用二分法求方程的近似解教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计

广州市铁一中学 黄建武

一、学与教的基本面分析

1、学习内容及分析

本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学（人教A 版）必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解。 用二分法求方程的近似解的理论基础是函数零点存在性定理。

函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，函数与方程思想是本节课要渗透的重要思想。

二分法在必修3算法一章中是贯穿整个一章的重要范例，为必修3的算法作准备，也为学生进入大学后进行计算方法的学习提供了初步认识。基于此，本节课的重点内容是二分法基本思想的理解，要求学生结合函数图象，通过数形结合处理方程的方法，用二分法求方程的近似解。

2、学生学习的起点知识与技能分析

学生在学习本节课内容之前已学习了函数的零点，理解方程的根与函数零点之间的关系，有一定的数形结合思想能力，在此基础上让学生了解算法这一数学思想以及逐渐逼近的数学思想，培养学生数形结合的能力。但学生对于合理运用科学计算器，将现代信息技术与数学课堂的整合缺乏一定的认识，这些都给学生用逼近法求方程的近似解造成一定困难。因此在教学过程中，为学生创设熟悉的问题情境，多处启发学生，让学生领会二分法思想和归纳二分法的步骤。

3、该专题的学习特点及分析

本节课在学习函数的零点的基础上，学习求方程近似解的方法——二分法，教学中要侧重以下几点： （1）、二分法求近似解的条件

学习本节课后，有可能有学生会问是不是所有的方程都可以用二分法来求近似解？用二分法求方程近似解的条件：对于在[]b a ,上连续函数)(x f y =，若0)()(

)(x x f =在[]1,1-上存在零点0，但(1)(1)0f f ->。

（2）、初始区间的确定

若第一步初始区间完成了，接下来只需要迭代，也就是循环运算的过程，具体表现为不断“二分”搜索区间。教材中都是通过图象观察而得到方程的解的初始区间，因此如何作出函数图象是解决问题的前提。

（3）、二分法的终止

解题过程中，区间的“长度”被逐步缩小，直到区间符合精确度要求，我们就得到方程的近似解。 二、学与教的目标定位

本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步

理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识。但学生对于函数与方程之间的联系的认识还比较薄弱，对于函数的图象与性质的应用、计算器的使用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的困难。

所以根据教材的要求，学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下：

知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．

过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．

情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

三、学与教的重点与难点

学与教的重点：二分法的理解和操作流程。

学与教的难点：逼近思想的理解和近似解的选取。

四、学与教的方式与方法分析

本节课采用的是问题导学、数学探究的教学方式：通过问题引导、师生互动，并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生自主探究二分法的原理与步骤。

1、教学方式体现了以学生为主的教学理念

2、创设贴近学生生活的情境，激发兴趣，让学生在活动中体会数学思想

本节课开始，老师从学生解决实际问题中引出课题，通过这样来创设情境，不仅对学生产生很强的吸引力，学生也在思考的过程中体会二分法思想。通过分步提问，启发得出用二分法求方程近似解的步骤，体会逼近思想和算法思想，分散难点。

3、重视合作交流，重视探究过程

本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完整的学习过程，培养了学生思维能力。学生自主探究用二分法求方程的近似解；通过讨论交流总结用二分法求方程近似解的步骤。

本节课中进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性。整个课件都以PowerPoint为制作平台，充分体现了信息技术与数学课程的有机整合。

五、学与教的过程设计

（一）、创设情境、引入新课

设计意图：由学生身边发生的事情入手，激发学生求知欲。

情境：2011年10月4日受强台风“尼格”影响，广州市下暴雨，假设广州市中山一路的一段320m 电缆线路有一处出现了故障，请你帮忙设计一个维修方案迅速查出故障所在。

思路1：直接逐段排查．

思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点． 师：那么我们能否采用这种逼近的方法解决一些数学问题呢？ 引出课题——用二分法求方程的近似解。 （二）引导探究、方法建构

问题情境：假设线路故障点大概在建立适当坐标系的函数ln 26y x x =+-取到零点处位置，我们能否求出这个零点？若不能，能否找出其近似值？

师：我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般解决问题的方法。

问题1：不解方程，求方程0122=--x x 的一个正的近似解（精确度为1.0）。 设计意图：以往经验与方法不能用，激起进一步探索的欲望。

生：我画出12)(2--=x x x f 的图象（如图），发现正根在()3,2之间。 师：为什么可以确定这个正根在()3,2内？

生：因0)3(,0)2(>

设计意图：进一步将学生推向研究前沿，产生逐步逼近思想与二分法思想。

生：将区间()3,2一分为二，看零点在()5.2,2还是在()3,5.2内。 师：为什么？

生：对平分具有对称性，而且这样缩小区间所在范围也比较快。根据零点判断方法，我通过计算器得到

0)5.2(,0)2(>

师：我们离目标又近了一步，能不能将零点所在范围进一步缩小？

生：只要重复刚才步骤即可，取2和5.2的中点，将区间()5.2,2分为()25.2,2与()5.2,25.2，判断零点在哪个区间。

师：很好，又进了一步，区间范围进次缩小，如果重复以上步骤，零点所在范围会越来越小。 生：那要进行到哪一步停止呢？

师：由题目要求的精确度而定。所在区间()4375.2,375.2时，在精确度1.0（即2.375 2.43750.0625-=