数值分析第九章PPT

（隐式欧拉公式 ）
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由于未知数yn+1同时出现在等式的两边， 不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前 者称为显式欧拉公式. 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解.
隐式欧拉法的局部截断误差：
T n 1y (x n 1)y % n 1 h 2 2y(x n) O (h 3)O (h 2)
即隐式欧拉公式具有1阶精度.
欧拉法的局部截断误差：
T n 1 y (x n 1 ) y % n 1 [y (x n ) h y (x n ) h 2 2y (x n ) O (h 3 )] [y (x n ) h f(x n ,y (x n ))]
h 2 2y (x n ) O (h 3) O (h 2)
所以欧拉法具有 1 阶精度. 7
要求T n 1y (x n 1)y n 1 O (h 3), 则必须有：
12 1, 2p12
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
所以存在无穷多个解！ 25
所有满足上式的统称为2阶Runge-Kutta格式.
yn1 yn h[1 K 1 2 K 2 ]
K1
f ( xn , yn )
Lipschitiz条件：若存在正数L,使得对一切 x, y1, y2有 |f(x ,y 1 ) f(x ,y 2 )| L |y 1 y 2 | 则称f(x, y)满足Lipschitiz条件.
欧拉法的总体截断误差：
en1y(xn1)yn1
设 y % n 1 y ( x n ) h f( x n ,y ( x n ) ) , 那么
yy0y(x 0)(xx 0)y0f(x 0,y0)(xx 0)
当x=x1时，代入有 y1y0hf(x0,y0) 这样得到y(x1)的近似值y1的方法.
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重复上述方法，当 x=x2 时 y2y1hf(x1,y1) 依次可以计算出x3, x4, …处的近似值y3, y4, … 由此得到Euler公式：
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梯形公式的局部截断误差
T n 1y(x n 1)y % n 1 h
y(x n 1)y(x n )2[f(x n ,y(x n ))f(x n 1 ,y(x n 1 ))]
hy'(xn)h22 y(xn)h63 y(xn)O(h4) h 2y'(xn)h 2[y'(xn)hy(xn)h22 y(xn)O(h3)]
h y (x n 1 ) y (x n ) 2 [f(x n ,y (x n )) f(x n 1 ,y (x n 1 ))]
用yn来近似y(xn),用yn+1来近似y(xn+1), 得 梯形公式
h yn 1yn2[f(xn,yn)f(xn 1,yn 1)]
梯形公式是隐式的，可以用迭代法求解.
考察改进的欧拉法，可以将其改写为：
yn1
yn
h
1 2
K1
1 2
K2
K1 f ( xn , yn )
斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？
K2 f ( xn h, yn hK1 ) 步长一定是一个h 吗？
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1 二阶Runge-Kutta方法 将改进欧拉法推广为：
K yn 1 1fy(n xn ,h y[n)1K12K2]
由 y(1) = y0 =1 计算得
y1 0.63171 y(1.2) 0.715488
y2 0.47696 y(1.4) 0.52611
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二、Runge-Kutta方法
建立高精度的单步递推格式. 单步递推法的基本思想是从(xn , yn )点出发，以 某一斜率沿直线达到(xn+1 , yn+1 )点. 欧拉法及 其各种变形所能达到的最高精度为2阶.
(2)再将y n 1 代入梯形公式的右边作校正,得到
h yn 1yn2[f(xn,yn)f(xn 1,yn 1)]
y n 1 y n h 2 f(x n ,y n ) fx n 1 ,y n h f(x n ,y n )
注：此法亦称为预测-校正法.可以证明该算 法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递 推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单.
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例 用梯形公式求解初值问题(步长h=0.2)
y 8 3 y (1x2)
y(1) 2
解： 梯形公式为
于是
h yn 1yn2[f(xn,yn)f(xn 1,yn 1)] yn1yn02 .2[83yn83yn1]
整理得
7 16 yn1 13 yn 13
由 y(1) = y0 = 2 依次可得 y1, y2, y3, y4, y5.
ym y(xm)
也就是说，ym收敛到方程的准确解 y ( x m )
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后退Euler公式（隐式欧拉法） 利用向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0)
y (x 1 ) y (x 0 ) h f(x 1 ,y (x 1 ) ) y ( x n 1 ) y ( x n ) h f ( x n 1 ,y ( x n 1 ) )
00.1 ((0.1)2100(0)2) 0.001
y(0.2) y3 y2hf(x2,y2)
0 0 .1 ((0 .2 )2 1 0 0 (0 .0 0 1 )2 ) 0.005
Euler公式的截断误差
局部截断误差：一步Euler公式产生的误差; 总体截断误差：Euler公式的累积总误差;
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定义 在假设yn = y(xn)，即第i步计算是精确的 前提下，考虑的截断误差Rn = y(xn+1) yn+1 称 为局部截断误差. 定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则 称该算法有p 阶精度.
d
x
f (x, y)
y ( x 0 ) y 0
的数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散点
x 0 x 1 L x m x处的近似值 y0,y1,L,ym的方法. 相邻两个节点间的距离 hxn1xn称为步长.
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一、 Euler方法 1 欧拉公式 由初值条件 y(x0) y0 表示积分曲线从 P0(x0, y0 ) 出发，并在 P0(x0, y0 ) 处的切线斜率为 f ( x0 , y0 ) 因此可以设想积分曲线在 x=x0 附近可以用切 线近似的代替曲线. 切线方程为
yn1ynhf(xn,yn)
由于用折线近似代替方程的解析解，所以 Euler方法也称为Euler折线法.
例 用Euler法计算初值问题的解在x=0.3时的 近似值，取步长h=0.1 .
y x2 100 y2 y(0) 0
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解：y(0.1) y1 y0hf(x0,y0)
00.1((0)2100(0)2) 0 y(0.2) y2 y1hf(x1,y1)
而前面的三种算法都是单步法.
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方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
精度低
精度低, 计算量大 计算量大
多一个初值, 可能影响精度
有没有一种方法，既有这些方法的优点，而 没有它们的缺点？
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改进欧拉法 (1)先用显式欧拉公式作预测，算出
yn1ynhf(xn,yn)
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特别当n=m-1时，有
|em||y(xm)ym|O(h)[(1hL)m1]
1
Q lim ( 1 h L ) m lim [ ( 1 h L )h L ] L (x m x 0 ) e L (x m x 0 )
h 0
h 0
|em|O(h) 总体误差与h是同阶的.
上式还说明，当 h 0 时，有 em 0 即
y ( x n ) ( 1 2 ) h y ( x n ) 2 p h 2 y ( x n ) O ( h 3 )
(3) 将yn+1与y( xn+1 )在xn点的泰勒展开作比较
y n 1 y ( x n ) ( 1 2 ) h y ( x n ) 2 p h 2 y ( x n ) O ( h 3 ) y (x n 1 ) y (x n ) h y (x n ) h 2 2y (x n ) O (h 3 )
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例 用改进欧拉法求解初值问题
y y y2 sinx 0 y(1) 1
要求步长h=0.2，并计算y(1.2)和y(1.4)
解：改进欧拉法公式为
yn1ynhf(xn,yn)
h
即
yn1yn2[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]
y y n n 1 1 y y n n 0 0 ..1 2 [(y y n n y y n 2 n 2s siin n x x n n) yn 1yn 2 1sin x n 1] 20
1 1 2y(xn)h3O (h4)O (h3)
具有2阶精度.
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中点欧拉公式
中心差商近似导数
y(x1)y(x2)2hy(x0)
y (x 2 ) y (x 0 ) 2 h f(x 1 ,y (x 1 ))
y n 1 y n 1 2 h f(x n ,y n )
假设yn 1y(x n 1),yny(x n ), 则可以导出 即中点公R n 式 具y 过(需有x 程n 要 1 ，22)个阶 这y 初样精n 值1 的度 算y.O 0和法(h 称3 y)1来为启双动步递法推，
y (x n ) p h y (x n ) O (h 2 )
y(x)ddxf(x,y)fx(x,y)fy(x,y)ddxy fx(x,y)fy(x,y)f(x,y)
K1f(xn,yn)
(2) 将 K2 代入第1式，得到
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y n 1 y n h { 1 y ( x n ) 2 [ y ( x n ) p h y ( x n ) O ( h 2 ) ] }
K2f(xnph,ynphK1)
首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的