广东省数学高三理数4月(二诊)调研测试试卷
广东省潮州市数学高三下学期理数4月第二次教学质量检测试卷
广东省潮州市数学高三下学期理数4月第二次教学质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·白山模拟) 若集合A={x∈N|﹣1＜x＜5}，B={y|y=4﹣x，x∈A}，则（）A . A∪B={1，2，3}B . A=BC . A∩B={1，2，3}D . B⊆A2. （2分）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·湛江期中) 已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A . 或﹣1B . 2或C . 2或﹣1D . 2或14. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 曲线y=x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（）A . （2，8）B . （﹣2，﹣8）C . （1，1）或（﹣1，﹣1）D .5. （2分）在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A . G＞F＞EB . E＞F＞GC . F＞E＞GD . F＞G＞E6. （2分） (2018高三上·晋江期中) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位7. （2分）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为,则运营的年平均利润最大时，每辆客车营运的年数是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A . 36种B . 18种C . 24种D . 12种9. （2分）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·浙江期末) 已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·营口期中) 若存在x＞1使成立，则a的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一下·重庆期中) 下列命题正确的是（）A . 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试 数学 含解析
高三数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4本试卷主要考试内容：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知复数z 在复平面内对应的点为(a,b)，且lz+il =4.则（）A.a 2 +(b+l)2=4 c.(a+1)2+b 2 =4B.a 2+(b+l}2=16 D.(a+J)2+b 2 =162已知函数J(x)=-x 2+a.x+]在(2,6)上不单调，则0的取值范围为（）A.(2,6) c.(4,12)B （女，2)L.,(6，钩）D （女，4)U [12，如）3已知椭圆的长轴长是短轴长的寸7倍，则该椭圆的离心率为（打＿7A而＿7B c平D孚4把函数f (x) = 3sin3x 的图象向左平移上个砐小正周期后，所得图象对应的函数为（）4A.y =3sin（三）B.y =3sin（三）C.y =3c os3xD.y =-3co s3x5已知I,m 是两条不同的直线，a,/3是两个不同的平面，且lea,m 己/3，下列命题为真命题的是（）A若l//m ，则all/3C若l..lm,则l..lfJB若all/3，则LIi/3D若a 上j3，则L//m6如果方程F(x,y)=O 能确定y是X的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数隐函数的求导方法如下在方程F(x,y)=O 中，把y看成X的函数y=y(x)，则方程可看成关千X的恒等式F(x,y(x))=O,在等式两边同时对l求导，然后解出y'(x)即可例如，求由方程X 2+）12=1所确定的隐函数的导数y'，将方程X+ y =l 的两边同时对E求导，则2x+2y-y'=0(y= y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得y '=-�(y:;cO)那么曲线.xy +ln y = 2在点(2,1)处的切线方程为（）y A.x-3y+1 =0 B.x+3y-5=0 C.3x-y-5=0 D.2x+3y-7=07如图，正四棱台容器ABCD-A 1B i C 1队的商为12cm,AB= 10cm , AiB, = 2cm,容器中水的商度为6cm 现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm,若忽略该容器壁的厮度，则小铁球的半径为（）D乍芦cA霾c mB产cm 冗c.lc m D产cm冗8在研究变量写y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x.,Y,) • (X2, Y2)•…．（x 5,y 5),(6, 28), (0, 28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为y=－x+－－10166 ，现发现数据6,28和7 7（）(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为y=4x+m,且主Y;= 140,则m=i=I（）A .8B l2 C.16 D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9若表示梊合M和N 关系的Venn 图如图所示，则M,N 可能是（）GA.M ={0,2,4,6}, N={4}B.M={xlx 2<1}, N={xlx>-1}C.M={xl y =Igx}, N=伈|y=e x +s} D .M ={(x,y)lx 2 = y 2}, N ={(x ,y)l y =x}10已知丛ABC 内角A,B, C的对边分别为a ,b, c, 0为6.ABC 的蜇心，cos A ＝一，1 A0=2,则（）l l A. A O=..:.AB+..:.Ac B.AB-AC�344c ．心ABC 的面积的最大值为3嘉5D a的最小值为2fs11已知定义在R 上的函数f(x)满足J(2+x)-f(2-x) =4x 若f(2x-3)的图象关千点(2,1)对称，且f(O)=O.则（A.f(x)的图象关于点(I,l)对称B 函数g (x)= f(x)-2x 的图象关于直线x=2对称C函数g (x)=f(x)-2x 的周期为2 D./(1)+/(2)+···+ /(50)=2499 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的衣业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机．正值春耕备耕时节，某智慧衣场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共＿＿＿＿有种不同的选择方案13．已知sin 2a=sin2a,则tana=,22X4已知F l F 2分别是双曲线E.．．一'. 412tan（气）＝=l 的左、右焦点M 是E 的左支上一点，过片作L.fiMF 2角平分线的垂线，垂足为N.0为坐标原点，则IONJ=_.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(13分）在等差数列{a,,}中，a,=6，且等差数列{a,,+a,,+1}的公差为4(I)求a lO;(2)若九＝＋a妇，数列｛丸｝的前fl项和为S,＇，证明：S,,< 2n2 + 2n + �a,，a,1+l 816.(15分）为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛升展群众性文化活动，某村干部在木村的村民中进行问卷谪查，将他们的成绩（满分：lOO分）分成7组：［30,40), [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90) I [90,100]整理得到如下频率分布臼方图狈率／组距0.031.............0.0151·············t···t···O O I L.....．．．．Ll....0. 30 40'50 60 70 80 90 100成绩／分(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)从成绩在[30,40),[80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记x,求X的分布列与期望这3人中成绩在[80,90)内的村民人数为17.(15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB上平面ABCD,底面ABCD为菱形，LABC=60°,AB＝拉PA=✓2PB=2,E是CD的中点pDB(l)证明：平面PBC.l平面PAE(2)求二面角D-AP-E的余弦值18.(17分）设抛物线C:Y2 =2px (p>0)的焦点为F，已知点F到圆E,(x+3)2+y2=1上一点的距离的最大值为6(l)求抛物线C的方程(2)设0是坐标原点，点P(2,4),A, B是抛物线C上异千点P的两点，宜线PA,PB与y轴分别相交于，NM两点（异干点0)，且0是线段MN的中点，试判断归线AB是否经过定点若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由19.(17分）已知函数f(x)=lnx－竺e'(I)当a=l时，证明：f(x)是增函数(2)若f(x）�x恒成立，求0的取值范围ln2. ln3..lnn �.. e(l-e-")(3)证明：－－＋－－＋...+－－三n-(n之2,nEN)．2 3 n e-l高三数学参考答案2 1.8 由题意得z=a+bi,所以la+(b+l)il =4,则矿＋（b+l)2= 16.2.C f(x)＝－（二）2+I ＋已，则2＜己＜6,得4<a<122 4 23.D 设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,由题意得a ＝｛了b,则e =－=＝——-l、嘉归aa74.C由题意得f(x)的最小正周期为兰，则所求函数为3y =3sin3（主）＝3sin（三）＝3cos3x5.8 若l//m ，则a 与/3的位置关系不确定，A 不正确若all/3，则l/1/3，B 正确若l.lm,则［与/3的位暨关系不确定，C 不正确．若a...L/3，则［与m 的位置关系不确定，D 不正确l6. B 由x y+l n y=2,得（xy ）＇+（In y)'=2'，则y ＋对＋－y'=O,将点(2,1)的坐标代入，得y1+2y'+y'=O,即y' 1＝－一，所以所求切线的方程为I = y -1 = --:'.:-(x -2),即x +3y -5=03 （） 3 10+27. A由题意得未放入小铁球之前，水位所在正方形的边长为＝6cm,放入57个小铁球之后，水位6 + 21 所在正方形的边长为——=4cm,所以57个小铁球的体积之和为－x 3x(16 + 24 + 36) = 76cm 3设小铁2 34球的半径为R ，则57x �灯R 3=76cm 3,得R=lcm8.C 设未剔除这两对数据前的X,y 的平均数分别为「r,y ，剔除两对数据后的X,y 的平均数分别为5-＇_, _,x, y 因为LY;=140,所以y=－ I5 i=lLJ; =28，则X ＇＝上二2＝竺二竺因为这两对数据为(6,28)和i=14 4 (0,28)，所以y={x (l40+56)= 28,所以正气7xy-166)=3,所以7 10_，（7x -6-O)28-mX= L____L = 3 = ，解得m=l6.5 49. ACD 由图可得NI>M, {4} I> {0,2,4,6}, { yl y = e '+s} = (5,+oo) J> {xly = lgx} = (0,+oo),A, C正确{x lx >-1伈{xlx 2<1},{(x ,y)ly=x 怍{(x,y)lx 2= y 2}'B 错误，D 正确lO BC 取BC的中点D，连接AD（图略），则兀5=2万万＝1万扣丿兀弓，A错误3 3 3—2一2一2一—由AO=!..AB+!..Ac,得9AC=AB +AC +2AB·AC.则3 336 =c2 +b2 +�be� 2bc+�bc＝旦be,即bc�15,当且仅当b=c=』了时，等号成立，5 5 5所以AB·AC=bccosA=�bc�3, B正确52拓1拆由cosA=�,得sinA=－—，所以s l;;ABC= �be s in A=—-bc�3石，C正确5 5 2 52 2由36= c2 +b2 +:::be,得c2+b2 = 36-:::bc,5 5森，D错误所以矿＝b2+ c2 -2bccosA =36－乌bc�24,得店211. ABO 因为J(2x-3)的图象关千占(2,1)对称，所以/(2.x-3)+/(2(4-x)-3)=2,即/(2.x-3)+ f(5-2x) =2,从而J(x-3)+J(5-x)=2.则J(x)的图象关千点(1,1)对称，A正确由J(2+x)-f (2-x) =4x.可得/(2+x)-2(2+x)= f (2-x)-2(2-x)，则g(2+x)=g(2-x)，所以g(x)的图象关千直线x=2对称，B正确g(l +x)+ g(l-x) =J(l +x)-2(1+x)+ J(l-x)-2(1-x) =J(l+x)+ J(l-x)-4=-2,则g(x)的图象关千点(1,-1)对称，故g(x)是以4为周期的函数，即g(x+4)=g(x),c错误因为g(O)=J(0)-2x0=0,g(l)=-1. g(2)=-2-g(0)=-2, g(3)=g(l)=-1.所以/(1)+ /(2)+· ·-+ /(50) =g(l)+ g(2)+···+ g(50)+ 2(1 +2+· ··+50)=-4x l2-l-2+2550=2499, D正确12.150 不同的选择方案共有＠c�= 150种l3 0或2;l或－3由题意得sin汲＝2sinacosa,得sina =0或sina-2cosa=0,即tana=O或2所以ta n（气）＝ta叶＝］或ta n(a＋勹＝t a n g+1=－34 J1-tan al4 2 延长F2N,MF;，使它们交千点P（图略）因为MN平分乙F;MF2,F2N l. MN,所以I MPl=IMF;|，则伊Fil=I M月－IMFil= IMF;I-IMFi l =2a =4故IONl=�IPF.1=2215.(1)解设忆｝的公差为d，由题意得生＋�-(a,+叫＝生－tli=2d=4,得d=2,所以a lO＝少＋8d=22(2)证明：由（I)得a,,=a2+(n-2)d =2n+2,1.1/ 1 1b,, ＝4(n+l)（n+2)＋4n=4(m二）＋4n,则凡＝皂二－¾+＋上一气＋4x空凶4l2 3 3 4 n+l n+2J 21 1 1= 2n2 + 2n. +2-____:'._ < 2n.2 + 2n +2.8 4n+8 816解：（I)由图可知，10(3a+0.01+0.015+0.03x2) = 1,解得a=0.005该村村民成绩的平均数约为(35+45+95)x0.05+(55+65)x0.3+ 75x0.15+85x0.l = 64.5 (2)从成绩在[30,40),[80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在[30,40)内的村民有6x0.05=2人，0.05+0.1则成绩在[80,90)内的村民有4人从中任选3人，则X的取值可能为l,2, 3,P(X =1)＝孚½,P(X =2)＝等分P(X=3)＝等叶5则X的分布列为汇1 3 1故E(X)=lx-;+2x-:;+3x-;=2.5 5 517.(I)证明：连接AC因为底面ABCD为菱形，乙A.BC=60°．所以6ACD是正三角形又E为CD的中点，所以AE..lCD,则AE上AB因为平面PAB.l平面ABCD,平面PAB n平面ABCD=AB,所以AE.l平面PAB因为PBc平面PAB，所以AE上PB因为AB=✓2PA=✓2,P B =2,所以P A2+ P B2 = AB2,则PA上PB因为PA(AE=A,所以PB.l平面PA E又PBc平面PBC.所以平面PBC..l平面PAE(2)解：取AB的中点0,连接OC,OPD以0为坐标原点，OB. OC , OP所在直线分别为X轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间且角坐标系，则A(-1,0,0),B(l ,0,0), P(0,0,1), D(-2，石，o),所以A户＝（．l ,O,l), AD=(-1，石，o),BP =(-1.0,1)设平面P A D 的法向量为m=(x ,y,z )则由｛严芒＝0，可得x +z =0,m AD=0, {－X +＄y=0,令y=l,得m ＝（石，l ，一../3)BP 是平而P AE 的一个法向量，所以CO S (示,B P )＝皿立二－2"3＝一五|m||B P 1五x 石7由(I)可知，由图可知，二面角D -AP -E 为锐角，所以二面角D -AP -E 的余弦值为妇718．解：(1) F点的坐标为（沪），点F到圆E:（x+3)2+y 2 =1上一点的距离的最大值为f+3+1=6,解得p=4,2则抛物线C的方程为y 2=8x(2)归线AB经过定点(0,-2)，理由如下：设且线AB的方程为x =t y +m..A (x "y 1), B 伈，y 2)联立方程组{?t y +m ，整理得y2-8ty -8m = 0,y" =8x ,则L!.= 64i 2 + 32m > o, Y 1 + Y 2 = 8t, Y 1 Y 2 = -8m 直线PA的方程为y -4y-4=�(x -2 X 1 -2)'令x=O,得Y M =4x 1 -2y 1 ，同理可得Y ,v = 钰－2y 2x 1 -2凸－2因为0是线段MN的中点，所以4x 1 -2y 1, 4x 2 -2y 2+�=0,X 1 X 2-2整理得8环－8（凸飞）－2(x 1y产初）＋4(y,+ Y 2)=0.即(y l )，2)2.l-（y 1五）2＋2y l y 2 --y心(y 1五）＋4（y 1+)分，）＝0，4则矿－8t 2-2m+2tm+4t =0,所以(m-2t)(m+4t-2)=0若m+4t-2=0,则直线AB经过点P,不符合题意．若m-2t=0,则直线AB的方程为x =ty+2t,经过定点(0,-2)1 1-x e '+x 2-x 19.(I)证明：当a=l 时，f(x)=li 1x－三，则f'(x)＝－－—丁＝e x x e xe令g(x)=e'＋入:2-x，则g'(x)=e x +2x-1>0在（0，如）上恒成立，则g(x)在(O,+oo）上单调递增，则g(x)>g(O)=l.故f'(x)>0在（0，如）上恒成立，f(x)是增函数e x l n x-xe(2)解：当x >O时，f(x);S;x等价千a >Xe 'l n x -xe ',.,,,., 1 _ \ _e x (x -l) (I n x -x -l) 令h(x )=，则h'(x )= x 2，令(fJ(x)=ln x-x-1.则<p '(x)＝匕三，x x 当XE(0,1)时，咧(x)>O,rp(x)单调递增，当xE(l，吵）时，咧(x)<O,rp(x)单调递减，所以rp(x)::;rp(l )=-2所以当XE(0,1)时，h'(x)> 0, h(x)单调递增，当xE(l ，七寸时，h'(x)< 0, h(x)单调递减，则h(x)::;h(l)=-e，所以a习h(x)11沁，即a�天比如的取值范围为［－e，伈3)(3)证明：由(2)可知，当a＝书时，有ln x+二二:$;x ,则扭王三］－」一，e •-1 -·· · · x -· e •-1 所以h12 三，l Inn 了了＇…，了�1－了，故In 2, In 3,, In n � 1.., \ (I ., 1 l.. e (1 -e -")了气＋＋丁:$;(n -l )－(了++了)=n -e -l。
2020年4月广东省广州市、深圳市学调联盟2020届高三下学期调研联考(二)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省广州市、深圳市学调联盟2020届高三毕业班下学期第二次联合调研考试数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.2.用2B 铅笔将考生号及试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}24,x 2A x x B x x =<=<-，则A B =（ ） A. {}22x x -<< B. {}2x x < C. {}1x x >- D. {}2x x >-【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ,根据并集的概念即可得结果.【详解】由{}{}2422A x x x x =<=-<<,{}{}21B x x x x x =<-=<,则{}2A B x x ⋃=<故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,以及集合并集的运算,属于基础题.2.设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又复数z 对应的点为Z ,(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()(1)()f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ,A ,B 三点为顶点的图形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】假设cos sin z i θθ=+,根据模长公式构造关于()f z 的函数,从而可确定当()f z 取最大值时,θ的取值,从而求得z ；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长,从而可确定三角形形状. 【详解】1z = ∴可设cos sin z i θθ=+()()()()1cos 1sin cos sin z z i i i i θθθθ∴+-=++--22cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin i i i i i θθθθθθθθθθ=--+--+++ ()()cos sin 1cos sin 1i θθθθ=++-++()f z ∴==当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,()f z 取最大值 即当2,42k k Z ππθπ+=+∈,即2,4k k Z πθπ=+∈时,()f z 取最大值。
广东省普通高中(粤光联考)2024届高三上学期第二次调研考试数学含答案
广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的学校、姓名、班级、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡名题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足()22i i z -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合{}23830A x x x =--≤，{}1B x x =>，定义集合{},A B x x A x B -=∈∉且，则A B -=（）A.1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]1,33.已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，则“()f x ，()g x 为周期函数”是“()()f x g x +为周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知1F ，2F 是椭圆1C ：()22221x y a b a b +=>>的两个焦点，双曲线2C ：222213x y m m -=的一条渐近线l 与1C 交于A ，B 两点.若12F F AB =，则1C 的离心率为（）A.2 B.21-1-5.在8331x ⎛+++ ⎝的展开式中，所有有理项的系数之和为（）A.84B.85C.127D.1286.已知{}n a 是等差数列，数列{}n na 是递增数列，则（）A.10a > B.20a < C.30a > D.40a <7.如图，直线1y =与函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象的三个相邻的交点为A ，B ，C ，且AB π=，2BC π=，则()f x =（）A.22sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B.2sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 333x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.sin 32x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD EFGH -就是一个半正多面体，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离为（）C.112D.102二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题含答案解析
广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题一、单选题(共24 分)1已知集合A={x|1≤x≤3}B={x|y=ln(2−x)}则A∩B=（）A[1,2)B(1,2)C(1,3)D(1,3]【答案】A【分析】先求集合B中的x的取值范围再根据交集运算求解即可【详解】∵B={x|y=ln(2−x)}∴B={x|x<2}则A∩B=[1,2)故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算属于基础题2复数z满足iz=2+i其中i为虚数单位则|z|=（）A1B√3C2D√5【答案】D【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得z=2+ii=1−2i|z|=√1+4=√5故选：D3已知向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)．若a⃗∥b⃗⃗则m=（）A6B−6C−32D2 3【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解【详解】由向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)且a⃗∥b⃗⃗则−3×2−m=0解得m=−6．故选：B4已知a=ln12,b=(12)−3,c=tan15°1−tan215°则abc的大小关系是（）A a>b>cB c>b>aC b>c>aD a>c>b 【答案】C【分析】分别化简a,b,c即可明显比较出三者大小关系【详解】因为a=ln12=−ln2<0b=(12)−3=8c=tan15°1−tan215°=12tan30°=√36<1所以b>c>a故选：C5在一次篮球比赛中某支球队共进行了8场比赛得分分别为：2930382537404232那么这组数据的第75百分位数为（）A375B38C39D40【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52而8×75%=6故第75百分位数为38+402=39故选：C6金针菇采摘后会很快失去新鲜度甚至腐烂所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mln(t+a)(a>0)．若采摘后1天金针菇失去的新鲜度为40%采摘后3天金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知√2≈1.414结果取一位小数）（）A40天B43天C47天D51天【答案】C【分析】由已知条件两式相除求出a设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知{mln(1+a)=0.4mln(3+a)=0.8相除得ln(3+a)ln(1+a)=2ln(3+a)=2ln(1+a)(1+a)2=3+a因为a>0故解得a=1设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1又mln(1+1)=0.4所以ln(t+1)ln2=10.42ln(t+1)=5ln2=ln32(t+1)2=32t+1=√32=4√2=4×1.414=5.656t=4.656≈4.7．故选：C．7已知F1F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点点P在椭圆上且在第一象限过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线垂足为AO为坐标原点若|OA|=√3b则该椭圆的离心率为（）A2√23B√63C√33D√23【答案】B【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系再由离心率的概念求解．【详解】设F1P与F2A交于点Q由题意PA⊥F2APA平分∠F2PQ则|PQ|=|PF2|A是F2Q中点|QF1|=|PF1|+|PQ|=2a 而O是F1F2中点故OA是△F1F2Q的中位线|QF1|=2|OA|则2a=2√3ba=√3bc2=a2−b2=23a2e=ca=√63故选：B8已知函数f (x )=e |x|−12g (x )={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0若关于x 的方程g(f (x ))−m =0有四个不同的解则实数m 的取值集合为（ ） A (0,ln22) B (ln22,1) C {ln22} D (0,1)【答案】A 【分析】设t =f(x)根据f(x)的解析式可得f(x)的单调性、奇偶性即可作出f(x)的图象即可求得t 的最小值利用导数判断g(x)的单调性结合t 的范围作出g(t)的图象数形结合可得 m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意即可得答案 【详解】设t =f(x)则g(t)−m =0有四个不同的解 因为f(−x)=e |−x|−12=e |x|−12=f(x)所以t =f(x)为偶函数且当x >0时f(x)=e x −12为增函数 所以当x ≤0时t =f(x)为减函数 所以t min =f(0)=e 0−12=12即t ≥12当x >0时g(x)=(x −1)lnx则g ′(x)=lnx +1x(x −1)=lnx −1x+1令g ′(x)=0解得x =1所以当x ∈(0,1)时g ′(x)<0g(x)为减函数 当x ∈(1,+∞)时g ′(x)>0g(x)为增函数 又g (12)=−12ln 12=ln22作出x >0时g(x)的图象如图所示：所以当m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点且设为t 1,t 2作出t =f(x)图象如下图所示：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意 综上实数m 的取值范围为(0,ln22)故选：A 【点睛】解题的关键是根据解析式利用函数的性质作出图象将方程求根问题转化为图象求交点个数问题考查分析理解数形结合的能力属中档题 二、多选题(共 9 分)9已知数列{a n }的前n 项和为S n =11n −n 2则下列说法正确的是（ ） A {a n }是递增数列B a 2=8C数列{S n}的最大项为S5和S6D满足S n>0的最大的正整数n为10【答案】BCD【分析】由a n与S n关系求通项判断AB由二次函数性质判断CD．【详解】由S n=11n−n2得当n=1时a1=10当n≥2时a n=S n−S n−1=11n−n2−11(n−1)+(n−1)2=−2n+12n=1时也满足故a n=−2n+12a2=8A错误B正确故当n=5或n=6时S n最大故C正确由二次函数y=11x−x2的对称轴为112满足S n>0得0<n<11最大的正整数n为10故D正确故选：BCD10某班级到一工厂参加社会实践劳动加工出如图所示的圆台O1O2在轴截面ABCD中AB=AD= BC=2cm且CD=2AB则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为3√3cm2cm3C该圆台的侧面积为6πcm2D该圆台的体积为7√3π3【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项【详解】如图作BE⊥CD交CD于E易得CE=CD−AB2=1则BE=√22−12=√3则圆台的高为√3cm A错误；圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3cm2B正确；圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π故C正确；圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π⋅4π)=7√3π3cm3D正确故选：BCD11某校高二年级在一次研学活动中从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观要求所有景点全部参观且不重复记“第k站参观甲地的景点”为事件A k k=12…7则（）A P(A6)=37B P(A2∣A1)=13C P(A1+A2)=27D P(A2A3)=1249【答案】AB【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项继而根据条件概率的计算公式可判断B选项结合对立事件判断D选项【详解】由题意可得P(A6)=C31A66A77=37,A正确；P(A1)=C31A66A77=37,P(A2A1)=A32A55A77=17,P(A2∣A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13故B正确；由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57C错误；P(A2A3)=C31C41A55A77=1242=27,所以D错误故选：AB三、单选题(共3 分)12已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)则ω的可能取值为（）A127B95C67D35【答案】ABD【分析】由三角函数的性质判断周期后求解．【详解】f(x)在[−π3,π6]上单调则T2≥π6−(−π3),T≥π而f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)有以下情况①4π3−π6=7π6=kT,k∈Z而T≥π则k=1T=7π6ω=2πT=127②4π3−(−π3)=5π3=kT+T2,k∈Z而T≥π则k=1T=10π9ω=2πT=95或k=0T=10π3ω=2πT=35综上ω的可能取值为1279 5 3 5故选：ABD四、填空题(共12 分)13在(x+2x )5的展开式中x3的系数是___________【答案】10【分析】由二项式定理求解．【详解】(x+2x )5的展开通项为T r+1=C5r x5−r(2x)r=C5r⋅2r x5−2r当r=1时x3的系数为10故答案为：1014已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l与x轴平行的直线与l和C分别交于AB两点若|AF|= |BF|则|AB|=______【答案】4【分析】抛物线的定义结合题意得到△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H |AB |=2|FH |即可得出答案 【详解】由抛物线的定义可知|AF |=|BF |=|AB |△ABF 为等边三角形 设准线l 与x 轴交于点H 则|FH |=2|AB |=2|FH |=4 故答案为：415已知点A (2,−1,3)若B (1,0,0)C (1,2,2)两点在直线l 上则点A 到直线l 的距离为______ 【答案】3 【分析】先求与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量u ⃗⃗然后由公式d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2可得 【详解】依题意AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,−3)而BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2) 故与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量为u ⃗⃗=√2√2)则所求距离d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2=√11−2=3 故答案为:316已知正四面体ABCD 的棱长为2P 为AC 的中点E 为AB 中点M 是DP 的动点N 是平面ECD 内的动点则|AM|+|MN|的最小值是_____________【答案】√33+36【分析】取CE中点O先由OP⊥面CDE得N在线段DO上再把△PDO沿PD翻折到平面APD上得到|AM|+ |MN|的最小值即A到OD的距离再借助三角函数的知识求出最小值即可【详解】取CE中点O连接DO,OP由正四面体可知DE⊥AB,CE⊥AB又DE∩CE=E∴AB⊥面CDE又OP∥AB∴OP⊥面CDE当|AM|+|MN|最小时MN⊥面CDE故N在线段DO上由OP⊥面CDE可得OP⊥OD又OP=12AE=14AB=12DP=√22−12=√3OD=√3−14=√112将△PDO沿PD翻折到平面APD上如图所示：易知∠ADP=30∘sin∠ODP=OPDP =2√3cos∠ODP=ODDP=√112√3,则sin∠ODA=sin(∠ODP+30∘)=sin∠ODPcos30∘+cos∠ODPsin30∘=3+√3312故|AM|+|MN|的最小值即A到OD的距离即AD⋅sin∠ADO=2×3+√3312=3+√336故答案为：√33+36五、问答题(共6 分)已知{a n}为等差数列{b n}是公比为正数的等比数列a1=b1=2a2=2b1−1b3=2a2+217 求数列{a n}和{b n}的通项公式；18 设数列{c n}满足c n=1a n log2b n记{c n}的前n项和为S n求S2023【答案】17 a n=n+1,b n=2n18 20232024【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解（2）由裂项相消法求解．【17题详解】设{a n}的公差为d{b n}的公比为q(q>0)由题得{2+d=2×2−12q2=2(2+d)+2解得{d=1q=2则a n=n+1,b n=2n【18题详解】c n=1a n log2b n=1n(n+1)=1n−1n+1S2023=1−12+12−13+⋯+12023−12024=20232024六、解答题(共18 分)如图已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中所有棱长均为2底面ABCD是正方形侧面ADD1A1是矩形点P为D1C1的中点且PD=PC19 求证：DD 1⊥平面ABCD ；20 求平面CPB 与平面DPB 的夹角的余弦值 【答案】19 证明详见解析 20√55【分析】（1）通过证明DD 1⊥AD,DD 1⊥CD 来证得DD 1⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求得平面CPB 与平面DPB 夹角的余弦值 【19题详解】设Q 是CD 的中点连接PQ 由于P 是C 1D 1的中点所以DD 1//PQ 由于PD =PC 所以PQ ⊥CD 所以DD 1⊥CD 由于四边形ADD 1A 1是矩形所以DD 1⊥AD 由于CD ∩AD =D,CD,AD ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥平面ABCD 【20题详解】由于四边形ABCD 是正方形结合（1）的结论可知AD,CD,DD 1两两相互垂直 以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D (0,0,0),P (0,1,2),B (2,2,0),C (0,2,0)DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)设平面DPB 的法向量为m ⃗⃗⃗=(x,y,z )则{m ⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y +2z =0m ⃗⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y =0 故可设m ⃗⃗⃗=(2,−2,1)设平面CPB 的法向量为n ⃗⃗=(a,b,c ) 则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a =0n ⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b +2c =0故可设n ⃗⃗=(0,2,1) 设平面CPB 与平面DPB 的夹角为θ 则cosθ=|m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=3×√5=√55已知函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 21 求a,b ；22 若过点(1,m )存在三条直线与曲线y =f (x )相切求买数m 的取值范围 【答案】21 a =2,b =−3 22 (−14,0) 【分析】（1）根据题意可得f ′(1)=0,f (1)=0即可得解；（2）切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)根据导数的几何意义可得切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)从而可得m =−4x 03+9x 02−6x 0+1再根据过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根利用导数求出函数y =−4x 3+9x 2−6x +1的单调区间及极值即可得解【21题详解】由题意知f ′(x )=3ax 2+2bx因为函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 所以f ′(1)=3a +2b =0,f (1)=a +b +1=0解得a =2,b =−3 经检验符合题意所以a =2,b =−3； 【22题详解】由（1）可知函数f (x )=2x 3−3x 2+1所以f ′(x )=6x 2−6x设切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)所以切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)因为切线过点(1,m ) 所以m −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(1−x 0)即m =−4x 03+9x 02−6x 0+1令ℎ(x )=−4x 3+9x 2−6x +1则ℎ′(x )=−12x 2+18x −6=−6(2x −1)(x −1) 令ℎ′(x )=0解得x =12或x =1当x 变化时ℎ′(x ),ℎ(x )的变化情况如下表所示因此当x =12时ℎ(x )有极小值ℎ(12)=−14 当x =1时ℎ(x )有极大值ℎ(1)=0过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根则−14<m <0 所以实数m 的取值范围是(−14,0) 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导根据导数的方法求出函数的单调区间与极值根据函数的基本性质作出图象然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题突出导数的工具作用体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由f (x )=0分离变量得出a =g (x )将问题等价转化为直线y =a 与函数y =g (x )的图象的交点问题23ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已知asin A+C 2=bsinA ．（1）求B ；（2）若ΔABC 为锐角三角形且c =1求ΔABC 面积的取值范围． 【答案】(1) B =π3;(2)(√38,√32) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式得到关于B 的三角方程最后根据A,B,C 均为三角形内角解得B =π3 (2)根据三角形面积公式S △ABC =12ac ⋅sinB 又根据正弦定理和c =1得到S △ABC 关于C 的函数由于△ABC 是锐角三角形所以利用三个内角都小于π2来计算C 的定义域最后求解S △ABC (C)的值域 【详解】 (1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得A+C 2=π2−B2此时asinA+C 2=bsinA 就变为asin (π2− B2)=bsinA ．由诱导公式得sin (π2−B2)=cos B2所以acos B2=bsinA ． 在△ABC 中由正弦定理知a =2RsinA,b =2RsinB 此时就有sinAcos B2=sinAsinB 即cos B2=sinB再由二倍角的正弦公式得cos B2=2sin B2cos B2解得B =π3． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB 的值可得∠B 的值】 由解法1得sinA+C 2=sinB 两边平方得sin 2A+C 2=sin 2B 即1−cos(A+C)2=sin 2B ．又A +B +C =180°即cos(A +C)=−cosB 所以1+cosB =2sin 2B 进一步整理得2cos 2B +cosB −1=0 解得cosB =12因此B =π3．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C 的比例关系】根据题意asinA+C 2=bsinA 由正弦定理得sinAsinA+C 2=sinBsinA因为0<A <π故sinA >0 消去sinA 得sin A+C 2=sinB ． 0< B <π0<A+C 2<π因为故A+C 2=B 或者A+C 2+B =π而根据题意A +B +C =π故A+C 2+B =π不成立所以A+C 2=B又因为A +B +C =π代入得3B =π所以B =π3 (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围然后由面积函数求面积的取值范围】 因为△ABC 是锐角三角形又B =π3所以π6<A <π2,π6<C <π2 则S △ABC =12acsinB= 12c 2⋅ac⋅sinB =√34⋅sinA sinC=√34⋅sin(2π3−C)sinC= √34⋅sin2π3cosC−cos 2π3sinC sinC=38tanC+√38． 因为C ∈(π6,π2)所以tanC ∈(√33,+∞)则1tanC ∈(0,√3) 从而S △ABC ∈(√38,√32)故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a ． 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3 所以{cosA =b 2+1−a 22b >0,cosC =b 2+a 2−12ab >0,即{b 2+1−a 2>0，b 2+a 2−1>0. 又由余弦定理得b 2=a 2+1−a 所以{2−a >0,2a 2−a >0, 即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法三]【数形结合利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图在△ABC 中过点A 作AC 1⊥BC 垂足为C 1作AC 2⊥AB 与BC 交于点C 2． 由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3所以点C 位于在线段C 1C 2上且不含端点从而c ⋅cosB <a <ccosB 即cos π3<a <1cosπ3即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用24已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合且双曲线的离心率为√5(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆C1,C2它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上过双曲线右焦点且斜率为−1的直线l与圆C1,C2都相切求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）5x2−54y2=1；（2）(−2,2)【分析】（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=ca=√5及a2+ b2=c2即可解得ab；（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切利用点到直线的距离公式可得√2=√2经过化简可得n与t的关系再利用斜率计算公式即可得出k=2t+2nt−n把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．【详解】解：（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．又e=ca=√5a2+b2=c2解得a2=15b2=45．∴双曲线的方程为5x2−54y2=1．（2）直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切所以√2=√2得直线l与t+2t−1=n−2n−1或t+2t−1=−n+2n+1即n=−3t或n=3t−2设两圆C1C2圆心连线斜率为k则k=2t+2nt−n 当n=−3t时k=2t−6t4t=−1；当n=3t−2时k=2t+2nt−n =4t−2−t+1∵t>0n<0∴0<t<23故可得−2<k<2综上：两圆C1C2圆心连线斜率的范围为(−2,2)．七、应用题(共6 分)某企业对生产设备进行优化升级升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1）各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时设备正常运行否则设备停止运行记设备正常运行的概率为p k（例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）25 若p=23当k=2时求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望并求p2；26 已知设备升级前单位时间的产量为a件每件产品的利润为4元设备升级后在正常运行状态下单位时间的产量是原来的2倍且出现了高端产品每件产品成为高端产品的概率为14每件高端产品的利润是8元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（i）请用p k表示E（Y）；（ii）设备升级后若将该设备的控制系统增加2个相同的元件请分析是否能够提高E（Y）【答案】25 分布列见解析数学期望为2P2=202726 （i）E(Y)=10ap k；（ii）当12<p<1时E(Y)提高；当0<p≤12时E(Y)没有提高【分析】（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望从而求得p2（2）（i）求得Y的分布列从而求得E(Y)（ii）通过差比较法对p进行分类讨论来分析能否提高E(Y)【25题详解】因为k=2所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3因为每个元件的工作相互独立且正常工作的概率均为p =23所以X ∼B (3,23) 所以P (X =0)=C 30⋅(23)0⋅(13)3=127P (X =1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=29P (X =2)=C 32⋅(23)2⋅(13)1=49P (X =3)=C 33⋅(23)3⋅(13)0=827所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为：控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E (X )=3×23=2p 2=P (X =2)+P (X =3)=49+827=2027【26题详解】（i ）设备升级后在正常运行状态下单位时间内的利润为a2×8+3a 2×4=10a所以Y 的分布列为：所以E (Y )=10a ×p k +0×(1−p k )=10ap k（ii ）若控制系统增加2个元件则至少要有k +1个元件正常工作设备才能正常工作 设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作其概率为P (ξ≥k +1)=p k −C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作新增2个元件中至少有1个正常工作其概率为P (ξ=k )=C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1⋅[1−(1−p )2]=C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )；第三类：原系统中恰好有k −1个元件正常工作新增2个元件全部正常工作其概率为P (ξ=k −1)=C 2k−1k−1⋅p k−1⋅(1−p )k ⋅p 2=C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k所以p k+1=p k −C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1+C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )+C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k=p k +C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以p k+1−p k =C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以当12<p <1时p k+1−p k >0p k 单调递增即增加2个相同元件设备正常工作的概率变大； 当0<p ≤12时p k+1−p k ≤0即增加2个相同元件设备正常工作的概率没有变大 因为E (Y )=10ap k所以当12<p <1时E (Y )提高；当0<p ≤12时E (Y )没有提高。
广东省茂名市2024届高三下学期4月二模考试 数学含答案
2024年茂名市高三年级第二次综合测试数学试卷（答案在最后）满分150分，考试用时120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知复数cossin 66z i ππ=+（i 为虚数单位），则z =（）A.12B.2 C.1D.12+2.与向量()3,4a =-方向相同的单位向量是（）A.34,55⎛⎫⎪⎝⎭B.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫--⎪⎝⎭3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5425a a =+，则11S 的值是（）A.11B.50C.55D.604.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（）A.若lm ⎪⎪，m α⊂，则l ⎪⎪α B.若l ⎪⎪α，,m⎪⎪βα⎪⎪β，则l m ⎪⎪C.若,,l m αβαβ⊥⊂⊂，则l m ⊥ D.若,,m l l m β⎪⎪α⎪⎪⊥，则αβ⊥5.已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程 0.6y x a=+，据此可以预测当8x =时，y =（）A.8.5B.9C.9.5D.106.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F C 的准线与x 轴的交点为M ，点P 是C 上一点，且点P 在第一象限，设,PMF PFM αβ∠=∠=，则（）A.tan sin αβ= B.tan cos αβ=- C.tan sin βα=- D.tan cos βα=-7.若()f x 为R 上的偶函数，且()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()21xf x =-，则函数()()()3sin g x x f x π=-在区间[]1,5-上的所有零点的和是（）A.20B.18C.16D.148.已知22,,0m n R m n ∈+≠，记直线0nx my n +-=与直线0mx ny n --=的交点为P ，点Q 是圆()()22:224C x y ++-=上的一点，若PQ 与C 相切，则PQ 的取值范围是（）A.⎡⎣B.⎡⎣C.⎡⎣D.2,⎡⎣二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()220f a f a +->，则实数a 的取值可以是（）A.-1B.0C.1D.210.已知双曲线22:41C x y -=，直线():10l y kx k =+>，则下列说法正确的是（）A.若2k =，则l 与C 仅有一个公共点B.若k =l 与C 仅有一个公共点C.若l 与C 有两个公共点，则2k <<D.若l 与C 没有公共点，则k >11.已知6ln ,6nm m a n e a =+=+，其中n m e ≠，则n m e +的取值可以是（）A.eB.2eC.23eD.24e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()52x -的展开式中3x 的系数是___________.13.在ABC ∆中，060,6,3BAC AB AC ∠===，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD =______________.14.如图，在梯形ABCD 中，0190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC ∆沿直线AC 翻折至1B AC ∆的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，几何体是圆柱的一半，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，O 为CD 的中点，E 为半圆弧CD上异于,C D 的一点.（1）证明：AE CE ⊥；（2）若24AB AD ==，3EDC π∠=，求平面EOB 与平面DOB 夹角的余弦值.16.（15分）已知函数()sin xf x e x ax =-.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为0x y +=，求实数a 的值；（2）若32a =，求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.17.（15分）已知椭圆22:12x C y +=，右焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于,A B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为4π，求AB ；（2）记线段AB 的垂直平分线交直线1x =-于点M ，当AMB ∠最大时，求直线l 的方程.18.（17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<，且不同对阵的结果相互独立.（1）若0.6p =，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19.（17分）有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*n n N ∈个等差数列的第(),2m m N m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.（1）若()()22212a a -=，求21d d -的值；（2）若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；（3）若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122m m m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .参考答案一、单选题题号12345678答案CBCDDAAC二、多选题题号91011答案CDABDCD1.【答案】C 【解析】1z ==，故选C 2.【答案】B 【解析】34,55a a-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选B 3.【答案】C【解析】由等差数列{}n a 的性质可得65425a a a =-=，则()1111161111552a a S a +===，故选C4.【答案】D【解析】关于A ，缺少条件l α⊄，故A 错误；关于B ，桌面平放一支笔，平行地面；地面平放一支笔，平行桌面，观察这两支笔的关系，就知道这两支笔不一定平行，故B 错误；关于C ，黑板跟地面垂直，黑板上随意画一条线，地面随意放一支笔，不一定垂真；关于D ，∵,m l m β⎪⎪⊥，∴l β⊥，又l ⎪⎪α，记l γ⊂，且l γα'= ，则l l ⎪⎪'，∴l β'⊥，∴αβ⊥.故D 正确，故选D.5.【答案】D 【解析】1234535x ++++==，6678875y ++++==，则 70.63a =⨯+，∴ 5.2a =，∴ 0.6 5.2y x =+，∴8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=，故选D 6.【答案】A【解析】过点P 作PP '垂直准线，垂足为P '，在PMF ∆中，由正弦定理得，sin sin PF PM PMFPFM=∠∠，即sin sin PF PM αβ=，所以sin sin PF PM αβ=，在直角PP M '∆中，cos P P PF P PM PMPM''∠==，因为P PM PMF α'∠=∠=，所以cos PF PMα=，所以sin cos sin ααβ=，即sin sin tan cos αβαα==，故选A7.【答案】A【解析】()y f x =与()3sin y x π=在区间[]1,5-上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线2x =对称，所以()g x 在区间的[]1,5-的有零点的和是20.故选A8.【答案】C【解析】∵22,,0m n R m n ∈+≠，直线0nx my n +-=与直线0mx ny n --=分别过定点()()1,0,0,1M N -，且两直线垂直，∴交点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，即点P 的轨迹方程为221111:222C x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心111,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点Q 是C 上的一点，直线PQ 是C 的切线，所以问题可转化为圆1C 上任一点P 作直线与圆()()22:224C x y ++-=相切，求切线长PQ 的取值范围.设圆C的半径为R ，则2R =，因为圆C 的圆心为()2,2C -，其半径为定值，当PC 取得最小值和最大值时，切线长PQ 取得最小值和最大值，又因为112222CC PC CC -≤≤+，即2222PC -≤≤+，即PC ≤≤PQ ≤≤，即∴2PQ ≤≤.故选C9.【答案】CD【解析】∵函数()f x 是奇函数，在R 上单调递增，则不等式()()220f a f a +->，可变形为()()()222f a f a f a >--=-，∴22a a >-，解得23a >.故选CD 10.【答案】ABD【解析】因为双曲线的方程为2241x y -=，其渐近线方程为by x a=±，即2y x =±，又因为直线:1l y kx =+过定点()0,1，当2k =时，直线l 与双曲线C 有且只有一个交点，故A 正确；联立22411x y y kx ⎧-=⎨=+⎩消去y 得，()224220k x kx ---=，当直线l 与双曲线C 相切时，方程只有一个实数根，()()222840k k ∆=+-=，解得k =±220kx --=，当直线l 与双曲线C 相切时，方程只有一个实数根，()()222840k k∆=+-=，解得k =±，所以当k =l 与双曲线C 有且只有一个交点，故B 正确；由图象可知，若l 与C 有两个公共点，则2k <<或02k <<，故选C 错误；若l 与C 没有公共点，k >D 正确，故选ABD.11.【答案】CD【解析】令()6ln f x x x =-，则()661xf x x x-'=-=，故当()0,6x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()6,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，∵6ln m m a =+，66ln n n n e e a ==+，∴()()n f m f e =，又nm e ≠，不妨设06nm e <<<，解法一：记12,nx m x e ==，设()()()12g x f x f x =--，()0,6x ∈，所以()()()()()226661201212x x x g x f x f x x x x x ---'''=---=-=<--在()0,6上恒成立，所以()g x 在()0,6上单调递减，所以()()()()1260g x f x f x g =-->=，()0,6x ∈，则()()()11212f x f x f x ->=，又因为()1212,6,x x -∈+∞，且()f x 在()6,+∞上单调递减，所以1212x x -<，则1212x x +>，所以12n m e +>，故选CD解法二：令()1n e t t m =>；两式相减，可得6ln n n e e m m =-，则()6ln 6ln 6ln 1,,11n t t tt m t m e mt t t =-===--，∴()61ln 1nt t m e t ++=-；令()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->，则()11ln 2ln 1t g t t t t t+'=+-=+-，因为()221110t g t t t t-''=-=>在()1,+∞上恒成立，所以()g t '在()1,+∞上单调递增，因为()()10g t g ''>=在()1,+∞上恒成立，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即()1ln 21t t t +>-，所以()61ln 121n t t m e t ++=>-，故CD解法三：令()()1ln ,11t t g t t t +=>-，则()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t t t t g t t t +⎛⎫+--+-+- ⎪⎝⎭'==--，记()12ln h t t t t =-+-，则()()222221212110t t t h t t ttt---+'=++==>，在()1,+∞上恒成立，∴()h t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10h t h >=，所以()0g t '>在()1,+∞上恒成立，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，又由洛必达法则可知()()1111ln 1lim lim lim ln 21t t t t t t g t t t t →→→++⎛⎫==+=⎪-⎝⎭，∴()()2,g t ∈+∞，∴()61ln 121nt t m e t ++=>-，故选CD解法四：∵6ln ,66ln nnm m a n e e a =+==+，两式相减得6ln ln n ne me m -=-，由对数均值不等式212121ln ln 2x x x x x x -+<<-，可得12n m e +>，下列对数均值不等式右半部分：212121ln ln 2x x x xx x -+<-（左半部分可自行证明），证明：不妨设210x x >>，则上述不等式可化为()212212112ln ln lnx x x x x x x x -<-=+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，记21x t x =，则不等式可化为1t >时，()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t f t t t -=-+，则()()()()()()222212111011t t t f t t t t t +----'=-=<++，所以()f t 在()1,+∞上单调递减，则()()10f t f <=，所以1t >时，()21ln 1t t t -<+，所以212121ln ln 2x x x xx x -+<-，故选CD .12.【答案】40【解析】由()22335240C x x -=可得答案；13.【答案】【解析】由余弦定理，2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠ ，即22263263cos 6027BC =+-⨯⨯=，∴222AB AC BC =+，即ABC ∆为直角三角形，090C ∠=，BC =，∵2BD DC =，∴DC AD ==14.【答案】34π【解析】显然，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，平面1B AC ⊥平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =；取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD的中点O ，则OE =又1B E =12B EO π∠=，则22OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则2R ==1B AD ∆中，112,4,2B A AD AB D π==∠=，故13B AD π∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有21113422cos 4234OM π=+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为34π.15.（1）证明：∵CD 是圆的直径，∴CE DE⊥又∵AD ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，∴CE AD ⊥，∵DE AD D = ，,DE AD ⊂平面ADE ，∴CE ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，∴AE CE ⊥；（2）解：记点1E 为点E 在底面上的投影，以1E 为坐标原点，111,,E A E B E E 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵4,3AB EDC π=∠=，∴2,DE EC ==故()()()()0,0,2,1,2,0,,2,0,2E O B D ，∴()()()(),0,2,1,2,1,EO EB OB OD ==-=--=-记平面EOB ，平面DOB 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则00n EO n EB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，00m OB n OD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111020x z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，22222200x z x ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，故可取121y y ==，则(),n m ==，∴cos ,7n m n m n m==-∴平面EOB 与平面DOB夹角的余弦值为7.16.解：（1）因为()sin xf x e x ax =-，所以()()sin cos xf x ex x a '=+-，所以()01f a '=-，因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为0x y +=，所以()01f '=-所以11a -=-所以2a =；（2）当32a =时，令()()()3sin cos 2x h x f x e x x '==+-，()()sin cos cos sin 2cos x x h x e x x x x e x '=++-=，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≥，()h x 单调递增，又()3101022h =-=-<，2330222h e e ππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，所以∃唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =当[)00,x x ∈时，()()0,h x f x <单调递减；当0,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()0,h x f x >单调递增，又()231000, 2.50244f f e e e πππ⎛⎫==->-=-> ⎪⎝⎭所以()2max324f x f e πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.17.解：（1）由题意可得()1,0F ，因为直线l 的倾斜角为4π，所以tan 14k π==，因此，l 的方程为1y x =-，联立方程22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2340x x -=解得1240,3x x ==所以()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，3AB ==（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得，直线l 的斜率不为0，故设l 为1x my =+，联立方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得，()222210m y my ++-=因此12122221,22m y y y y m m -+==-++，所以()()()22222212122214422211422m m m m AB m y y y y m m ++++=++-==++，设线段AB 的中点为G ，则12222,1222G G G y y m y x my m m +==-=+=++，所以()222221421122m m MG m m m ++=+--=++，所以221212tan 24AB AMB m MG m ∠+==+设21t m =+，则22221226tan 32436AMB m tm t t t ∠+===≤+++，当且仅当3t =，即2m =±时等号成立，当2AMB ∠最大时，AMB ∠也最大，此时直线l 的方程为21x y =±+，即210x y +-=或210x y --=18.解：（1）①记“甲获得第四名”为事件A ，则()()210.60.16P A =-=；②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X ，则X 的所有可能取值为2，3，4，连败两局：()()2210.60.16P X ==-=，3X =可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；()()()()()230.610.60.610.60.610.610.60.552P X ==+-⨯⨯-+⨯-⨯-=，()()()410.60.60.60.610.60.60.288P X ==-⨯⨯+⨯-⨯=；故X 的分布列如下：X234P 0.160.5520.288故数学期望()20.1630.55240.288 3.128E X =⨯+⨯+⨯=；（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率()()()32331132P p p p p p p p p =+-+-=-，在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为2p ，由()()()()3222232321211p p p p p p p p p --=--=--，且01p <<所以1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3232p p p ->，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3232p p p -<，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；12p =时，两种赛制甲夺冠的概率一样.19.解：（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()111111n i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111m m m mm a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122m m m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .。
广东省韶关市高三第二次调研考试数学理试题
广东省韶关市高三4月第二次调研测试数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:1.锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 2. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面面积，h 为柱体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U =R ，M ={|(3)0},{|1}x x x N x x +<=<-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）. A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}x x -<<C ． {|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<2. 若R b a ∈,，为虚数单位，且5()2a i i b i+=+-，则a b +=（ ） A .2-.B .0C .1 D . 23. 已知()3cos 22sin cos ,f x x x x =+ 则13()6f π= （ ）A .3B .3-C .32 D .32- 4.一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为( )A .5B .4C .3D .25.已知, 圆222π=+y x 内的曲线sin ,[,]y x x ππ=-∈-与x 轴围成的阴影部分区域记为Ω（如图），随机往圆内投掷一个点A ，则点A 落在区域Ω的概率为（ ）A. 34π B . 33π .C 32π D 31π 6. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；开始 n p <是输入p结束输出S 否12n S S =+1n n =+ 0,0n S ==②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”；④等比数列{}n a 中，首项10a <，则数列{}n a 是递减数列的充要条件是公比1q >； 其中不正确．．．的命题个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，若对于0x ≥，都有()2()f x f x +=，[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时，()()20132012f f -+的值为A.2-B.1-C.1D.28. .将高一(6)班52名学生分成A ，B 两组参加学校组织的义务植树活动，A 组种植150棵大叶榕树苗，B 组种植200棵红枫树苗．假定A ，B 学科网两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树苗用时25小时，种植一棵枫树苗用时12小时.完成这次植树任务需要最短时间为（ ）A. 310B. 1960C.825D.823二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)9. 已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，)(b a a -⊥；则><b a ,cos 的值是 .10. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = .11、设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为______________.12. 已知R x ∈∀，使不等式133)4(log 2-++≤+-x x a 成立，则实数a 的取值范围是 ． 13. .下面给出四种说法：①设a 、b 、c 分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数，则a b c <<；②在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R 越接近于1，表示回归的效果越好③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；ABCEF④设随机变量ξ服从正态分布2(4,2)N ，则1(4)2P ξ>=. 其中正确的说法有 （请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上） (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π1,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆8sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AP 和过C 的切线互相垂直，垂足为P ，过B 的切线交过C 的切线于T ，PB 交圆O 于Q ，若120BTC ∠=︒，4AB =，则PB PQ ⋅= .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本题满分１２分)ABC ∆的三个内角C B A ，，对应的三条边长分别是c b a ,,,且满足sin 3cos 0c A a C =（1）求C 的值； （2）若53cos =A , 35=c ，求B sin 和b 学科网的值.17. . (本题满分１２分)甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为23与34，投中得1分，投不中得0分.（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望； （2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.18. (本题满分１４分)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ； （2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； （3）求二面角B －EF －A 的余弦值．19. (本题满分１４分)甲D CBA如图，过点P （1，0）作曲线C ：)),0((2+∞∈=x x y 的切线，切点为1Q ，设点1Q 在x 轴上的投影是点1P ；又过点1P 作曲线C 的切线，切点为2Q ，设2Q 在x 轴上的投影是2P ；………；依此下去，得到一系列点12,3,Q Q Q ⋅⋅⋅n Q ，设点n Q 的横坐标为n a .（1）求直线1PQ 的方程； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记n Q 到直线1n n P Q +的距离为n d ，求证：2n ≥时， 12111.......3n d d d +++>20. (本题满分１４分)已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ，抛物线C ：px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x 轴上方，直线1F M 与抛物线C 相切.（1）求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标；（2）设A,B 是抛物线C 上两动点，如果直线MA ，MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形，探究直线AB 的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由. 2１. (本题满分１４分)设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈ （１）若1()3f '=0，求()f x 的单调区间；（2）设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值，求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤M ．数学试题（理科）参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现Z ＊X ！X ！K 错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．DAACA C ＢC二、填空题: 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5yo(1,0)P 1P 2P 1Q 2Q x分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9、21； 10、1615； 11102 12、[2,4)；13、①②④ 14、3； 15、3；三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 16. (本题满分１２分)ABC ∆的三个内角C B A ，，对应的三条边长分别是c b a ,,,且满足sin 3cos 0c A a C =(1) 求角C 的值； (2) 若53cos =A , 35=c ，求B sin 和b 的值. 解：（1）因为sin 3cos 0c A aC +=由正弦定理得：0sin sin 32sin sin 2=+C A R A C R …………2分由0sin ≠A …………3分所以3tan -=C ，),0(π∈C ；32π=∴C …………6分 （2）由53cos =A ，)2,0(π∈A 则54cos 1sin 2=-=A A ，…………8分 C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()sin(sin +=+=--=π104332353)21(54-=⨯+-⨯=…………10分 由C c B b sin sin =，433sin sin -==CBc b …………12分17. (本题满分１２分)甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为23与34，投中得1分，投不中得0分. （1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望； （2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则A 与B 相互，且P （A ）=23，P （B ）=34，P （A ）=13，P （B ）=14.…………1分 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，…………2分(0)()()()P P AB P A P B ξ===1113412=⨯=(1)()()()()()P P AB AB P A P B P A P B ξ==+=+13215343412=⨯+⨯=(0)()()()P P AB P A P B ξ===231342=⨯=…………4分则ξ概率分布为：ξ0 1 2P112 512 12…………5分E ξ=0×112+1×512+2×12=1712.…………6分 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为1712.…………7分（2）设甲恰好比乙多得分为事件C ，甲得分且乙得0分为事件1C ，甲得2分且乙得分为事件2C ，则C =1C +2C ，且1C 与2C 为互斥事件. …………8分12()()()P C P C P C =+11222111223133443344C C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯736=…………11分 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，甲恰好比乙多得分的概率为736。
广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 函数的单调递增区间是A．B．C．D．2. 在中，角的对边分别为．已知，，．则的值为( )A．B．C．D．3. 函数的定义域是（ ）A．B．C．D ．R4. 已知，则（ ）A．B．C．D．5. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）A．B．C．D．8. 函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ）A ．对一切恒成立B ．在区间上不单调C．在区间上恰有1个零点广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题三、填空题四、解答题D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称10. 已知双曲线E ：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线l 与E 的右支交于点P ，若，则（ ）A ．E的离心率为B ．E的渐近线方程为C ．P 到直线x ＝1的距离为D ．以实轴为直径的圆与l 相切11.已知数列满足，且，等差数列的前n 项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（ ）A ．－36B ．－54C ．－81D ．－10812. 给出下列说法，错误的有（ ）A．若函数在定义域上为奇函数，则B ．已知的值域为，则a的取值范围是C ．已知函数满足，且，则D．已知函数，则函数的值域为13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.14. 已知命题：“”的否定是真命题，则的取值范围是 .15. 如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.16. 已知，函数.(1)记，求的最小值；(2)若有三个不同的零点，求的取值范围.17. 交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：分组回答正确人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组（1）分别求出，，，的值．（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法共抽取人，则第，，组每组应分别抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．18. 已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19. 为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：）.根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径服从正态分布.如果加工的零件内径小于或大于均为不合格品，其余为合格品.（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损.已知每件产品的利润（单位：元）与零件的内径有如下关系：.求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润.附：若随机变量服从正态分布，有，，.20. 在中，角、、的对边分别是、、，满足．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若为的中点，，，求的面积．21. 设函数．(1)求函数的单调递增区间及对称中心；(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．。
广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试 数学 含解析
惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．2024.10注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分l已知集合A={�2�x<5}，集合B={xl x2-4x<O}，则A^B=( ）A.(o,s)B.[2,4) c.(4,5) o.(-00,O)u[2,+oo)2已知复数z满足z2+l = 0,则lz+ll=( )A.3B.2C.l D．五3已知等差数列{a,,}前9项的和为27，如＝8，则a.oo= ()A.100B.99C.98 0.974在正方体ABCD-'4iB1Cp1中，棱BC,A戊的中点分别为E,F，则直线E F与平面ABBA所成角的正弦值为（）石 B. 森2石 D. 痀5已知向凳a,b满足：a=(✓3,1)，叫＝石，（兹－b ）·6=3，则向豐6在向榄五上的投影向榄为（）A胃气）B[竿i)C［告）叶亨订6已知函数f(x)=log2厅－2ax),aeR,则“a:s;O"是“函数f(x)在(1，七吩上单调递增＂的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知“水滴＂的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”)所围成的几何体如图所示，将“水滴＂的轴截面看成由线段AB,AC 和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C 所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切已知“水滴＂的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行千水4平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为－，则sin乙BAC=<A3416 24A.-B .- C.—D .—55252538在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多千文科生，女生多千男生，则关千本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A理科男生多千文科女生B文科女生多千文科男生C理科女生多干文科男生D理科女生多于理科男生二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关千每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4, 3, 1,5, 3, 2,5, 1, 3则关千这组数据的结论正确的是（）A极经是4B众数小千平均数c ．方差是2D数据的第80百分位数为4.510函数f (x) =A sin (cvx+ <p)(A> O,a> > 0树<§）的部分图象如图所示，现将f(x )的图象向左平移巴6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(2亡7兀X12兀A.<p =－一6B.(i)=2c ．函数）1= xf (x ＋王）是奇函数12 D.g (x )=2c os （2x -¾)II 如图，心形曲线L:x 2+(y -|入扩＝1与Y 轴交于A ,B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）ypXBA点［孚叩11(-1,1.）均在L 上B.IO月的最大值和最小值之和为3C 点P 的纵坐标的最大值为J5D.I PAl+IPB 怍2石三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在（x+1)5的二项展开式中，各项的系数和为13椭圆于fi =l (a >b>O )的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是R 、F2，若I A F.I ,I F.Fzl,IF.纠成等比数列，则此椭圆的离心率e=.14若关千X的方程ln(ax4)＝[二了有实根，则a江护的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分13分）已知函数f(x)=�X 2一x-2ln x(l)求曲线y=f(x)在点(l,f(1)）处的切线方程：(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的晟小值16（木题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA J_底面ABCD,AB II CD,AD=CD=l.乙BAD=120'，乙ACB=90°.D C(l)求证：BC上平面PAC:(2)若PA＝石，求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值l7 （本题满分15分）已知双曲线C:x2-y2=l及直线l:y＝虹－1(])若l与C有两个不同的交点，求实数K的取值范围：(2)若l与C交千A,B两点，O是坐标原点，且t:.OAB的面积为J5，求实数K的值18（本题满分17分）记t:,.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB, t anC均为整数(I)求tanA,tanB, t anC的值，(2)设AC的中点为D,求乙CDB的余弦值19（本题满分17分）若数列{a,,}(1 s n s k, n E N*, k EN*）满足a,，叶0,1}，则称数列{a,,｝为K项0-1数列，由所有k项0-1数列组成集合M ks4)时，a,,=0,求数列{(-l)飞，｝的所有(])若伈｝是12项0-1数列，当且仅当n=3p(p E N*,p项的和；(2)从梊合M人．中仔意取出两个数列｛动，｛丸｝，记X=区|a,－b/|i=I＠求随机变量X的分布列，并证明：E(X)＞一：k2＠若用某软件产生k(k2'.:2)项0-1数列，记事件A =“第一次产生数字1"'B=“第二次产生数字l"'且0<P(A ) <1,0<P (B) <l若P(BIA)<P(B区），比较P(Al B)与P(AI B )的大小惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号2345 678答案BDc BAADcl 【解析】因为B ={xl O < x <4}，所以A nB={xl 2�x<4}故选：B 2【解析】因为z 2+l=O,即z 2= -1,所以z ＝土，所以卜＋11=11士11=f言75了＝J5故选：D.的公妇为d，由已知得：｛9a, +36d =273【解析】设等劳数列{a ,,}，解得a,= -1, cl = 1,a, +9d =8所以a 100=a , + 99d = -1 + 99 = 98故选：C.4【解析】连接FB ，在正方体ABCD -f\B ,C 1D 1中，BC..l 平面A BB A ，棱BC 的中点为E,则BE..l 平面A BB I A ，而BFc 平面A BB A ，故BE..l BF,则乙EFB 即为迎线EF 与平面A BB I A 所成角，设正方体棱长为2,则BE=l,BF=.JB I F 2+B阻＝j了I ＝心，BE1✓6则EF =✓BF 2+BE 2＝拆，故sin乙E FB =－－＝－－＝一－故选：BEF拆6A lni ,DI L ,“K ,＇,'…,'} ，夕,j A5【解析】由例＝石，（2ii-b)·b =3,得2li·b -lbi 2=2li·b -2=3,即a 6=－525由已知得la:1=2,所以向摄6在向量a上的投影向量为彗向＝＼卢＝｀石，l)＝厂产，i)故选：A .as l6【解析】若函数f(x)在（l，切）上单调递增，则｛，解得a5-，Il-2a之02所以“a�O"是＂函数f(x)在(1.冲~)上单调递增”的充分不必要条件．故选：A7【解析】设优弧BC 所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA ,OB ,OC 易知“水滴＂的＂竖直商度”为OA +R, OA +R 45 “水平宽度”为2R,由题意知＝一，解得OA=－R 因为AB 与圆弧相切千点B ,2R 3 3OB R 3 所以B 在Rt 心ABO 中，sin乙BAO =—=—=－冗OA 5 :::...R5，又乙BAO e l 0，一，（』4所以COS乙BAO=.Jl-sm 汔BAO ＝一，由对称性知，5乙BAO ＝乙CA O,则乙BAC=2乙BAO,3 4 24所以sin 乙BAC=2sin 乙BAOcos 乙BA0=2x-=-x-=—故选：D.5 5 258【解析】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有X 2人：文科女生有）'1人，文科男生有）5人；根据题意可知：X 1 + X 2 > Y i + Y 2'X i +Y i > X 2 + Y 2'根据同向不等式可加的性质有：X 1 + X 2 + X 1 + Y 1 > Y 1 + Y 2 + X 2 + Y 2'即X 1> Y 2，所以理科女生多千文科男生，C正确其他选项没有足够证据论证故选：C .二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号I 9 I 10 I 11全部正确选项I A D I ABO I ACD9【解析】数据从小到大排列为：1,1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5对千A,该组数据的极差为5-1=4,故A正确：对于B,众数为3,平均数为lx2+2+3x4+4+5x210=3,两者相等，故B错误；对干C,方差为而伈－3)2x2+(2-3)2xl+(3-3)2x4+(4-3)2xl+(S-3)2x2] = 1.8,故C错误，对千D,10x80%=8,这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D正确故选：AD.10【解析】由图像可知：f(x)ma x = 2, A= 2:又f(0)=2s叩＝－l,故sinrp＝一L，又lrp|＜巴，所以rp＝－巴，所以A项正确，2 2 6已知f（气＝2sin（五0－勹＝0,由五点作图法可知：卫坛－巴＝亢，解得：OJ=2'所以B项正l2 12 6 l2 6确；故f(x) =2sin（三）则xj.（咕）＝2xsin2x设h(x)=xf.（咕）＝2xsin2x则h(-x)= 2(-x)sin(-2x) =2.xsin2x= h(x)，所以函数y=.-1;小号）是偶函数，故C项错误g(x)=f(x十艺）＝2s i n[2(x+：)－去］＝2s i n(2x＋艺）＝2c o s[�-(2x＋艺）］=2cos甘－2x)=2cos（三），所以D项正确故选：ABD.五II【解析】A选项，经验算，点(—,0和(-1,1)的坐标满足曲线L的方程x2 +(y-lxl)2 =L所以` o)和(-l,l）均在L上故2A项：确B 选项，I OP l ＝心三了，因为曲线L:x江(y-I 入扩＝l 关千Y 轴对称，当x 以0时，x 2 +(y-x)2 =l,设x=cos0, y-x= s in0,0e[－豆］，2 2.l+co s20 所以IOPl 2=.,\,:2+y 2=cos 20+(cos0+sin0)2 =l+�+sin20 23 1 3森l =-＋sin20+－cos20=－＋—sin (20 + rp ),其中tanrp ＝一，2 22 22 所以OP l min =[工石－�,10P 1m ax =[工石＋12 2 2 2 2 2，所以10月的最大值和最小值之和为石，故B项错误；C 选项，因为曲线L:x 2+(y -l x 忙＝1关千Y 轴对称，当x习0时，x 2+(y-x)2 =I ,则(y-x)2 =1-.,\,，2，所以y =x 土』7了因求，占P 的纵坐标的最大值，故取y =x+.[i':了，2又y 2=(x ＋石二了）＝1+2x../I 二了＝1+2[x.了7平1+.,\,;2+(l －入＂2)=2（当且仅当x 2＝上时等号2成立），所以y�.,fi ，故C项正确；x -D 选项，IPA I +I P B� 2✓3等价千点P 在椭圆上－＋—＝1内（包含椭圆），由B 项可知，即满足：322(cos0+sin0)2 +3cos 20 � 6,即2(l+sin20)+3(1+cos20)�6，整理得：23 4sin20 + 3cos20 � 5,即5sin(20+/3）�5'其中其中tan/3＝－，即sin(20+/3）�l 恒成立，则故D4项正确故选：A BD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.32五5314.e i12.【解析】当x =l 时，二项式展升式各项的系数和为25=32故答案为：3213【解析】由题意知I Mi l =a-c,I F;Fz l =2c,IF;科＝c+a,且三者成等比数列，则IFiFi l 2= IAF;I .I F;BIl石石即4c 2= (c-a )(c +a )= c 2 -a 2,所以e 2=－，所以e =—故答案为：—－55514【解析】设方程ln （釭＋勹＝k的实根为X。
广东省数学高三理数4月调研考试试卷
广东省数学高三理数4月调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·安顺月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·天津期中) 复数，则A .B . 4C . 5D . 253. （2分）若实数x,y满足则z=x+2y的最小值是（）A . 0B .C . 1D . 24. （2分） (2016高一下·南汇期末) 函数y=sin2x+cos2x（x∈R）的最小正周期是（）A .B . πC . 2πD . 4π5. （2分） (2020高三上·湖北期中) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为（）A .B .C .D .7. （2分）图中所示的是一个算法的流程图．已知，输出的结果为，则的值为（）A . 12B . 11C . 10D . 98. （2分）一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（）A .B .C .9. （2分） (2017高三上·长葛月考) 若函数在（0，1）上递减，则取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A .B . -C .D .11. （2分）各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·湖北模拟) 直线y=kx﹣4，k＞0与抛物线y2=2 x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=（）B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·顺德期中) 在的展开式中，的系数为________．14. （1分） (2018高一下·四川期中) 在中，，是上一点，，且，则 ________．15. （1分） (2019高一下·上海期中) 若则的取值范围是________.16. （1分） (2019高二下·广东期中) 若存在两条直线都是曲线的切线则实数的取值范围是（________）三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2020·海南模拟) 设数列的前项和为，已知 .（1）令，求数列的通项公式；（2）若数列满足： .①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.18. （5分） (2018高二下·黑龙江期中) 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且 , .(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求凸多面体的体积.19. （10分） (2016高二下·福建期末) 某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）．该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，制成如表格．前8小时的销售量t（单位：件）567频数403525（1）若某天该商场共购入7件A商品，在前8个小时售出5件．若这些产品被7名不同的顾客购买，现从这7名顾客中随机选3人进行回访，记X表示这3人中以每件200元的价格购买的人数，求X的分布列；（2）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由．20. （10分）(2020·化州模拟) 已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足 (O为坐标原点)，记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）已知定点M( ，0)，N( ，0)，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．21. （5分） (2015高二下·和平期中) 已知f（x）= x3﹣2ax2﹣3x（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间（﹣1，1）内为减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对于实数a的不同取值，试讨论y=f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．22. （10分） (2018高二下·重庆期中) 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线的极坐标方程为为极角）（1）分别写出曲线的普通方程和曲线的参数方程；（2）已知为曲线的上顶点，为曲线上任意一点，求的最大值.23. （10分）(2019·长沙模拟) 已知．（1）解关于的不等式；（2）对任意正数，求使得不等式恒成立的的取值集合 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
广东省高三四月调考数学试卷(理科)
广东省高三四月调考数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·福建模拟) 设a∈R，若复数z= （i是虚数单位）的实部为，则复数z的虚部为（）A .B . ﹣C .D . ﹣2. （2分）已知集合，则=（）A . （1，3）B . [1，3]C . {1，3}D . {1，2，3}3. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A . 27B . 36C . 45D . 544. （2分） (2019高二下·凤城月考) 若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·温州模拟) 若，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=， EX=1，则DX=（）A .B .C .D .7. （2分）已知命题p：函数恒过（1,2）点；命题q：若函数为偶函数，则的图像关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·揭阳期中) 形如y= （c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f（x）=loga（x2+x+1）（a＞0，a≠1）有最小值，则当c，b的值分别为方程x2+y2﹣2x﹣2y+2=0中的x，y时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图象交点个数为（）A . 1B . 2C . 4D . 69. （2分）(2019·晋中模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的为30，则输出的为（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分） (2018高三上·通榆期中) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A . 2＋B . 4＋C . 2＋2D . 511. （2分）若圆的方程为 ( 为参数)，直线的方程为( 为参数)，则直线与圆的位置关系是（）A . 相交过圆心B . 相交但不过圆心C . 相切D . 相离12. （2分）若圆x2+y2+4x+2by+b2=0与x轴相切,则b的值为（）A .B .C .D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·汪清月考) 如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且 , ，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为________.14. （1分） (2019高二下·海安月考) 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ________．15. （1分）(2018·宣城模拟) 若实数满足，则的取值范围是________16. （1分）函数f（x）=cosx﹣cos2x（x∈R）的最大值等于________ ．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高二下·九江期中) 在中，内角的对边分别是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．18. （5分）(2017·榆林模拟) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．19. （10分） (2019高二下·太原月考) 某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．（1）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？20. （15分）(2017·长宁模拟) 已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，定义：△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且C2与C1的相似比为2：1，求椭圆C2的方程；（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x2﹣4y2=1上；（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb ，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线Cb上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2017·鹰潭模拟) 已知函数f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k（1）若k=0，证明f（x）＞0（2）若f（x）≥0，求k的取值范围；并证明此时f（x）的极值存在且与a无关．22. （5分）(2017·天河模拟) 已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．23. （10分）(2019·东北三省模拟) 已知二次函数满足，，且0为函数的零点.（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
广东深圳市2021届高三第二次(4月)调研考试数学理试题
在极坐标系中，点 ，曲线 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系.
（1）在直角坐标系中，求点 的直角坐标及曲线 的参数方程；
（2）设点 为曲线 上的动点，求 的取值范围.
22．选修4-5：不等式选讲
A． B． C．0D．
7．已知函数 的图像如图，若 ，且 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．0
8．过双曲线 的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
广东深圳市2021年高三第二次（4月）调研考试数学理试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于（）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（ ）
12．A
【解析】
原问题等价于
设 ，则
令f′(x)=0,可得 ，
由指数函数和反函数在第一象限的图象，
可得 和 有且只有一个交点，
设为(a,b),当x>a时,f′(x)>0,f(x)递增；
当0<x<a时,f′(x)<0,f(x)递减。
即有f(x)在x=a处取得极小值，且为最小值。
即有 ,
令 ，可得 .
则当 时,不等式 恒成立。
点睛：解答这类问题的思路是准确理解算法流程图中的算法程序，以便准确进行求解和操作。求解时充分借助题设，然后逐一按照算法程序中的要求进行操作，从而使得本题获解。
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广东省数学高三理数4月（二诊）调研测试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）设集合，集合，若，则实数a的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2020·北京) 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）．
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高三上·泉港期中) 在等差数列中，若，则的值是
A . 24
B . 48
C . 96
D . 106
4. （2分） (2019高二下·绍兴期末) 设，则“ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要条件
C . 充分条件
D . 既不充分也不必要条件
5. （2分） (2018高一上·马山期中) 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高一上·北碚月考) 下列关于向量，的叙述中，错误的是（）
A . 若，则
B . 若，，所以或
C . 若，则或
D . 若，都是单位向量，则恒成立
7. （2分）(2017·平谷模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）
A . 9
B . 16
C . 25
D . 27
8. （2分）(2018·宜宾模拟) 设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一下·蕲春期中) 己知α为第二象限角，cosa=﹣，则sin2α=（）
A . ﹣
B . ﹣
C .
D .
10. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高二上·南安月考) 若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则
的值为（）
A . 8
B . 2
C . -2
D . -8
12. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）的实义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为（）
A . （1，+∞）
B . （﹣∞，﹣1）
C . （﹣1，1）
D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2018·河北模拟) 用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．
14. （1分） (2020高三上·厦门月考) 若x，y满足约束条件，则的最大值是________．
15. （1分）(2020·吴中模拟) 甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为________.
16. （1分）(2017·绵阳模拟) 已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是________．
三、解答题 (共7题；共80分)
17. （10分） (2019高三上·齐齐哈尔月考) 已知函数 .
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
18. （10分）(2012·湖南理) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次性购物量1至4件 5 至8件9至12件13至16件17件及以上
顾客数（人）x3025y10
结算时间（分钟/人）1 1.52 2.53
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
19. （10分）(2019·广东模拟) 如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点D，
E分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若 ,证明：平面
20. （15分） (2016高二下·南阳开学考) 已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足，（其中λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1且直线AB与OP斜率均存在时，求|kAB|+|kOP|的最小值；
（3）若G是线段AB的中点，且kOA•kOB=kOG•kAB ，问是否存在常数λ和平面内两定点M，N，使得动点P 满足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定点M，N；若不存在，请说明理由．
21. （10分）(2020·杭州模拟) 已知函数， .其中，
（1）若 .求证： .
（2）若不等式对恒成立，试求的取值范围
22. （10分）已知直线l的参数方程为 (t为参数),直线l与y轴的交点为P.
（1）写出点P的极坐标(ρ,θ)(其中ρ>0,0≤θ<2π);
（2）求曲线上的点到P点距离的最大值.
23. （15分） (2018高二上·雅安月考) 已知直线 .
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围;
（2）若直线交轴负半轴于 ,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；
（3）已知点 ,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共7题；共80分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
考点：
解析：
答案：23-1、。