数值分析第四版习题及答案

第四版

数值分析习题

第一章绪论

1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、

2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、

3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指

出它们就是几位有效数字:

4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限:

其中均为第3题所给得数、

5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少?

6.设按递推公式

( n=1,2,…)

计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差?

7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、

8.当N充分大时,怎样求?

9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增

加,而相对误差却减小、

11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程

稳定吗?

12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好?

13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

计算,求对数时误差有多大?

14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠?

15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足

第二章插值法

1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令

证明就是n次多项式,它得根就是,且

、

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、

3.

4.,

研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

5. 设,k =0,1,2,3,求、

6. 设为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) ii) 7. 设且,求证

8. 在上给出得等距节点函数表,若用二次插值求得近似值,要使截断误差不超过,问使用函数

表得步长应取多少? 9. 若,求及、

10. 如果就是次多项式,记,证明得阶差分就是次多项式,并且为正整数)、 11. 证明、 12. 证明 13. 证明

14. 若有个不同实根,证明

15. 证明阶均差有下列性质: i) 若,则; ii) 若,则、 16. ,求及、

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项就是

并由此求出分段三次埃尔米特插值得误差限、

18. 求一个次数不高于4次得多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值得误差限、 19. 试求出一个最高次数不高于4次得函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,、 20. 设,把分为等分,试构造一个台阶形得零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到、 21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处得与得值,并估计误差、 22. 求在上得分段线性插值函数,并估计误差、 23. 求在上得分段埃尔米特插值,并估计误差、

i) ii)

25. 若,就是三次样条函数,证明

i)

[][][][]2

2

2

()()()()2()()()b

b

b

b

a a

a

a

f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx

"-"="-"+""-"⎰

⎰⎰

⎰; ii) 若

,式中为插值节点,且,

则

[][][]

()()()()()()()()()b

a

S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰

、

26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点得值得程序框图(可用(8、7)式得表达

式)、

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为得伯恩斯坦多项式、

(b)对在上求1次与三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应得马克劳林级数部分与误差做比较、 2. 求证:

(a)当时,、 (b)当时,、

3. 在次数不超过6得多项式中,求在得最佳一致逼近多项式、

4. 假设在上连续,求得零次最佳一致逼近多项式、

5. 选取常数,使达到极小,又问这个解就是否唯一?

6. 求在上得最佳一次逼近多项式,并估计误差、

7. 求在上得最佳一次逼近多项式、

8. 如何选取,使在上与零偏差最小?就是否唯一? 9. 设,在上求三次最佳逼近多项式、 10. 令,求、

11. 试证就是在上带权得正交多项式、

12. 在上利用插值极小化求1得三次近似最佳逼近多项式、

13. 设在上得插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使

14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差、

15. 在上利用幂级数项数求得3次逼近多项式,使误差不超过0、005、

16. 就是上得连续奇(偶)函数,证明不管就是奇数或偶数,得最佳逼近多项式也就是奇(偶)函

数、

17. 求、使为最小、并与1题及6题得一次逼近多项式误差作比较、 18. 、,定义

()(,)()();()(,)()()()();

b b

a

a

a f g f x g x dx

b f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰

问它们就是否构成内积? 19. 用许瓦兹不等式(4、5)估计得上界,并用积分中值定理估计同一积分得上下界,并比较其结

果、

20. 选择,使下列积分取得最小值:、

21. 设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为得最佳平方逼近,并比较其结果、 22. 在上,求在上得最佳平方逼近、

23. 就是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

、

24. 将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差

图形,再计算均方误差、 25. 把在上展成切比雪夫级数、

26.

27.

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合得程序框图、 30. 编出改进FFT 算法得程序框图、

31. 现给出一张记录,试用改进FFT 算法求出序列得离散频谱

第四章 数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中得待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出得求积公式所具