数值分析第三章 线性方程组的迭代法
第三章 线性方程组的迭代解法
其中
v x (0) = ( x1(0) , x2 (0) ,…, xn (0) )
是迭代初值。 是迭代初值。
写成矩阵形式： 写成矩阵形式： 矩阵形式
A=
D
U
v v Ax = b ⇔ ⇔ ⇔
v v (D + L + U )x = b v v v Dx = −( L + U ) x + b v v v −1 −1 x = −D (L + U )x + D b
( ( a 111 ) a 121 ) ... a 1( 1 ) n
A
( ( ( a ij2 ) = a ij1 ) − m i 1 a 1 1j ) (2) b i = b i( 1 ) − m i 1 b1( 1 ) ( i , j = 2 , ..., n )
− 共进行 n ？1 步
(1 ( ( a12) ... a11) x1 b11) n b( 2) ( 2) ( 2) a22 ... a2n x2 2 . . = . ... . . . . . . ( n) (n ann) xn bn
… … …
…
( ( ( ( ( xnk +1) = 1 (−an1 x1k +1) − an 2 x2k +1) − an3 x3k +1) − L − ann−1 xnk +1) + bn ) −1 ann v v ( k +1) v ( k +1) v (k ) −1 −1 写成矩阵形式 矩阵形式： 写成矩阵形式： x = − D ( Lx + Ux ) + D b v (k +1) v (k ) v ⇔ (D + L)x = −U x + b v v ( k +1 ) −1 v ( k ) −1 ⇔ x = − ( D + L ) Ux + ( D + L ) b v Gauss-Seidel B vf v ( k + 1) v(k ) 迭代阵
数值分析第三章 线性方程组迭代法
（一） （二） （四） （五） (六)
线性方程组的迭代解法
主要内容： 主要内容：
迭代法的一般形式 雅可比（Jacobi）迭代法 雅可比（Jacobi） 松弛法 迭代法的收敛条件 小结
高斯-赛德尔(Gsuss Seidel)迭代法 (Gsuss（三） 高斯-赛德尔(Gsuss-Seidel)迭代法
，如此下去， x ( 9 ) = Bx (1) + g = (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 ) T 易知，方程组的精确解为
x = (11,12 ,13 ) T
迭代结果（当迭代次数增大时）越来越接近精确解。
例：用Jacobi迭代法求解方程组
8 x1 − 3x2 + 2 x3 = 20 4 x1 + 11x2 − x3 = 33 6 x + 3 x + 12 x = 36 2 3 1
，精确解为 x = ( 3, 2,1)
T
解：按迭代过程
( k +1) 1 x1 = (3 x2 ( k ) − 2 x3( k ) + 20) 8 ( k +1) 1 = (−4 x1( k ) + x3( k ) + 33) x2 11 ( k +1) 1 x3 = (−6 x1( k ) − 3 x2 ( k ) + 36) 12
公式（3-4）表示为
~ ~ x ( k + 1 ) = L x ( k + 1 ) + U x ( k ) + g , ( k = 0 ,1, 2 , L )
b1n 0 0 b12 0 O M ~ b21 0 ~ 其中L = ,U = M M O b M M O n −1n b b L 0 L 0 n1 n 2
第三章 迭代法s4 解线性方程组的迭代法
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
( x1( k 1) (1 ) x1( k ) 1 x2k ) 2 ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) x2 (1 ) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( ( x3 (1 ) x3k ) 5 x2k 1) 2
( k ( k 在计算 xi( k 1) 时，如果用 x1 k1) ,, xi(11) 代替 x1 k ) ,, xi(1) ，则 可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22
解得
x
x ( k 1) (1 ) x ( k ) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
D L
1
1
(1 ) D U x
(k )
D L b
1
GS D L
Jacobi 迭代 x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b
M = D, N = M – A = -(L + U)
GS 迭代
x
( k 1)
L D Ux
1
(k )
数值分析3迭代法
其中,
n
介于xn和x*之间. 所以
| x n1 x* | | x n x* | lim | ( n ) | | ( x *) |
k=16
x0=1.3652
k=6 x0=1.3652
5/16
f(x) = 0
迭代格式:
x ( x)
x n 1 ( x n )
( n = 0, 1, 2, ·· ·· ··)
若存在 x*,使得 x * ( x *) ,则称x*为不动点
y=x
y ( x)
( x)
x ( x)
| x x n |
*
1 1 L
| x n1 x n |
* *
x n ( x n 1 ) 证 * * x (x )
*
| x n x | | ( x n 1 ) ( x ) | | ( ) || x n 1 x |
*
| x n x | L | x n 1 x |
( x ) 20 /( x 10 )
2
300 200
100
0
求导数, 得
( x ) 40 x /( x 10 )
2 2
-1 0 0
-2 0 0
-3 0 0
-6
-4
-2
0 x
2
4
6
11/16
显然,在x*附近
| ( x ) | 1 ( x ) 0
利用Lagrange中值定理, 有
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析-北交大-王兵团-3-线性方程组解法 (1)
©
追赶法求解公式为：
追赶法算法
用追赶法来求解三对角线性方程组， 计算量只是5n-4，这比Gauss消元法的计算 量要小很多。
©
第3章 线性方程组解法
§3.5 线性方程组解对系数的敏感性
©
1、解对系数敏感性的相对误差 设方程组Ax=b的解为
扰动方程组的准确解为
有
©
用上述过程求解 的方法称为追赶法解法。
©
定理3.7
Sor法收敛的必要条件是松弛因子满足0<<2 证明
©
2、误差估计 定理3.8 设矩阵B的某种矩阵范数
证明参照非线性方程求根定理的证明， 将：绝对值换成范数、函数换成矩阵，注意范数关系 的使用，
©
例3.1 用Jacobi 迭代法解线性方程组 解
Jacobi迭代收敛！
故所求近似解为 准确解：
©
第3章 线性方程组解法
§3.4 线性方程组的直接解法
©
一、Gauss消元法 1、基本思想 先将线性方程组通过消元方法化为同解的上三角
方程组，然后从该三角方程组中按第n个方程、第n1个方程、…、第1个方程的顺序，逐步回代求出线 性方程组的解。
2、构造原理 Gauss消元法的求解过程分为两个: “消元”：把原方程组化为上三角方程组； “回代”：求上三角方程组的解。
©
计算量
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2）Gauss消元法矩阵解释 第1步消元
第n-1步消元后，有
©
L是下三角阵，U是上 三角阵。
A=D-L-U ?
例：研究线性方程组
的Gauss消元法求解结果，假设计算在4位浮点十进 制数的计算机上求解。
解：
用Gauss消元法得
©
用Gauss消元法求解得 其准确解为
数值分析第三章线性方程组迭代法
数值分析第三章线性方程组迭代法线性方程组是数值分析中的重要问题之一，涉及求解线性方程组的迭代法也是该领域的研究重点之一、本文将对线性方程组迭代法进行深入探讨。
线性方程组的一般形式为AX=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x和b是n维向量。
许多实际问题，如电路分析、结构力学、物理模拟等，都可以归结为求解线性方程组的问题。
然而，当n很大时，直接求解线性方程组的方法计算量很大，效率低下。
因此，我们需要寻找一种更高效的方法来求解线性方程组。
线性方程组迭代法是一种基于迭代思想的求解线性方程组的方法。
其基本思想是通过构造一个序列{xn}，使得序列中的每一项都逼近解向量x。
通过不断迭代，可以最终得到解向量x的一个近似解。
常用的线性方程组迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法等。
雅可比迭代法是其中的一种较为简单的迭代法。
其基本思想是通过分解系数矩阵A，将线性方程组AX=b转化为x=Tx+c的形式，其中T是一个与A有关的矩阵，c是一个常向量。
然后，通过不断迭代，生成序列xn，并使序列中的每一项都逼近解向量x。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
其核心思想是利用当前迭代步骤中已经求得的近似解向量的信息。
具体而言，每次迭代时，将前一次迭代得到的近似解向量中已经计算过的分量纳入计算，以加速收敛速度。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
逐次超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
其核心思想在于通过引入一个松弛因子ω，将高斯-赛德尔迭代法中的每次迭代变为x[k+1]=x[k]+ω(d[k+1]-x[k])的形式，其中d[k+1]是每次迭代计算得到的近似解向量的一个更新。
逐次超松弛迭代法可以根据问题的特点调整松弛因子的值，以获得更好的收敛性。
除了以上提到的三种迭代法，还有一些其他的线性方程组迭代法，如SOR迭代法、共轭梯度法等。
这些方法都具有不同的特点和适用范围，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代法。
高斯-赛德尔法--数值分析线性方程组的迭代解法
实验六、高斯-塞德尔法
一、实验目的
通过本实验学习线性方程组的迭代解法。掌握高斯-赛德尔迭代法编程。
二、计算公式
}
if(k==T)printf("\nNo");
else
printf("\n",k);
for(i=0;i<M;i++)
printf("x(%d)=%15.7f\n",i+1,x[i]);
}
四、例题
书P189页例6：用高斯-塞德尔迭代解线性方程组：
取 使得
#include<math.h>
#define M 3
#define N 4
main()
{
double a[M][N]={{8,-3,2,20},
{4,11,-1,33},
{6,3,12,36},
};
double x[M]={0,0,0};//初值
double r,t,q,eps=0.0000202;//需要精度
if(j!=i)q=q+a[i][j]*x[j];
x[i]=(a[i][N-1]-q)/a[i][i];
if(fabs(x[i]-t)>r)r=fabs(x[i]-t);
}
if(r<eps)break;
printf("\nk=%d,",k);
for(i=0;i<M;i++)
printf("\nx[%d]=%lf",i,x[i]);
第3章 解线性方程组的迭代法
第3章 解线性方程组的迭代法3.1 用Jacobi 迭代法和Gauss Seidel -迭代法解线性方程组：(1)1238111151161147x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)12320232418112231530x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭取0[0,0,0]Tx =，迭代五次.解：（1）Jacobi 迭代公式:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=+++4741415165151818181211331123211k k k k k k k k k x x x x x x x x x取0[0,0,0]Tx =，迭代五次:kk x 1k x 2 kx 30 01 -0.125 -3.2 -1.75 2 -0.74375 -3.575 -2.581253 -0.89453125 -3.865-2.8296875 4 -0.961835938 -3.94484375 -2.939882813 5 -0.98559082-3.98034375 -2.976669922故]669922375,-2.9762,-3.98034-0.9855908[5=x .Gauss Seidel -迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=++++++4741415165151818181121113311123211k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取0[0,0,0]Tx =，迭代五次：kk x 1 k x 2 kx 31 -0.125-3.225 -2.58752 -0.8515625 -3.8878125 -2.934843753 -0.977832031 -3.982535156 -2.9900917974 -0.996578369 -3.997334033 -2.998478101 5-0.999476517 -3.999590923 -2.99976686故]997668690923,-2.917,-3.9995-0.9994765[5=x（2）Jacobi 迭代公式:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++25115223818156203101211331123211k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取0[0,0,0]Tx =，迭代五次:kk x 1 k x 2 kx 30 0 1 1.2 1.5 2 2 0.75 1.12.14 3 0.769 1.13875 2.124 0.768125 1.138875 2.125216667 5 0.767331.1383322922.125358333故]32.12535833138332292,0.76733,1.[5=x .Gauss Seidel -迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++25115223818156203101121113311123211k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取0[0,0,0]Tx =，迭代五次：kk x 1 k x 2 kx 30 0 1 1.2 1.352.112 0.74851.14268752.12873753 0.766420625 1.138105234 2.12543163 4 0.767374732 1.138399205 2.12536321 50.767355598 1.138410149 2.12536795故]6795149,2.12538,1.1384100.76735559[5=x3.2 用Jacobi 迭代法解线性方程组123101091102702108x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取初值向量0[0,0,0]Tx =，要求13||||10k k x x --∞-≤，并讨论方差的收敛性.解：Jacobi 迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=+++1081021071021011091012133112211k k k k k k k x x x x x x x取初值向量0[0,0,0]Tx =kk x 1 k x 2 kx 30 0 0 1 0.9 0.7 0.8 2 0.97 0.95 0.94 3 0.995 0.985 0.99 4 0.9985 0.9975 0.997 5 0.99975 0.99925 0.9995 6 0.9999250.999875 0.9998535610000625.0||-≤=-x x ，迭代6次后可以得到满足误差要求的解； ]99985.999875,0.0.999925,0[6=x ，Jacobi 迭代法收敛.3.3 社线性方程12311112211x x ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭讨论解该线性方程的Jacobi 迭代法和Gauss Seidel -迭代法的收敛性. 解：按Jacobi 迭代法展开：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010220022010111122111221U L D A(1) 对于Jacobi 迭代法，其迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=--022101220022101220111)(11L U D B J J B 的特征矩阵为：3221122||λλλλλ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-J B I 解得03,2,1=λ10)(<=J B ρ，故Jacobi 迭代法收敛.(2) 对Gauss Seidel -迭代法，其迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=--200320220010220122111)(11U L D B G G B 的特征矩阵为：2)2(20032022||-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλG B I 解得：01=λ，23,2=λ12)(>=G B ρ，故Gauss Seidel -迭代法发散.3.4 设线性方程组1122332313a x b a x b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中a 为参数，且0a ≠，试求a 的取值范围，使得解该线性方程组的Jacobi 迭代法收敛.解：按Jacobi 迭代法展开：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=030120031020313212a a a U L D a a a AJacobi 迭代法，其迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-031302120313********)(1aaa a a a a aaU L D B J J B 的特征矩阵为：)14(313212||2a aaa a a aB I J +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλ 解得01=λ，i a 142=λ，当1|14||14|)(<==ai a B J ρ，即14||>a 时，Jacobi 迭代法收敛.3.5 用Gauss Seidel -迭代法解线性方程组123142*********x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 是否收敛？若不收敛，则能否改写成线性方程组，使得Gauss Seidel -迭代法收敛.解：（1）按Gauss Seidel -迭代法展开：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000240020040411420014241U L D A 对Gauss Seidel -迭代法，其迭代矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--480816024000024025.05.02014000000240420141)(11U L D B G G B 的特征矩阵为：)20(480816024||2-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλG B I 120)(>=G B ρ,Gauss Seidel -迭代法发散.（2）将A 改写成严格对角占优矩阵，则Gauss Seidel -迭代法必收敛，比如：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120014241C对Gauss Seidel -迭代法，其迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=--163208160240000240128014001000240120141)(11U L D B G G B 的特征矩阵为：316320816024||λλλλλ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=-G B I 10)(<=G B ρ,Gauss Seidel -迭代法收敛.3.7 设迭代法f Bx x k k +=+1，,...)2,1,0(=k ，的迭代矩阵B 的谱半径()0B ρ=，试证明该迭代法最多迭代n 次便可得到方程组x Bx f =+的解*x ，即*n x x =.解：n 阶矩阵B 一定相似于它的若当标准型J ，即存在可逆矩阵P 使得1P BP J -=，因为()0B ρ=，故B 的特征值全为0，于是得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 J 由此可知0n J =.x Bx f =+显然有唯一解*x ，即**x Bx f =+，又1**()k k x x B x x +-=-，于是()*2(2)*(0)*()()n n n x x B x x B x x --=-==-又因为1110n n P BP J B P JP B P J P ---=⇒=⇒==所以()*0n xx -=，即*n x x =.3.8 给定线性方程组Ax b =，其中323,121A b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦若用迭代法,...)1,0)((1=-+=+k b Ax x x k k k α，求解，问：（1） 实数取何值时该迭代法收敛；（2） 实数取何值时该迭代法收敛最快. 解：该迭代公式可改写为b x A I x k k αα-+=+)(1，其对应的迭代矩阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+=ααααα21231A I B ， B 的特征矩阵为：)]1()][41([)21()2()31(||αλαλαλαααλλ+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=-B I ， 解得αλ411+=，αλ+=12，41,0.4()max{|14|,|1|}1,0.4014,0,B ααραααααα--<-⎧⎪=++=+-<<⎨⎪+>⎩（1）1)(<B ρ，即⎩⎨⎧<+<+1|1|1|41|αα，解得021<<-α，该迭代法收敛.（2）在021<<-α上，当4.0-=α时，)(B ρ达到最小，该迭代法收敛最快.3.9 用SOR 迭代法解线性方程1233.21141 3.71 4.511 4.25x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取初始向量0[0,0,0]Tx =， 1.25ω=，迭代三次，并讨论其收敛性. 解：SOR 迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=--+-=++++++)5(2.4)1()5.4(7.3)1()4(2.3)1()1(2)1(1)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)1(1k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ϖϖϖϖϖϖ 取初始向量0[0,0,0]Tx =， 1.25ω=，迭代三次，kk x 1k x 2 kx 31 1.56250.992398649 0.727708736 2 0.499958053 0.857418315 0.902186992 3 0.7501646640.747688781 0.816758774]58774781,0.81674,0.7476880.75016466[)3(=x因A 为对称正定矩阵，10)(<=A ρ，SOR 迭代法必收敛.3.11 用SOR 迭代法解线性方程组123410114140143x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭其精确解*11[,1,]22Tx =-，分别取 1.03ω=，1ω=， 1.1ω=，要求当*5||||10kx x -∞-≤时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数. 解：用SOR 迭代公式：(1)()()112(1)()(1)()2213(1)()(1)332(1)[1]4(1)[4]4(1)[3]4k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x ϖωϖωϖω+++++⎧=-++⎪⎪⎪=-+++⎨⎪⎪=-+-+⎪⎩(1) 取初值向量0[0,0,0]Tx =，当 1.03ω=时k错误!1kx2k x 3k x0 01 0.25751.09630625 -0.490201141 2 0.532073859 1.007893038 -0.498261509 3 0.501070241 1.000486458 -0.499926892 4 0.500093156 1.000028219 -0.499994927 5 0.500004472 1.000001611 -0.499999737 60.500000281 1.000000092 -0.4999999846*5||||0.00000028110x x -∞-=≤，迭代6次后得到满足精度要求的根：]999984092,-0.4991,1.0000000.50000028[6=x(2) 取初值向量0[0,0,0]Tx =，当1ω=时k错误!1kx2k x 3k x0 0 01 0.251.0625 -0.484375 2 0.515625 1.0078125 -0.498046875 3 0.501953125 1.000976563 -0.499755859 4 0.500244141 1.00012207 -0.499969482 5 0.500030518 1.000015259 -0.499996185 6 0.500003815 1.000001907 -0.499999523 70.500000477 1.000000238 -0.499999947*5||||0.00000047710x x -∞-=≤，迭代7次后得到满足精度要求的根：]99994238,-0.4997,1.0000000.50000047[7=x(3) 取初值向量0[0,0,0]Tx =，当 1.1ω=时k错误!1kx2k x 3k x0 010.275 1.175625 -0.5017031252 0.570796875 1.001438281 -0.499434163 0.49331584 0.998173634 -0.500558835 4 0.500166165 1.000074653 -0.499923587 5 0.500003913 1.000014624 -0.500003626 0.50000363 0.999998541 -0.5000000397 0.499999236 0.999999925 -0.5000000177*5||||0.00000076436110x x -∞-=≤，迭代7次后满足精度要求.3.12 考虑迭代法,...)1,0(1=+=+k f Bx x k k其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=021212102121210B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21121f 证明：该迭代法收敛，取初始向量0[0,0,0]Tx =，计算4x . 证：B 的特征矩阵为3212121212121||λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-B I 0)(=B ρ，该迭代法收敛.该迭代法的迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=++=--=+++21212112121212121211331123211k k k kk k k k k x x x x x x x x x 取初始向量0[0,0,0]Tx =，迭代四次：k错误!1kx2k x 3k x0 0 0 0 1 -0.5 1 -0.5 2 0.353553391 0.5 -0.353553391 3 0 1 0 40 1 0 故]0,1,0[)4( x。
数值分析线性方程组的迭代解法
数值分析课程实验报告实验名称 线性方程组的迭代解法Ax b =的系数矩阵对角线元素容许误差。
雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组的算法描述如下：任取初始向量(0)(0)1(xx =1+，并且 1,2,...,n ，计算 11(ni j ii j ib a a =≠-∑()k x ，结束；否则执行④，则不收敛，终止程序；否则转② 迭代法的算法描述）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。
基于这种设想构造的迭代公式,n ，k = （2）算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到(Gauss-Seidel)迭代得到的值进一()()()1((1k i ii k k i i x b a x x ωω==+-1,2,,n ，2,k =（3）为松弛因子（显然当1ω=塞德尔迭代公式） ()k ix 通常优于旧值(1)k ix -，在将两者加工成松弛值时，自然要求松弛因子1ω>，以尽量发挥新值的优势，这类迭代就称为逐次超松弛迭代法。
SOR 迭代的关键在于选取合适的松弛因子，松弛因子的取值对收敛速度影响很大，但如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍未有效解决，在实际计算时，通常依据系数矩阵的特点，并结合以往的经验选取合适的松弛因子。
练习与思考题分析解答(0)(1,1,1,1)x =[ -0.999976, -0.999976, -0.999976, -0.999976]x =[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =塞德尔迭代算法的收敛速度要比雅可比迭代算法的收敛速度快SOR 迭代实质上是高斯原理和基本方法相同。
如果选择合适的松弛因子，它能够加快收敛速度。
SOR 迭代算法更加普通，当选取一个合适的松弛因子后收敛速度明显加快。
迭代算法将前一步的结果[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999993, -0.999994, -0.999995, -0.999995]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =因为为了保证迭代过程收敛，松弛因子1.3左右。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
【分析】数值分析迭代法
【关键字】分析数值分析实验报告（3）学院：信息学院班级：计算机0903班姓名：王明强学号：课题三线性方程组的迭代法一、问题提出1、设线性方程组=x= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )2、设对称正定阵系数阵线方程组=x = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )3、三对角形线性方程组=x= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。
二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；gauss消去法是一种规则化的加减消元法。
它的基本思想是：通过逐次消元计算把需要求求解的线性方程转化成上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组求解转化为等价（同解）的上三角方程组的求解。
消去法是直接方法的一种。
优点：对于简单的方程组可以很快得出结果，计算中如果没有舍入误差，在稳定的方程组中容易得到精确解，理论上可以求解任何可以求出解得方程组。
缺点：数值有的时候不稳定（可采用列主元gauss消去法），既要消去，又要回代，算法实现起来比较复杂，不适用于大规模方程组。
迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发，按照一个适当的迭代公式，逐次计算出向量x(1)，x(2)，......，使得向量序列{ x(k)}收敛于方程组的精确解，这样，对于适当大的k，可取x(k)作为方程组的近似解。
优点：算法简单，程序易于实现，特别适用求解庞大稀疏线性方程组。
第三章 线性方程组的迭代解法
定理3.2 若 ||B|| =q<1，则由迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f 和任意初始 向量x(0)产生的迭代序列x(k)收敛于准确解x*. 本定理是迭代法收敛的充分条件，它只能判别收敛的情况，当 ||B|| ≥1时,不能断定迭代不收敛.但由于||B||,特别是||B|| 1和||B|| ∞ 的计算比较容易，也不失为一种判别收敛的方法。 同时当||B|| <1时可以用来估计迭代的次数，或用来设置退出 计算的条件. 这时有定理3.3和定理3.4 定理3.3 若||B|| =q<1，则迭代格式x(k+1) =Bx(k)+f产生的向量序 k 列 {x(k)}中 q (k ) * (0) (1 )
3.2 几种常用的迭代法公式 3.2.1 Jacobi迭代法
先看一个算例：
10 x 1 2 x 2 x 3 3 例1 2 x 10 x x 15 1 2 3 x 2 x 5 x 10 1 2 3
从以上三个方程中分别解出x1, x2, x3
|| x x || 1 q || x x || ( 3 . 17 )
利用此定理可以在只计算出x(1)时，就估计迭代次数k，但估 计偏保守，次数偏大. 称为事前误差估计. 13 结束
x2
x3
0
0
可见它对这一方程组比Jacobi迭代法收敛快一些。
Gauss-Seidel迭代法的公式如下：
xi
( k 1)
bi a ii
1 i 1 a ij x (j k 1 ) a ii j 1
n
a ij x j
(k )
j i 1
i 1, 2 , n k 0 ,1, 2 ,
3线性方程组的迭代解法
三、逐次超松弛法(SOR方法)
逐次超松弛法(Successive Over Relaxation Method)可 看成是Gauss-Seidel方法的加速，Seidel迭代法是SOR方法的 特例。将Seidel方法的迭代公式
改写为
x(k1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k 1) ij j
k
0
1
2
3
4
5
6
x1
0
2.5000 2.9773 3.0098 2.9998 2.9999 3.0000
x2
0
2.0909 2.0289 1.9968 1.9997 2.0001 2.0000
x3
0
1.2273 1.0041 0.9959 1.0002 1.0001 1.0000
可见Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛要快一些。
x（k 1) BJ x(k ) f J
0
其中
a21
a22
BJ D1(L U )
an1 ann
a12 a11 0
an2 ann
a13 a11
a23 a22
7
a1n1 a11
a2n1 a22
ann1 ann
a1n
a11
a2 n
a22 , fJ D1b
0
二、 Gauss-Seidel 迭代法
x(k ) i
xi(k )
x(k ) i
1 aii
bi
i 1
a x(k 1) ij j
j 1
n
aij
x(jk
)
j i
为加快收敛，在增量 xi(k ) 前加一个因子
工程硕士 数值分析 第三章 线性方程组的迭代解法
证明： ① x * x ( k ) B( x * x ( k 1) ) B ( x * x ( k ) x ( k ) x ( k 1 ) ) (k ) (k ) ( k ) ( k 1) || x * x || q(|| x * x || || x x ||)
其中
x (0) ( x1(0) , x2(0) ,, xn (0) )
是迭代初值。
写成矩阵形式：
A=
D
U
Ax b
(D L U )x b Dx ( L U ) x b 1 1 x D (L U )x D b
L
写成迭代法形式
( k 1 ) (k ) 1 1 x D (L U )x D b
( k 1) (k ) 即 x Bx f
1
1 其中 B D ( L U ), f D b
B称为Jacobi 迭代阵
§3.2 高斯-赛德尔(Gauss - Seidel )迭代法
Jacobi法可能不收敛；
而Jacobi法收敛时， Gauss-Seidel法也
可能不收敛。
§3.3 超松弛迭代法
换个角度看Gauss - Seidel 方法： i 1 n 1 ( k 1) ( k 1) xi [bi aij x j aij x (jk ) ] aii j 1 j i 1 ri( k 1) ( k 1 ) (k ) x i( k ) 其中ri(k+1) = bi aij x j aij x j a ii j i j i
( ( ( ( ( x1k 1) 1 ( a12 x2k ) a13 x3k ) a14 x4k ) a1n xnk ) b1 ) a11 ( ( ( ( ( x2k 1) 1 ( a21 x1k 1) a23 x3k ) a24 x4k ) a2 n xnk ) b2 ) a22 ( ( ( ( ( x3k 1) 1 (a31 x1k 1) a32 x2k 1) a34 x4k ) a3 n xnk ) b3 ) a33
第3章_解线性方程组的迭代法
第3章 解线性方程组的迭代法§1 Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法（I ）迭代概念（1） A x b = ， n n A R ⨯∈， nb R ∈A M N =- ， n n M R ⨯∈ ， n n N R ⨯∈ ，M 非奇异M x N x b-= Mx Nx b =+11x M Nx M b --=+如果令 11,B M N f M b --==，那么上式写成（2） x B x f =+ 此方程组等价于A x b= 任给(0)n xR ∈，(1)(0)x B x f =+(2)(1)xB x f =+（3） (1)()k k xBx f +=+由（3）可以确定{}()k x ，当()*k n xx R →∈，即()*0k x x -→ 时，有**x Bx f =+*x 同样满足 *Ax b =定义 式（3） (1)()k k xBx f +=+称为求解 （1）Ax b = 的简单形式迭代法，B 称为迭代矩阵。
（II ）Jacobi 迭代法Ax b =写成分量形式有1,1,2,,nij ji j a xb i n ===∑111,1,2,,i nii i ij j ijji j j i a x a x a xb i n -==+++==∑∑假定 0ii a ≠ ，那么有1111(),1,2,,i ni i ij j ij j j j i ii x b a x a x i n a -==+=--=∑∑迭代法为任给 (0)(0)(0)(0)12(,,,)T n n x x x x R =∈1(1)()()111(),1,2,,;0,1,i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n k a -+==+=--==∑∑即：{}{}{}(1)()()()11122133111(1)()()()22211233222(1)()()()1122,111(1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n n nnx b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a +++--⎧=----⎪⎪⎪=----⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩上式迭代方法称为Jacobi 迭代 例1.1用Jacobi 迭代法解方程组123123123522142241x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩解 Jacobi 迭代方法为(1)()()()()123231(122)0.20.40.45k k k k k x x x x x +=-+=-+ (1)()()()()213131(2)0.50.250.254k k k k k x x x x x +=--=-- (1)()()()()312121(12)0.250.250.54k k k k k x x x x x +=--+=--+取 (0)3(0,0,0)T xR =∈()()()123000010.20.50.2520.10.51250.05110.0000080.4998820.000039120.0000340.4999880.000025130.0000150.5000020.000003k k k k x x x ------方程组 Ax b =的准确解为*3(0,0.5,0)Tx R =∈。
数值分析线性方程组迭代法实验
实验报告
一、实验目的
体会求解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛速度。
二、实验题目
用迭代法分别对200,20==n n 解方程组b Ax =，其中
n
n A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------=431513143151513143151513143151513143151314
（1）选取不同的初值0x 和不同的右端向量b ，给定迭代误差，用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法计算,观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；
(2）取定初值0x 和右端向量b ，给定迭代误差，将A 的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi 迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。
三、实验原理
求解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法
四、实验内容及结果
1.Jacobi 迭代法：
4。
设取定的初值x0=ones(n,1），b=2*ones（n,1）；改变A的主对角线元素成倍放大，只需要将第二步中的
五、实验结果分析
（1）前面四个程序输出的结果,都有迭代次数和x的值，说明矩阵是收敛的。
Gauss-seidel的迭代速度比Jacobi的迭代速度快。
(2）观察k值发现迭代次数是减少的,再根据已学的知识，可以推断出随着A的主对角元值的成倍放大收敛的速度加快。
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x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
令 G1 (D L)1U , d1 (D L)1b
则高斯-塞德尔迭代形式为：
x (k 1) G1 x (k ) d1
其具体计算公式如下：
⑴ 用高斯—塞德尔迭代法定义辅助量。
~xi(k 1)
1 aii
bi
i 1
aij x j (k 1)
j 1
n
aij
x
j
(
k
)
,
(i
j i 1
1,2,...,n)
⑵
把
取为 与 x (k1) i
x (k ) i
~xi(k 1) 的加权平均，即
x (k 1) 1
x (k 1) 2
x1(k 2x1(k)
)
x(k) 2
4x2(k )
3 3
取
x (0) 1
x (0) 2
0
计算得
xx2(1(11))
3 3,
xx2(1(22))
3 3,
xx2(1(33))
9 9,
xx2(1(44))
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是 带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高 斯-塞德尔迭代的一种加速方法。
0.4925 )T
0.4939 )T 0.4936 )T
1,2,3)
解 GaussSeidel 迭代格式为
x1(k x2(k
1) 1)
( (2x1(k 1)
x(k) 2
x(k) 3
1)
/
8
x(k) 3
4)
/ 10
x3(k
1)
( x1(k 1)
§ 3.4.1超松弛迭代法的基本思想
超松弛迭代法目的是为了提高迭代法的收敛速
度，在高斯—塞德尔迭代公式的基础上作一些修改
。这种方法是将前一步的结果
x
( i
k
)与高斯-塞德尔迭
代方法的迭代值 ~xi(k1) 适当加权平均，期望获得更好
的近似值
x (k 1) i
。是解大型稀疏矩阵方程组的有效方
法之一，有着广泛的应用。
§ 3.3.3 高斯—塞德尔迭代算法实现
高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图
与雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元 xi
的某个新值
x (k 1) i
后,
就改用新值
x (k 1) i
替代老
值
x (k ) i
，再进行这一步剩下的计算。
§ 3.4 超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
§3.1 迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是将线性方程组转化 为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始 值 xi(0) (i 1,2,, n) ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度 要求的方程组的近似解。
设 A Rnn 非奇异，b Rn，则线性方程组
Ax b 有惟一解 x A1b ，经过变换构造
写据成此建立n 迭ai代j x公j 式 bi
i 1,2,, n
上若xi式(xkai称1ii)为0ja1解a11i(iiii方((bb程1ii,2组,jj的njn,1i n1Jaa)aijcxio,j分(jxbk)ij离)迭) 代出公i变i式量1,。21x,,2i , n , n j i
15 15,
xx2(1(55))
33 33,
迭代解离精确解 x1 1, x2 1 越来越远 迭代不收敛
§3.2 雅可比（Jacobi）迭代法
§3.2.1雅可比迭代法算法构造 例2 用雅可比迭代法求解方程组
8x1 3x2 2x3 20 4x1 11x2 x3 33
(k j
)
)
j i 1
(i=1,2,…,n k=0,1,2,…)
例3 用Gaxu(s1)s (S0e.i1d2e5l0迭, 代0格.37式50解, 方程0组.5000 )T
x*精≈ 确xxxx82x要((i((341x4x2))))11求x为((x(1x0200i(02..ε3.222)x22352=454xx050433.0,,,0x.003 0105300.5..333,0400553961,,,(i
an1
an2
ann1 0
a1n
a2n
an1n
0
记作 A = D + L + U
则 Ax b 等价于 (D L U )x b
即 Dx (L U )x b 因为 aii 0(i 1,2,, n)
x D1(L U )x D1b
( x1(k ) , x2(k ) , x3(k ) )
（k=1, 2, …）
直到求得的近似解能达到预先要求的精度，
则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线
性方程组的解。 当迭代到第10次有
x (10)
(
x (10) 1
,
x (10) 2
,
x (10) 3
)T
(3.000032 ,
1.999838 ,
, 故 x* 是方程组 Ax b 的解。
对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。 并非全部收敛
例1 用迭代法求解线性方程组
2x1 2x1
x2 5x2
3
3
解 构造方程组的等价方程组
x1 x2
x1 2x1
x2 3 4x2 3
据此建立迭代公式
§3.2.2 雅可比迭代法的矩阵表示
设方程组 Ax b 的系数矩阵A非奇异，且主对
角元素 aii 0(i 1,2,, n) ，则可将A分裂成
a11
A
a22
0
a21
0
0 a12 a13
0 a23
a31
a32
0
0
ann
A=d+L+U, 则超松弛迭代公式用矩阵表示为
x(k1) (1 )x(k ) D1(b Lx(k1) Ux(k ) )
或 Dx(k1) (1 )Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
yi xi i =1,2,…,n
max
1i n
xi
yi
?
n n
k=M? y
输出迭代 失败标志
y
输出
y1, y2,… yn
§ 3.3 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法
§ 3.3.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想
在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次
的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值
an2 x2(k )
an
n1 xn(k)1
bn )
(k=0,1,2,…)
3.2.1
雅 可 比 迭 代 法 的 算 法 实 现
输入 aij,bi,和 方程阶数 n,ε ,M
1k
n
(bi aij x j ) / aii yi j 1 j i
i 1,2,, n
k+1k
，即在求
x (k 1) i
时用新分量 x1(k
1)
,
x 2( k
1)
,,
x (k 1) i 1
代替旧分量
x1(
k
)
,
x2(k
)
,,
x(k) i 1
, 就得到高斯-赛德尔迭
代法。其迭代法格式为：
x(k1) i
1 aii
(bi
i1
aij
x
(k j
1)
j 1
n
aij
x
，则
这样便得到一个迭代公式
x(k1) D1(L U )x(k ) D1b
令
B D1(L U ) f D1b
则有
x (k 1) Bx (k ) f （k = 0,1,2…）
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
出一个等价同解方程组 x Gx d 将上式改写成迭代式
x (k 1) Gx (k ) d (k 0,1,)
选定初始向量 x(0) x1(0) , x2(0) ,, xn(0) T ,反复不断
地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到 满足精度要求为止。这种方法称为迭代法
精确解x*= (3, 2, 1)T
6x1 3x2 12x3 36