灰色预测模型原理
灰色理论预测模型
灰⾊理论预测模型灰⾊理论通过对原始数据的处理挖掘系统变动规律，建⽴相应微分⽅程，从⽽预测事物未来发展状况。
优点：对于不确定因素的复杂系统预测效果较好，且所需样本数据较⼩；缺点：基于指数率的预测没有考虑系统的随机性，中长期预测精度较差。
灰⾊预测模型在多种因素共同影响且内部因素难以全部划定，因素间关系复杂隐蔽，可利⽤的数据情况少下可⽤，⼀般会加上修正因⼦使结果更准确。
灰⾊系统是指“部分信息已知，部分信息未知“的”⼩样本“，”贫信息“的不确定系统，以灰⾊模型（G,M）为核⼼的模型体系。
灰⾊预测模型建模机理灰⾊系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念，定义灰导数与会微分⽅程，进⽽⽤离散数据列建⽴微分⽅程形式的动态模型。
灰⾊预测模型实验以sin(pi*x/20)函数为例，以单调性为区间检验灰⾊模型预测的精度通过实验可以明显地看出，灰⾊预测对于单调变化的序列预测精度较⾼，但是对波动变化明显的序列⽽⾔，灰⾊预测的误差相对⽐较⼤。
究其原因，灰⾊预测模型通过AGO累加⽣成序列，在这个过程中会将不规则变动视为⼲扰，在累加运算中会过滤掉⼀部分变动，⽽且由累加⽣成灰指数律定理可知，当序列⾜够⼤时，存在级⽐为0.5的指数律，这就决定了灰⾊预测对单调变化预测具有很强的惯性，使得波动变化趋势不敏感。
本⽂所⽤测试代码：1 clc2 clear all3 % 本程序主要⽤来计算根据灰⾊理论建⽴的模型的预测值。
4 % 应⽤的数学模型是 GM(1,1)。
5 % 原始数据的处理⽅法是⼀次累加法。
6 x=[0:1:10];7 x1=[10:1:20];8 x2=[0:1:20];9 y=sin(pi*x/20);10 n=length(y);11 yy=ones(n,1);12 yy(1)=y(1);13 for i=2:n14 yy(i)=yy(i-1)+y(i);15 end16 B=ones(n-1,2);17 for i=1:(n-1)18 B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2;19 B(i,2)=1;20 end21 BT=B';22 for j=1:n-123 YN(j)=y(j+1);24 end25 YN=YN';26 A=inv(BT*B)*BT*YN;27 a=A(1);28 u=A(2);29 t=u/a;30 t_test=5; %需要预测个数31 i=1:t_test+n;32 yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;33 yys(1)=y(1);34 for j=n+t_test:-1:235 ys(j)=yys(j)-yys(j-1);36 end37 x=1:n;38 xs=2:n+t_test;39 yn=ys(2:n+t_test);40 det=0;41 for i=2:n42 det=det+abs(yn(i)-y(i));43 end44 det=det/(n-1);4546 subplot(2,2,1),plot(x,y,'^r-',xs,yn,'b-o'),title('单调递增' ),legend('实测值','预测值');47 disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']);48 disp(['预测值为： ',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);495051 %递减52 y1=sin(pi*x1/20);53 n1=length(y1);54 yy1=ones(n1,1);55 yy1(1)=y1(1);56 for i=2:n157 yy1(i)=yy1(i-1)+y1(i);58 end59 B1=ones(n1-1,2);60 for i=1:(n1-1)61 B1(i,1)=-(yy1(i)+yy1(i+1))/2;62 B1(i,2)=1;63 end64 BT1=B1';65 for j=1:n1-166 YN1(j)=y1(j+1);67 end68 YN1=YN1';69 A1=inv(BT1*B1)*BT1*YN1;70 a1=A1(1);71 u1=A1(2);72 t1=u1/a1;73 t_test1=5; %需要预测个数74 i=1:t_test1+n1;75 yys1(i+1)=(y1(1)-t1).*exp(-a1.*i)+t1;76 yys1(1)=y1(1);77 for j=n1+t_test1:-1:278 ys1(j)=yys1(j)-yys1(j-1);79 end80 x21=1:n1;81 xs1=2:n1+t_test1;82 yn1=ys1(2:n1+t_test1);83 det1=0;84 for i=2:n185 det1=det1+abs(yn1(i)-y1(i));86 end87 det1=det1/(n1-1);8889 subplot(2,2,2),plot(x1,y1,'^r-',xs1,yn1,'b-o'),title('单调递增' ),legend('实测值','预测值');90 disp(['百分绝对误差为：',num2str(det1),'%']);91 disp(['预测值为： ',num2str(ys1(n1+1:n1+t_test1))]);9293 %整个区间93 %整个区间94 y2=sin(pi*x2/20);95 n2=length(y2);96 yy2=ones(n2,1);97 yy2(1)=y2(1);98 for i=2:n299 yy2(i)=yy2(i-1)+y2(i);100 end101 B2=ones(n2-1,2);102 for i=1:(n2-1)103 B2(i,1)=-(yy2(i)+yy2(i+1))/2;104 B2(i,2)=1;105 end106 BT2=B2';107 for j=1:n2-1108 YN2(j)=y2(j+1);109 end110 YN2=YN2';111 A2=inv(BT2*B2)*BT2*YN2;112 a2=A2(1);113 u2=A2(2);114 t2=u2/a2;115 t_test2=5; %需要预测个数116 i=1:t_test2+n2;117 yys2(i+1)=(y2(1)-t2).*exp(-a2.*i)+t2;118 yys2(1)=y2(1);119 for j=n2+t_test2:-1:2120 ys2(j)=yys2(j)-yys2(j-1);121 end122 x22=1:n2;123 xs2=2:n2+t_test2;124 yn2=ys2(2:n2+t_test2);125 det2=0;126 for i=2:n2127 det2=det2+abs(yn2(i)-y2(i));128 end129 det2=det2/(n2-1);130131 subplot(2,1,2),plot(x2,y2,'^r-',xs2,yn2,'b-o'),title('全区间' ),legend('实测值','预测值'); 132 disp(['百分绝对误差为：',num2str(det2),'%']);133 disp(['预测值为： ',num2str(ys2(n2+1:n2+t_test2))]);。
灰色预测模型及其应用
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
4.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
第四章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是 根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于 科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述 和分析，并形成科学的假设和判断.
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
第8章+灰色预测方法
（6）本征灰数与非本征灰数
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作 为其“代表”的灰数；
非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作 为其“代表”的灰数。
则称此白数为相应灰数的白化值，记为
并用 (a) 表示以a为白化值的灰数。
如：托人代买一件价格为100元左右的衣服，可将100作
为预测衣服价格(100)的白化数，记为
(100) 100
从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次 型灰数。
（7）信息型灰数
因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。但到一定 的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。
a
（8）概念型灰数，也称意愿型灰数
指由人们的某种概念、意愿形成的灰数。
（9）层次型灰数
指由层次的改变形成的灰数。(宏观白,微观灰)
4.灰数白化与灰度 （1）有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白 化比较容易，可将其基本值为主要白化值。可记为
(a) a a 其中 a 为忧动灰元。此灰数的白化值为 (a) a
（2）对一般的区间灰数 [a, b] ，将白化取值为 ~ a (1)b [0,1]
息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系。
（2）灰色系统特点
• 用灰色数学来处理不确定量，使之量化。
• 充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
关键：如何使灰色系统白化、模型化、优化 灰色系统视不确定量为灰色量，提出了灰色系统
建模的具体数学方法，它能用时间序列来确定微分方 程的参数。
•灰色系统理论能处理贫信息系统。
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型是一种用于预测问题的数学模型，广泛应用于各个领域。
它在1982年由中国科学家GM灰所提出，因此得名为“灰色预测模型”。
灰色预测模型基于灰色系统理论，它假设事物的发展具有一定的规律性和趋势性，但也存在不确定性的因素。
它通过对已知数据的分析和处理，来预测未来的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是将已知数据序列分解为两个部分：灰色部分和白色部分。
灰色部分是由数据的数量级和函数形式决定的，因此可以用来预测未来的趋势。
白色部分则是由不确定的随机因素引起的，往往被视为噪声，不具备预测能力。
灰色预测模型有多种形式，其中最常用的是GM(1,1)模型。
该模型通过建立一阶线性微分方程来描述数据的变化趋势，然后利用指数累减生成灰色模型。
基于灰色模型，可以进一步进行累加、累减、累乘等操作，来实现更复杂的预测。
灰色预测模型在各个领域都有广泛的应用。
其中最典型的应用是经济预测领域，包括国民经济、金融市场等。
此外，它还可以应用于工业生产、环境保护、农业发展、医疗卫生等方面的预测。
灰色预测模型的优点是简单易懂、计算量小、适用范围广。
它可以对数据的趋势进行较为准确的预测，尤其适用于数据量较小或者不完整的情况下。
缺点是对数据的要求较高，数据的采
样点要均匀分布，并且在建立模型时需要进行一些参数的选择，可能存在主观性和不确定性。
总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，具有广泛的应用前景。
在实际应用中，需要对具体问题进行合理的建模和参数选择，以提高预测的准确性。
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
关于“灰色预测模型”讲解
7.8205 11.184
1
14.7185
1
1
1 1
y = [x (0)(2), x (0)(3), x (0)(4), x (0)(5)]T
= [3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
谢谢观赏！
有不足之处，请老师和同 学指正。若有疑问之处 ，请课后交流！
由于
涉及到累加列
(1) 的两个时刻的值，因此，
(1)
t
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
1 [x(i) (i) x(i) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
xxx(((000))M)(((N23)))xxx(((000))M)(((N12231212 [[[))x)xx(((111)))
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人
概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。
灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
第六章 灰色预测法
灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围内变化的灰 色量,所以随机过程是一个灰色过程. 灰色系统理论认为,尽管系统表象复杂,数据散乱,信息不充 分,但作为系统,它必然有整体功能和内在规律,必然是有序的. 在处理手法上,对灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分 布,而是通过对杂乱无章的原始数据的整理来寻找数的规律,这 叫数的生成. 对原始数据作累加处理后,便出现了明显的指数规律.通过对生 成数据建立动态模型,来挖掘系统内部信息并充分利用信息进行 分析预测. 灰色预测(grey prediction)是利用灰色系统理论就灰色系统 所作的预测.
概率统计研究的是"随机不确定"现象的历史统计规 律,考察具有多种可能发生的结果的"随机不确定"现 象中每一种结果发生的可能性的大小,其出发点是, 大样本,且对象服从某种典型分布. 灰色系统研究的是"部分信息明确,部分信息未知"的 "小样本,贫信息"不确定性系统,它通过对已知"部分" 信息的生成去开发了解,认识现实世界.着重研究"外 延明确,内涵不明确"的对象.
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
树高在20米至30米
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
X ( 0) = ( x ( 0) (1), x ( 0) (2),
令z
(1)
, x ( 0) (n))
(k ) =
(1)
1 (1) (1) ( x (k ) + x (k 1)) 2
python实现灰色预测GM（1,1）模型灰色系统预测灰色预测公式推导
python实现灰⾊预测GM（1,1）模型灰⾊系统预测灰⾊预测公式推导来源公式推导连接关键词：灰⾊预测 python 实现灰⾊预测 GM(1,1)模型灰⾊系统预测灰⾊预测公式推导⼀、前⾔ 本⽂的⽬的是⽤Python和类对灰⾊预测进⾏封装⼆、原理简述1.灰⾊预测概述 灰⾊预测是⽤灰⾊模型GM(1,1)来进⾏定量分析的，通常分为以下⼏类： (1) 灰⾊时间序列预测。
⽤等时距观测到的反映预测对象特征的⼀系列数量（如产量、销量、⼈⼝数量、存款数量、利率等）构造灰⾊预测模型，预测未来某⼀时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰⾊模型预测事物未来变动的轨迹。
(4) 系统预测，对系统⾏为特征指标建⽴⼀族相互关联的灰⾊预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。
上述灰⾊预测⽅法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进⾏预测，例如： 灰因⽩果律事件：在粮⾷⽣产预测中，影响粮⾷⽣产的因⼦很多，多到⽆法枚举，故为灰因，然⽽粮⾷产量却是具体的，故为⽩果。
粮⾷预测即为灰因⽩果律事件预测。
⽩因灰果律事件：在开发项⽬前景预测时，开发项⽬的投⼊是具体的，为⽩因，⽽项⽬的效益暂时不很清楚，为灰果。
项⽬前景预测即为灰因⽩果律事件预测。
（3）具有可检验性，包括：建模可⾏性的级⽐检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。
2.GM(1,1)模型理论 GM(1,1)模型适合具有较强的指数规律的数列，只能描述单调的变化过程。
已知元素序列数据：做⼀次累加⽣成（1-AGO）序列：其中，令为的紧邻均值⽣成序列：其中，建⽴GM(1,1)的灰微分⽅程模型为：其中，为发展系数，为灰⾊作⽤量。
设为待估参数向量，即，则灰微分⽅程的最⼩⼆乘估计参数列满⾜其中再建⽴灰⾊微分⽅程的⽩化⽅程（也叫影⼦⽅程）：⽩化⽅程的解（也叫时间响应函数）为那么相应的GM(1,1)灰⾊微分⽅程的时间响应序列为：取，则再做累减还原可得即为预测⽅程。
关于“灰色预测模型”讲解
集成学习可以通过组合多个基模型的预测结果来提高整体 预测性能。可以将灰色预测模型作为基模型之一，与其他 预测方法一起构建集成学习模型。
与模糊逻辑融合
模糊逻辑能够处理不确定性和模糊性问题，可以与灰色预 测模型相结合，提高模型在处理不确定信息时的预测性能 。
THANKS
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灰色差分方程
灰色预测模型的核心是建立灰色差分方程，通过对原始数据序列进行累加或累减 生成，构造出具有指数规律的数据序列，进而建立相应的微分方程进行求解。
适用范围及优势
适用范围
小样本建模
适应性强
预测精度高
灰色预测模型适用于数据量较 少、信息不完全、具有不确定 性和动态性的系统。它可以在 数据序列较短、波动较大、趋 势不明显的情况下，进行有效 的预测和分析。
04
灰色预测模型检验与评 估
残差检验法
01
02
03
残差计算
通过比较实际值与预测值 之间的差异，计算残差序 列。
残差分析
对残差序列进行统计分析 ，包括计算均值、方差等 指标，以评估模型的预测 精度。
残差图
绘制实际值与预测值的散 点图，以及残差序列的折 线图，直观展示模型的拟 合效果。
后验差检验法
金融市场分析
灰色预测模型可以用于分析金融市场的波动性和 趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
3
物价水平预测
利用灰色预测模型可以对物价水平进行短期和长 期预测，为政府制定物价调控政策提供依据。
社会领域应用案例
人口数量预测
通过收集历史人口数据，利用灰色预测模型可以对未来人 口数量进行预测，为政府制定人口政策提供参考。
关于“灰色预测模型 ”讲解
《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。
其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为重要和常用的预测模型之一。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，具有较高的预测精度和实用性。
然而，传统的灰色GM（1,1）模型在某些情况下仍存在模型参数不够准确、预测精度不高等问题。
因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化及其应用的研究具有重要意义。
本文将首先介绍灰色GM（1,1）模型的基本原理，然后探讨其优化方法，并最后分析其在不同领域的应用。
二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，主要用于处理小样本、不完全信息的数据。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。
其基本步骤包括：数据累加、建立微分方程、求解微分方程、模型检验等。
三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型的不足，学者们提出了多种优化方法。
其中，基于数据预处理、模型参数优化和预测结果修正的优化方法较为常见。
1. 数据预处理：通过对原始数据进行处理，如去趋势、归一化等，以提高模型的适应性和预测精度。
2. 模型参数优化：通过引入其他因素或变量，如时间序列的波动性、随机性等，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。
3. 预测结果修正：通过对预测结果进行修正，如引入专家知识、其他预测方法的结果等，进一步提高预测精度。
四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型领域为例，介绍其应用。
1. 经济学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测经济增长、股市走势等经济指标，为经济决策提供参考。
2. 农业领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、农业气候等指标，为农业生产提供指导。
3. 医学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测疾病发病率、死亡率等指标，为医学研究和卫生政策制定提供参考。
灰色预测模型的优化及其应用
偏残差灰色预测模型的优化
1 2 3
偏残差灰色预测模型的基本原理
通过对原始数据序列的偏残差进行修正，提高灰 色预测模型的精度。
优化方法一
考虑非等间距序列：在偏残差灰色预测模型中考 虑非等间距序列的影响，可以更准确地反映原始 数据的变化规律。
优化方法二
引入非线性函数：在偏残差灰色预测模型中引入 非线性函数，可以更准确地描述原始数据序列的 变化规律。
05
结论
研究成果总结
灰色预测模型在处理具有不完整、不确定信息的问题上具有优势，能够克服数据量 小、信息不完全等限制。
通过引入优化方法，灰色预测模型在预测精度、稳定性和泛化性能等方面都得到了 显著提升。
灰色预测模型在多个领域具有广泛的应用价值，如经济、环境、医学等，为相关领 域的科学研究提供了新的思路和方法。
灰色神经网络预测模型的优化
01
灰色神经网络预测模型的基本原理
利用神经网络的自学习能力，对灰色预测模型进行优化。
02
优化方法一
选择合适的网络结构：根据历史数据选择合适的网络结构，可以提高灰
色神经网络预测模型的泛化能力。
03
优化方法二
采用集成学习算法：将多个灰色神经网络模型的预测结果进行集成，可
以提高预测精度。
灰色预测模型与其他模型的组合研究
01
02
03
集成学习
将灰色预测模型与其他预 测模型进行集成，通过集 结多个模型的优点，提高 预测精度。
混合模型
将灰色预测模型与其他模 型进行混合，以充分利用 各种模型的优势，提高预 测性能。
多模型融合
将多个灰色预测模型进行 融合，通过综合多个模型 的预测结果，提高预测精 度。
基于大数据和人工智能的灰色预测模型研究
灰色预测模型
灰色预测模型1.模型建立灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。
灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。
由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。
预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。
灰色预测模型建立过程如下：1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。
2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。
将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。
利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ：()[]09625998705105851112704127627128453129988130756X =利用Matlab 软件对原是数列()0X 进行一次累加，得到新数列为()1X ，如表2：表2：新数列()1X 误差和误差率1、利用表2，拟合函数，如下：0.011624(1)92800439183784t x t e +=-2、精度检验值c ＝0.3067 （很好） P ＝0.9474 （好）3、得到未来20年的预测值：。
灰色预测模型
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)
ak
ˆ
x(
k
1
)
(
x(
1
)
)
e
,
k
1
,
2
,
,
n
1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k
1
)
x
(
k
1
)
x
(
k
lim
dt
t
t 0
而 （ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x
(
x
(
1
),
x
(
2
),
,
x
(
n
))
设原始数列为
(完整版)灰色预测模型
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
这表明
IAGO X (1) IAGO(பைடு நூலகம்AGO X (0) ) X (0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)
灰色预测
作m次累加：
X
X (1) (1) X (0) (1)
m
k X
i 1
k
m 1
i
X (1) (2) X (0) (1) X (0) (2) X (1) (1) X (0) (2) ...... X
(1)
( n) X (()) (i ) X (1) ( n 1) X (0) ( n)
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
（3）后验差检验
a.计算原始序列标准差:
S1
X i X
0
0 2
n
b. 计算绝对误差序列的标准差：
S2
i
0
0 2
n
c. 计算方差比：
S2 C S1
注：（1）原始数据不一定全部用来建模，数 据不同，模型不同。 （2）数据的取舍应保证建模序列等时矩、 相连，不得有跳跃出现。 （3）一般建模数据应当有最新的数据及其相 邻数据构成。
三、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 1 i , 按预测模型计算X
1 0 X 1 X 1 （3）取
b ak b 0 1 ˆ X k 1 X 1 e a a
k 1, 2..., n
（4）还原值
ˆ 0 k 1 X ˆ 1 k 1 X ˆ 1 k X
灰色预测法
王卉
灰色预测
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，
常用预测模型
常用预测模型（一） 灰色预测模型1. 灰色系统理论灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测,就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此这一数据集合具备潜在的规律,灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度,即进行关联分析,并对原始数据进行生成处理,来寻找系统变动的规律,生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势状况。
灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间。
2．灰色预测理论模型数学形式在通过灰色理论建立预测模型时，常需要先进行累加或累减后计算数据列间的关联度，再建立最终的预测模型。
如原始数据列为： ()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,...3,2,1=；通过累加后变为： ()()()()()()()()(){}n X X X X X 11111,...3,2,1=；那么进行m 次累加后有：()()()()∑=−=ki m m i X k X 11关联度：是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
设：()()()()()()()(){}n X X X k X 0000ˆ,...,2ˆ,1ˆˆ=，()()()()()()()(){}n X X X k X 0000,...,2,1= ()()()()()()()()()()()()()()()()k X k X k X k X k X k X k X k X00000000ˆmax max ˆˆmax max ˆmin min −+−−+−ρρ 则关联系数定义为：式中：()()()()k X k X00ˆ−为第k 个点()0X 和()0ˆX 的绝对误差；()()()()k X k X 00ˆmin min −为两级最小差； ()()()()k X k X00ˆmax max −为两级最大差；ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
灰色预测模型
常用的灰色预测有五种： （1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到 某一特征量的时间。
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
用差分代替微分，又因等间隔取样，
t(t1)t1, 故得
x(1 )(2 ) x(1 )(2 )x(1 )(2 ) x(1 )(1 )x(0 )(2 ), t
类似地有
x(1)(3)x(0)(3),..., x(1)(N )x(0)(N ).
t
t
于是，由式（7.3）有
x (0)(2) a x (1)(2) u ,
就可得原始序列
x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
可得原始序列
x ( 0 ) 预报值.
(1)残差检验：分别计算
7.2 灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
7.2 灰色系统的模型
7.2 灰色系统的模型
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时 间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理. 注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解 一阶常微分方程（7.3）.
[3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
7.3 销售额预测