核心母题一
高考作文核心素养
高考作文核心素养核心母题一:时代精神时代精神是激励民族奋发图强，国家振兴的强大精神动力,近年来，是考察重点。
紧扣时代发展和国家时政，以更高的姿态，更宽广的视野解读中国的发展，关联时代国家民族命运的走向,传递社会主义核心价值观,引领一种大格局，大情怀，彰显作文“立德树人"的功能，体现了引导学生关注现实，关心国家大事的新课标精神，是受出卷人青睐的原因.展示自我、理想信念、精神状态与综合素质是写作这类题目的重点和难点.命题切入点：培养德智体美劳全面发展的人。
传承五四精神、求真务实、知行合一、圆梦新时代。
个体与国家时代的关系，在时代大背景下关照个体成长。
当代青年应具有忧患意识和担当精神，为实现中华民族的伟大复兴而努力奋斗。
新时代追梦人应具有家国情怀，担起时代赋予的使命与重任。
创新发展，开放发展，共享发展的内涵。
协调发展，绿色发展的内涵。
真题对接:2019年全国卷二：“青春接棒，强国有我”。
中国梦，青年与国，青春与追梦,家国情怀。
北京卷“2019的色彩"。
责任与担当,青年与家国。
全国卷一“世纪宝宝中国梦”。
中国梦，追梦人,青年使命。
2018年全国卷三“改革开放三部曲"。
改革开放，和谐发展，文明自信.浙江卷“浙江精神”.家国情怀，地域文化.北京卷“绿水青山图”。
生态文明,美丽乡——协调发展。
2017年全国卷一“用关键词读懂中国"。
文化自信，科技创新,美丽乡村，和谐发展，共享里念.北京卷“共和国，我为你拍照"。
家国情怀,还爱国.核心母题二，文化教育。
高考作文的考察方向离不开文化和教育，因为文化教育是民族振兴，社会进步的重要基石，青少年正处于人生的拔节孕穗期，最需要教育的精心引导和文化的厚重滋养,青少年应以新时代中国特色社会主义思想为纲领，树立正确的价值观，增强理念自信和文化自信,成长为德智体美劳全面发展的人。
《普通高中语文课程标准（2017年版）》还依据当今社会主要矛盾的变化和19大的核心精神，重点强调了对传统文化的继承和发展，而且，2019年高考考试大纲新增了对科学文化素养的考察，这是我们备考该母题时值得关注的信号。
小升初数学核心36道母题
小升初数学核心36道母题小升初是每个小学六年级学生必须经历的一段重要历程，而数学则是其中最重要的科目之一。
想要在小升初数学中取得好成绩，核心题库的掌握是非常关键的。
下面介绍36道小升初数学核心母题，帮助孩子们更好地备战考试。
1. 3÷（1+1÷3）=？2. （5×4）÷7-（10-8）=？3. 25÷（40-30）=？4. 15-（6-5）×4=？5. 9×（12÷3-1）=？6. 500-（300-200）=？7. 76÷（19-16）=？8. 60÷5+34-17×2=？9. 18+（24-14）÷2=？10. 5×6÷10+8-2×3=？以上是基本的四则运算题目，通过这些题目可以检验孩子对于四则运算的掌握程度。
接下来我们将会看到更加有趣和刺激的问题。
11. 在一个矩形花坛中，长为6米，宽为4米，用多少个正方形砖铺满？12. 一群鸡和一群兔子一共有52只脚，如果一共有20个头，请问有多少只鸡和兔子？13. 一辆汽车以每小时70公里的速度行驶，经过3小时后行驶了多少公里？14. 一个年龄为10岁的人，在5年后他的年龄将是多少？15. 如果1元钱可以买两个柿子，那么3元钱可以买多少个柿子？以上这些题目是一些经典的应用问题，需要孩子们进行逻辑推理和数学运算。
16. 已知a+b=7，a-b=1，求a和b的值。
17. 一个分数加上自己的1/3等于2，这个分数是多少？18. 9个苹果分给3个人，每人分几个？19. 一张长方形纸片，宽为6cm，周长为24cm，长度是多少？20. 女儿比母亲小25岁，母亲比爷爷小36岁，女儿今年10岁，请问爷爷今年多少岁？以上是一些需要孩子们进行代数方程式的解答的问题。
下面我们来看一些几何问题。
21. 一根长方体木棒，边长为1厘米，切成1厘米的小正方体，共有多少个小正方体？22. 一个正六边形，边长为5米，周长是多少？23. 一个圆锥的底面直径为12厘米，高为15厘米，求它的体积。
2023高中数学核心母题
《2023高中数学核心母题》一、引言数学，被誉为科学之母，是高中教育的重要组成部分。
对于许多学生来说，数学可能是一个具有挑战性的科目，但只要掌握了其核心概念和方法，便能够应对各种复杂问题。
本文将介绍一系列高中数学的核心母题，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。
二、核心母题1. 函数与导数（1）讨论函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$的单调性。
（2）已知函数$f(x) = e^x - ax$在$x = 1$处取得极小值，求实数$a$的值。
2. 三角函数与解三角形（1）求证：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$。
（2）在$\bigtriangleup ABC$中，角$A, B, C$的对边分别是$a, b, c$。
如果$B = 60^\circ$，$b^2 = ac$，求$\bigtriangleup ABC$的面积。
3. 数列与数学归纳法（1）求等差数列$1, 3, 5, \ldots, 2n-1$的前$n$项和。
（2）已知数列${ a_n }$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + n$，求证：$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n} < 2$。
4. 立体几何与空间向量（1）求证：空间中任意三个不共线的点可以确定一个平面。
（2）在正方体$ABCD-A'B'C'D'$中，求二面角$A-BD-B'$的大小。
5. 解析几何与圆锥曲线（1）已知直线$l: y = kx + b$与抛物线$y^2 = 4x$交于$A, B$两点，且线段AB的中点坐标为$(3, 2)$，求直线$l$的方程。
（2）已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) $上有四个不共顶的内接矩形的存在。
核心母题一 深度练习
(2)将玻璃杯中倒入适量的水，在水面处做标记，用天平测出玻璃杯和水的总质 量为 m1； (3)将水倒出，擦干净玻璃杯，______________________，用天平测出玻璃杯和 酱油的总质量为 m2； (4)则酱油的密度表达式ρ油＝______________(已知水的密度为ρ水)。 8．(2018·沧州一模)小明学习完浮力知识后，利用天平、足够大的溢水杯和一 个小烧杯测出了一个物体的密度： a．用调节好的天平测出小烧杯的质量 m1 为 30 g； b．把物体轻轻放入装满水的溢水杯中，溢出的水全部流入小烧杯，测出小烧杯 和水的总质量为 m2，右盘中的砝码及游码的位置如图所示； c．把溢水杯中的水全部倒掉，并装满酒精，然后把物体轻轻放入溢水杯中，溢 出的酒精全部流入小烧杯，测出小烧杯和酒精的总质量 m3 为 94 g。(已知水的密 度为 1 g/cm3，酒精密度为 0.8 g/cm3)
1．(2019·改编)小华想测某石块的密度：
(1) 用 调 好 的 天 平 测 量 石 块 的 质 量 m0 ， 如 图 甲 所 示 ， 石 块 的 质 量 m0 ＝ ____________g； (2)将石块放入装有水的烧杯中，并在烧杯壁上标记水面所处的位置，再取出石 块； (3)往量筒中装入 42 mL 的水，将量筒中的水倒入一部分到烧杯中，直至烧杯中 的水到达________处，读出图丙量筒中剩余水的体积为________mL； (4)算出石块的密度为____________g/cm3； (5)根据以上步骤，测出的石块密度________(选填“偏大”或“偏小”)。 2．(2018·保定一模)在物理课外小组的活动中，老师拿出一个刻线间距为 1 mm 的量筒和一个空的厚底小玻璃瓶，小玻璃瓶可以放到量筒中。老师让同学们用 这几样东西，再借助于日常生活中常用的东西，测量制成玻璃瓶的这种玻璃材 料的密度。小明想了一会儿，就向量筒中倒入一些水，将量筒放在水平桌面上， 记下量筒中的水深为 21.0 cm；再将空瓶开口向上放在量筒中，空瓶可以开口向 上浮在水面上，小明测量得此时量筒中的水深为 29.0 cm。随后小明将空瓶按入 水中，瓶中充满水沉到量筒底部时，量筒内的水面恰好与 24.2 cm 的刻度线相 平。根据实验测得的数据，并借助已知水的密度，小明很快就求出了玻璃材料 的密度。(g 取 10 N/kg) (1)小瓶漂浮在水面时受到水的压强是________________ Pa；
作文 关注核心素养必考六大“母题1---6
2017年高考作文关注核心素养必考六大“母题”2016年9月13日，“中国学生发展核心素养”研究成果在北京发布。
“中国学生发展核心素养”以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养。
这是一道典型的考查考生“审美情趣”的题目。
题目虽然在立意上十分明确，但是在素材的要求上有一定的难度，一定要是文学家或者是艺术家的例子。
要求考生既要熟悉作家，更要熟悉作品的风格志趣。
一言以蔽之，本题比拼的是考生的阅读底蕴。
中国传统强调“颜文合一”，文如其人，人如其文，文章是修身养性的手段；外国则认为写作仅是一种技艺，与人品无关。
如果从这方面切入，会写出不一样的文章。
文如其人是少数，绝大多数的作者品性与文字风格没有必然关系，蝇营狗苟者也能写出磅礴大气的文字。
如要写出其中的深意，则需要考生眼观社会，有一定的辩证思考能力。
2. 2016年高考山东卷作文试题阅读下面的材料，根据自己的感悟和联想，写一篇不少于800字的文章。
行囊已经备好，开始一段新的旅程。
路途漫漫，翻检行囊会发现，有的东西很快用到了，有的暂时用不上，有的想用而未曾准备，有的会一直伴随我们走向远方……要求：①选准角度，自定立意；②自拟题目；③除诗歌外，文体不限；④文体特征鲜明。
人应该怎样生活？做什么事都要有充分的准备，要适当地减负，要保持好的心态，缺着不灰心，得着也不得意……这些自然地体现出了写作者对“人的生存、发展和幸福等”方面的关切。
3.2015年高考北京卷作文试题《说起梅花》表达了作者对梅花“深入灵魂的热爱”。
在你的生活中，哪一种物使你产生了“深入灵魂的热爱”，这样的热爱为什么能深入你的灵魂？请以“深入灵魂的热爱”为题作文。
要求：自选一物（植物、动物或器物。
梅花除外），可议论，可叙述，可抒情，文体不限。
将题目抄写在答题卡上。
中考数学核心母题36道
中考数学核心母题36道以下是36道中考数学核心母题，希望能帮助大家更好地备考中考。
1. 一个圆的直径是5cm，求它的周长和面积。
2. 已知正方形ABCD的边长为4cm，求它的对角线长度。
3. 一根长为12cm的木条，从中间剪开后，变成了两个三角形，它们的面积比为7:8，求较小的三角形的面积。
4. 已知一条线段的两端点为A(-3,2)和B(5,-4)，求线段AB的长度。
5. 一个正方形的面积是36平方米，求它的边长。
6. 一条铁路上两列火车相向而行，第一列火车每小时行驶100公里，第二列火车每小时行驶120公里，它们相距600公里，问多长时间后相遇。
7. 已知一条边长为10cm的正方形，把它的四个顶点分别连接起来，得到四条线段，它们的长度分别是多少？8. 一个圆的半径是6cm，求它的周长和面积。
9. 一条长为20cm的直线段，在其中点处被垂直地分成两段，它们的长度分别是多少？10. 一个三角形的三条边长分别为3cm、4cm和5cm，这个三角形是什么类型的三角形？11. 一个正方形的周长是20cm，求它的面积。
12. 一根长为10cm的木条，从中间剪开后，变成了两个三角形，它们的面积比为3:4，求较小的三角形的面积。
13. 一条铁路上两列火车相向而行，第一列火车每小时行驶80公里，第二列火车每小时行驶100公里，它们相距800公里，问多长时间后相遇。
14. 已知一条线段的两端点为A(1,3)和B(4,6)，求线段AB的长度。
15. 一个圆的直径是8cm，求它的周长和面积。
16. 一个正方形的对角线长度是10cm，求它的面积。
17. 一条铁路上两列火车相向而行，第一列火车每小时行驶60公里，第二列火车每小时行驶80公里，它们相距1000公里，问多长时间后相遇。
18. 一个正方形的面积是25平方米，求它的边长。
19. 一根长为8cm的木条，从中间剪开后，变成了两个三角形，它们的面积比为5:3，求较小的三角形的面积。
中考数学总复习 核心母题一 全等在几何探究题中的应用数学课件
【母题剖析】 (1)要证EF＝FM，只需证明△DEF≌△DMF，而DF是公 共边，DE＝DM，从而只需证∠EDF＝∠MDF即可； (2)由(1)的证明可知，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到 △DCP，再证明∠HCP＝90°，GH＝HP，CP＝AG即可．
【母题详解】 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵△CDM是由△AED旋转90°得到的， ∴∠EDM＝90°，∠DCM＝∠A＝90°，CM＝AE. ∴F、C、M在一条直线上． ∵∠EDM＝90°＝∠ADC，
∵∠DCP＝45°， ∴∠HCP＝∠HCD＋∠DCP＝90°， ∴HP2＝HC2＋CP2， ∴HG2＝AG2＋CH2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【思想方法】 全等作为解决几何探究问题的重要方法之一，在解决问题 时，证明线段、角度相等或者通过判定线段、角度相等解 决图形相关计算问题有着重要作用．这类问题在解题时， 常需要注意借助题设中的条件，找到全等三角形，注意数 学结合思想的运用．
∴∠FDM＝∠FDC＋∠MDC＝∠FDC＋∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝ 45°， ∴∠EDF＝∠MDF， ∵DE＝DM，DF＝DF， ∴△EDF≌△MDF， ∴EF＝FM.
(2)GH2＝AG2＋HC2； 证明：将△ADG绕点D逆时针旋转90°，使得点A与点C重合， 得到△DCP， 由(1)可知△DGH≌△DPH，CP＝AG， ∠DCP＝∠DAG＝45°， ∴HP＝GH，
核心母题一 全等在几何探究题中的应用
【核心母题】 如图①，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边 上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到△DCM. (1)求证：EF＝FM； (2)如图②，连接AC交DE于G，交DF于H，探究AG，GH，HC的 数量关系，并证明你的结论．
【人教版】2020年中考数学复习 核心母题一 最值问题深度练习
核心母题一最值问题深度练习1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )A．6 B．8 C．10 D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DO B＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC 上移动时，求PQ的最大值．5．如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x 轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a ，0)，F(a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点． (1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．参考答案1．B 2.7 3.(23－3，2－3) 4．解：如图，连接OQ.在Rt△OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2， 当OP 最小时，PQ 最大，此时OP⊥BC， 则OP ＝12OB ＝32，∴PQ 的最大值为9－（32）2＝332.5．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，a －b ＋c ＝0，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)当a ＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P(x ，－x 2＋4x ＋5)．如图，过点P 作PN⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4. S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(OF ＋PN)·ON－12MN·NP－12OE·OM ＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x·(－x 2＋4x ＋4)－12×1×1＝－(x －94)2＋15316， ∴当x ＝94时，S 四边形MEFP 最大，最大为15316.当x ＝94时， y ＝－x 2＋4x ＋5＝14316，此时点P 坐标为(94，14316)．(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2± 6. ∵点P 在第一象限， ∴点P(2＋6，3)．∵在四边形PMEF 中，PM ，EF 长度是固定的， ∴ME＋PF 最小时，四边形PMEF 的周长最小．如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)，作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)，连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ， 将P(2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3，m ＋n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y＝46－45x －46＋15.当y ＝0时，解得x ＝6＋54，∴F(6＋54，0)． ∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14， ∴当a ＝6＋14时，四边形PMEF 的周长最小．。
中学生核心素养母题与作文
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我们都是龙的传人，你们诞生于庚辰龙年，是多么的幸运。汶
川地震，你们虽然还小，但谭千秋的故事还在你们上一代或许就在你
们这一代中传诵，那张开双臂的姿势还是那样的气壮山河，感人至深；
《我爱你中国！》，那美妙的音符至今还在共和国每寸土地上回响，
在你我心中产生共鸣；向无与伦比的北京奥运会致敬！“村村通”将千
中学生核心素养
核心素养：
社会责任、国家认同、国际理解； 人文底蕴、科学精神、审美情趣； 身心健康、学会学习、实践创新。
22．阅读下面的材料，根据要求写作。 “民生在勤，勤则不匮”，劳动是财富的源泉，也
是幸福的源泉。“夙兴夜寐，洒扫庭内”，热爱劳动是 中华民族的优秀传统，绵延至今。可是现实生活中，也 有一些同学不理解劳动，不愿意劳动。有的说：“我们 学习这么忙，劳动太占时间了！”有的说：“科技进步 这么快，劳动的事，以后可以交给人工智能啊！”也有 的说：“劳动这么苦，这么累，干吗非得自己干？花点 钱让别人去做好了！”此外，我们身边也还有着一些不 尊重劳动的现象。 这引起了人们的深思。
这也和下文要求的“体现你的认识和思考，希望 和建议”相一致，要求“倡议大家‘热爱劳动’”， 互为表里，主题明确突出。
作文任务另一个要求是写演讲稿，要求结合材料内容，面向本 校（统称“复兴中学”）同学写一篇，倡议大家“热爱劳动， 从我做起”。体现你的认识和思考，并提出希望和建议。内容 要求前文已经分析，在此不再重复。
作为一篇演讲稿，首先严格按照任务限定写作。演讲对象是
本校（限定为“复兴中学”）同学，不可是其他身份，也不可 以是写给其他对象；“面对同学”限定演讲必须是第一人称。
另外，需要提醒考生的是，写一篇演讲稿，应该遵循演讲稿
的一般要求。题目要观点鲜明，不可兜圈子，不可含蓄，不要 为了艺术而成为蛇足；称呼简洁：同学们。正文部分条理要清 晰，不可缺少的内容有，劳动的价值和意义，部分同学的错误 认识及原因分析，对同学的建议或号召。要多用短句，如排比 句、设问句、反问句等，体现口语特点，增强感染力。句式要 灵活多变，力求以理服人，也不忘以情感人。
2023-2024学年数学人教版九年级上册第二十一章 微专题2 教材经典母题及变式 课件
(1)若要围成的矩形ABCD的面积为60 m2，求AB的长；
微专题2
解：(1)如图，设与墙垂直的边AD长为x m，则BC＝MN＝PQ＝x
m，AB＝30－AD－MN－PQ－BC＋2＝(32－4x)m.
根据题意，得x(32－4x)＝60，
解得x＝3或x＝5.
当x＝3时，AB＝32－4x＝20＞18，不符合
∴m的取值范围是m≤0.
微专题2
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(2)若该方程的两个实数根分别为x1 ，x2 ，且 + ＝12，求m的
值．
(2)根据题意，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m.
∵ + ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，
微专题2
核心母题5 一元二次方程的应用(销售问题)
【例5】某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润
是 1 元 ， 经 调 查 发 现 ， 零 售 单 价 每 降 0.1 元 ， 每 天 可 多 卖 出 100 只 粽
子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0＜m＜1)
量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
解：(1)设月平均增长率为x.
根据题意，得3(1＋x)2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不符合题意，舍去)．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%.
微专题2
【例3】(人教教材母题)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售
m.
微专题2
【例8】(人教教材母题改编)如图是一块长为5 m，宽为4 m的地
初中英语(七上)华师版教材核心母题
初中英语(七上)华师版教材核心母题
初中英语（七上）华师版教材核心母题主要包括以下几个方面：
1. 词汇和语法：学生需要掌握教材中出现的常用词汇和基本语法知识，如名词、动词、形容词、副词、介词、连词、简单句结构、时态等。
2. 听力和口语：学生需要通过听力练习和口语交流，提高自己的英语听说能力。
教材中提供了大量的听力和口语练习，如听力理解、情景对话、角色扮演等。
3. 阅读和写作：学生需要掌握基本的阅读技巧和写作技能，如快速阅读、细节阅读、总结文章大意、写信、写邮件等。
教材中提供了大量的阅读材料和写作练习。
4. 文化知识：学生需要了解英语国家的文化背景和习俗，以便更好地理解和运用英语。
教材中介绍了一些英语国家的文化背景和习俗。
5. 学习策略：学生需要掌握一些有效的学习策略，如记忆技巧、词汇学习技巧、阅读技巧等。
教材中提供了一些学习策略的建议和指导。
通过以上核心母题的练习，学生可以更好地掌握英语基础知识和技能，提高自己的英语应用能力。
同时，学生还需要注意培养自己的跨文化交流意识和自主学习能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
2024年秋人教版七年级数学上册 第四章 “整式的加减”《专题：教材经典母题及变式》精品课件
（1）求阴影部分的面积（用含x的代数式表示）；
解：（1）由图形中各个部分面积之间的关系可得，
S阴影部分
+ 2
2
＝2 ＋（x－2－2）（4＋2）－ π·（ ）
＝4＋6x－24－ π×9
＝6x－20－ π.
【变式2】如图，在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形
最新人教版七年级数学上册
专题：教材经典母题及变式
核心母题1 化简求值
【例1】先化简，再求值：
3
2
2x －［5x－2（ x－3）－7x2］，其中x＝－2.
解：2x2－
2
－（ －）－
＝2x2－（5x－3x＋6－7x2）
＝2x2－5x＋3x－6＋7x2
＝9x2－2x－6.
当x＝－2时，
花圃，尺寸如图所示（单位：米）.
（2）当x＝9时，π取3时，求阴影部分的面积.
解：（2）当x＝9，π取3时，
S阴影部分＝54－20－ ＝ .
同学们，再见！
＝16－15＋1＝2.
核心母题2 整式的加减在几何图形中的应用
【例2】如图，求图中阴影部分的面积.
解：根据题意，得题图中阴影部分的面积
2
2
S＝ π［（ ） －（ ） ］＝ π·（ － ）＝
.
【变式2】如图，在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形
原式＝9×（－2）2－2×（－2）－6
＝9×4＋4－6
＝34.Βιβλιοθήκη 32【变式1】（2022·香洲区期末）先化简，再求值：2（x ＋xy－ y）－
核心母题一
核心母题一全等在几何探究题中的应用【母题示例】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥BC，交CE的延长线于F.求证：AD＝CF.【命题形式】以特殊三角形、特殊的平行四边形为背景，借助基本的全等模型，考查全等三角形的证．【母题剖析】要证AD＝CF，只需证△ACD≌△CBF即可．【母题详解】【母题解读】全等三角形是几何问题中证线段相等、角相等时最常用的方法之一．在几何压轴题中，常以基本模型为背景，通过添加条件，增加动点或变换图形等形式，探究线段之间或角之间的关系，是考查学生数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的综合体现．在具体解题中，有时需要构造相应的辅助线，从而将所求或所证的量放在两个全等的三角形中进行证或计算．常见的全等模型有：倍长中线模型；对角互补模型；手拉手模型(旋转模型)；三垂直模型等.模型一倍长中线模型【模型解读】倍长中线模型一般以三角形为背景，题中常有三角形中线(或中点)条件．通过延长中线后构造全等三角形解决问题．【基本图形】基本图形点D是BC的中点，通过延长AD到E，使得DE＝说AD，构造△DCE≌△DBA基本图形点D是BC的中点，点E是AB上一点，通过延长说ED到F，使得DF＝DE，构造△BDE≌△CDF【模型突破】1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F.求证：AF＝EF.2．如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点F.(1)求证：DF＝EF；(2)如图②，过点D作DM⊥BC于M，若BC＝6，点D是AB的中点，求MF的长．图①图②模型二对角互补模型【模型解读】对角互补模型是一个特殊的四边形(两组对角分别互补)，可通过四边形内角和为360°，从而得到其一个外角等于内对角，进而找到图形中的等角关系，得到全等问题中角度相等关系．【基本图形】基本图形已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠A 说＋∠BCD＝∠BCD＋∠DCE＝180°基本图形△ABC中，点E，F，G分别在BC，AC，AB上，且∠GEF 说＋∠A＝180°，则∠BGE＝∠AFE【模型突破】1．如图，在Rt△ABD中，AB＝AD，∠A＝90°，点E是AB上一点，且∠BDE＝15°，过点D作DC⊥DE，过点B作BC∥AD，BC与DC相交于C.求证：DC＝DE.2．如图，在△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE分别交AB 于D，交BC于E，点G是AD上一点，且AG＝GE，点F在AC上，∠GEF＝80°.求证：BG＝EF.模型三手拉手模型(旋转模型)【模型解读】手拉手模型(旋转模型)是两个三角形具有公共的顶点，且公共顶点所在的四条线段两两对应相等，常通过角度的加减转化等角关系证全等．【基本图形】基本图形已知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，则说△BAE≌△CAD，CD＝BE基本图形△ABC和△ADE均是等边三角形，则△BAD≌△CAE，说BD＝CE【模型突破】1．如图，菱形ABCD中，∠A＝110°，点E是菱形ABCD内一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转110°得到线段CF，连接BE，DF.求证：BE＝DF.2．如图，过△ABC的顶点A作AE⊥AB且AE＝AB，AF⊥AC且AF＝AC，连接BF，CE交于点M.求∠EMF的大小．模型四三垂直模型【模型解读】三垂直模型常出现在正方形或矩形中，也可能在直角三角形中存在，常利用等角的余角相等进行角度转化．【基本图形】基本图形已知AE⊥AC，DC⊥AC，BE⊥BD，则∠E＝∠DBC，∠EBA 说＝∠BDC基本图形已知AC⊥BC，AD⊥CE，BE⊥CE，则∠BCE＝∠CAD，∠CBE 说＝∠ACD【模型突破】1．如图，正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD的四条边上．求证：AE＝BF.参考答案【核心母题剖析】证：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∵AD⊥CF，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，∵BC⊥BF，∴∠CBF＝90°＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBF，∴AD＝CF.【核心归纳突破】模型一、倍长中线模型1．证：如解图，延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵∠BDG＝∠CDA，DG＝AD，∴△BDG≌△CDA，∴BG＝AC，∠BGD＝∠CAD.∵BE＝AC，∴BG＝BE，∴∠BGE＝∠BEG，∴∠BEG＝∠FAE.∵∠AEF＝∠BEG，∴∠FAE＝∠FEA，∴AF＝EF.2．(1)证：如解图①，过点D作DG∥AC交BC于G，第2题解图①∴∠FDG＝∠FEC，∠FGD＝∠FCE，∠DGB＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBG＝∠DGB，∴DG＝DB ，∵CE＝DB ，∴CE＝DG ，∴△DGF≌△ECF，∴DF＝EF.(2)解：如解图②，过点A 作AN⊥BC 于N ，∵AB＝AC ，∴BN＝CN ＝3，第2题解图②∵DM⊥BC，∴DM∥AN，∵点D 是AB 的中点，∴BM＝MN ，连接DN ，∵点D 是AB 的中点，点N 是BC 的中点， ∴DN∥AC，由(1)知，△DNF≌△ECF，∴NF＝CF ，∴MF＝MN ＋NF ＝12BC ＝3. 模型二、对角互补模型1．证：如解图，过点D 作DF⊥BC 于F.第1题解图∵∠A＝90°，BC∥AD，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴DF∥AB，∵BC∥AD，∴四边形ABFD 是平行四边形，∴DF＝AB，∵AB＝AD，∴DF＝AD.∵DE⊥DC，BE⊥BC，∴∠BED＋∠C＝180°＝∠AED＋∠BED，∴∠AED＝∠C，∵∠A＝∠DFC＝90°，∴△DAE≌△DFC，∴DE＝DC.2．证：如解图，连接AE.第2题解图∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠EAB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAE＝∠C，∴∠BEA＝∠BAC，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∴∠GEB＝∠FAE.∵∠GAF＝100°，∠GEF＝80°，∴∠AGE＋∠AFE＝360°－∠GAF－∠GEF＝180°，∵∠BGE＋∠AGE＝180°，∴∠BGE＝∠EFA，∴△BGE≌△EFA，∴BG＝EF.模型三、手拉手模型(旋转模型)1．证：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝110°，∴BC＝CD，∠BCD＝110°，∵CF是由CE绕点C顺时针旋转110°得到的，∴∠ECF＝110°＝∠BCD，CF＝CE.∴∠BCE＋∠ECD＝∠ECD＋∠DCF，∴∠BCE＝∠DCF，∴△BEC≌△DFC，∴BE＝DF.2．解：∵AE⊥AB，FA⊥CA，∴∠EAB＝∠FAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠FAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠FAB，∵AE＝AB，AF＝AC，∴△BAF≌△EAC，∴∠AEM＝∠ABM，∵AE⊥AB，∴∠ABE＋∠ABM＋∠BEM＝∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠BME＝90°，即EC⊥BF，∴∠EMF＝90°.模型四、三垂直模型1．证：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE，∴AE＝BF.。
中考函数核心母题一试题含答案
函 数【核心母题】1．直线l 的表达式为y ＝－2x ＋2，分别交x 轴、y 轴于点A ，B. (1)写出A ，B 两点的坐标，并画出直线l 的图象；(2)将直线l 向上平移4个单位得到l 1，l 1交x 轴于点C ，作出l 1的图象，则l 1的表达式是________；(3)将直线l 绕点A 顺时针旋转90°得到l 2，l 2交l 1于点D ，作出l 2的图象，则tan∠CAD＝__________．【知识链接】 一次函数的图象与性质．【母题分析】(1)令x ＝0求得y ，令y ＝0求得x ，即可得出A ，B 的坐标，从而画出直线l 的图象；(2)将直线l 向上平移4个单位可得直线l 1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其表达式；(3)由旋转得出其函数图象，由图象可知，tan∠CAD＝tan∠OBA＝OAOB 可得答案．【母题解答】2．已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 【知识链接】 二次函数的图象与性质．【母题分析】(1)把已知点的坐标代入抛物线表达式求出b 与c 的值即可； (2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的表达式即可． 【母题解答】3.如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝8x 的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是－2.(1)求一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．【知识链接】 反比例函数的图象与性质．【母题分析】(1)由点A ，B 的横、纵坐标结合反比例函数表达式即可得出点A ，B 的坐标，再由点A ，B 的坐标利用待定系数法即可得出直线AB 的表达式； (2)先求出点C 的坐标，利用三角形的面积公式结合A ，B 点的横坐标即可得出结论．子题1：已知一次函数y ＝ba x ＋c 的图象如图，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )【子题分析】 本题可根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba ＜0，c ＞0，由此即可得出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象对称轴x ＝－b2a＞0，与y 轴的交点在y 轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【子题解答】角度二 一次函数与反比例函数结合子题2：如图为一次函数y ＝ax －2a 与反比例函数y ＝－ax (a≠0)在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是( )【子题分析】 本题可根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断． 【子题解答】子题3：在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝bx (b≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx(a≠0)的图象大致是( )【子题分析】 本题可直接利用二次函数图象的开口方向和对称轴位置得出a ，b 的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【子题解答】角度四 一次函数、二次函数、反比例函数结合子题4：已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 与反比例函数y ＝a ＋b ＋cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )【子题分析】 本题可直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【子题解答】角度五一次函数变换背景子题5：晓琳和爸爸到某公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米)，y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3 000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1 800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．其中正确结论的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【子题分析】①两人同行过程中的速度就是20分钟前进4 000米的速度；②爸爸有事返回的时间比晓琳原路返回的时间20分钟少5分钟，n的值用速度乘以时间即可；③晓琳开始返回时与爸爸的距离是他们的速度和乘以时间5分钟；④两人相距900米是y1－y2＝900.角度六二次函数结论选择型子题6：如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am ＋b)(m≠1)．其中正确的结论有( )A．①②③ B．②③⑤C．②③④ D．③④⑤【子题分析】 由二次函数图象可以得出很多结论，此类题目通常设置多个正确或错误结论，从中进行选择．本题可由抛物线对称轴的位置判断a ，b 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【子题解答】角度七 二次函数与圆、四边形等综合子题7：如图，抛物线y ＝14(x ＋2)(x －8)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为M ，以AB 为直径作⊙D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②⊙D 的面积为16π；③抛物线上存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形；④直线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【子题分析】 ①根据抛物线的表达式得出抛物线与x 轴的交点A ，B 坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D 的直径AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定； ③若存在点E 使四边形ACED 为平行四边形，则CE∥AD，CE ＝AD ，根据计算即可判定；④求得直线CM 、直线CD 的表达式，通过它们的斜率进行判定． 【子题解答】角度八 反比例函数与几何图形结合子题8：如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝－2x 的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数y ＝4x 的图象于点C ，连接BC ，则△ABC 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【子题分析】 反比例函数通常与三角形、四边形、圆等相结合构造复杂题目．解答本题可根据正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝－2x 的图象交点关于原点对称，可得出A ，B 两点坐标的关系，根据垂直于y 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A ，C 两点坐标的关系，设A 点坐标为(x ，－2x )，表示出B ，C 两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答． 【子题解答】模型一一次函数模型子题9：在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k和b 的取值范围是( )A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0子题10：若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是( )模型二反比例函数模型(1)反比例函数k的几何意义S△AOP＝12|k| S△OBP＝12|k|S 矩形OAPB ＝|k| S △APP′＝2|k|S △ABC ＝|k|S ▱ABCD ＝|k|(2)反比例函数与一次函数结合⇒⇒⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧子题11：如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x的图象相交于A ，B 两点，BC⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C.32 D.52 类型三 二次函数模型 (1)函数图象与系数的关系(2)平移中的面积计算子题12：如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)，平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋4子题13：如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为 ________.参考答案【核心母题突破】【核心母题】1．(1)当y＝0时，－2x＋2＝0，解得x＝1，即点A(1，0)．当x＝0时，y＝2，即点B(0，2)．如图，直线AB即为所求．(2)作出l1的图象如图所示．y＝－2x＋6(3)作出l2的图象如图所示.122．(1)把(1，0)，(0，32)代入抛物线表达式得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b＋c＝0，c＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b＝－1，c＝32，则抛物线表达式为y＝－12x2－x＋32.(2)抛物线表达式为y＝－12x2－x＋32＝－12(x＋1)2＋2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位可以使顶点恰好落在原点，此时抛物线表达式变为y ＝－12x 2.3．(1)在反比例函数y ＝8x 中，当x ＝2时，y ＝4，∴点A 的坐标为(2，4)． 当y ＝－2时，x ＝－4， ∴点B 的坐标为(－4，－2)． ∵一次函数过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2k ＋b ，－2＝－4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2. (2)令y ＝x ＋2中x ＝0，则y ＝2， ∴点C 的坐标为(0，2)，∴S △AOB ＝12OC·(x A －x B )＝12×2×[2－(－4)]＝6.【母题衍生角度】 角度一子题1: 观察一次函数图象可知，ba＜0，c ＞0，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象对称轴x ＝－b2a＞0，与y 轴的交点在y 轴正半轴．故选A. 角度二子题2: 由ax －2a ＝－ax，则x －2＝－1x，整理得x 2－2x ＋1＝0，∵Δ＝0，∴一次函数y ＝ax －2a 与反比例函数y ＝－ax 只有一个公共点．故选B. 角度三子题3: A ．抛物线y ＝ax 2＋bx 开口方向向上，则a ＞0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即b ＜0，所以反比例函数y ＝bx 的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B ．抛物线y ＝ax 2＋bx 开口方向向上，则a ＞0，对称轴位于y 轴的左侧，则a ，b 同号，即b ＞0，所以反比例函数y ＝bx 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C ．抛物线y ＝ax 2＋bx 开口方向向下，则a ＜0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即b ＞0，所以反比例函数y ＝bx 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D ．抛物线y ＝ax 2＋bx 开口方向向下，则a ＜0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即b ＞0，所以反比例函数y ＝bx 的图象位于第一、三象限，故本选项正确．故选D. 角度四子题4: ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，∴a＞0. ∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧， ∴a，b 异号，即b ＜0.∵当x ＝1时，y ＜0，∴a＋b ＋c ＜0，∴一次函数y ＝bx ＋a 的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y ＝a ＋b ＋cx 的图象分布在第二、四象限，故选B.角度五子题5: ①4 000÷20＝200(米/分)，∴两人同行过程中的速度为200米/分，①正确； ②m＝20－5＝15，n ＝200×15＝3 000，②正确；③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走了5分钟，所以他们的距离为(200＋100)×5＝1 500(米)，③不正确；④设爸爸返回的表达式为y 2＝kx ＋b.把(15，3 000)，(45，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧15k ＋b ＝3 000，45k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－100，b ＝4 500，∴y 2＝－100x ＋4 500，∴当0≤x<20时，y 1＝200x ，y 1－y 2＝900， ∴200x－(－100x ＋4 500)＝900，∴x＝18. 当20≤x≤45时，y 1＝ax ＋b ，将(20，4 000)，(45，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝4 000，45a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－160，b ＝7 200，∴y 1＝－160x ＋7 200. ∵y 1－y 2＝900，∴(－160x ＋7 200)－(－100x ＋4 500)＝900， 解得x ＝30，∴④正确．故选C. 角度六子题6: ①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab＜0， 由图象可知，c ＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴b－a ＞c ，故②正确；③由对称知，当x ＝2时，函数值大于0，即y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，故③正确； ④∵x＝－b2a＝1，∴b＝－2a ，∵a－b ＋c ＜0，∴a＋2a ＋c ＜0，3a ＜－c ，故④不正确； ⑤当x ＝1时，y 的值最大，此时y ＝a ＋b ＋c ， 当x ＝m 时，y ＝am 2＋bm ＋c ， ∴a＋b ＋c ＞am 2＋bm ＋c(m≠1)，故a ＋b ＞am 2＋bm ，即a ＋b ＞m(am ＋b)，故⑤正确． 故②③⑤正确．故选B. 角度七子题7: ∵在y ＝14(x ＋2)(x －8)中，当y ＝0时，x ＝－2或x ＝8，∴点A(－2，0)，B(8，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝－2＋82＝3，故①正确；∵⊙D 的直径为8－(－2)＝10，即半径为5， ∴⊙D 的面积为25π，故②错误； 在y ＝14(x ＋2)(x －8)＝14x 2－32x －4中，当x ＝0时，y ＝－4， ∴点C(0，－4)．当y ＝－4时，14x 2－32x －4＝－4，解得x 1＝0，x 2＝6，∴E(6，－4)， 则CE ＝6.∵AD＝3－(－2)＝5，∴AD≠CE，∴四边形ACED 不是平行四边形，故③错误； ∵y＝14x 2－32x －4＝14(x －3)2－254，∴M(3，－254)．设直线CM 表达式为y ＝kx ＋b.将点C(0，－4)，M(3，－254)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，3k ＋b ＝－254，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝－4，∴直线CM 表达式为y ＝－34x －4.设直线CD 表达式为y ＝mx ＋n.将点C(0，－4)，D(3，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－4，∴直线CD 表达式为y ＝43x －4.由－34×43＝－1知，CM⊥CD 于点C ，∴直线CM 与⊙D 相切，故④正确．故选B. 角度八子题8: ∵正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝－2x的图象交点关于原点对称，∴设A 点坐标为(x ，－2x )，则B 点坐标为(－x ，2x )，C(－2x ，－2x )，∴S △ABC ＝12(－2x －x)·(－2x －2x )＝12(－3x)·(－4x )＝6.故选C.【母题衍生模型】 模型一 子题9: C 子题10: C 模型二 子题11: A 模型三 子题12: D 子题13: 12。
以核心素养为导向的数学试题研究母题60题
数学试题研究母题序列是数学中一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
序列问题不仅考察了学生的数学计算能力，还需要培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将给出60个以核心素养为导向的数学试题，帮助学生提高对序列问题的理解和解决能力。
1.已知 arithmetic sequence {an} 的通项公式为 an = 2n + 1, 求第20项的值。
2.已知 geometric sequence {bn} 的首项为 3，公比为 2，求第6项的值。
3.已知 {cn} 是等差数列，前两项和为 12，公差为 4，求第10项的值。
4.已知 {dn} 是等比数列，首项为 2，公比为 3，求第5项的值。
5.设 a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，an = an-1 + an-2 + an-3，求 a4 的值。
6.设 a1 = 1，a2 = 2，a3 = 4，an = an-1 + 2an-2，求 a4 的值。
7.设 {en} 是等差数列，已知e1 + e2 + … + e10 = 55，求e1 + e2 + … +e20 的值。
8.设 {fn} 是等差数列，已知 f1 = 1，f3 = 7，求f1 + f2 + … + f10 的值。
9.设 {gn} 是等差数列，已知 g1 = 3，g4 = 10，求g1 + g2 + … + g10 的值。
10.如果 {hn} 是等差数列，已知h1 + h3 + … + h9 = 45，求h1 + h2 + … +h20 的值。
11.如果 {ij} 是等比数列，已知i1 + i2 + … + i5 = 31，求i1 + i2 + … + i10的值。
12.如果 {jk} 是等比数列，已知 j1 = 2，j2 = 4，求 j1 + j2 + … + j10 的值。
13.如果 {kl} 是等比数列，已知k1 + k3 + … + k7 = 84，求k1 + k2 + … +k15 的值。
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核心母题一全等在几何探究题中的应用
【母题示例】
如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥BC，交CE的延长线于F.求证：AD＝CF.
【命题形式】以特殊三角形、特殊的平行四边形为背景，借助基本的全等模型，考查全等三角形的证明.
【母题剖析】
要证AD＝CF，只需证明△ACD≌△CBF即可.
【母题详解】
【母题解读】
全等三角形是几何问题中证明线段相等、角相等时最常用的方法之一.在几何压轴题中，常以基本模型为背景，通过添加条件，增加动点或变换图形等形式，探究线段之间或角之间的关系，是考查学生数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的综合体现.在具体解题中，有时需要构造相应的辅助线，从而将所求或所证的量放在两个全等的三角形中进行证明或计算.常见的全等模型有：倍长中线模型；对角互补模型；手拉手模型（旋转模型）；三垂直模型等.
模型一倍长中线模型
【模型解读】倍长中线模型一般以三角形为背景，题中常有三角形中线（或中点）条件.通过延长中线后构造全等三角形解决问题.
【基本图形】
基本
图形
点D是BC的中点，通过延长AD到E，使得DE＝AD，构造说明
△DCE≌△DBA
基本
图形
点D是BC的中点，点E是AB上一点，通过延长ED到F，说明
使得DF＝DE，构造△BDE≌△CDF
【模型突破】
1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长
BE交AC于点F.求证：AF＝EF.
2.如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点F.
（1）求证：DF＝EF；
（2）如图②，过点D作DM⊥BC于M，若BC＝6，点D是AB的中点，求MF的长.
模型二对角互补模型
【模型解读】对角互补模型是一个特殊的四边形（两组对角分别互补），可通过四边形内角和为360°，从而得到其一个外角等于内对角，进而找到图形中的等角关系，得到全等问题中角度相等关系.
【基本图形】
基本
图形
已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠A＋∠BCD 说明
＝∠BCD＋∠DCE＝180°
基本
图形
△ABC中，点E，F，G分别在BC，AC，AB上，且∠GEF＋说明
∠A＝180°，则∠BGE＝∠AFE
【模型突破】
1.如图，在Rt△ABD中，AB＝AD，∠A＝90°，点E是AB上一点，且∠BDE＝15°，过点D作DC⊥DE，过点B作BC∥AD，BC与DC相交于C.求证：DC＝DE.
2.如图，在△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE分别交AB 于D，交BC于E，点G是AD上一点，且AG＝GE，点F在AC上，∠GEF＝80°.求证：BG＝EF.
模型三手拉手模型（旋转模型）
【模型解读】手拉手模型（旋转模型）是两个三角形具有公共的顶点，且公共顶点所在的四条线段两两对应相等，常通过角度的加减转化等角关系证明全等. 【基本图形】
基本
图形
已知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，则△BAE≌△CAD，说明
CD＝BE
基本
图形
说明△ABC和△ADE均是等边三角形，则△BAD≌△CAE，BD＝CE 【模型突破】
1.如图，菱形ABCD中，∠A＝110°，点E是菱形ABCD内一点，连接CE，将CE 绕点C顺时针旋转110°得到线段CF，连接BE，DF.求证：BE＝DF.
2.如图，过△ABC的顶点A作AE⊥AB且AE＝AB，AF⊥AC且AF＝AC，连接BF，CE交于点M.求∠EMF的大小.
模型四三垂直模型
【模型解读】三垂直模型常出现在正方形或矩形中，也可能在直角三角形中存在，常利用等角的余角相等进行角度转化.
【基本图形】
基本
图形
已知AE⊥AC，DC⊥AC，BE⊥BD，则∠E＝∠DBC，∠EBA 说明
＝∠BDC
基本
图形
已知AC⊥BC，AD⊥CE，BE⊥CE，则∠BCE＝∠CAD，∠CBE 说明
＝∠ACD
【模型突破】
1.如图，正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD的四条边上.
求证：AE＝BF.
参考答案
【核心母题剖析】
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，
∵AD⊥CF，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵BC⊥BF，∴∠CBF＝90°＝∠ACD，
∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF.
【核心归纳突破】
模型一、倍长中线模型
1．证明：如解图，延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG.
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，DG＝AD，
∴△BDG≌△CDA，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠CAD.
∵BE＝AC，∴BG＝BE，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴∠BEG＝∠FAE.
∵∠AEF＝∠BEG，∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF.
2．(1)证明：如解图1，过点D 作DG∥AC 交BC 于G ，
解图1
∴∠FDG＝∠FEC，∠FGD＝∠FCE，∠DGB＝∠ACB， ∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝DB ，∵CE＝DB ，∴CE＝DG ， ∴△DGF≌△ECF，∴DF＝EF.
(2)解：如解图2，过点A 作AN⊥BC 于N ， ∵AB＝AC ，∴BN＝CN ＝3，
解图2
∵DM⊥BC，∴DM∥AN，
∵点D 是AB 的中点，∴BM＝MN ，
连接DN ，∵点D 是AB 的中点，点N 是BC 的中点， ∴DN∥AC，由(1)知，△DNF≌△ECF， ∴NF＝CF ，
∴MF＝MN ＋NF ＝1
2
BC ＝3.
模型二、对角互补模型
1．证明：如解图，过点D作DF⊥BC于F.
∵∠A＝90°，B C∥AD，
∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴DF∥AB，
∵BC∥AD，∴四边形ABFD是平行四边形，∴DF＝AB，
∵AB＝AD，∴DF＝AD.
∵DE⊥DC，BE⊥BC，
∴∠BED＋∠C＝180°＝∠AED＋∠BED，
∴∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠DFC＝90°，
∴△DAE≌△DFC，∴DE＝DC.
2．证明：如解图，连接AE.
∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠EAB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠BAE＝∠C，
∴∠BEA＝∠BAC，
∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，
∴∠GEB＝∠FAE.
∵∠GAF＝100°，∠GEF＝80°，
∴∠AGE＋∠AFE＝360°－∠GAF－∠GEF＝180°，∵∠BGE＋∠AGE＝180°，
∴∠BGE＝∠EFA，
∴△BGE≌△EFA，∴BG＝EF.
模型三、手拉手模型(旋转模型)
1．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝110°，
∴BC＝CD，∠B CD＝110°，
∵CF是由CE绕点C顺时针旋转110°得到的，
∴∠ECF＝110°＝∠BCD，CF＝CE.
∴∠BCE＋∠ECD＝∠ECD＋∠DCF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴△BEC≌△DFC，∴BE＝DF.
2．解：∵AE⊥AB，FA⊥CA，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠FAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠FAB，∵AE＝AB，AF＝AC，
∴△BAF≌△EAC，
∴∠AEM＝∠ABM，
∵AE⊥AB，
∴∠ABE＋∠ABM＋∠BEM＝∠ABE＋∠AEB＝90°，
∴∠B ME＝90°，即EC⊥BF，∴∠EMF＝90°.
模型四、三垂直模型
1．证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，
∴△AEH≌△BFE，∴AE＝BF.。