103．△ABC 的三边分别为4，9，x ．（1）求x 的取值范围；（2）求△ABC 的周长的取值范围；（3）当x 为偶数时，求x ；（4）当△ABC 的周长为偶数时，求x ；（5）若△ABC 为等腰三角形，求x ．第2题图4．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①，②都正确B．①，②都不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确5．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD 中，AC边上的高是________，CD边上的高是________．6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能7．如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE 的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．第7题图第8题图8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE，若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积是__________．9．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK 上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．第9题图10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第10题图第11题图11．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是_______个．12．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE 的面积是4，则△ABC 的面积是_______．第12题图第13题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．14．如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =_______．第14题图第15题图16．如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．第16题图第17题图17．如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是_____________．18．如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．19．如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．三、回顾与思考_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________【参考答案】【知识点睛】1.（1）线段，在三角形内部，重心；（2）线段，在三角形内部，内心；（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部；作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转移法；（2）②对应高，对应底【精讲精练】1．B2．C3．（1）5＜x＜13（2）18＜x＜26（3）6，8，10，12（4）7，9，11（5）9 4．C5．AF，CE，CE，BE，DC，AC6．C7．28．25cm29．1610．6 11．512．1213．214．B15．1 16．3，1517．144cm218．55cm219．2三角形面积（作业）1.现有2cm，4cm，6cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米第2题图第3题图3.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高4.在直角三角形，钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能5.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是_______个．6.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为．第6题图第7题图7.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，那么阴影部分的面积是．8.已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，那么△ABC的面积是．第8题图第9题图9.两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S△EDC=6，S△BEC=18，则△AEB的面积是，△AED的面积是．10.如图所示，在□ABCD中，点E是AD的中点，点F在边CD上，CF=2DF，若□ABCD的面积为12，则△EDF的面积是_______．第10题图第11题图11.四边形ABCD与AEFG均为正方形，△ABH的面积为6cm2，图中阴影部分的面积是______________．12.多项式4x2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．13.已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥DG．【参考答案】1．A2．D3．C4．B5．56．87．1cm28．309．6；210．111．6cm212．5；-4，-4x2，x4，-8x，8x13．证明略三角形面积（随堂测试）1.现有2cm，3cm，4cm，5cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，一个面积为50cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC的面积是________________．第2题图第3题图3.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则点C的个数是_______个．（在图中标出点C的位置）4.如图，在□ABCD中，点E，F分别是是AB，BC的中点，连接EF，若□ABCD的面积是8cm2，则△BEF的面积是________．【参考答案】1．C2．25cm23．104．1cm2三角形综合应用（讲义）一、知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：1.三角形中的隐含条件是：_____________________________________________________；_____________________________________________________；_____________________________________________________．2.角平分线出现时采用______________解决问题．3.高线出现时考虑__________或__________．4.中线、周长一起出现时，考虑________和________的关系．二、精讲精练1.下列五种说法中：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不少于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余，正确的有___________________________________．2.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=55°．将纸片一角折叠使点C落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为______．第2题图第3题图3.如图，一个五角星的五个角的和是________．4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．5.如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，则∠AEC=________；如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α，∠ABC=β，则∠AEC=_________________．图①图②6.探究：（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，猜想∠P和∠A有何数量关系？（2）如图②，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想 P和∠A有何数量关系？（3）如图③，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE，猜想∠P和∠A有何数量关系？图①图②图③7.如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．（1）∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数为____________；（2）∠BOD和∠COE的数量关系是________________．第7题图8.在锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数．9.等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为__________．10.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为________．11.等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为________________．12.已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是________________．13.如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是____________．14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．（1）若AB=6，AC=8，BC=10，则AD=____________；（2）若AB=2，BC=3，则AC:AD=____________．第14题图第15题图15.如图所示，在△ABC中，若AB=2cm，AC=3cm，BC=4cm，AD，BF，CE为△ABC的三条高，则这三条高的比AD:BF:CE=____________________．16.如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC ，求证：PD +PE =BF ．三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】1.三角形中的隐含条件：1．三角形内角和是180°；2．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3．三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边．2.设元3.互余，面积4.边长，周长【精讲精练】1．①③⑤2．130°3．180°4．360°5．35°；12（α+β）6．（1）∠P =90°+12∠A（2）∠P =12∠A（3）∠P=90° 12∠A7．（1）90°（2）∠BOD=∠COE8．130°9．5cm或7cm10．3cm11．5cm或353cm12．213．22cm14．（1）245（2）3:215．3:4:616．（1）72（2）略三角形综合应用随堂测试题姓名________5.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=．6.如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B=65°，∠D=45°，则∠F的大小是________．第1题图第2题图7.等腰三角形周长为14cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为5cm，则此等腰三角形的底边长为___________．8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，其中∠A=40°，∠B=72°，求∠FDE．【参考答案】1．180°2．55°3．434．16°三角形综合应用（作业）1.满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠B +∠A =∠CB ．∠A :∠B :∠C =2:3:5C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______________．3.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =__________．第3题图第4题图4.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．5.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线相交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．第5题图第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC ，∠B =40°，∠C =70°，则∠DFE =__________．7.等腰三角形的周长为21cm ，其中一边长为6cm ，则该等腰三角形的底边长为__________．第2题图8.等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为__________．9.如图，在△ABC中，若AB=2cm，BC=4cm，则△ABC的高AD与CE的比是__________．10.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA的度数．11.如图，在△ABC 中，AD为∠BAC的角平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法中正确的有_____________________．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF边CF上的高；⑤BG是△ABD的中线．12.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由.【参考答案】1．C2．270°3．360°4．135°5．15°6．15°7．6cm或9cm 8．3cm或253cm9．12 10．30°；120°第12题图第9题图第10题图第11题图11．③④⑤12．∠AED=∠C，证明略平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）一、知识点睛1．如果两个角的和是____，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是____，那么称这两个角互为补角；①_____或_____的余角相等，②_____或_____的补角相等．2．对顶角：____________________________________________；③对顶角____．3．④三角形的内角和为_____，⑤直角三角形两锐角_____．已知：如图，△ABC．求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．证明：_____，______________________________，∵MN∥BC∴∠B=∠1，∠C=∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（）二、精讲精练1．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOD=50°，则∠BOC的度数是______．第1题图第2题图2．如图，∠COD为平角，AO⊥OE，∠AOC=2∠DOE，则有∠AOC=_______．3．已知：如图，OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOD:∠AOC=5:2，则∠AOC=_____，∠BOD=_______．4．‘如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则∠A的余角是_______和________，∠ACD=∠_______，∠BCD=∠______．5．如图，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F，若∠AED=140°，则∠C=，∠BDF=，∠A=．第5题图第6题图AE BD，∠1=110o，∠2=30o，则∠C=______．6．已知：如图，//7．已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1=∠2，若∠E=46°，则∠F的度数是多少？8．已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．求证：BE∥CF．证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD()∴______=______=90°（垂直的性质）∵∠1=∠2()∴∠EBC=∠BCF()∴___∥___()9．已知：如图，∠1＋∠2=180°，∠3=∠B．求证：∠AED=∠C.证明：∵∠1＋∠2=180°（）∠1＋∠DFE=180°（）∴_____=______（）∴∥（）∴∠3=∠ADE（）∵∠3=∠B（）∴∠ADE=∠B（）∴___∥___（）∴∠AED=∠C（）10．已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠F=∠A.证明：∵∠1=∠2（）∠1=∠DGF（）∴∠2=∠DGF（）∴____∥_____（）∴∠D=∠FEC（）∵∠C=∠D（）∴∠FEC=∠C（）∴DF∥AC（）∴∠F=∠A.（）三、回顾与思考___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _____________________________________【参考答案】一、知识点睛1．90°；180°；同角；等角；同角；等角．2．具有公共顶点且角的两边互为反向延长线；相等．3．180°；互余；如图，过点A作BC的平行线MN；两直线平行，内错角相等；1平角=180°；等量代换．二、精讲精练第9题图第10题图1．50°2．60°3．60°；150°4．∠ACD，∠B；∠B；∠A5．50°；40°；80°6．40°；7．46°；8．已知；∠ABC，∠BCD；已知；等角的余角相等；BE，CF；内错角相等，两直线平行；9．已知；1平角=180°；∠2，∠DFE，同角的补角相等；AB，EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；DE，BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．10．已知；对顶角相等；等量代换；CE，BD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．平行线与内角和的综合应用（随堂测试）1．已知：如图，AD与AB，CD交于A，D两点，EC，BF 与AB，CD交于E，F，且∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．证明：∵∠1=∠2（）∠CGD=∠1（）∴______=______（等量代换）∴CE//BF（）∴_____=∠3（）又∵∠B＝∠C（）∴∠3＝______（）∴____//_____（）∴______=______（）第1题图2．已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB（）∴∠EFB=∠AED=90°（垂直的性质）∴∠BEF+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∠BAD+∠ADE=90°（）第2题图∵∠B=∠ADE（）∴∠BEF=∠BAD（）∴______∥______（）【参考答案】1．已知；对顶角相等；∠CGD，∠2；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；已知；∠B；等量代换；AB，CD；内错角相等，两直线平行；∠A，∠D，两直线平行，内错角相等．2．已知，直角三角形两锐角互余；已知；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．平行线与三角形内角和的综合应用（作业）1.如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF =3∠FOB ，∠AOC =90°，则∠EOC =．第1题图第2题图2.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =55°，∠1=25°，则∠DBE =________．3.如图，∠1+∠2=180°，∠3=90°，则∠4=______.4.如图，D 是△ABC 边BC 上的一点，∠1=∠B ，若∠ADC =60°，则∠BAC =_______．解：∵∠B +∠C ＋∠BAC =180°（）∠1+∠C ＋∠ADC =180°（）∵∠1=∠B （）∴∠BAC =∠ADC （等式的性质）∵∠ADC =60°（）∴∠BAC =________（）第4题图5.已知：如图，△ABC ．求证：∠A +∠B +∠ACB =180°．证明：作BC 的延长线CE ，过点C 作CD ∥AB ，∵CD ∥AB ∴∠A =∠1（）∠B =∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠A +∠B +∠ACB =180°（）6.已知：如图，AB ∥CD ，∠BAE =∠DCE =45°．求证：∠E =90°．证明：∵AB ∥CD ()∴______+______=180°()∵∠BAE =∠DCE =45°()∴∠1+45°+∠2+45°=______即∠1+∠2=_______()∴∠E =180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°()7.已知：如图，∠1=∠ACB ，∠2=∠3．求证：CD ∥HF .证明：∵∠1=∠ACB （）∴____∥____（）∴∠2=____（）∵∠2=∠3（）∴∠3=____（）∴____∥____（）第6题图第5题图第7题图【参考答案】1．45°；2．30°；3．90°；4．60°，三角形三个内角的和是180°三角形三个内角的和是180°；已知；已知；60°；等量代换．5．两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；1平角=180°；等量代换．6．已知；∠BAC，∠ACD，两直线平行，同旁内角互补；已知；180°，90°，等式的性质；三角形三个内错的和等于180°；7．已知；DE，BC；同位角相等，两直线平行；∠DCB，两直线平行，内错角相等；已知；∠DCB，等量代换；CD，HF，同位角相等，两直线平行．三角形的外角（讲义）一、知识点睛1._________________________组成的角，叫做三角形的外角．2.三角形外角定理：三角形的一个外角等于____________________________________．已知：如图，∠2是△ABC的一个外角．求证：∠2=∠A+∠B证明：如图，∵∠A+∠B+∠1=180°（）∠1+∠2=180°（）∴∠2=∠A+∠B（）二、精讲精练11．已知：如图，AC∥ED，∠C=25°，∠B=35°，则∠E的度数是（）A．60°B．85°C．70°D．50°第1题图第2题图12．已知：如图，在△ABE中，D是边BE上一点，C是AE延长线上一点，连接CD，若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，则∠A=．13．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．14．如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE =20°，则∠BDC =_____，∠BEC =_____．第4题图第5题图15．已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ，∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．16．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC ，BF 平分∠ABC ，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =____，∠AED =_____，∠BOE =______．17．已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC ．第6题图第7题图18．已知：如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求∠ACD 的度数．解：∵AB∥CE（）∴∠ABE=_______（）∵∠E=30°（）∴∠ABE=_______（）∵BE是∠ABC的平分线（）∴∠ABC=2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∠A=50°（）∴∠ACD=______+______=______+______=_______（）19．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且∠ADE=∠C，求证：∠AED=2∠EDB证明：∵∠ADE=∠C（）∴_____∥_____（）∴∠EDB=∠DBC（）∵BD平分∠ABC（）∴∠EBD=∠DBC（角平分线的定义）∴∠EDB=∠EBD（）∵∠AED是△BDE的一个外角（）∴∠AED=_____+_____=2∠EDB（）20．已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADE=∠B，DE交AC于点F，连接CE．求证：∠EFC=2∠FDC．第8题图第9题图第10题图【参考答案】一、知识点睛1．三角形的一边与另一边的延长线；2．和它不相邻的两个内角的和；三角形三个内角的和为180°；1平角=180°；等式性质．二、精讲精练1．A2．80°；3．75°；4．95°，80°；5．145°；6．20°，85°，55°；7．证明：如图，∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC=2∠EAD（角平分线定义）∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠EAD=∠B（等式性质）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）8．已知；∠E，两直线平行，内错角相等；已知；30°，等量代换；已知；已知；∠A，∠ABC，50°，60°，110°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；9．已知；DE，BC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；外角的定义；∠EBD，∠EDB，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；10．证明：如图，∵∠B=∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠DCB=∠FCD（角平分线的定义）∴∠FDC=∠FCD（等量代换）∵∠EFC是△DFC的一个外角（外角的定义）∴∠EFC=∠FDC+∠FCD=2∠FDC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）几何证明每日一题（三角形的外角）1．已知：如图，直线AD与直线EB、FC分别相交于点G，H，若∠BEF+∠CFE=180°，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．2．已知：如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=50°，求∠BOC的度数．3．已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于点F．若∠ACB=50°，∠DFB=30°，∠ADF=80°，求∠A的度数．∠BAC且AD平分∠EDF，若∠CFD=75°，则∠BED的度数为多少？若∠D=∠A+∠B，∠BFE=75°，∠G=35°，求∠EFG的度数．【参考答案】1.证明：如图，∵∠BEF+∠CFE=180°（已知）∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BGH+∠CHG=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BGH是△ABG的一个外角（外角的定义）∴∠BGH=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CHG是△CHD的一个外角（外角的定义）∴∠CHG=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BGH+∠CHG=180°（等式性质）2.证明：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（已知）∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB（角平分线的定义）∵∠A=50°（已知）∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=115°（三角形的三个内角的和等于180°）3.解：如图，∵∠ADF是△BDF的一个外角（外角的定义）∴∠ADF=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ADF=80°，∠DFB=30°（已知）∴∠B=50°（等式性质）∵∠ACB=50°（已知）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-50°=80°（三角形的三个内角的和等于180°）4.证明：如图，∵AD平分∠BAC且AD平分∠EDF（已知）∴∠FAD=∠EAD，∠FDA=∠EDA（角平分线的定义）∴∠FAD+∠FDA=∠EAD+∠EDA（等式性质）∵∠CFD是△ADF的一个外角（外角的定义）∴∠CFD=∠F AD+∠FDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BED是△ADE的一个外角（外角的定义）∴∠BED=∠EAD+∠EDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BED=∠CFD（等量代换）∵∠CFD=75°（已知）∴∠BED=75°（等量代换）5.证明：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B（已知）∴∠D=∠ACF（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠FEG=∠BFE（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）∵∠G=35°（已知）∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的三个内角的和等于180°）三角形的外角（随堂测试）1．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠A=30°，∠EGD=70°，求∠E 的度数．解：∵_____∥______（）∴∠EFB=______（）∵∠EGD=70°（）∴∠EFB=_______（）∵∠EFB是△AEF的一个外角（）∴∠EFB=_______+_______（）∵∠A=30°（）∴∠E=______-________=______-________=_______（）2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=30°，∠BDC=60°，求∠BDE的度数．解：∵∠BDC是△ABD的一个外角（）∴∠BDC=____+______（）∵∠A=30°，∠BDC=60°（）∴∠ABD=____-______=____-______=______（）∵BD是∠ABC的平分线（）∴∠DBC=∠ABD=_______（）∵DE∥BC（）∴∠BDE=______=_____（）【参考答案】1．AB，CD，已知；∠EGD，两直线平行同位角相等；已知；70°，等量代换；外角的定义；∠A，∠E，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠EFB，∠EAB，70°，30°，40°，等式性质．2．外角的定义；∠ABD，∠A，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠BDC，∠A，60°，30°，30°，等式性质；已知；30°；角平分线的定义；已知；∠DBC，30°，两直线平行内错角相等．三角形的外角（作业）1．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AC上一点，延长BC到点D，连接DE．若∠1=115°，∠A=40°，∠2=35°，则∠3=_______．3．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠E=40°，∠CGE=110°，则∠A=_______．第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=30°，则∠BAD=_______，∠AED=_______．5．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD，BE相交于点F，求∠AFB的度数．解：∵∠C=60°，∠BAC=50°（）∴∠ABC=180°-_____-∠C=180°-50°-60°=70°（）∵BE是∠ABC的平分线（）∴∠EBD=12∠ABC=35°（角平分线的定义）∵AD⊥BC（）∴∠ADB=90°（垂直的性质）∵∠AFB是△BDF的一个外角（）∴∠AFB=______+_______=______+_______=________（）6．填写下列解题过程中的推理根据：如图，在△ABC中，∠A=40°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．解：∵∠BDC是△ABD的一个外角（）∴∠BDC=∠A+∠ABD（）∵∠A=40°，∠BDC=70°（）∴∠ABD=______（）∵BD平分∠ABC（）∴∠ABC=2∠ABD（角平分线的定义）∴∠ABC=60°（）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-______-______=______（）7．已知：E是AB，CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．第6题图第5题图【参考答案】1．C；2．40°；3．30°；4．20°，70°；5．已知；∠BAC；三角形三个内角的和等于180°；已知；已知；外角的定义；∠FDB；∠FBD；90°；35°；125°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；6．外角的定义；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；30°；等式性质；已知；等式性质；40°；60°；80°；三角形三个内角的和等于180°；7．证明：如图，∵∠AFE是△FEB的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠E+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠E+∠B（已知）∴∠AFE=∠D（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）全等三角形性质及判定（讲义）一、知识点睛1.由_____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“__________”表示．2.三角形有关定理：三角形两边之和____________第三边，两边之差___________第三边．3._____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“__________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．4.全等三角形的判定定理：______________________________．二、精讲精练1.作出下图三角形的高线．第1题图第2题图2.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，____________，__________，对应角∠B=∠DEF，________，_________．3.如图，△ACO≌△BCO，对应边AC=BC，___________，__________，对应角∠1=∠2，__________，__________．第3题图第4题图4.如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，___________，___________，对应角_______________，_______________，______________．5.如图，若AD=CB，AB=DC，则_________≌__________，理由是___________________；若∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，则_________≌________，理由是___________．第5题图第6题图6.如图，AD，BC相交于点O，若AO=DO，BO=CO，则__________≌___________，理由是________________．7.如图，AO=BO，若加上一个条件_____________________，则△AOC≌△BOC，理由是_________________________．第7题图第8题图8.如图，∠1=∠2，若加上一个条件____________________，则△ABE≌△ACE，理由是_______________．9.如图，AD，BC相交于点O，∠A=∠C，若加上一个条件_______________，则△AOB≌△COD，理由是___________．10.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D ．①②③都带去第9题图11.如图，AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是____________或____________或____________．第11题图第12题图12.如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ，如果∠__________=∠____________，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________．13.如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是__________，因此DF =__________．14.已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．15.已知：如图，AB ＝CD ，AB //DC ．试猜想AD 和BC 相等吗？并说明理由．第13题图第14题图第15题图16.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：CD DE．第16题图三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“△”表示．2．三角形有关定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≌”表示．全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS．二、精讲精练1．略2．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠ACB=∠F3．AO=BO，CO=CO，∠A=∠B，∠ACO=∠BCO4．AB=DE，AC=DC，BC=EC，∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DCE5．△ADC，△CBA，SSS，△ADC，△CBA，AAS6．△AOB，△DOC，SAS7．AC=BC，SSS（其它答案合理也可以）8．BE=CE，SAS（其它答案合理也可以）9．AO=OC，ASA（其它答案合理也可以）10．C11．AC=AE，∠B=∠D，∠C=∠E12．∠A=∠D，EF，CF13．△BCE，SAS，CE14．证明：在△ADC和△AEB中A AAC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共角）（已知）（已知）∴△ADC ≌△AEB （ASA ）15．解：AD =BC ，理由如下：∵AB ∥DC ∴∠ABD =∠CDB 在△ABD 和△CDB 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD ABD CDBBD DB （已知）（已证）（公共边）∴△ABD ≌△CDB （SAS ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等）16．解：∵AD 平分∠BAC∴∠CAD =∠EAD ∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90°∵∠C ＝90°∴∠DEA =∠C 在△CAD 和△EAD 中C DEA CAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）∴△CAD ≌△EAD （AAS ）∴CD =ED （全等三角形对应边相等）全等三角形性质及判定（每日一题）姓名_________ 1.已知：如图，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．求证：△AED≌△BFC．2.已知：如图，在等边三角形ABC中，∠C=∠ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE相交于点F．求证：△ABD≌△BCE．3.已知：如图，AB=CD，AC=BD．求证：12∠=∠．4.如图，在正方形ABCD，DEFG中，AD=CD，DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，连接CG交AD于点N，连接AE交CG于点M．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．考答案】1．证明：如图，∵DF =CE ∴DF -EF=CE -EF 即DE =CF在△AED 和△BFC 中AD BCD CDE CF （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△BFC （SAS ）2．证明：如图，∵AC =BC AE =CD∴AC -AE =BC -CD 即CE =BD在△ABD 和△BCE 中AB BCABD CBD CE （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△BCE （SAS ）3．证明：如图，在△ABC 和△DCB 中AB CD AC BDBC BC （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠ABC =∠DCB ，∠ACB =∠DBC ∵∠1=∠ABC -∠DBC ∠2=∠DCB -∠ACB ∴∠1=∠24．证明：如图，（1）∵∠EDG ＝∠ADC∴∠EDG +∠ADG=∠ADC +∠ADG 即∠ADE ＝∠CDG 在△ADE 和△CDG 中AD CDADE CDGDE DG （已知）＝（已证）（已知）=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ）∴AE =CG （2）AE ⊥CG ∵∠ADC =90°∴∠GCD +∠CND =90°∵△ADE ≌△CDG ∴∠EAD ＝∠GCD ∵∠ANG ＝∠CND ∴∠EAD +∠ANG =90°∴∠AMC =90°即：AE ⊥CG全等三角形性质及判定（随堂测试）1.已知：如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，______________，_______________，对应角∠ABC=∠DEF，_______________，_______________．第1题图第2题图2.如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，若加上一个条件_______________，则△ABC≌△ADE，理由是_________．3.已知：如图，A，F，C，D在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．求证：EC=BF．【参考答案】1.AC=DF BC=EF∠A=∠D∠C=∠F2.AE=AC SAS或者∠B=∠ADE ASA或者∠C=∠E AAS3.证明略全等三角形性质及判定（作业）1.作出下图三角形的高线．2.如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第2题图第3题图3.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，_____________，___________，对应角∠B=∠DEF，___________，__________．4.如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，若加上一个条件______________________，则△ABC≌△DEF，理由是_______________．。

新人教版八年级上数学课课外辅导、培优经典讲义

A O B (第 1题图 ) C B (第 3题图 ) P O C A
3．如图，∠O＝140° ，∠P ＝100° ，BP 、CP 分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A ＝______________. 【例６】如图，已知∠B ＝35° ，∠C＝47° ，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，则∠EAD＝______________.
2．已知三角形的两边长分别是 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是(
3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成 12 和 10 两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图 AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若 S △ GFC＝1cm ，则 S △ABC＝______________.
A E
B C (例 4题图 )
D
【变式题组】 1．如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E ＝______________. 2．如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________. 3．如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________. A A
二、例子
【例１】若的三边分别为 4，x，9，则 x 的取值范围是______________，周长 l 的取值范围是 ______________ 【变式题组】 1．若△ABC 的三边分别为 4，x，9，且 9 为最长边，则 x 的取值范围是______________，周长 l 的取值范围是______________. 2．设△ABC 三边为 a，b，c 的长度均为正整数，且 a＜b＜c，a+b+c＝13，则以 a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 3．用 9 根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( A ．1 ). B ．2 C．3 D．4 ；当周长为奇数时，x＝______________.

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第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A BCD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 5【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （）又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （） ∴AB ∥DE （） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． AB D CHＧEF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 23 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDABCD El1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b ABC【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图） EA F GDC B BA MCD N P （第3题图）DE F 32DA 2 E1 B C B F E A C D 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF . AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D 1B（第2题图）3 1 AB G DC Eα βP B C DA ∠P ＝α＋β3 21 γ 4α β E B AF H F γ Dα β E B C AFD EBC A B CAA ′ lB ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C西B 30° A北东南作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38° B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C43 2 1ABE F C D 4 P 23 1A B EFCD 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？ 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD.. . AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE B A C O A B CD第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝a的平方根为x a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数）0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m的最大整数，则m的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足24242a b a-+++=，则a＋b等于( )A．－1 B．0 C．1 D．2有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0a≥3∵24242a b a-+++=∴24242a b a-+++=，∴20b+=．∴()22030ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32ab=⎧⎨=-⎩，故选C．【变式题组】0l3b+＝0成立，则a b＝____．02()230b-=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且20x+=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____．演练巩固反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝－2，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C．－a＜b D．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m是9的平方根，n＝()23．则m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )A．－23-B．－13-C．－2 ＋3D．l＋309．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝32+＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x +--+-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b ＝7，S ＝23a b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系． 2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：。

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第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪
几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】
01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
P
Q
R
问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．
⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式
从而求解；
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC
∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21
∠AOC ∴
∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2
1∠BOC ＋2
1
∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC ＋∠
AOC ＝180°
∴∠EOF ＝21
×180°＝90°
⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠
BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】
01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）
A ．20°
B ． 40°
C ．50°
D ．80°
A B
C
E
F
O E
A A
C
D
O （第1题图） 1 4
3 2
（第2题图）
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作
图：
⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ．
5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.
A
B
O
2
l 1。