成才之路数学选修2-1之1-1-1 (42)

3.1.2

一、选择题

1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3

D.c －b 3

[答案] D

[解析] M 为△ABC 重心，

则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13

(c －b )． 2．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则

下列能表示向量OP →的为( )

A.OA →＋2AB →＋2AC →

B.OA →－3AB →－2AC →

C.OA →＋3AB →－2AC →

D.OA →＋2AB →－3AC →

[答案] C

[解析] 根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件即可求得AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋

yAC →，

由图知x ＝3，y ＝－2

3．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )

A ．共面

B ．不共面

C ．共线

D ．无法确定 [答案] A

[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.

4．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件

[答案] A

[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i 不平行j ，则k 与i ，j 共面⇔存在惟一的一对实数x ，y 使k ＝x i ＋y j .故选A.

5．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →

B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13

OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12

OC → D ．以上皆错

[答案] B

[解析] 解法一：∵13＋13＋13

＝1，∴选B. 解法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13

OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，

∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，

∴AP →＝PB →＋PC →，

∴P A →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．

6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分

点，且AF ＝12

EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12

AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12

AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16

AD →

②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；

③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；

④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合．

其中正确命题的个数为( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

[答案] A

[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体

ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD 与平面ABB 1A 1相交，故

④错，故选A.

9．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )

A.SG →＝12

(SA →＋SB →＋SC →) B.SG →＝13

(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14

(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →

[答案] B

[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13

(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13

(SA →＋SB →＋SC →)． 10．有下列命题：

①当λ∈R ，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝0时，λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝0；

②当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝0；

③当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，a 1，a 2，…，a n 是n 个向量，且a 1＋a 2＋…，a n ＝0，则λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0.

其中真命题有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

[答案] C

[解析] 由于λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝λ(a 1＋a 2＋…＋a n )＝λ0＝0，

故命题①为真命题．

由于λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝(λ1＋λ2＋…＋λn )a ＝0×a ＝0，

故命题②也为真命题．

命题③为假命题，例如当n ＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a 1＝a (a ≠0)，a 2＝－a ，则λ1a 1＋λ2a 2＝a ＋(－1)(－a )＝2a ≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a 1＋a 2＝0，命题③不成立．

二、填空题

11．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12

i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.

[答案] －13i ＋2j ＋7k

12．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N

分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP

→的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.

[答案] －23 －16 16

[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ∶FD ＝2∶1，连结MF ，则MN →＝MF →＋FN →

∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13

DP → ＝16DP →＝16

(AP →－AD →) MF →＝23CD →＝23BA →＝－23

AB → ∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16

AP → ∴x ＝－23 y ＝－16 z ＝16

13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1