八年级数学上册期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

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初中数学八年级上册期末培优提高测试卷附参考答案

初中数学八年级上册期末培优提高测试卷附参考答案

2021-1015学年八年级(上)期末培优提高测试卷(一)班级______ _______一、选择题〔每题3分,共30分〕 1、要使1213-+-x x 有意义,那么x 应满足〔 〕. A .21≤x ≤3 B.x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .21<x ≤32、1a b +<,且c 是非零实数,那么可得〔 〕A .ac bc < B. 22ac bc < C. ac bc > D. 22ac bc >3、三角形相邻两边长分别为20cm 和13cm .第三边上的高为12cm ,那么第三边长〔 〕A.19cmB.19cm 或9 cmC.21cmD. 21cm 或11cm4、在平面直角坐标系中,A (2,-2),在y 轴上确定点P ,使△AOP 为等腰三角形,那么符合条件的点P 共有〔 〕个A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5、如下图,在△ABC 中,AB =AC ,∠ABC 、∠ACB 的平分线BD 、CE 相交于O 点,且BD 交AC 于点D ,CE 交AB 于点E .某同学分析图形后得出以下结论:①△BCD ≌△CBE ;②△BAD ≌△BCD ;③△BDA ≌△CEA ;④△BOE ≌△COD ;⑤△ACE ≌△BCE ,上述结论一定正确的选项是〔 〕A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④第5题 第6题 第7题6、如图,Rt △ABC 中,AB =9,BC =6,∠B =90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,那么线段BN 的长为〔 〕 A .B .C . 4D . 57、如图,ABC ∆中,BC AB ⊥,4==BC AB ,D 为BC 的中点,在AC 边上存在一点E ,连结EB ED ,,那么BDE ∆周长的最小值为〔 〕ABCDEA .52B .32C .252+D .232+8、假设关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个,那么m 的取值围是( )A.6<m <7B.6≤m <7C.6≤m ≤7D.6<m ≤79、如图,平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别是A (-3,1),B (-1,1),C (-2,2),当直线y ﹦-12 x +b 与△ABC 有公共点时,b 的取值围是〔 〕A .-1≤b ≤12B .-1≤b ≤1C .-12 ≤b ≤1D .-12 ≤b ≤121.5O t /hS /km C90D6第9题 第10题 第14题10、如图,甲骑摩托车从A 地驶往B 地,乙骑自行车从B 地驶往A 地,两人同时出发,设行驶的时间为t (h ),两车之间的距离为s 〔km 〕,图中的折线表示s 与t 之间的函数关系,根据图像得出以下信息:①A ,B 两地相距90km ,②当乙行驶1.5h 时,甲和乙在点D 处相遇;③骑摩托车的速度为乙骑自行车的速度的3倍;④甲在相遇后2小时到达B 地。

北师大版数学八年级上学期期末备考专项培优训练:二元一次方程组应用(含答案)

北师大版数学八年级上学期期末备考专项培优训练:二元一次方程组应用(含答案)

期末备考专项培优训练:二元一次方程组应用1.在当地农业技术部门指导下,小明家种植的菠萝喜获丰收.去年菠萝的收入结余12000元,今年菠萝的收入比去年增加了20%,支出减少10%,结余今年预计比去年多11400元.请计算:(1)今年结余23400元;(2)若设去年的收入为x元,支出为y元,则今年的收入为 1.2x元,支出为0.9y 元.(以上两空用含x、y的代数式表示)(3)列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出.解:(1)由题意可得,今年结余:12000+11400=23400(元),故答案为:23400;(2)由题意可得,今年的收入为:x(1+20%)=1.2x(元),支出为:y(1﹣10%)=0.9y(元),故答案为:1.2x,0.9y;(3)由题意可得,,解得,,则1.2x=1.2×42000=50400,0.9y=0.9×30000=27000,答:小明家今年种植菠萝的收入和支出分别为50400元、27000元.2.为了让学生能更加了解温州历史,某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆.学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返,若租用A型车3辆,B型车6辆,则空余15个座位;若租用A型车5辆,B型车4辆,则15人没座位.(1)求A、B两种车型各有多少个座位?(2)若A型车日租金为350元,B型车日租金为400元,且租车公司最多能提供7辆B 型车,应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少,并求出最少租金.解:(1)设每辆A型车有x个座位,每辆B型车有y个座位,依题意,得:,解得:.答:每辆A型车有45个座位,每辆B型车有60个座位.(2)设租m辆A型车,n辆B型车,依题意,得:45m+60n=480,解得:n=8﹣m.∵m,n为整数,∴(舍去),,,∴有两种租车方案,方案1:租4辆A型车、5辆B型车;方案2:租8辆A型车、2辆B型车.当租4辆A型车、5辆B型车时,所需费用为350×4+400×5=3400(元),当租8辆A型车、2辆B型车时,所需费用为350×8+400×2=3600(元).∵3400<3600,∴租4辆A型车、5辆B型车所需租金最少,最少租金为3400元.3.《九章算术》中有记载:今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十,问甲、乙持钱各几何?大意是:今有甲、乙两人持钱不知有多少.若甲得到乙所有钱的,则有50钱;若乙得到甲所有钱的,则也有50钱,问甲、乙各持钱多少?请解答此问题.解:设甲、乙的持钱数分别为x,y,根据题意可得:,解得:,答:甲、乙的持钱数分别为37.5,25.4.某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内,计划插播长度为15秒和20秒的两种广告.15秒广告每播1次收费0.6万元,20秒广告每播1次收费0.8万元.若要求每种广告播放都不少于1次,且2分钟广告时间恰好全部用完.问:两种广告的播放次数有几种安排方式?每种安排方式的收益分别为多少万元?解:设播放15秒的广告x次,播放20秒的广告y次,根据题意得:15x+20y=120,解得:y=6﹣,∵x,y均为不小于1的整数,∴x是4的整数倍,∴x=4,y=3,∴只有1种安排方式,即播放15秒的广告的次数是4次,播放20秒的广告的次数是3次;播当x=4,y=3时,0.6×4+0.8×3=4.8(万元),这种安排方式的收益为4.8万元.5.由甲、乙两运输队承包运输15000立方米沙石的任务,要求在10天之内(包含10天)完成.已知两队共有20辆汽车,甲队每辆车每天能够运输100立方米的沙石,乙队每辆车每天能够运输80立方米的沙石,前3天两队一共运输了5520立方米.(1)求甲乙两队各有多少辆汽车?(2)3天后,甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援,在不影响工期的情况下,甲队最多可以抽调多少辆汽车走?解:(1)设甲队有x辆汽车,乙队有y辆汽车,根据题意得:,解得:,答:甲队有12辆汽车,乙队有8辆汽车,(2)设甲队最多可以抽调m辆汽车走,根据题意得:7[100(12﹣m)+80×8]≥15000﹣5520,解得:m,m最大的整数是4,答:甲队最多可以抽调4辆汽车走.6.随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视,某APP顺势推出了“北美外教在线授课”系列课程,提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择.已知购买“A 课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元,购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元.(1)请问购买“A课程”1课时多少元?购买“B课程”1课时多少元?(2)根据市场调研,APP销售“A课程”1课时获利25元,销售“B课程”1课时获利20元,临近春节,小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课时,请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高?解:(1)设购买“A课程”1课时x元,购买“B课程”1课时y元.依题意,得:,解得:,答:购买“A课程”1课时70元,购买“B课程”1课时40元.(2)设购买“A课程”a课时,则购买“B课程”60﹣x课时.依题意,得:,解得:20≤a≤40,设利润为w,w=25a+20(60﹣a)=5a+1200,5>0,w随着a的增大而增大,故当a=40时,w最大.答:购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高.7.某校组织八年级师生共420人参观纪念馆,学校联系租车公司提供车辆,该公司现有A,B两种座位数不同的车型,如果租用A种车3辆,B种车5辆,则空余15个座位:如果租用A种车5辆,B种车3辆,则有15个人没座位(1)求该公司A,B两种车型各有多少个座位?(2)若A种车型的日租金为260元辆,B种车型的日租金为350元辆,怎样租车能使得座位恰好坐满且租金最少?最少租金是多少?(请直接写出答案)解:(1)设公司A、B两种车型各有x个座位和y个座位,根据题意得:解得答:公司A、B两种车型各有45个座位和60个座位,(2)设公司A、B两种车型各有a辆和b辆,租金为w元,根据题意得:∴w=﹣a+2450∵45a+60b=420∴a=∵a,b为正整数∴b=1,a=8,b=4,a=4∴当a=8时,w的值最小,即W=﹣20+2450=2430∴租该公司A、B两种车型各有8辆和1辆租金最少,最少租金为2430元.8.李阿姨要为家里添加餐具,分别买了型号不同的大小两种碗,共花了80元.已知小碗每只6元,大碗每只8元,问大小碗各买了几只?解:设小碗买了x只,大碗买了y只,6x+8y=80,∵x,y均为正整数,∴,,,答:小碗4只,大碗7只;或小碗8只,大碗4只;或小碗12只,大碗1只.9.甲、乙两种糖果,售价分别为20元/千克和25元/千克,根据市场调查发现,将两种糖果按一定的比例混合后销售,取得了较好的销售效果.现只将糖果售价作如下调整:甲种糖果的售价上涨10%,乙种糖果的售价下降20%.若混合后糖果的售价恰好保持不变,求甲、乙两种糖果的混合比例应为多少.解:设将x千克甲种糖果和y千克乙种糖果混合,混合后糖果的售价恰好保持不变,根据题意得:20x+25y=20×(1+10%)x+25×(1﹣20%)y,整理得:2x=5y,∴x:y=5:2.答:甲、乙两种糖果的混合比例应为5:2.10.有黑白两种小球各若干个,且同色小球质量均相等,在如图所示的两次称量的天平恰好平衡,如果每只砝码质量均为5克,每只黑球和白球的质量各是多少克?解:设每只黑球和白球的质量分别是x、y克,依题意得,解得,答:每只黑球3克,白球1克.11.某文具店,甲种笔记本标价每本8元,乙种笔记本标价每本5元(1)两种笔记本各销售了多少?(2)所得销售款可能是660元吗?为什么?解:(1)设甲种笔记本销售x本,乙种笔记本销售y本,依题意得,解得,答:甲种笔记本销售65本,乙种笔记本销售35本;(2)所得销售款不可能是660元设甲种笔记本销售x本,乙种笔记本销售(100﹣x)本,则8x+(100﹣x)×5=660.解得该方程的解不是整数,故销售款不可能是660元.12.某旅行社组织280名游客外出旅游,计划租乘大巴车和小巴车赴旅游景点,其中大巴车每辆可乘80人,小巴车每辆可乘40人,要求租用的车子不留空位,同时也不能超载.(1)请你写出所有的租车方案;(2)若大巴车的租金是350元/天,小巴车的租金是200元/天,请你设计出费用最少的租车方案,并算出最少的费用是多少?.解:(1)设需要租x辆大巴车,y辆小巴车,根据题意得:80x+40y=280,∴y=7﹣2x.∵x、y均为整数,∴当x=0时,y=7;当x=1时,y=5;当x=2时,y=3;当x=3时,y=1.∴租车方案有:①租7辆小巴车;②租1辆大巴车,5辆小巴车;③租2辆大巴车,3辆小巴车;④租3辆大巴车,1辆小巴车.(2)方案①所需费用为200×7=1400(元);方案②所需费用为350+200×5=1350(元);方案③所需费用为350×2+200×3=1300(元);方案④所需费用为350×3+200=1250(元).∵1250<1300<1350<1400,∴费用最少的租车方案为:租3辆大巴车,1辆小巴车,最少的租车费用为1250元.13.某兴趣小组进行活动,每个男生都头戴蓝色帽子,每个女生都头戴红色帽子.帽子戴好后,每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1,而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的.问该兴趣小组男生、女生各有多少人?解:设该兴趣小组男生有x人,女生有y人,依题意得:,解得:.答:该兴趣小组男生有12人,女生有21人.14.某汽车制造厂开发一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?(2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?解:(1)设每名熟练工每月可以安装x辆电动车,新工人每月分别安装y辆电动汽车,根据题意得,解之得.答:每名熟练工每月可以安装4辆电动车,新工人每月分别安装2辆电动汽车;(2)设调熟练工m人,由题意得,12(4m+2n)=240,整理得,n=10﹣2m,∵0<n<10,∴当m=1,2,3,4时,n=8,6,4,2,即:①调熟练工1人,新工人8人;②调熟练工2人,新工人6人;③调熟练工3人,新工人4人;④调熟练工4人,新工人2人.15.【方法阅读】一般地,二元一次方程的解有无数个,但是有些二元一次方程的正整数解却只有有限个,如二元一次方程2x+3y=15的正整数解只有和两个.那么,我们如何寻找二元一次方程的正整数解呢?不妨以方程2x+3y=15为例,首先过程方程各项的特征,发现2x和15分别是偶数和奇数,可以确定3y必然是奇数,即y是奇数,再运用特值法代入尝试,即将y=1,3,5,…等奇数代入原方程一次求出相应的x的值,从而获得2x+3y=15的正整数解.同学们还可以尝试运用列表法来探索二元一次方程的正整数解.【理解运用】(1)盒子里有若干个大小相同的红球和白球,规定从中摸出一个红球的3分,摸到一个白球的4分,假设小华摸到x个红球和y个白球,共得34分,请你列出关于x、y的方程,并写出这个方程符合实际意义的所有的解.【灵活运用】(2)已知△ABC的三边m,n,p都是正整数,m,n,p,且△ABC的周长为15,则符合条件的三角形共有7个.解:(1)依题意得:3x+4y=34,有三个正整数解为,,;(2)设m≥n≥p,则由m+n+p=15,得m≥5.用试值法或者枚举法可得:,,,,,,.所以符合条件的三角形共有7个.故答案是:7.。

人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷

人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷

人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷一. 八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1. 如图,在ABC 中,ΛABC = ^5, AD 9BE 分别为BC t AC 边上的高,连接DE,过点 D 作DF 丄DE 与点F, G 为BE 中点,连接AF, DG ・(2)如图2,请写出AF 与DG 之间的关系并证明.【答案】⑴详见解析;(2)AF=2DG,且AF 丄DG,证明详见解析.【解析】【分析】(1) 利用条件先△ DAE 今ADBF,从而得出AFDE 是等腰直角三角形,再证明AAEF 是等腰直角 三角形,即可•⑵延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM,先证明△ BGM^∆EGD,再证明 ΔBDM^ΔDAF 即可推岀.【详解】解:(I)证明:设BE 与AD 交于点H ・・如图,VAD z BE 分别为BC Z AC 边上的髙,ΛZBEA=ZADB=90o.V ZABC=45°,ΛΔABD 是等腰宜角三角形. Λ AD=BD.∖∙ ZAHE=ZBHD zΛ ZDAC=ZDB H .∙.φZADB=ZFDE=90°, ∙∙∙ ZADE=ZBDRΛ∆DAE^∆DBF.ABF=AE z DF=DE.ΛΔFDE是等腰直角三角形.ΛZDFE=450.VG为BE中点,Λ BF=EF.Λ AE=ER.,.∆AEF是等腰直角三角形.∙∙∙ZAFE=45°・∙∙∙ ZAFD二90。

出卩 AFlDR(2)AF=2DG,且AF丄DG•理由涎长DG至点使GM=DG J交AF于点H,连接BM,VZBGMZEGD zΛ∆BGM^∆EGD ・∙∙∙ ZMBE=ZFED=45o,BM=DE.AZMBE=ZEFD Z BM=DRVZDAC=ZDBE Z∙∙∙ ZMBD=ZMBE+ZDBE=450+ZDBE.∖∙ ZEFD=45o=ZDBE+ZBDR∙∙∙ ZBDF二45°-ZDBE・∙/ ZADE=ZBDF,∙∙∙ ZADF=90o-ZBDF=45°+ZDBE=ZMBD.VBD=AD ZΛ∆BDM^ΔDARΛ DM=AF=2DG z Z FAD= ZBDM ・VZBDM+ZM DA=90o,AZMDA+ZFAD=90o.∙∙∙ZAHD=90°.∙∙∙AF 丄 DG ・∙∙∙AF=2DG,且 AFlDG【点睛】本题考查三角形全等的判左和性质,关键在于灵活运用性质.2.如图1,在平而直角坐标系中,点D(“,m+8)在第二彖限,点3 (0> n)在y轴正半轴上,作M丄X轴,垂足为儿已知QA比OB的值大2,四边形AOBD的而积为12.(1)求m和门的值・(2 )如图2, C为AO的中点,DC与AB相交于点F, AF±BD,垂足为F,求证:AF=DE.(3)如图3,点G在射线AD上,且GA = GB, H为GB延长线上一点,作ZHAN交y轴于点M且ZHAN=上HBO,求NB-HB的值.Irl = -4【答案】(1)< C (2)详见解析;(3) NB- FB=4 (是定值),即当点H在GB的n = 2延长线上运动时,NB-HB的值不会发生变化.【解析】【分析】(1)由点D,点3的坐标和四边形AOBD的而积为12,可列方程组,解方程组即可:(2)由(2)可知,AD=OA = 4, 0B=2,并可求出AB=BD= 2卡,利用SAS可证△DAC也AAOB,并可得ZAEC= 90°,利用三角形而积公式即可求证:(3)取OC=OB,连接AC,根据对称性可得ZABC= ZACB, AB=AC,证明∆ABH^ΛCAN,即可得到结论.【详解】-m -/7 = 2解:(1)由题意Qi, OW、,-(n + m + 8)(-m) = 12W 2IrI = -4解得< :H = 2由(1)可知,Λ ( -4t0) , β (0, 2) , D ( -4, 4), :.AD=OA=4. OB=2,・•・由勾股泄理可得:AB = BD= 2炳,9: AC=OC=2,AC=OB99:ZDAC= ZAOB=90°, AD=OA9:.ADAC^AAOB (SAS),∙∙∙ ZADC=ZBAO.T ZADC^ZACD=90∖∙∙∙ZE4C+ZACE=90°,∙∙∙ZAEC= 90°,9:AF±BD. DE±AB.1 1•∙SχD8= —^AB^AE=—∙BD∙√4F,2 29: AB = BD,:.DE=AF ・(3)解:如图,取OC=OB,连接AC,根据对称性可得ZABC=ZACB. AB=AC.9:AG=BG./.ZGAB=ZGBA fTG为射线AD上的一点,•••AG〃y 轴,:.ZGAB=ZABC.:.ZACB=ZEBA.Λ180o - ZGBA = I80° - ZACB,即ZABG=Z ACN99: ZGAN=ZGBO,:.ZAGB=ZANC f∕±,∆ABG与"CN 中,ZABH=ZACN< ZAHB = ZANC ,AB = AC:.AABH^AACN (AAS) t:.BF= CN9:.NB - HB=NB ・ CN=BC=IOB9VOB=2:∙NB- FB=2χ2=4 (是定值),即当点H在GB的延长线上运动时,NB - HB的值不会发生变化.【点睛]本题属于三角形综合题,全等三角形的判定和性质,解题的关键是相结合添加常用辅助线,构造图形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.3.在四边形ABCD中,F为BC边中点.(I )已知:如图,若处平分ZBAD. Z AED=90o f点F为AD上一点,AF=AB.求证:(1)Δ ABE^ AFE↑ (2) AD=AB+CD(∏)已知:如图,若处平分Z BAD. DE平分ΛADC. Z AED二120。

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.(1)求证:BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)BE+CF>EF,证明详见解析【解析】【分析】(1)先利用ASA判定△BGD≅CFD,从而得出BG=CF;(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.【详解】解:(1)∵BG∥AC,∴∠DBG=∠DCF.∵D为BC的中点,∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF,在△BGD与△CFD中,∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD(ASA).∴BG=CF.(2)BE+CF>EF.∵△BGD≌△CFD,∴GD=FD,BG=CF.又∵DE⊥FG,∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).∴在△EBG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、AAS、ASA、HL.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F(1)证明:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP,从而得出结论;(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP,根据PA=PE得出∠DAP=∠E,即∠DCP=∠E,易得答案;(3)、首先证明△ABP和△CBP全等,然后得出PA=PC,∠BAP=∠BCP,然后得出∠DCP=∠E,从而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;(2)、由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;(3)、AP=CE理由是:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,在△ABP和△CBP中,又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠DCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC ∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE考点:三角形全等的证明3.已知4AB cm=,3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动,同时点Q在BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为()t s.(1)如图①,AC AB⊥,BD AB⊥,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当1t=时,ACP△与BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)如图②,将图①中的“AC AB⊥,BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”,其他条件不变.设点Q的运动速度为/xcm s,是否存在实数x,使得ACP△与BPQ 全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)全等,PC与PQ垂直;(2)存在,11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.【详解】解:(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°,在△ACP和△BPQ中,AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.∴∠CPQ=90°,即线段PC 与线段PQ 垂直.(2)①若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BP ,AP=BQ ,34t t xt =-⎧⎨=⎩, 解得11t x =⎧⎨=⎩, ②若△ACP ≌△BQP ,则AC=BQ ,AP=BP ,34xt t t =⎧⎨=-⎩, 解得232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩, 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,在解题时注意分类讨论思想的运用.4.(1)如图(1),已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .求证:DE=BD+CE .(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC ,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC =α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)如图(3),D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD 、CE ,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ,求证:△DEF 是等边三角形.【答案】(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)因为DE=DA+AE ,故通过证BDA AEC ≅△△,得出DA=EC ,AE=BD ,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证明BDA AEC ≅△△,得出BD=AE ,AD=CE ,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由BDA AEC ≅△△得BD=AE ,=BDA AEC ∠∠,ABF 与ACF 均等边三角形,得==60BA AC ︒∠F ∠F ,FB=FA ,所以=BA BA AC AC ∠F +∠D ∠F +∠E ,即FBD FAB ≅∠∠,所以BDF AEF ≅△△,所以FD=FE ,BFD AFE ≅∠∠,再根据=60BFD FA BFA =︒∠+∠D ∠,得=60AF FA =︒∠E +∠D ,即=60FE =︒∠D ,故DFE △是等边三角形.【详解】证明:(1)∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m∴∠BDA =∠CEA=90°,∵∠BAC =90°∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ,又AB=AC ,∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ,AD=CE ,∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ,∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE(3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF∴DF=EF,∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.5.如图,A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,动点P从原点O出发,沿x轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.(1)若AB∥x轴,如图1,求t的值;(2)设点A关于x轴的对称点为A′,连接A′B,在点P运动的过程中,∠OA′B的度数是否会发生变化,若不变,请求出∠OA′B的度数,若改变,请说明理由.(3)如图2,当t=3时,坐标平面内有一点M(不与A重合)使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)4;(2)∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45︒,理由见解析;(3)点M 的坐标为(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质,可证明△AOP 为等腰直角三角形,从而求得答案;(2)根据对称的性质得:PA =PA '=PB ,由∠PAB +∠PBA =90°,结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B =45°;(3)分类讨论:分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时,点M 的坐标的情况;过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线,利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】(1)∵AB ∥x 轴,△APB 为等腰直角三角形,∴∠PAB =∠PBA =∠APO =45°,∴△AOP 为等腰直角三角形,∴OA =OP =4.∴t =4÷1=4(秒),故t 的值为4.(2)如图2,∠OA ′B 的度数不变,∠OA ′B =45°,∵点A 关于x 轴的对称点为A ′,∴PA =PA ',又AP =PB ,∴PA =PA '=PB ,∴∠PAA '=∠PA 'A ,∠PBA '=∠PA 'B ,又∵∠PAB +∠PBA =90°,∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '=180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°,∴∠AA 'B =45°,即∠OA 'B =45°;(3)当t =3时,M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等,①如图3,若△ABP ≌△MBP ,则AP =PM ,过点M 作MD ⊥OP 于点D ,∵∠AOP =∠PDM ,∠APO =∠DPM ,∴△AOP ≌△MDP (AAS ),∴OA =DM =4,OP =PD =3,∴M 的坐标为:(6,-4).②如图4,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠, ∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====,∵BG ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF =45︒+1∠,∠MPE =45︒+2∠,∴∠BAF =∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====,∴M 的坐标为:(4,7),③如图5,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点D ,过点B 作BG ⊥x 轴于点E ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====,∵BE ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====,∴M 的坐标为:(10,﹣1).综合以上可得点M 的坐标为:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,第(3)小题要注意分类讨论,作此类型的题要结合图形,构建适当的辅助线,寻找相等的量才能得出结论.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),点B(﹣2,1).(1)请运用所学数学知识构造图形求出AB的长;(2)若Rt△ABC中,点C在坐标轴上,请在备用图1中画出图形,找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标;(3)在x轴上是否存在点P,使PA=PB且PA+PB最小?若存在,就求出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由(在备用图2中画出示意图).【答案】(1)AB=52)C2(0,7),C4(0,-4),C5(-1,0)、C6(1,0);(3)不存在这样的点P.【解析】【分析】(1)如图,连结AB,作B关于y轴的对称点D,利用勾股定理即可得出AB;(2)分别以A,B,C为直角顶点作图,然后直接得出符合条件的点的坐标即可;(3)作AB的垂直平分线l3,则l3上的点满足PA=PB,作B关于x轴的对称点B′,连结AB′,即x轴上使得PA+PB最小的点,观察作图即可得出答案.【详解】解:(1)如图,连结AB ,作B 关于y 轴的对称点D ,由已知可得,BD =4,AD =2.∴在Rt △ABD 中,AB =25(2)如图,①以A 为直角顶点,过A 作l 1⊥AB 交x 轴于C 1,交y 轴于C 2 .②以B 为直角顶点,过B 作l 2⊥AB 交x 轴于C 3,交y 轴于C 4.③以C 为直角顶点,以AB 为直径作圆交坐标轴于C 5、 C 6、 C 7.(用三角板画找出也可) 由图可知,C 2(0,7),C 4(0,-4),C 5(-1,0)、 C 6(1,0).(3)不存在这样的点P .作AB 的垂直平分线l 3,则l 3上的点满足PA =PB ,作B 关于x 轴的对称点B ′,连结AB ′,由图可以看出两线交于第一象限.∴不存在这样的点P .【点睛】本题考查了勾股定理,构造直角三角形,中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析,解题的关键是学会分类讨论,学会画好图形解决问题.7.(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形,点B D E 、、在同一直线上,连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ,为ADE 中DE 边上的高,连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3,AB 和ADE 均为等腰三角形,BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上,连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示,直接写出结果即可).【答案】(1)①证明见解析;②60°;(2)①90°;②BE =CE+2AF ;(3)∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =,再根据对应角相等求出BEC ∠的度数;(2)根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出BEC ∠的度数;因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论;(3)根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ,根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数,即可得出结论.【详解】(1)①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1),∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS)∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD,∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.(2)①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2),∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=45°,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴ BD=CE,∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.(3)如图3:∠AEC=90°+12n ,理由如下,∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴ AB=AC,AD=AE,∠ADE=∠AED=n°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n . ∴∠AEC=90°+12n ︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等,掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.8.在等边ABC ∆中,点O 在BC 边上,点D 在AC 的延长线上且OA OD =.(1)如图1,若点O 为BC 中点,求COD ∠的度数;(2)如图2,若点O 为BC 上任意一点,求证AD AB BO =+.(3)如图3,若点O 为BC 上任意一点,点D 关于直线BC 的对称点为点P ,连接,AP OP ,请判断AOP ∆的形状,并说明理由.【答案】(1)30;(2)见解析;(3)AOP ∆是等边三角形,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒,根据OA OD =,等腰三角形的性质得到D ∠的度数,再通过内角和定理求AOD ∠,即可求出COD ∠的度数.(2)过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形,再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒,120DCO ∠=︒,再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆,得到CD EA =,再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过,又因为AD AC CD =+,通过等量代换即可得到答案.(3)通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆,得到OP OD =,又因为OA OD =,得到AO=OP,证得AOP∆为等腰三角形,如解析辅助线,由(2)可知得AOE DOC∆≅∆得到AOE DOC∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE∠=∠=°,即可证得AOP∆是等边三角形.【详解】(1)∵ABC∆为等边三角形∴60BAC∠=︒∵O为BC中点∴1302CAO BAC∠=∠=︒且,90AO BC AOC⊥∠=︒∵OA OD=∴AOD∆中,30D CAO∠=∠=︒∴180120AOD D CAO∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC∠=∠-∠=︒(2)过O作//OE AB,OE交AD于E∵//OE AB∴60EOC ABC∠=∠=︒60CEO CAB∠=∠=︒∴COE∆为等边三角形∴OE OC CE==180120AEO CEO∠=︒-∠=︒180120DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=,∵AB AC=,AD AC CD=+∴AD AB BO=+(3)AOP∆为等边三角形证明过程如下:连接,PC PD,延长OC交PD于F ∵P D、关于OC对称∴,90 PF DF PFO DFO=∠=∠=︒在ODF∆与OPF∆中,PF DFPFO DFOOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS∆≅∆∴OP OD=,POC DOC∠=∠∵OA OD=∴AO=OP∴AOP∆为等腰三角形过O作//OE AB,OE交AD于E 由(2)得AOE DOC∆≅∆∴AOE DOC∠=∠又∵POC DOC∠=∠∴AOE POF∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ,∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形. 【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题,灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系,以及等边三角形的性质是解答此题的关键.9.数学课上,张老师举了下面的例题:例1 等腰三角形ABC 中,110A ∠=,求B 的度数.(答案:35)例2 等腰三角形ABC 中,40A ∠=,求B 的度数.(答案:40或70或100) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下两题:变式1: 等腰三角形ABC 中,∠A=100°,求B 的度数.变式2: 等腰三角形ABC 中,∠A= 45° ,求B 的度数.(1)请你解答以上两道变式题.(2)解(1)后,小敏发现,A ∠的度数不同,得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中,设A x ∠=,当B 只有一个度数时,请你探索x 的取值范围.【答案】(1)变式1: 40°;变式2: 90°或67.5°或45°;(2)90°≤<180°或x=60°【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,分类讨论,即可得到答案;(2)在等腰三角形ABC 中,当B 只有一个度数时,A ∠只能作为顶角时,或∠A=60°,进而可得到答案.【详解】变式1:∵等腰三角形ABC 中,∠A=100°,∴∠A 为顶角,∠B 为底角,∴∠B =1801002-=40°; 变式2: ∵等腰三角形ABC 中,∠A= 45° ,∴当AB=BC 时,∠B =90° ,当AB=AC 时, ∠B =67.5° ,当BC=AC 时 ∠B =45° ;(2)等腰三角形ABC 中,设A x ∠=,当90°≤x <180°,∠A 为顶角,此时,B 只有一个度数,当x=60°时,三角形ABC 是等边三角形,此时,B 只有一个度数,综上所述:90°≤x <180°或x=60°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,分类讨论思想的应用,是解题的关键.10.如图,在△ABC 中,AB =AC =2,∠B =40°,点D 在线段BC 上运动(D 不与B 、C 重合),连接AD ,作∠ADE =40°,DE 交线段AC 于E 点.(1)当∠BDA =115°时,∠BAD =___°,∠DEC =___°;(2)当DC 等于多少时,△ABD 与△DCE 全等?请说明理由;(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA 的度数;若不可以,请说明理由.【答案】(1) 25,115;(2)当DC =2时,△ABD ≌△DCE ,理由见解析;(3)可以;当∠BDA 的度数为110°或80°时,△ADE 的形状是等腰三角形.【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理,将已知数值代入即可求出BAD ∠,根据平角的定义,可求出EDC ∠的度数,根据三角形内和定理,即可求出DEC ∠.(2)当AB DC =时,利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆,即可得出2AB DC ==. (3)假设ADE ∆是等腰三角形,分为三种情况讨论:①当AD AE =时,40ADE AED ∠=∠=︒,根据AED C ∠>∠,得出此时不符合;②当DA DE =时,求出70DAE DEA ∠=∠=︒,求出BAC ∠,根据三角形的内角和定理求出BAD ∠,根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可;③当EA ED =时,求出DAC ∠,求出BAD ∠,根据三角形的内角和定理求出ADB ∠.【详解】(1)在BAD 中,40B ∠= ,115BDA ∠=,1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.AB AC =,40B ∠=,40B C ∴∠=∠=,1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒.故答案为:25,115;(2)当2DC =时,ABD DCE ∆≅∆.理由如下:40C ∠=,140EDC DEC ∴∠+∠=︒,又40ADE ∠=,140ADB EDC ∴∠+∠=︒,ADB DEC ∴∠=∠.在ABD △和DCE ∆中,B C ∠=∠,ADB DEC ∠=∠,当AB DC =时,()ABD DCE AAS ∆≅∆,2AB DC ∴==;(3)AB AC =,40B C ∴∠=∠=︒,分三种情况讨论:①当AD AE =时,40ADE AED ∠=∠=︒,AED C ∠>∠,∴此时不符合; ②当DA DE =时,即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒,1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒,1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒;1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒;③当EA ED =时,40ADE DAE ∠=∠=︒,1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒,180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒;∴当110ADB ∠=︒或80︒时,ADE ∆是等腰三角形.【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性较强.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.阅读下列材料:利用完全平方公式,可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式,我们把这种变形方法,叫做配方法.运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如:22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料,解答下列问题:(1)用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式,则281=x x +- ________; (2)用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解;(3)对于任意实数x ,y ,多项式222416x y x y +--+的值总为______(填序号).①正数②非负数 ③ 0【答案】(1)2(4)17x +-;(2)(2)(4)x x +-;(3)①【解析】【分析】(1)根据材料所给方法解答即可;(2)材料所给方法进行解答即可;(3)局部进行因式分解,最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解:(1)281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.(2)原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-.(3)222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+>11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法,根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.12.若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数,且a b >)的形式,则称这个数为“明礼崇德数”,a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如:因为22532=-,所以5是“明礼崇德数”,3与2是5的平方差分解;再如:22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数),所以M 也是“明礼崇德数”,()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断:9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”);(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数,k 是常数,且1x y >+),要使N 是“明礼崇德数”,试求出符合条件的一个k 值,并说明理由;(3)对于一个三位数,如果满足十位数字是7,且个位数字比百位数字大7,称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”,又是“明礼崇德数”,请求出m 的所有平方差分解.【答案】(1)是;(2)k=-5;(3)m=279,222794845=-,222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42,确定9是“明礼崇德数”;(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差,得到k=-5,将k=-5代入计算即可将N 平方差分解,得到答案;(3)确定“七喜数”m 的值,分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42,∴9是“明礼崇德数”,故答案为:是;(2)当k=-5时,N 是“明礼崇德数”,∵当k=-5时,22465N x y x y =-+--,=224649x y x y -+-+-,=22(44)(69)x x y y ++-++,=22(2)(3)x y +-+,=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数,且1x y >+,∴N 是正整数,符合题意,∴当k=-5时,N 是“明礼崇德数”;(3)由题意得:“七喜数”m=178或279,设m=22a b -=(a+b )(a-b ),当m=178时,∵178=2⨯89,∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩,得45.543.5a b =⎧⎨=⎩(不合题意,舍去); 当m=279时,∵279=3⨯93=9⨯31,∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩,得4845a b =⎧⎨=⎩,∴222794845=-, ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩,得2011a b =⎧⎨=⎩,∴222792011=-, ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279,222794845=-,222792011=-.【点睛】此题考查因式分解,熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提,(3)是此题的难点,解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据,再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.13.图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积: 方法1: 方法2:(2)观察图②请你写出下列三个代数式:(m+n )2,(m ﹣n )2,mn 之间的等量关系. ;(3)根据(2)题中的等量关系,解决:已知:a ﹣b=5,ab=﹣6,求:(a+b )2的值;【答案】(1)(m-n)2;(m+n)2-4mn;(2)(m-n)2=(m+n)2-4mn;(3)1.【解析】【分析】(1)方法1:表示出阴影部分的边长,然后利用正方形的面积公式列式;方法2:利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式;(2)根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答;(3)根据(2)的结论整体代入进行计算即可得解.【详解】解:(1)方法1:∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形,∴阴影部分的面积=(m-n)2方法2:∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积∴阴影部分的面积=(m+n)2-4mn;(2)根据(1)中两种计算阴影部分的面积方法可知(m-n)2=(m+n)2-4mn;(3)由(2)可知(a+b)2=(a-b)2+4ab,∵a-b=5,ab=-6,∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=52+4×(-6)=25-24=1.【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义;主要围绕图形面积展开分析.14.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi (a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i)+(3﹣4i)=5﹣3i.(1)填空:i3=,2i4=;(2)计算:①(2+i)(2﹣i);②(2+i)2;(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:已知:(x+3y)+3i=(1﹣x)﹣yi,(x,y为实数),求x,y的值.(4)试一试:请你参照i2=﹣1这一知识点,将m2+25(m为实数)因式分解成两个复数的积.【答案】(1)i;2(2)①5②3+4i(3)x=5,y=﹣3(4)m2+25=(m+5i)(m﹣5i)【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算;(2)利用平方差、完全平方公式把原式展开,根据21i =-计算即可;(3)根据虚数定义得出方程组,解方程组即可;(4)根据21i =- 将25转化为2(-5)i ,再利用平方差公式进行因式分解即可。

第3章 一元一次不等式 浙教版数学八年级上册培优试卷(含答案)

第3章 一元一次不等式 浙教版数学八年级上册培优试卷(含答案)

浙教版八年级上册第三章一元一次不等式培优一、选择题1.若a>b,则下列各式一定成立的是( )A.a+1<b+1B.―a>―b C.a―2<b―2D.a3>b32.如图,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,物体A的质量为m(g),则m的取值范围在数轴上可表示为( )A.B.C.D.3.不等式组x+1>02x≤2的解集在数轴上用阴影表示正确的是( )A.B.C.D.4.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )A.a>c>b B.c―a>b―a C.a c2<b c2D.a+b>05.在数学活动课中,小俞同学将某商场促销活动的信息列出不等式为0.7×(2x―100)<1000(其中x为某一商品的定价,单位:元),那么该商场促销活动的信息是( )A.买两件该商品可减100元,再打3折,最后不到1000元B.买两件该商品可打3折,再减100元,最后不到1000元C.买两件该商品可减100元,再打7折,最后不到1000元D.买两件该商品可打7折,再减100元,最后不到1000元6.如图所示,运行程序规定:从“输入一个值x”到“结果是否>79”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止,那么x的取值范围是( )A.x>9B.x≤19C.9<x≤19D.9≤x≤197.若关于x 的不等式组4―(x ―2)≥33x ―a >2x有且只有4个整数解,则a 的取值范围是( )A .―1≤a <0B .―1<a ≤0C .0<a ≤1D .0≤a <18.若x 为实数,则[x ]表示不大于x 的最大整数,例如[1,6]=1,[π]=3,[―2,82]=―3等.[x ]+1是大于x 的最小整数,则方程6x ―3[x ]+9=0的解是( )A .x =―83B .x =―196C .x =―72或x =―3D .x =―83或x =―1969.已知三个实数a ,b ,c 满足a ―2b ―c =0,a +2b ―c <0,则( )A .b <0,b 2+ac ≤0B .b <0,b 2+ac ≥0C .b >0,b 2+ac ≤0D .b >0,b 2+ac ≥010. 已知关于x 的分式方程mx(x ―2)(x ―6)+2x ―2=3x ―6无解,且关于y 的不等式组m ―y >4y ―4≤3(y +4)有且只有三个偶数解,则所有符合条件的整数m 的乘积为( )A .1B .2C .4D .8二、填空题11.若(m ―1)x >(m ―1)的解集是x <1,则m 的取值范围是  ;12.一罐饮料净重300g ,罐上标注有“蛋白质含量≥0.5%”,其中蛋白质的含量至少为 g .13.若关于x 的不等式组x <1x ≤a 的解集是x <1,则a 的值可以是  (写出一个即可).14.关于x 的方程k ―2x =3(k ―2)的解为非负数,且关于x 的不等式x ―2(x ―1)≤32k +x 3≥x 有解,求符合条件的所有整数k 的值的积为 .15.若关于x 的不等式组―6<x <2x ―m <m无解,那么m 的取值范围是 16.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x >,即:当n 为非负整数时,如n ﹣12≤x <n+12,则<x >=n .如:<0.48>=0,<3.5>=4.如果<x >=97x ,则x =  .三、解答题17.课堂上,老师设计了“接力游戏”,规则:一列同学每人只完成解不等式的一步变形,即前一个同学完成一步,后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形,直至解出不等式的解集.请根据下面的“接力游戏”回答问题.接力游戏老师:3x +12―1>5x ―43甲同学:3(3x +1)―6>2(5x ―4)乙同学:9x+3―6>10x―8丙同学:9x―10x>―8―3+6丁同学:―x>―5戊同学:x>5任务一:①在“接力游戏”中,乙同学是根据______进行变形的.A.等式的基本性质B.不等式的基本性质C.乘法对加法的分配律②在“接力游戏”中,出现错误的是______同学,这一步错误的原因是______.任务二:在“接力游戏”中该不等式的正确解集是______.任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议.18.解不等式1―x3―x<3―x+24.并把解集表示在数轴上.19.解不等式组:5x―6≤2(x+2) x4―1<x―3320.如图,点A,B均在数轴上,点B在点A的右侧,点A对应的数字是―4,点B对应的数字是m.(1)若AB=2,求m的值;(2)将AB线段三等分,这两个等分点所对应数字从左到右依次是a1,a2,若a2>0,求m的取值范围.21.如图所示的是某大院窗格的一部分,其中“O”代表窗格上所贴的剪纸,设第x个窗格上所贴“O”的个数为y.(1)填写下表.x12345xy581117(用含x的式子表示)(2)若第x个窗格上所贴的“O”的个数大于50,求x的取值范围.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,a),B(b,3),E(3―a,0),其中a,b满足|a―5|+b―4=0.平移线AB段得到线段CD,使得C,D两点分别落在y轴和x轴上.(1)①点A的坐标是____________;点B的坐标是____________;②求三角形OCD的面积.(2)将点E向下移动1个单位长度得到点F,连接FC,FD,Q(m,0)是x轴负半轴上一点.若三角形QCD 的面积不小于三角形FCD的面积,求m的取值范围.23.如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(2,4),且2a+b+10+|3a―2b+8|=0.(1)求a,b的值;,求t的取值范围;(2)点D(t,0)为x轴上一点,且S三角形ABD≤13S三角形ABC(3)平移三角形ABC到三角形EFG(其中点A,B,C的对应点分别为点E,F,G),设E(m,n),F (p,q),且满足5m―n=43p―q=4,请直接写出点G的坐标.答案解析部分1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】B 11.【答案】m <112.【答案】1.513.【答案】2(答案不唯一)14.【答案】015.【答案】m ≤―316.【答案】0或79或149.17.【答案】任务一:①C ;②戊;不等式的两边同时乘以―1,不等号的方向没有改变任务二:x <5任务三:去括号时,括号前面是“―”,去括号后,括号的每一项都要变号,或移项要变号18.【答案】x >―219.【答案】0<x ≤10320.【答案】(1)―2(2)m >221.【答案】(1)14,3x +2(2)x >16.22.【答案】(1)①A (1,5),B (4,3),②3(2)m ≤―7223.【答案】(1)a 的值为―4,b 的值为―2(2)―10≤t ≤2(3)G(8,10)。

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷(培优篇)(Word版 含解析)

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷(培优篇)(Word版 含解析)

苏教版八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、压轴题1.如图1所示,直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴,y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.(1)当OA OB =时,求点A 坐标及直线L 的解析式.(2)在(1)的条件下,如图2所示,设Q 为AB 延长线上一点,作直线OQ ,过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ,BN OQ ⊥于N ,若17AM =,求BN 的长. (3)当m 取不同的值时,点B 在y 轴正半轴上运动,分别以OB 、AB 为边,点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆,连接EF 交y 轴于P 点,如图3.问:当点B 在y 轴正半轴上运动时,试猜想PB 的长是否为定值?若是,请求出其值;若不是,说明理由.2.在ABC 中,AB AC =,D 是直线BC 上一点(不与点B 、C 重合),以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ,AD AE =,DAE BAC ∠=∠,连接CE .(1)如图,当 D 在线段BC 上时,求证:BD CE =.(2)如图,若点D 在线段CB 的延长线上,BCE α∠=,BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系?写出你的理由.(3)如图,当点D 在线段BC 上,90BAC ∠=︒,4BC =,求DCES最大值.3.如图,已知四边形ABCO 是矩形,点A ,C 分别在y 轴,x 轴上,4AB =,3BC =.(1)求直线AC 的解析式;(2)作直线AC 关于x 轴的对称直线,交y 轴于点D ,求直线CD 的解析式.并结合(1)的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式;(3)若点P 是直线CD 上的一个动点,试探究点P 在运动过程中,||PA PB -是否存在最大值?若不存在,请说明理由;若存在,请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标.4.如图,直线112y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,与直线26y kx =-交于点()C 4,2.(1)b = ;k = ;点B 坐标为 ;(2)在线段AB 上有一动点E ,过点E 作y 轴的平行线交直线y 2于点F ,设点E 的横坐标为m ,当m 为何值时,以O 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形;(3)若点P 为x 轴上一点,则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ,使得P ,Q ,A ,B 四个点能构成一个菱形.若存在,直接写出所有符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由.5.(1)问题发现:如图1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连接BE .①请直接写出∠AEB 的度数为_____;②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系,并证明;(2)拓展探究:图2, △ACB 和△DCE 均为等腰三角形,∠ACB =∠DCE =90°,点A 、D 、E 在同-直线上, CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE ,请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由.6.(1)问题发现.如图1,ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形,点A 、D 、E 均在同一直线上,连接BE .①求证:ADC BEC ∆∆≌. ②求AEB ∠的度数.③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________. (2)拓展探究.如图2,ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形,90ACB DCE ∠=∠=︒,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为DCE ∆中DE 边上的高,连接BE .①请判断AEB ∠的度数为____________.②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________.(直接写出结论,不需证明) 7.如图,在等边ABC ∆中,线段AM 为BC 边上的中线.动点D 在直线AM 上时,以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆,连结BE . (1)求CAM ∠的度数;(2)若点D 在线段AM 上时,求证:ADC BEC ∆≅∆;(3)当动点D 在直线AM 上时,设直线BE 与直线AM 的交点为O ,试判断AOB ∠是否为定值?并说明理由.8.如图1,矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上,且点()6,10C ,点()0,2D ,点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点.(1)当点P 与C 重合时,求直线DP 的函数解析式;(2)如图②,当P 在BC 边上,将矩形沿着OP 折叠,点B 对应点B '恰落在AC 边上,求此时点P 的坐标.(3)是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.9.学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后,我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. (初步思考)我们不妨将问题用符号语言表示为:在△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. (深入探究)第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC ≌△DEF .(1)如图①,在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E =90°,根据______,可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF .第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC ≌△DEF .(2)如图②,在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B 、∠E 都是钝角.求证:△ABC ≌△DEF .第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等.(3)在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B 、∠E 都是锐角.请你用直尺在图③中作出△DEF ,使△DEF 和△ABC 不全等,并作简要说明.10.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A (a ,b ),B (c ,d ),若点T (x ,y )满足x =3+a c ,y =3+b d,那么称点T 是点A 和B 的融合点.例如:M (﹣1,8),N (4,﹣2),则点T (1,2)是点M 和N 的融合点.如图,已知点D (3,0),点E 是直线y =x +2上任意一点,点T (x ,y )是点D 和E 的融合点.(1)若点E 的纵坐标是6,则点T 的坐标为 ; (2)求点T (x ,y )的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式:(3)若直线ET 交x 轴于点H ,当△DTH 为直角三角形时,求点E 的坐标.11.已知在△ABC 中,AB =AC ,射线BM 、BN 在∠ABC 内部,分别交线段AC 于点G 、H . (1)如图1,若∠ABC =60°,∠MBN =30°,作AE ⊥BN 于点D ,分别交BC 、BM 于点E 、F .①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF =2AF ,连接CF ,求证:BF ⊥CF ;(2)如图3,点E 为BC 上一点,AE 交BM 于点F ,连接CF ,若∠BFE =∠BAC =2∠CFE ,求ABF ACFSS的值.12.在Rt ABC 中,ACB =∠90°,30A ∠=︒,点D 是AB 的中点,连结CD .(1)如图①,BC 与BD 之间的数量关系是_________,请写出理由;(2)如图②,若P 是线段CB 上一动点(点P 不与点B 、C 重合),连结DP ,将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°,得到线段DF ,连结BF ,请猜想BF ,BP ,BD 三者之间的数量关系,并证明你的结论;(3)若点P 是线段CB 延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图③中补全图形,并直接写出BF ,BP ,BD 三者之间的数量关系.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1.(1)5y x =+;(2)223)PB 的长为定值52【解析】 【分析】(1)先求出A 、B 两点坐标,求出OA 与OB ,由OA= OB ,求出m 即可;(2)用勾股定理求AB ,再证AMO OBN ∆≅∆,BN=OM ,由勾股定理求OM 即可; (3)先确定答案定值,如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ,先证AOB EBG ∆≅∆,求BG 再证BFP GEP ∆≅∆,可确定BP 的定值即可.【详解】(1)对于直线:5L y mx m =+. 当0y =时,5x =-. 当0x =时,5y m =.()5,0A ∴-,()0,5B m .OA OB =.55m ∴=. 解得1m =.∴直线L 的解析式为5y x =+.(2)5OA =,17AM =∴由勾股定理,2222OM OA AM=-=.180AOM AOB BON∠+∠+∠=︒.90AOB∠=︒.90AOM BON∴∠+∠=︒.90AOM OAM∠+∠=︒.BON OAM∴∠=∠.在AMO∆与OBN∆中,90BON OAMAMO BNOOA OB∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩.()AMO OBN AAS∴∆≅∆.22BN OM∴==..(3)如图所示:过点E作EG y⊥轴于G点.AEB∆为等腰直角三角形,AB EB∴=90ABO EBG∠+∠=︒.EG BG⊥,90GEB EBG∴∠+∠=︒.ABO GEB∴∠=∠.AOB EBG∴∆≅∆.5BG AO∴==,OB EG=OBF∆为等腰直角三角形,OB BF∴=BF EG∴=.BFP GEP∴∆≅∆.1522BP GP BG∴===.【点睛】本题考查求解析式,线段的长,判断定值问题,关键是掌握求坐标,利用条件OA= OB,求OM,用勾股定理求AB,再证AMO OBN∆≅∆,构造AOB EBG∆≅∆,求BG,再证BFP GEP ∆≅∆.2.(1)见解析;(2)αβ=,理由见解析;(3)2 【解析】 【分析】(1)证明()ABD ACE SAS ≅△△,根据全等三角形的性质得到BD CE =; (2)同(1)先证明()ABD ACE SAS ≅△△,得到∠ACE=∠ABD ,结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ,得到α和β关系式;(3) 同(1)先证明()ABD ACE SAS ≅△△,得到ABC ADCE S S ∆=四边形,那么DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形,当AD BC ⊥时,ADE S ∆最小,即DCE S ∆最大.【详解】解:(1)∵BAC DAE ∠=∠, ∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠, ∴BAD CAE ∠=∠, 在ABD △和ACE △中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()ABD ACE SAS ≅△△, ∴BD CE =;(2)同(1)的方法得()ABD ACE SAS ≅△△, ∴∠ACE=∠ABD ,∠BCE=α, ∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB +α, 在ABC 中, ∵AB= AC ,∠BAC=β, ∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)= 90°-12β, ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+12β, ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-12β+α, ∵∠ACE=∠ABD = 90°+12β, ∴90°-12β+α= 90°+12β, ∴α = β;(3)如图,过A 做AH BC ⊥于点H , ∵AB AC =,90BAC ∠=︒,∴45ABC ∠=︒,122BH AH BC ===, 同(1)的方法得,()ABD ACE SAS ≅△△,AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+,即142ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形, ∴DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形, 当ADE S ∆最小时,DCE S ∆最大,∴当AD BC ⊥2AD =,时最小,2122ADE S AD ∆==, 422DCE S ∆∴=-=最大.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的外角和定理,解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形,后面的问题都是在这个基础上进行证明的. 3.(1)y =34-x +3;(2)y =34x -3,y =-kx -b ;(3)存在,4,(8,3) 【解析】 【分析】(1)利用4AB =,3BC =,找出A 、C 两点的坐标,设直线解析式,利用待定系数法求出AC 的解析式;(2)由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标,设直线解析式,利用待定系数法求出CD 的解析式,对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式;(3)先判断||PA PB -存在最大值,在P 、A 、B 三点不共线时,P 点在运动过程中,与A 、B 两点组成三角形,两边之差小于第三边,得出结论在P 、A 、B 三点共线时,此时||PA PB -最大,y p = y A =3,求出P 点的纵坐标,最后根据点P 在直线CD 上,将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标,从而求出P 点坐标. 【详解】解:(1)在矩形ABCD 中,OC =AB =4,OA =BC =3, 故A (0,3),C (4,0),设直线AC 的解析式为:y =kx +b (k ≠0,k 、b 为常数), 点A 、C 在直线AC 上,把A 、C 两点的坐标代入解析式可得:340b k b =⎧⎨+=⎩解得:343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, 所以直线AC 的解析式为:y =34-x +3. (2)由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知:点D 的坐标为:(0,-3), 设直线CD 的解析式为:y =mx +n (m ≠0,m 、n 为常数), 点C 、D 在直线CD 上,把C 、D 两点的坐标带入解析式可得:-340n m n =⎧⎨+=⎩解得:343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, 所以直线CD 的解析式为:y =34x -3, 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为:y =-kx -b .(3)点P 在运动过程中,||PA PB -存在最大值, 由题意可知:如图,延长AB 与直线CD 交点即为点P ,此时||PA PB -最大,其他位置均有||PA PB -<AB (P 点在运动过程中,与A 、B 两点组成任意三角形,两边之差小于第三边), 此时,||PA PB -= AB =4,y p = y A =3,点P 在直线CD 上,将P 点的纵坐标代入直线方程可得:34x -3=3, x =8,故P 点坐标为(8,3),||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力,掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键. 4.(1)4;2;(0,4);(2)125m =或285m =;(3)存在.Q 点坐标为()45,4-,()45,4,()0,4-或()5,4.【解析】【分析】(1)根据待定系数法,将点C (4,2)代入解析式可求解;(2)设点E (m ,142m +),F (m ,2m -6),得()154261022EF m m m =-+--=-,由平行四边形的性质可得BO =EF =4,列出方程即可求解;(3)分两种情况讨论,由菱形的性质按照点平移的坐标规律,先确定P 点坐标,再确定O 点坐标即可求解.【详解】解:(1)(1)∵直线y 2=kx -6交于点C (4,2),∴2=4k -6,∴k =2, ∵直线212y x b =-+过点C (4,2), ∴2=-2+b ,∴b =4, ∴直线解析式为:212y x b =-+,直线解析式为y 2=2x -6, ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点, ∴当x =0时,y =4,当y =0时,x =8,∴点B (0,4),点A (8,0),故答案为:4;2;(0,4)(2)∵点E 在线段AB 上,点E 的横坐标为m , ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,(),26F m m -, ∴()154261022EF m m m =-+--=-. ∵四边形OBEF 是平行四边形,∴EF BO =, ∴51042m -=, 解得:125m =或285m =时, ∴当125m =或285m =时,四边形OBEF 是平行四边形.(3)存在.此时Q 点坐标为()-,()4,()0,4-或()5,4.理由如下:假设存在.以P ,Q ,A ,B 为顶点的菱形分两种情况:①以AB 为边,如图1所示.因为点()8,0A ,()0,4B ,所以45AB =.因为以P ,Q ,A ,B 为顶点的四边形为菱形,所以AP AB =或BP BA =.当AP AB =时,点()845,0P -或()845,0+;当BP BA =时,点()8,0P -. 当()845,0P -时,()8458,04Q --+,即()45,4-; 当()845,0P +时,()8458,04Q +-+,即()45,4; 当()8,0P -时,()880,004Q -+-+-,即()0,4-.②以AB 为对角线,对角线的交点为M ,如图2所示.可得5AP =,点P 坐标为()3,0.因为以P ,Q ,A ,B 为顶点的四边形为菱形,所以点Q 坐标为()5,4.综上可知:若点P 为x 轴上一点,则在平面直角坐标系中存在一点Q ,使得P ,Q ,A ,B 四个点能构成一个菱形,此时Q 点坐标为()45,4-,()45,4,()0,4-或()5,4.【点睛】本题是一次函数综合题,利用待定系数法求解析式,平行四边形的性质,菱形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.5.(1)①60°;②AD=BE.证明见解析;(2)∠AEB =90°;AE=2CM+BE ;理由见解析.【解析】【分析】(1)①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形,易证△ACD ≌△BCE ,从而得到:AD=BE ,∠ADC=∠BEC .由点A ,D ,E 在同一直线上可求出∠ADC ,从而可以求出∠AEB 的度数.②由△ACD ≌△BCE ,可得AD=BE ;(2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,可得AC=BC ,CD=CE ,∠ACB=∠DCE=90°,据此判断出∠ACD=∠BCE ;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△ACD ≌△BCE ,即可判断出BE=AD ,∠BEC=∠ADC ,进而判断出∠AEB 的度数为90°;根据DCE=90°,CD=CE ,CM ⊥DE ,可得CM=DM=EM ,所以DE=DM+EM=2CM ,据此判断出AE=BE+2CM .【详解】(1)①∵∠ACB=∠DCE ,∠DCB=∠DCB ,∴∠ACD=∠BCE ,在△ACD 和△BCE 中,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE ,∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°,∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°;②AD=BE.证明:∵△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE .(2)∠AEB =90°;AE=2CM+BE ;理由如下:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE= 90°,∴AC = BC , CD = CE , ∠ACB =∠DCB =∠DCE -∠DCB , 即∠ACD = ∠BCE ,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD = BE ,∠BEC = ∠ADC=135°.∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135°- 45°= 90°.在等腰直角△DCE 中,CM 为斜边DE 上的高,∴CM =DM= ME ,∴DE = 2CM .∴AE = DE+AD=2CM+BE .【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识,解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题.6.(1)①详见解析;②60°;③AD BE =;(2)①90°;②2AE BE CM =+【解析】【分析】(1)易证∠ACD =∠BCE ,即可求证△ACD ≌△BCE ,根据全等三角形对应边相等可求得AD =BE ,根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小;(2)易证△ACD ≌△BCE ,可得∠ADC =∠BEC ,进而可以求得∠AEB =90°,即可求得DM =ME =CM ,即可解题.【详解】解:(1)①证明:∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形,∴AC CB =,CD CE =,又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒,∴ACD ECB ∠=∠,∴()ADC BEC SAS ∆∆≌.②∵CDE ∆为等边三角形,∴60CDE ∠=︒.∵点A 、D 、E 在同一直线上,∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒,又∵ADC BEC ∆∆≌,∴120ADC BEC ∠=∠=︒,∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒.③AD BE =ADC BEC ∆∆≌,∴AD BE =.故填:AD BE =;(2)①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形,∴AC CB =,CD CE =,又∵90ACB DCE ∠=∠=︒,∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠,∴ACD ECB ∠=∠,在ACD ∆和BCE ∆中,AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴E ACD BC ∆∆≌,∴ADC BEC ∠∠=.∵点A 、D 、E 在同一直线上, ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒.②∵CDA CEB ∆∆≌,∴BE AD =.∵CD CE =,CM DE ⊥,∴DM ME =.又∵90DCE ∠=︒,∴2DE CM =,∴2AE AD DE BE CM =+=+.故填:①90°;②2AE BE CM =+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键.7.(1)30°;(2)证明见解析;(3)AOB ∠是定值,60AOB ∠=︒.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;(2)根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =,DC EC =,,60ACB DCE ∠=∠=︒,由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠,根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆;(3)分情况讨论:当点D 在线段AM 上时,如图1,由(2)可知ACD BCE ≅∆∆,就可以求出结论;当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2,可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论;当点D 在线段MA 的延长线上时,如图3,通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论.【详解】(1)ABC ∆是等边三角形,60BAC ∴∠=︒.线段AM 为BC 边上的中线,12CAM BAC ∴∠=∠, 30CAM ∴∠=︒.(2)ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=︒,ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠,ACD BCE ∠∠∴=.在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆;(3)AOB ∠是定值,60AOB ∠=︒,理由如下:①当点D 在线段AM 上时,如图1,由(2)可知ACD BCE ≅∆∆,则30CBE CAD ∠=∠=︒,又60ABC ∠=︒,603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒,ABC ∆是等边三角形,线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠,即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒.②当点D 在线段AM 的延长线上时,如图2,ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=︒,ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠,ACD BCE ∠∠∴=,在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆,30CBE CAD ∴∠=∠=︒,同理可得:30BAM ∠=︒,903060BOA ∴∠=︒-︒=︒.③当点D 在线段MA 的延长线上时,ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,AC BC ∴=,CD CE =,60ACB DCE ∠=∠=︒,60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒,ACD BCE ∠∠∴=,在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆,CBE CAD ∴∠=∠,同理可得:30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒,∵30BAM ∠=︒,903060BOA ∴∠=︒-︒=︒.综上,当动点D在直线AM上时,AOB∠是定值,60AOB∠=︒.【点睛】此题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定及性质,等边三角形三线合一的性质,解题中注意分类讨论的思想解题.8.(1)y=43x+2;(2)(103,10);(3)存在, P坐标为(6,6)或(6,7+2)或(6,7).【解析】【分析】(1)设直线DP解析式为y=kx+b,将D与C坐标代入求出k与b的值,即可确定出解析式;(2)当点B的对应点B′恰好落在AC边上时,根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标;(3)存在,分别以BD,DP,BP为底边三种情况考虑,利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.【详解】解:(1)∵C(6,10),D(0,2),设此时直线DP解析式为y=kx+b,把D(0,2),C(6,10)分别代入,得2610bk b=⎧⎨+=⎩,解得432kb⎧=⎪⎨⎪=⎩则此时直线DP解析式为y=43x+2;(2)设P(m,10),则PB=PB′=m,如图2,∵OB′=OB=10,OA=6,∴22OB OA'-,∴B′C=10-8=2,∵PC=6-m,∴m2=22+(6-m)2,解得m=10 3则此时点P的坐标是(103,10);(3)存在,理由为:若△BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图3,①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8,在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,根据勾股定理得:CP1228627-=∴AP17P1(6,7);②当BP2=DP2时,此时P2(6,6);③当DB=DP3=8时,在Rt△DEP3中,DE=6,根据勾股定理得:P3228627-∴AP3=AE+EP37,即P3(6,7+2),综上,满足题意的P坐标为(6,6)或(6,7+2)或(6,7).【点睛】此题属于一次函数综合题,待定系数法确定一次函数解析式,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,勾股定理,熟练掌握待定系数法是解题的关键.9.(1)HL;(2)见解析;(3)如图②,见解析;△DEF就是所求作的三角形,△DEF和△ABC不全等.【解析】【分析】(1)根据直角三角形全等的方法“HL”证明;(2)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FH,再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D,然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等;(3)以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等;(4)根据三种情况结论,∠B不小于∠A即可.【详解】(1)在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL.(2)证明:如图①,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上.∵CG⊥AG,FH⊥DH,∴∠CGA=∠FHD=90°.∵∠CBG=180°-∠ABC,∠FEH=∠180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF,∴∠CBG=∠FEH.在△BCG和△EFH中,∵∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF,∴△BCG≌△EFH.∴CG=FH.又∵AC=DF.∴Rt△ACG≌△DFH.∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(3)如图②,△DEF就是所求作的三角形,△DEF和△ABC不全等.【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,应用与设计作图,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键,阅读量较大,审题要认真仔细.10.(1)(73,2);(2)y =x ﹣13;(3)E 的坐标为(32,72)或(6,8) 【解析】【分析】 (1)把点E 的纵坐标代入直线解析式,求出横坐标,得到点E 的坐标,根据融合点的定义求求解即可;(2)设点E 的坐标为(a ,a+2),根据融合点的定义用a 表示出x 、y ,整理得到答案;(3)分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况,根据融合点的定义解答.【详解】解:(1)∵点E 是直线y =x +2上一点,点E 的纵坐标是6,∴x +2=6,解得,x =4,∴点E 的坐标是(4,6),∵点T (x ,y )是点D 和E 的融合点,∴x =343+=73,y =063+=2, ∴点T 的坐标为(73,2), 故答案为:(73,2); (2)设点E 的坐标为(a ,a +2),∵点T (x ,y )是点D 和E 的融合点,∴x =33a +,y =023a ++, 解得,a =3x ﹣3,a =3y ﹣2,∴3x ﹣3=3y ﹣2,整理得,y =x ﹣13; (3)设点E 的坐标为(a ,a +2), 则点T 的坐标为(33a +,23a +), 当∠THD =90°时,点E 与点T 的横坐标相同, ∴33a +=a , 解得,a =32, 此时点E 的坐标为(32,72), 当∠TDH =90°时,点T 与点D 的横坐标相同,∴33a=3,解得,a=6,此时点E的坐标为(6,8),当∠DTH=90°时,该情况不存在,综上所述,当△DTH为直角三角形时,点E的坐标为(32,72)或(6,8)【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义,解题关键是灵活运用分情况讨论思想.11.(1)①见解析;②见解析;(2)2【解析】【分析】(1)①只要证明∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=60°即可解决问题;②只要证明△BFC≌△ADB,即可推出∠BFC=∠ADB=90°;(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.只要证明△ABK≌CAF,可得S△ABK=S△AFC,再证明AF=FK=BK,可得S△ABK=S△AFK,即可解决问题;【详解】(1)①证明:如图1中,∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD⊥BN,∴∠ADB=90°,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②证明:如图2中,在Rt △BFD 中,∵∠FBD =30°,∴BF =2DF ,∵BF =2AF ,∴BF =AD ,∵∠BAE =∠FBC ,AB =BC ,∴△BFC ≌△ADB ,∴∠BFC =∠ADB =90°,∴BF ⊥CF(2)在BF 上截取BK =AF ,连接AK.∵∠BFE =∠2+∠BAF ,∠CFE =∠4+∠1,∴∠CFB =∠2+∠4+∠BAC ,∵∠BFE =∠BAC =2∠EFC ,∴∠1+∠4=∠2+∠4∴∠1=∠2,∵AB =AC ,∴△ABK ≌CAF ,∴∠3=∠4,S △ABK =S △AFC ,∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE =∠AKB ,∠BAC =2∠CEF ,∴∠KAF =∠1+∠3=∠AKF ,∴AF =FK =BK ,∴S △ABK =S △AFK ,∴ABF AFCS 2S ∆∆=. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是能够正确添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.12.(1)BC BD =,理由见解析;(2)BF BP BD +=,证明见解析;(3)BF BP BD +=.【解析】【分析】(1)利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =,即可得出结论; (2)同(1)的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形,进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆,得出CP BF =即可解答;(3)同(2)的方法得出结论.【详解】解:(1)90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,60CBA ∴∠=︒,12BC AB =, 点D 是AB 的中点,BC BD ∴=,故答案为:BC BD =;(2)BF BP BD +=,理由:90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,60CBA ∴∠=︒,12BC AB =, 点D 是AB 的中点,BC BD ∴=,DBC ∴∆是等边三角形,60CDB ∴∠=︒,DC DB =,线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒,得到线段DF ,60PDF ∴∠=︒,DP DF =,CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠,CDP BDF ∴∠=∠,在DCP ∆和DBF ∆中, DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DCP DBF ∴∆≅∆,CP BF ∴=,CP BP BC +=,BF BP BC ∴+=,BC BD =,BF BP BD ∴+=;(3)如图③,BF BD BP=+,理由:90ACB∠=︒,30A∠=︒,60CBA∴∠=︒,12BC AB=,点D是AB的中点,BC BD∴=,DBC∴∆是等边三角形,60CDB∴∠=︒,DC DB=,线段DP绕点D逆时针旋转60︒,得到线段DF,60PDF∴∠=︒,DP DF=,CDB PDB PDF PDB∴∠+∠=∠+∠,CDP BDF∴∠=∠,在DCP∆和DBF∆中,DC DBCDP BDFDP DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DCP DBF∴∆≅∆,CP BF∴=,CP BC BP=+,BF BC BP∴=+,BC BD=,BF BD BP∴=+.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了含30的直角三角形的性质,等边三角形的判定,全等三角形的判定和性质,旋转的性质,解本题的关键是判断出DCP DBF∆≅∆,是一道中等难度的中考常考题.。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学全册全套试卷(培优篇)(Word版含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,△ABC 中,AB=AC=BC,∠BDC=120°且BD=DC,现以D为顶点作一个60°角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.(1)如图1,若∠MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想:BM+NC=MN.延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写出完整的证明过程;(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明).【答案】(1)过程见解析;(2)MN= NC﹣BM.【解析】【分析】(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,可以证得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根据∠MDN=60°,∠BDC=120°,可证∠MDN =∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,进而得到MN=BM+NC.(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证△BMD≌△CED(SAS),再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得出结论.【详解】解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DE.∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又BD=DC,且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,在△MBD与△ECD中,∵BD CDMBD ECD BM CE,∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△DMN与△DEN中,∵MD DEMDN EDN DN DN,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.(2)如图②中,结论:MN=NC﹣BM.理由:在CA上截取CE=BM.∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠MBD=∠DCE=90°,在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD,∴△BMD≌△CED(SAS),∴DM= DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.2.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.【答案】(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE;(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3)(1)中的结论仍然成立.理由见解析【解析】【分析】(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,2EF;(2)思路同(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB 于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出(1)中的结论了;(3)思路同(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出EM=PN=12AD,EC=MF=12AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论.我们知道PN是△ABD的中位线,那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形,那么对角就相等,于是90°+∠CNF=90°+∠MEF,因此∠CNF=∠MEF,那么两三角形就全等了.证明∠CFE是直角的过程与(1)完全相同.那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形,于是得出的结论与(1)也相同.【详解】(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=2FE;解法1:∵∠AED=∠ACB=90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径,∵点F是BD的中点,∴点F是圆心,∴EF=CF=FD=FB,∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,由圆周角定理得:∠DCE=∠DBE,∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°∴∠ECF=45°=∠CEF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴CE=2EF.解法2:易证∠BED=∠ACB=90°,∵点F是BD的中点,∴CF=EF=FB=FD,∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,∴∠DFE=2∠ABD,同理∠CFD=2∠CBD,∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,即∠CFE=90°,∴CE=2EF.(2)(1)中的结论仍然成立.解法1:如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,∵∠ACB=∠AED=90°,∴DE∥BC,∴∠EDF=∠GBF,又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,∴△EDF≌△GBF,∴EF=GF,BG=DE=AE,∵AC=BC,∴CE=CG,∴∠EFC=90°,CF=EF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴∠CEF=45°,∴CE=2FE;解法2:如图2﹣2,连结CF、AF,∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,又点F是BD的中点,∴FA=FB=FD,而AC=BC,CF=CF,∴△ACF≌△BCF,∴∠ACF=∠BCF=12∠ACB=45°,∵FA=FB,CA=CB,∴CF所在的直线垂直平分线段AB,同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,又DA⊥BA,∴EF⊥CF,∴△CEF为等腰直角三角形,∴CE=2EF.(3)(1)中的结论仍然成立.解法1:如图3﹣1,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF,∵DF=BF,∴FM∥AB,且FM=12 AB,∵AE=DE,∠AED=90°,∴AM =EM ,∠AME =90°,∵CA =CB ,∠ACB =90°∴CN=AN=12AB ,∠ANC =90°, ∴MF ∥AN ,FM =AN =CN ,∴四边形MFNA 为平行四边形, ∴FN =AM =EM ,∠AMF =∠FNA ,∴∠EMF =∠FNC ,∴△EMF ≌△FNC ,∴FE =CF ,∠EFM =∠FCN ,由MF ∥AN ,∠ANC =90°,可得∠CPF =90°,∴∠FCN+∠PFC =90°,∴∠EFM+∠PFC =90°,∴∠EFC =90°,∴△CEF 为等腰直角三角形,∴∠CEF =45°,∴CE =2FE .【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等,如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建.3.在ABC ∆中,90,BAC AB AC ∠=︒=,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点,B C 重合),以AD 为腰作等腰直角DAF ∆,使90DAF ∠=︒,连接CF .(1)观察猜想如图1,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为__________;②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC ∆≅∆)(2)数学思考如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线时,将DAF ∆沿线段DF 翻折,使点A 与点E 重合,连接CE CF 、,若4,CD BC AC ==CE 的长.(提示:做AH BC ⊥于H ,做EM BD ⊥于M )【答案】(1)①BC ⊥CF ;②BC =CF +DC ;(2)C ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC ,证明详见解析;(3)【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得,∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC (SAS );②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质可得到=CF BD ,ACF ABD ∠=∠ ,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.【详解】(1)①正方形ADEF 中,AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∴∠BAD =∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC (SAS )∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF∵∠BAC =90°,AB =AC ,∴∠ACB =∠ABC =45°∴∠ABD =180°-45°=135°∴∠ACF =∠ABD =135°∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,∴CF ⊥BC∵CD =DB +BC ,DB =CF∴DC =CF +BC(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,∵90BAC ∠=︒,AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======, ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒,∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==,∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====,∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题,掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键.4.如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动,速度为 1 个单位/秒,点F 同时从 C 出发,以相同的速度沿射线 BC 方向运动,过点D 作 DE⊥AC,连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时,求 t 的值;(2)当点 D 在线段 AB 上运动时,是否始终有 DG=GF?若成立,请说明理由。

2021-2022学年人教版八年级数学上册期末综合复习培优提升训练(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学上册期末综合复习培优提升训练(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学上册期末综合复习培优提升训练(附答案)1.如图,在△ABC中,∠C=50°,∠BAC=60°,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,则∠EAD的度数为()A.10°B.15°C.20°D.25°2.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠EAD=∠BAC=80°,若∠BDC =160°,则∠DCE的度数为()A.110°B.118°C.120°D.130°3.如图,锐角∠AOB=x,M,N分别是边OA,OB上的定点,P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠OPM=α,∠QNO=β,当MP+PQ+QN最小时,则关于α,β,x的数量关系正确的是()A.α﹣β=2x B.2β+α=90°+2xC.β+α=90°+x D.β+2α=180°﹣2x4.已知x a=3,x b=4,则x3a+2b=()A.B.C.432D.2165.已知三个正数a、b、c满足abc=1,++的值()A.2B.3C.﹣1D.16.如图,任意画一个∠A=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE 和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:①∠BPC=120°;②AP平分∠BAC;③AP =PC;④BD+CE=BC;⑤S△PBA:S△PCA=AB:AC,其中正确的个数是()个.A.5B.4C.3D.27.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|=.8.如图,已知AE=BE,DE是AB的垂线,F为DE上一点,BF=10cm,CF=3cm,则AC =cm.9.如图,在△ABC中,点D为AC边的中点,过点C作CF∥AB,过点D作直线EF交AB 于点E,交直线CF于点F,若BE=9,CF=6,△ABC的面积为50,则△CDF的面积为.10.已知a2=b+6,b2=a+6且a≠b,则a+b=.11.已知实数a2﹣3a﹣1=0,则代数式a2﹣a﹣﹣1的值为.12.如图,平面直角坐标系xOy中,已知定点A(1,0)和B(0,1),若动点C在坐标轴上运动,则使△ABC为等腰三角形的点C有个.13.把下列多项式因式分解.(1)m(m﹣2)﹣3(2﹣m);(2)n4﹣2n2+1.14.(1)计算:;(2)解方程:.15.在如图所示的网格纸中,点A,B,C都在网格点上,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.(1)在图1中过点A画BC的垂线AP,且点P在网格点上.(2)在图2中画∠BCD=∠B,再画DE∥BC,且点D,E都在网格点上.16.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,过C作AB的平行线交AD的延长线于E 点.若AB=6,AC=2,试求AE的取值范围.17.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE相交于点P,点Q 为EF的中点,探究PQ与EF的位置关系,并证明.18.如图,△ABC中CD⊥AB于点D,CE平分∠ACB,点F在AC的延长线上,过点C作直线MN∥AB,且∠ACM=58°,∠BCN=36°.(1)求∠BCF的度数;(2)求∠DCE的度数.19.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20都是“神秘数”.(1)28和2020这两个数是“神秘数”吗?为什么?(2)设两个连续奇数为2k﹣1和2k+1(其中k取正整数),由这两个连续奇数构造的神秘数是8的倍数吗?为什么?20.某文具店王老板用240元购进一批笔记本,很快售完;王老板又用600元购进第二批笔记本,所购本数是第一批的2倍,但进价比第一批每本多了2元.(1)第一批笔记本每本进价多少元?(2)王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本,售出60%后,为了尽快售完,决定打折促销,要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元,剩余的笔记本每本售价最低打几折?21.如图,已知A(﹣1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点,点D为第三象限一动点,CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC.(1)求证:∠ADB与∠ACB互补;(2)求证:CD平分∠ADB;(3)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数.22.如图,在等边△ABC中,CD是高,点P在线段CD上,连接P A、PB.(1)如图1,CD一定垂直且线段AB;线段P A、PB的数量关系为.(2)如图2,点E在线段BC上,且PE=P A,设∠P AB=α,则∠APB=,∠BPE =(用α的式子表示),并求∠APE的度数.(3)如图3,延长AP交BC于点F,连接AE.当α=15°时,猜想线段AE和AF的数量关系,并说明理由.23.已知,如图AD为△ABC的中线,分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF,且AE=AB,AF=AC,连接EF,∠EAF+∠BAC=180°(1)如图1,若∠ABE=63°,∠BAC=45°,求∠F AC的度数;(2)如图1,请探究线段EF和线段AD有何数量关系?并证明你的结论;(3)如图2,设EF交AB于点G,交AC于点R,延长FC,EB交于点M,若点G为线段EF的中点,且∠BAE=70°,请探究∠ACB和∠CAF的数量关系,并证明你的结论.参考答案1.解:∵∠C=50°,∠BAC=60°,∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=70°.∵AE平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠BAE=∠BAC=×60°=30°,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°﹣∠B=20°,∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=30°﹣20°=10°.故选:A.2.解:如图所示:∵∠EAD=∠BAC=80°,∴∠1=∠2,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠ABD,∵∠BAC=80°,AB=AC,∴∠BCA=∠CBA=50°,∴∠DCE=∠4+∠BCA+∠ACE=∠4+50°+∠ABD=∠4+50°+∠3+∠ABC=∠3+∠4+100°,又∵∠BDC=160°,∴∠3+∠4=180°﹣∠BDC=20°,∴∠DCE=20°+100°=120°,故选:C.3.解:如图,作M关于OB的对称点M′,N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OA 于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN最小,∴∠OPM=∠OPM′=∠NPQ=α,∠OQP=∠AQN′=∠AQN,∵∠AQN=∠QNO+∠AOB=β+x,∴∠OQP=∠AQN=β+x,∵∠NPQ=∠OQP+∠AOB,∴α=β+x+x=β+2x∴α﹣β=2x.故选:A.4.解:∵x a=3,x b=4,∴x3a+2b=x3a•x2b=(x a)3•(x b)2=33×42=27×16=432.故选:C.5.解:原式=++,∵abc=1,∴原式=++=+=+=+==1,故选:D.6.解:∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线,∠BAC=60°,∴∠PBC+∠PCB=×(180°﹣∠BAC)=×(180°﹣60°)=60°,∴∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣60°=120°,故①正确;∵∠BPC=120°,∴∠DPE=120°,过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,PF=PG=PH,∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线,∴AP是∠BAC的平分线,故②正确;若AP=PC,则∠P AC=∠PCA,则BAC=BCA=60°,则△ABC为等边三角形,这与题干任意画一个∠BAC=60°的△ABC不符,故③错误.∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°,∴∠FPG=120°,∴∠DPF=∠EPG,在△PFD与△PGE中,,∴PD=PE,在Rt△BHP与Rt△BFP中,,∴Rt△BHP≌Rt△BFP(HL),同理,Rt△CHP≌Rt△CGP,∴BH=BD+DF,CH=CE﹣GE,两式相加得,BH+CH=BD+DF+CE﹣GE,∵DF=EG,∴BC=BD+CE,故④正确;∵AP是角平分线,∴P到AB、AC的距离相等,∴S△ABP:S△ACP=AB:AC,故⑤正确.故选:B.7.解:∵△ABC的三边长分别为a,b,c,∴a+b>c,b+c>a,a+c>b,∴a﹣b﹣c<0,b﹣c﹣a<0,c+b﹣a>0,∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|=﹣(a﹣b﹣c)﹣(b﹣c﹣a)+(c﹣a+b)=﹣a+b+c﹣b+c+a+c﹣a+b=﹣a+b+3c,故答案为:﹣a+b+3c.8.解:∵AE=BE,DE是AB的垂线,∴AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°,在△ADF和△BDF中,,∴AF=BF,∴AC=AF+CF=BF+CF,∵BF=10cm,CF=3cm,∴AC=13cm,故答案为:13.9.解:∵点D为AC边的中点,∴AD=CD,∵CF∥AB,∴∠A=∠FCD,在△AED和△CFD中,,∴△AED≌△CFD(ASA),∴AE=CF,S△ADE=S△CDF,∵BE=9,CF=6,∴AE=6,∴AB=AE+BE=15,∴AE=AB,∴S△AED=S△ABD,∵D为AC边的中点,△ABC的面积为50,∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=25,∴S△ADE=S△CDF=×25=10,故答案为:10.10.解:∵a2=b+6,b2=a+6,∴a2﹣b2=b﹣a,∴(a+b)(a﹣b)+(a﹣b)=0,(a﹣b)(a+b+1)=0,∵a≠b,∴a﹣b≠0,∴a+b+1=0,解得a+b=﹣1.故答案为:﹣1.11.解:由题意可知:a2﹣3a﹣1=0,a≠0,∴a﹣=3,a2﹣a=2a+1,∴原式=(2a+1)﹣﹣1=2a+1﹣﹣1=2(a﹣)=2×3=6,故答案为:6.12.解:分别以A、B为圆心,AB为半径画圆,所画的圆与坐标轴的交点为C点(A、B两点除外).作AB的垂直平分线与坐标轴交于原点.∴满足条件的点C有7个.故答案为;7.13.解:(1)原式=m(m﹣2)+3(m﹣2)=(m﹣2)(m+3);(2)原式=(n2﹣1)2=(n+1)2(n﹣1)2.14.解:(1)原式=+===;(2)x(x+2)﹣(x+2)(x﹣2)=8,x2+2x﹣x2+4=8,2x=8﹣4,x=2,经检验x=2为原方程的增根,∴原方程无解.15.解:(1)如图1,AP即为所作垂线;(2)如图,图中D、E或D'、E'即为所作点.16.解:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.∵AB∥CE,∴∠BAD=∠E,在△ABD和△ECD中,,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴AB=EC,∵AB=6,AC=2在△ACE中,CE﹣AC<AE<CE+AC,即6﹣2<AE<6+2,∴4<AE<8.17.解:PQ⊥EF.证明如下:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,在△ABF和△DCE中,,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠AFB=∠EDC,∴PE=PF,∵点Q为EF的中点,∴PQ⊥EF.18.解:(1)∵MN∥AB,且∠ACM=58°,∠BCN=36°,∴∠CAB=∠ACM=58°,∠CBA=∠BCN=36°,∴∠BCF=∠CAB+∠CBA=58°+36°=94°;(2)∵CE平分∠ACB,∠BCF=94°,∴∠ACB=2∠ACE=180°﹣∠BCF=180°﹣94°=86°,∴∠ACE=43°,∵CD⊥AB于点D,∠CAD=58°,∴∠ACD=90°﹣58°=32°,∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=43°﹣32°=11°.19.解:(1)假设28和2020这两个数是“神秘数”,则存在两个连续偶数n,n+2使28=(n+2)2﹣(n)2,即2n+2=14,解得n=6与n为偶数矛盾,故28是“神秘数”,存在两个连续偶数k,k+2使2020=(k+2)2﹣(k)2,即2k+2=1010,解得k=504,存在504,506使2020=5062﹣5042,故2020是“神秘数”,(2)(2k+1)2﹣(2k﹣1)2=(2k+1﹣2k+1)(2k+1+2k﹣1)=2×4k=8k,∵8k是8的倍数,故由两个连续奇数为2k﹣1和2k+1(其中k取正整数)构造的神秘数是8的倍数.20.解:(1)设第一批笔记本每本进价为x元,则第二批每本进价为(x+2)元,由题意得:,解之得:x=8,经检验,x=8为原方程的解,答:第一批笔记本每本进价为8元.(2)第二批笔记本有:=60(本),设剩余的笔记本每本打y折,由题意得:,解得:y≥7.5,答:剩余的笔记本每本最低打七五折.21.(1)证明:∵A(﹣1,0),B(1,0),∴OA=OB=1,∵CO⊥AB,∴CA=CB,∴∠ABC=∠BAC,∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∠ADB=2∠BAC,∴∠ADB+∠ACB=180°,即∠ADB与∠ACB互补;(2)如图1,过点C作CM⊥DA于点M,作CN⊥BD于点N,则∠AMC=∠DNC=90°,∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°,∴∠ADB+∠MCN=180°,又∵∠ADB+∠ACB=180°,∴∠MCN=∠ACB,∴∠MCN﹣∠CAN=∠ACB﹣∠CAN,即∠ACM=∠BCN,又∵AC=BC,∴△ACM≌△BCN(AAS),∴CM=CN.∴CD平分∠ADB;(3)∠BAC的度数不变化,如图2,延长DB至点P,使BP=AD,连接CP,∵CD=AD+BD,∴CD=DP,∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°,∠ADB+∠ACB=180°,∴∠CAD+∠CBD=180°,∵∠CBD+∠CBP=180°,∴∠CAD=∠CBP,又∵CA=CB,∴△CAD≌△CBP(SAS),∴CD=CP,∴CD=DP=CP,即△CDP是等边三角形,∴∠CDP=60°,∴∠ADB=2∠CDP=120°,又∵∠ADB=2∠BAC,22.解:(1)∵△ABC是等边三角形,CD是高,∴CD⊥AB,AD=BD,∠ABC=∠ACB=60°,∴CD垂直平分AB,∴P A=PB,故答案为:平分,P A=PB;(2)∵P A=PB,∴∠P AB=∠PBA=α,∴∠APB=180°﹣2α,∵∠PBE=∠ABC﹣∠ABP,∴∠PBE=60°﹣α,∵PE=P A,P A=PB,∴PB=PE,∴∠PBE=∠PEB=60°﹣α,∴∠BPE=180°﹣2(60﹣α)=60°+2α,故答案为:120°﹣α,60°+2α;(3)AF=AE,理由如下:∵α=15°,∴∠P AB=∠PBA=15°,∠PBE=∠PEB=60°﹣α=45°,∴∠BPE=90°,∠BPF=∠P AB+∠ABP=30°,∴∠FPE=60°,∵∠AFE=∠ABC+∠BAF,∴∠AFE=60°+15°=75°,∵P A=PE,∴∠P AE=∠PEA=30°,∴∠AEF=∠AEP+∠PEF=75°,∴∠AFE=∠AEF=75°,∴AF=AE.23.(1)解:∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=63°,∵∠BAC=45°,∠EAF+∠BAC=180°,∴∠EAB+2∠BAC+∠F AC=180°,∴54°+2×45°+∠F AC=180°,∴∠F AC=36°;(2)EF=2AD;理由如下:延长AD至H,使DH=AD,连接BH,如图1所示:∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,在△BDH和△CDA中,,∴△BDH≌△CDA(SAS),∴HB=AC=AF,∠BHD=∠CAD,∴AC∥BH,∴∠ABH+∠BAC=180°,∵∠EAF+∠BAC=180°,∴∠EAF=∠ABH,在△ABH和△EAF中,,∴△ABH≌△EAF(SAS),∴EF=AH=2AD;(3);理由如下:由(2)得,AD=EF,又点G为EF中点,∴EG=AD,由(2)△ABH≌△EAF,∴∠AEG=∠BAD,在△EAG和△ABD中,,∴△EAG≌△ABD(SAS),∴∠EAG=∠ABC=70°,∵∠EAF+∠BAC=180°,∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF=180°,即:70°+2∠BAC+∠CAF=180°,∴∠BAC+∠CAF=55°,∴∠BAC=55°﹣∠CAF,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣∠ACB=110°﹣∠ACB,∴55°﹣∠CAF=110°﹣∠ACB,∴∠ACB﹣∠CAF=55°.。

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八年级数学上册期末试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图1,在平面直角坐标系中,点D (m ,m +8)在第二象限,点B (0,n )在y 轴正半轴上,作DA ⊥x 轴,垂足为A ,已知OA 比OB 的值大2,四边形AOBD 的面积为12.(1)求m 和n 的值.(2)如图2,C 为AO 的中点,DC 与AB 相交于点E ,AF ⊥BD ,垂足为F ,求证:AF =DE .(3)如图3,点G 在射线AD 上,且GA =GB ,H 为GB 延长线上一点,作∠HAN 交y 轴于点N ,且∠HAN =∠HBO ,求NB ﹣HB 的值.【答案】(1)42m n =-⎧⎨=⎩(2)详见解析;(3)NB ﹣FB =4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.【解析】【分析】(1)由点D ,点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12,可列方程组,解方程组即可; (2)由(1)可知,AD =OA =4,OB =2,并可求出AB =BD =25,利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ,并可得∠AEC =90°,利用三角形面积公式即可求证;(3)取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,证明△ABH ≌△CAN ,即可得到结论.【详解】解:(1)由题意()()218122m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩; (2)如图2中,由(1)可知,A (﹣4,0),B (0,2),D (﹣4,4),∴AD=OA =4,OB =2,∴由勾股定理可得:AB =BD =25,∵AC =OC =2,∴AC =OB ,∵∠DAC =∠AOB =90°,AD =OA ,∴△DAC ≌△AOB (SAS ),∴∠ADC =∠BAO ,∵∠ADC +∠ACD =90°,∴∠EAC +∠ACE =90°,∴∠AEC =90°,∵AF ⊥BD ,DE ⊥AB ,∴S △ADB =12•AB •AE =12•BD •AF , ∵AB =BD ,∴DE =AF .(3)解:如图,取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,∵AG =BG ,∴∠GAB =∠GBA ,∵G 为射线AD 上的一点,∴AG ∥y 轴,∴∠GAB =∠ABC ,∴∠ACB =∠EBA ,∴180°﹣∠GBA =180°﹣∠ACB ,即∠ABG =∠ACN ,∵∠GAN =∠GBO ,∴∠AGB =∠ANC ,在△ABG 与△ACN 中,ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABH ≌△ACN (AAS ),∴BF =CN ,∴NB ﹣HB =NB ﹣CN =BC =2OB ,∵OB =2∴NB ﹣FB =2×2=4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.【点睛】本题属于三角形综合题,全等三角形的判定和性质,解题的关键是相结合添加常用辅助线,构造图形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.2.在ABC ∆中,90,BAC AB AC ∠=︒=,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点,B C 重合),以AD 为腰作等腰直角DAF ∆,使90DAF ∠=︒,连接CF .(1)观察猜想如图1,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为__________;②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC ∆≅∆)(2)数学思考如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线时,将DAF ∆沿线段DF 翻折,使点A 与点E 重合,连接CE CF 、,若4,22CD BC AC ==CE 的长.(提示:做AH BC ⊥于H ,做EM BD ⊥于M )【答案】(1)①BC ⊥CF ;②BC =CF +DC ;(2)C ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC ,证明详见解析;(3)32【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得,∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC (SAS );②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质可得到=CF BD ,ACF ABD ∠=∠ ,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.【详解】(1)①正方形ADEF 中,AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∴∠BAD =∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC (SAS )∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF∵∠BAC =90°,AB =AC ,∴∠ACB =∠ABC =45°∴∠ABD =180°-45°=135°∴∠ACF =∠ABD =135°∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,∴CF ⊥BC∵CD =DB +BC ,DB =CF∴DC =CF +BC(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,∵90BAC ∠=︒,AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======,∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒,∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==,∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====,∴3CM EM ==∴2232CE EM CM =-=【点睛】本题考查了三角形的综合问题,掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键.3.在ABC 中,AB AC =,点D 在BC 边上,且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合,且DA DB ≠),在射线DB 上截取DF DE =,连接EF .()1当点E 在线段AD 上时,①若点E 与点A 重合时,请说明线段BF DC =;②如图2,若点E 不与点A 重合,请说明BF DC AE =+;()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时,用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF =AE-CD【解析】【分析】(1)①根据等边对等角,求到B C ∠=∠,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒,推出ABF ACD ∆∆≌,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由△DEF 为等边三角形得到DA =DG ,再推出AE =GF ,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG ,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】(1)①证明:AB AC =B C ∴∠=∠,60DF DE ADB =∠=︒,且E 与A 重合,ADF ∴∆是等边三角形60ADF AFD ∴∠=∠=︒120AFB ADC ∴∠=∠=︒在ABF ∆和ACD ∆中AFB ADC B CAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD ∴∆∆≌BF DC ∴=②如图2,过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,∵∠ADB =60° DE =DF∴△DEF 为等边三角形∵AG ∥EF∴∠DAG =∠DEF =60°,∠AGD =∠EFD =60°∴∠DAG =∠AGD∴DA =DG∴DA -DE =DG -DF ,即AE =GF由①易证△AGB ≌△ADC∴BG =CD∴BF =BG +GF =CD +AE(2)如图3,和(1)中②相同,过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,BF CD BF BG GF AE ∴+=+==故BF AE CD =-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.4.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm , BC=12 cm ,点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts .(1)PC=___cm ;(用含t 的式子表示)(2)当t 为何值时,△ABP ≌△DCP ?.(3)如图2,当点P 从点B 开始运动,此时点Q 从点C 出发,以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动,是否存在这样的v 值,使得某时刻△ABP 与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等?若存在,请求出v 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)()122t -;(2)3t =;(3)存在,2v =或53v =【解析】(1)根据P 点的运动速度可得BP 的长,再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长; (2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ,列方程求解即得;(3)先分两种情况:当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ;或当BA=CQ ,PB=PC 时,△ABP ≌△QCP ,然后分别列方程计算出t 的值,进而计算出v 的值.【详解】解:(1)当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为:()122t -(2)∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =.(3)存在,理由如下:①当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ,∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7,则3.5v=7解得2v =.②当BA CQ =,PB PC =时,ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t = 解得3t =∴3CQ vcm =∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =. 综上所述,当2v =或53v =时,ABP ∆与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等.本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.5.如图,A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,动点P从原点O出发,沿x轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.(1)若AB∥x轴,如图1,求t的值;(2)设点A关于x轴的对称点为A′,连接A′B,在点P运动的过程中,∠OA′B的度数是否会发生变化,若不变,请求出∠OA′B的度数,若改变,请说明理由.(3)如图2,当t=3时,坐标平面内有一点M(不与A重合)使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)4;(2)∠OA′B的度数不变,∠OA′B=45 ,理由见解析;(3)点M的坐标为(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质,可证明△AOP为等腰直角三角形,从而求得答案;(2)根据对称的性质得:PA=PA'=PB,由∠PAB+∠PBA=90°,结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B=45°;(3)分类讨论:分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时,点M的坐标的情况;过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线,利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】(1)∵AB∥x轴,△APB为等腰直角三角形,∴∠PAB=∠PBA=∠APO=45°,∴△AOP为等腰直角三角形,∴OA=OP=4.∴t=4÷1=4(秒),故t的值为4.(2)如图2,∠OA′B的度数不变,∠OA′B=45°,∵点A 关于x 轴的对称点为A ′,∴PA =PA ',又AP =PB ,∴PA =PA '=PB ,∴∠PAA '=∠PA 'A ,∠PBA '=∠PA 'B ,又∵∠PAB +∠PBA =90°,∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '=180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°,∴∠AA 'B =45°,即∠OA 'B =45°;(3)当t =3时,M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等, ①如图3,若△ABP ≌△MBP ,则AP =PM ,过点M 作MD ⊥OP 于点D ,∵∠AOP =∠PDM ,∠APO =∠DPM ,∴△AOP ≌△MDP (AAS ),∴OA =DM =4,OP =PD =3,∴M 的坐标为:(6,-4).②如图4,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====,∵BG ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF =45︒+1∠,∠MPE =45︒+2∠,∴∠BAF =∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====,∴M 的坐标为:(4,7),③如图5,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点D ,过点B 作BG ⊥x 轴于点E ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====,∵BE ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====,∴M 的坐标为:(10,﹣1).综合以上可得点M 的坐标为:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,第(3)小题要注意分类讨论,作此类型的题要结合图形,构建适当的辅助线,寻找相等的量才能得出结论.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)6.(1)如图①,D 是等边△ABC 的边BA 上一动点(点D 与点B 不重合),连接DC ,以DC 为边,在BC 上方作等边△DCF ,连接AF ,你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论;(2)如图②,当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时,其他作法与(1)相同,猜想AF 与BD 在(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;(3)Ⅰ.如图③,当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时(点D 与B 不重合),连接DC ,以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′,连接AF ,BF ′,探究AF ,BF ′与AB 有何数量关系?并证明你的探究的结论;Ⅱ.如图④,当动点D 在等边△ABC 的边BA 的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.【答案】(1)AF=BD,理由见解析;(2)AF与BD在(1)中的结论成立,理由见解析;(3)Ⅰ. AF+BF′=AB,理由见解析,Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′,理由见解析.【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得BC=AC,∠BCA=60°,DC=CF,∠DCF=60°,从而得∠BCD=∠ACF,根据SAS证明△BCD≌△ACF,进而即可得到结论;(2)根据SAS证明△BCD≌△ACF,进而即可得到结论;(3)Ⅰ.易证△BCD≌△ACF(SAS),△BCF′≌△ACD(SAS),进而即可得到结论;Ⅱ.证明△BCF′≌△ACD,结合AF=BD,即可得到结论.【详解】(1)结论:AF=BD,理由如下:如图1中,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠BCA=60°,同理知,DC=CF,∠DCF=60°,∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,即:∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中,∵BC ACBCD ACF DC FC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴BD=AF;(2)AF与BD在(1)中的结论成立,理由如下:如图2中,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠BCA=60°,同理知,DC=CF,∠DCF=60°,∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA,即∠BCD=∠ACF,在△BCD和△ACF中,∵BC ACBCD ACF DC FC=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩,∴△BCD≌△ACF(SAS),∴BD =AF ;(3)Ⅰ.AF +BF ′=AB ,理由如下:由(1)知,△BCD ≌△ACF (SAS ),则BD =AF ;同理:△BCF ′≌△ACD (SAS ),则BF ′=AD ,∴AF +BF ′=BD +AD =AB ;Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF =AB +BF ′,理由如下:同理可得:BCF ACD ∠=∠′,F C DC =′,在△BCF ′和△ACD 中,BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′, ∴△BCF ′≌△ACD (SAS ),∴BF ′=AD ,又由(2)知,AF =BD ,∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′,即AF =AB +BF ′.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理,三角形全等的判定和性质定理,熟练掌握三角形全等的判定和性质定理,是解题的关键.7.已知在△ABC 中,AB =AC ,射线BM 、BN 在∠ABC 内部,分别交线段AC 于点G 、H . (1)如图1,若∠ABC =60°,∠MBN =30°,作AE ⊥BN 于点D ,分别交BC 、BM 于点E 、F .①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF =2AF ,连接CF ,求证:BF ⊥CF ;(2)如图3,点E 为BC 上一点,AE 交BM 于点F ,连接CF ,若∠BFE =∠BAC =2∠CFE ,求ABFACF S S 的值.【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)2【解析】【分析】(1)①只要证明∠2+∠BAF =∠1+∠BAF =60°即可解决问题;②只要证明△BFC ≌△ADB ,即可推出∠BFC =∠ADB =90°;(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.只要证明△ABK≌CAF,可得S△ABK=S△AFC,再证明AF=FK=BK,可得S△ABK=S△AFK,即可解决问题;【详解】(1)①证明:如图1中,∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD⊥BN,∴∠ADB=90°,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②证明:如图2中,在Rt△BFD中,∵∠FBD=30°,∴BF=2DF,∵BF=2AF,∴BF=AD,∵∠BAE=∠FBC,AB=BC,∴△BFC≌△ADB,∴∠BFC=∠ADB=90°,∴BF⊥CF(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.∵∠BFE=∠2+∠BAF,∠CFE=∠4+∠1,∴∠CFB=∠2+∠4+∠BAC,∵∠BFE=∠BAC=2∠EFC,∴∠1+∠4=∠2+∠4∴∠1=∠2,∵AB=AC,∴△ABK≌CAF,∴∠3=∠4,S△ABK=S△AFC,∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE=∠AKB,∠BAC=2∠CEF,∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF,∴AF=FK=BK,∴S△ABK=S△AFK,∴ABFAFCS2S∆∆=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是能够正确添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.8.已知:等边ABC∆中.(1)如图1,点M是BC的中点,点N在AB边上,满足60AMN∠=︒,求ANBN的值.(2)如图2,点M在AB边上(M为非中点,不与A、B重合),点N在CB的延长线上且MNB MCB∠=∠,求证:AM BN=.(3)如图3,点P为AC边的中点,点E在AB的延长线上,点F在BC的延长线上,满足AEP PFC ∠=∠,求BF BE BC-的值. 【答案】(1)3;(2)见解析;(3)32. 【解析】【分析】(1)先证明AMB ∆,MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形,再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半,证明BM=2BN ,AB=2BM ,最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得;(2)过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ,先证明AM=ME ,再证明MEC ∆与NBM ∆全等,最后转化边即得;(3)过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ,先证明M 是AB 的中点,再证明EMP ∆与FCP ∆全等,最后转化边即得.【详解】(1)∵ABC ∆为等边三角形,点M 是BC 的中点∴AM 平分∠BAC ,AM BC ⊥,60B BAC ∠=∠=︒∴30BAM ∠=︒,90AMB ∠=︒∵60AMN ∠=︒∴90AMN BAM ∠+=︒∠,30∠=︒BMN∴90ANM ∠=︒∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠∴在Rt BNM ∆中,2BM BN =在Rt ABM ∆中,2AB BM =∴24AB AN BN BM BN =+==∴3AN BN =即3AN BN=. (2)如下图:过点M 作ME ∥BC 交AC 于E∴∠CME=∠MCB ,∠AEM=∠ACB∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB ∠=∠=︒,120MBN =︒∠∴120CEM MBN ∠==︒∠,60AEM A ∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB,MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=(3)如下图:过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒,AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=,180120EMP AMP=︒-=︒∠∠,180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形,120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS∆∆≌∴ME FC=∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+= ∴3322BC BF BE BC BC -==. 【点睛】本题考查全等三角形的判定,等边三角形的性质及判定,通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键,将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法.9.如图,在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ,点C 关于直线AP 的对称点为点D ,连接AD ,BD ,其中BD 交直线AP 于点E .(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC =20°,求∠AEB 的度数;(3)连结CE ,写出AE ,BE ,CE 之间的数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)补图见解析;(2)60°;(3)CE +AE =BE .【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可;(2)根据轴对称的性质可得AC =AD ,∠PAC =∠PAD=20°,根据等边三角形的性质可得AC =AB ,∠BAC =60°,即可得AB =AD ,在△ABD 中,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数,再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数;(3)CE +AE =BE ,如图,在BE 上取点M 使ME =AE ,连接AM ,设∠EAC =∠DAE =x ,类比(2)的方法求得∠AEB =60°,从而得到△AME 为等边三角形,根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ,根据全等三角形的性质可得CE =BM ,由此即可证得CE +AE =BE .【详解】(1)如图:(2)在等边△ABC 中,AC =AB ,∠BAC =60°由对称可知:AC =AD ,∠PAC =∠PAD , ∴AB =AD∴∠ABD =∠D∵∠PAC =20°∴∠PAD =20°∴∠BAD =∠BAC+∠PAC +∠PAD =100° ()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB =∠D +∠PAD =60°(3)CE +AE =BE . 在BE 上取点M 使ME =AE ,连接AM ,在等边△ABC 中,AC =AB ,∠BAC =60°由对称可知:AC =AD ,∠EAC =∠EAD , 设∠EAC =∠DAE =x .∵AD =AC =AB ,∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB =60-x +x =60°. ∴△AME 为等边三角形.∴AM=AE ,∠MAE=60°,∴∠BAC=∠MAE=60°,即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中,AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AMB≌△AEC.∴CE=BM.∴CE+AE=BE.【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点,解决第三问时,通过做辅助线,把AE转化到BE 上,再证明CE=BM即可得结论.10.如图,在ABC中,已知AB AC=,AD是BC边上的中线,点E是AB边上一动点,点P是AD上的一个动点.(1)若37BAD∠=,求ACB∠的度数;(2)若6BC=,4AD=,5AB=,且CE AB⊥时,求CE的长;(3)在(2)的条件下,请直接写出BP EP+的最小值.【答案】(1)53ACB∠=.(2)245CE=.(3)245.【解析】【分析】(1)由已知得出三角形ABC是等腰三角形,ACB ABC∠∠=,AD是BC边的中线,有AD BC⊥,求出ABC∠的度数,即可得出ACB∠的度数.(2)根据三角形ABC的面积可得出CE的长(3)连接CP,有BP=CP,BP+EP=EP+CP,当点E,P,C在同一条直线上时BP+EP有最小值,即CE的长度.【详解】解:(1)AB AC=,ACB ABC∴∠=∠,AD是BC边上的中线,90ADB∴∠=,37BAD∠=,903753ABC∴∠=-=,53ACB∴∠=.(2)CE AB ⊥, 1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅, 6BC =,4=AD ,5AB =, 245CE ∴=. (3) 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”,三角形的面积公式等,充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.(1)阅读下列文字与例题:将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如:()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=(2)利用分解因式说明:22(5)(1)n n +--能被12整除.【答案】(1)()()a b a b c +++;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成(a 2+2ab+b 2)+(ac+bc ),则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解,后边的三项可以提公因式,然后再利用提公因式法即可分解.(2)先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解,之后即可得出答案.【详解】(1)原式=()()222a ab bac bc ++++=()()2a b c a b +++=()()a b a b c +++(2)22(5)(1)n n +--=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--=()624n +=()122n +∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法,做题时先分析题中给的例子是解题关键.12.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i 2=﹣1,这个数i 叫做虚数单位.那么形如a+bi (a ,b 为实数)的数就叫做复数,a 叫这个复数的实部,b 叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.例如计算:(2+i )+(3﹣4i )=5﹣3i .(1)填空:i 3= ,2i 4= ;(2)计算:①(2+i )(2﹣i );②(2+i )2;(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:已知:(x+3y )+3i=(1﹣x )﹣yi ,(x ,y 为实数),求x ,y 的值.(4)试一试:请你参照i 2=﹣1这一知识点,将m 2+25(m 为实数)因式分解成两个复数的积.【答案】(1)i ;2(2)①5②3+4i (3)x=5,y=﹣3(4)m 2+25=(m+5i )(m ﹣5i )【解析】【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算;(2)利用平方差、完全平方公式把原式展开,根据21i =-计算即可;(3)根据虚数定义得出方程组,解方程组即可;(4)根据21i =- 将25转化为2(-5)i ,再利用平方差公式进行因式分解即可。

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