专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(解析版)

专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题

一、几何图形面积公式

1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/2

2.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah

3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab

4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=22

2

b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah

若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2

也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。

6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/2

7.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 2

8.扇形面积计算公式

9．圆柱侧面积和表面积公式

（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2π

rh

2360r n s π⋅=lr s 2

1=或

（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2

+2πrh

10.圆锥侧面积公式

从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL

注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。

（1）圆的周长计算公式为：C=2πr

（2）扇形弧长的计算公式为：

（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。

二、用面积法解题的理论知识

1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容

1.证明面积相等的理论依据

（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

（2）同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

180

2360r n r n l ππ=⋅=

（3）平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

（4）同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

（5）同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

（6）三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

（7）三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/4

（8）三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/4

（9）有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

2.用面积法解几何问题的解题思路

（1）分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

（2）作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

（3）利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

（4）还可以利用面积解决其它问题。

【例题1】（2020•咸宁）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）

A．π

2−√2B．π−√2C．π

2

−2 D．π﹣2

【答案】D

【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．∵∠C＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB

=90⋅π×22

360−1

2

×2×2

＝π﹣2．

【对点练习】如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）

A．π B．2π C．3π D．6π

【答案】C．

【解析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，

∴∠C=120°，

∴图中阴影部分的面积是：=3π，

【点拨】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．

【例题2】（2020•重庆）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆