2000年考研数学(四)试题

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2000数学四--考研数学真题详解

2000 年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析
一、填空题
∫ （1） arcsin x dx = ____________.
x
【答】 2 x arcsin x + 2 1 − x + C
【详解】令 t = x .，则 dt = 1 dx, dx = 2tdt 故 2x
∫
arcsin x
【答】 a 2 (a − 2n )
⎡ 1 0 −1⎤
【详解 1】
因为
A = αα T
=
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
,
αα
T
=
2，
⎢⎣−1 0 1 ⎥⎦
故有 An = αα T ⋅αα T ⋅ αα T
= α (α Tα )n−1α T = 2n−1 A,
故有 aE − An = aE − 2n−1 A
a − 2n−1 0 2n−1 = 0 a 0 = a2(a − 2n )
b→+∞ 1 e(e2 + e2x ) e b→+∞ 2
1
= e−2 (π − π ) = π e−2. 24 4
五、（本题满分 8 分）假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是
p1 = 18 − 2Q1 ， p3 = 12 − 2Q2 ，其中 p1, p2 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/顿），Q1和Q2 分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5 ，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，
bx
)
3 x
3 ln ax +bx

2000-2013年考研数学三历年真题及真题解析(世上最全收录)

研究生入学考试2000到2013年最新最全数学三考试试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2003年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a TΛα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分）计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-，则a =______，b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2fu v∂=∂∂______. (3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=______.(6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ，总体Y 服从正态分布()22,N μσ，112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则()()122211122n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______. 二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,fx g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则（A ）0x =必是()g x 的第一类间断点（B ）0x =必是()g x 的第二类间断点（C ）0x =必是()g x 的连续点（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-，则（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点（B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点（C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点（D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题： ① 若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛② 若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛③ 若1lim1n n nu u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散 ④ 若()1nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n a ∞=∑，1n n v ∞=∑都收敛则以上命题中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④(11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是（A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a > （B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b > （C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '= （D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x = (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当()0A a a =≠时，B a = （B ）当()0A a a =≠时，B a =- （C ）当0A ≠时，0B = （D ）当0A =时，0B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量（C ）含有两个线性无关的解向量（D ）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，对给定的()0,1α∈，数n u 满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（A ）2u α （B ）12uα-（C ）12u α- （D ）1u α-三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭.（16）（本题满分8分）求)Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()xxa a f t dt g t dt ≥⎰⎰，[),x ab ∈，()()bb aaf t dtg t dt =⎰⎰证明：()()bbaaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格()0,20P ∈，Q 为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性()0d d E E >；（Ⅱ）推导()1d dRQ E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 的和函数为()S x .求：（Ⅰ）()S x 所满足的一阶微分方程；（Ⅱ）()S x 的表达式.（20）（本题满分13分）设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+，()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时，（Ⅰ）β不能由123,,ααα线性表示；（Ⅱ）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵111b b bb A bb ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L. （Ⅰ）求A 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分13分）设,A B 为两个随机事件，且()()()111,,432P A P B A P A B ===，令 1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生 1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生求：（Ⅰ）二维随机变量(),X Y 的概率分布；（Ⅱ）X 与Y 的相关系数XY ρ；（Ⅲ）22Z X Y =+的概率分布.（23）（本题满分13分）设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本. （Ⅰ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量；（Ⅱ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量；（Ⅲ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限22lim sin1x xx x →∞=+______. (2) 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为______. (3) 设二元函数()()1ln 1x yz xex y +=+++，则()1,0dz =______.(4) 设行向量组()()()()2,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,1a a a 线性相关，且1a ≠，则a =______.(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则{}2P Y ==______.(6) 设二维随机变量(),X Y 的概率分布为若随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则a =______，b =______.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当a 取下列哪个值时，函数()322912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8(8) 设()()22222123,cos ,cos DDDI I x y d I x y d σσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤，则（A ）321I I I >> （B ）123I I I >> （C ）213I I I >> （D ）312I I I >> (9) 设0,1,2,,n a n >=L 若1nn a∞=∑发散，()111n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（A ）211n n a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散（B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散（C ）()2121n n n aa ∞-=+∑收敛（D ）()2121n n n a a ∞-=-∑收敛(10) 设()sin cos f x x x x =+，下列命题中正确的是（A ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极小值（B ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极大值（C ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极大值（D ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是（A ）若()f x '在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界（B ）若()f x 在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界（C ）若()f x '在()0,1内有界，则()f x 在()0,1内有界（D ）若()f x 在()0,1内有界，则()f x '在()0,1内有界 (12) 设矩阵()33ijA a ⨯=满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（A ）3 （B ）3 （C ）13（D (13) 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则()112,A ααα+线性无关的充分必要条件是（A ）10λ= （B ）20λ= （C ）10λ≠ （D ）20λ≠ (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求011lim 1x x x e x -→+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（16）（本题满分8分）设()f u 具有二阶连续导数，且(),y x g x y f yfx y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求222222g g x y x y ∂∂-∂∂.（17）（本题满分9分）计算二重积分221Dx y d σ+-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.（18）（本题满分9分）求幂级数211121n n x n ∞=⎛⎫-⎪+⎝⎭∑在区间()1,1-内的和函数()S x .（19）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[]0,1上的导数连续，且()()()00,0,0f f x g x ''=≥≥.证明：对任何[]0,1α∈，有()()()()()()11ag x f x dx f x g x dx f a g ''+≥⎰⎰（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（ⅰ）123123123230,2350,0,x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 和（ⅱ）()12321230,210,x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 同解，求,,a b c 的值.（21）（本题满分13分）设T AC D C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中,A B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为m n ⨯阶矩阵.（Ⅰ）计算T P DP ，其中1mn E A C P OE -⎛⎫-=⎪⎝⎭；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵1T B C A C --是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()0,01,02,,1,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它. 求：（Ⅰ）(),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（Ⅱ）2Z X Y =-的概率密度()Z f z ；（Ⅲ）1122P Y X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（23）（本题满分13分）设()12,,,2n X X X n >L 为来自总体()20,N σ的简单随机样本，其样本均值为X ，记,1,2,,i i Y X X i n =-=L .（Ⅰ）求i Y 的方差,1,2,,i DY i n =L ；（Ⅱ）求1Y 与n Y 的协方差()1,n Cov Y Y ；（Ⅲ）若()21n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c .2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) ()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()ef x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=(3) 设函数()f u 可微，且()102f '=，则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则（）(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 (9) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（）(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（）(A) []12()()C y x y x -. (B) []112()()()y x C y x y x +-. (C) []12()()C y x y x +. (D) []112()()()y x C y x y x ++ (11) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. (12) 设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关.(13) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=.(C) T C P AP =. (D) T C PAP =.(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，随机变量Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有（）(A) 12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+，求： (Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→。

历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐

历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计”第一章§1.11、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ⋃=不等价的是（） A 、A B ⊂ B 、B A ⊂ C 、AB =Φ D 、AB =Φ2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。

以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（）(A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {}(4)0T t ≥ §1.21、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. §1.31、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B =(C )()1()P A P B =-(D )()1P A B ⋃=2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤P A P B P AB (D ) ()()()+2≥P A P B P AB3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（）（A ）()()()P AB P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.41、（2005数学一、三）（6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y ，则}2{=Y P =____________.2、（2006数学一）(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A )()()P A B P A ⋃>(B )()()P A B P B ⋃> (C )()()P A B P A ⋃= (D )()()P A B P B ⋃=3、（2012数学一、三）(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 。

(NEW)浙江大学819数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)

数列与，当
时，有
．
二、（15分) 设函数在区间
且
，
．试证明：
内具有直到三阶的连续导数，绝对收敛．
三、（15分) 设函数在区间，在点的左导数
，
．证明：
上可微，且在点的右导数在内至少有两个零点．
四、（15分) 设函数在区间上
可积，且
．
试证明：存在闭区间
使得当
时，
．
五、（15分) 证明：若一开区间覆盖了闭区间，则必存在一
求曲面积分
，其中是曲面
的上侧.
五、（15分) 设二元函数 .
试比较
与
给出一个使等式之.
在正方形区域
上连续，记
的大小并证明之；成立的充分条件并证明
六、（15分) 设是在上可积且在处连续的函数，记 .
证明：
.
2000年浙江大学804数学分析考研真题
浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
，成立
六、（15分) 计算曲面积分
其中
，常数
. .
七、（15分) 设为单位球：常数，计算：
，又设为不全为零的 .
八、（20分) 设函数
，证明级数
收敛.
九、（15分) 设在
任意
，有
.证明在
上可微，
，
.
.若有常数，使得对
2005年浙江大学427数学分析考研真题及详解
2004年浙江大学427数学分析考研真题
2013年浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：数学分析（A）（819）
考试科目：数学分析（A）（819）

2000考研数一真题答案及详细解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
(1)【答案】
4
【详解】 I 1 2x x2 dx 1 1 (x 1)2 dx
0Байду номын сангаас
0
解法 1：用换元积分法：设 x 1 sin t ，当 x 0 时，sin t 1，所以下限取；当 x 1 2
时， sin t 0 ，所以上限取 0 .
f
(x,
y,
z)dS
若f (x, y, z)关于y为奇函数若f (x, y, z)关于y为偶函数
其中 S1 S {y 0} .
性质 3：设 f (x, y, z) 在分块光滑曲面 S 上连续， S 关于 xoy 平面对称，则
0
S
f
(x,
y,
z)dS
2
S1
f
(x,
y,
z)dS
若f (x, y, z)关于z为奇函数若f (x, y, z)关于z为偶函数
性无关知， r 1,, m r 1,, m m, 因此 1,, m 线性无关，充分性成立；当m
= 1时，考虑1 (1, 0)T , 1 (0,1)T 均线性无关，但1 与 1 并不是等价的，必要性不成立.
(D) 剩下(D)为正确选项. 事实上，矩阵 A 1,, m 与矩阵 B 1,, m 等价 ⇔ r A =r B ⇔ r 1,, m r 1,, m m, 因此是向量组 1,, m 线性无关的充要
1
lim
x0
2 1
ex
4
ex
sin x
x
1.
四【详解】根据复合函数的求导公式，有
z x
f1 ' y
f

1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题

1．在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数2．在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

3．设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。

4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。

数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。

用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。

证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。

5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。

在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。

试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。

（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。

令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题本试卷满分150分考试时间 3小时日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

2000年考研数学试题详解及评分参考

……2 分
即 f (x) ( 1 1) f (x) 1 e2x , x 0 .按一阶线性非齐次微分方程通解公式，有
x
x
f
(
x)

e
(1
1 x
)dx
[
1
e2x

e
(
1 x
1)
dx
dx

C]ex[ Nhomakorabea1 e2x.xexdx C] ex (ex C) .
……5 分
f22

1 x2
g y x3
g .
……5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I xdy ydx ，其中 L 是以点 (1, 0) 为中心，R 为半径的圆周 (R 1) .
L 4x2 y2
取逆时针方向.
解： P

y 4x2
y2
,Q
x 4x2
y2
P

0，
……4 分
即得
L
xdy ydx 4x2 y2

C
xdy ydx 4x2 y2

2 0
1 2

2
2
d

.
……6 分
六、(本题满分 7 分) 设对于半空间 x 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S ，都有
2000 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000 年数学试题详解及评分参考
所以 zdS 4 xdS ，故选 (C).
S
S1

(3) 设级数 un 收敛，则必收敛的级数为 n 1
(A) 1n un
n 1

南京师范近十二年数学分析考研题

设 f (x) 在[a,b] 上二阶可导，且满足 i） f ′′(x) + f ′(x) − kf (x) = 0 （k>0，为常数
ii) f (a) = f (b) = 0
则在[a,b] 上 f (x) ≡ 0
五．（10 分）
设 f (x) = (1 + 1 ) x+α , (α ≥ 1 ) ，证明 f (x) 在 (0,+∞) 内单调递减。
n→∞ [ 0 ,1]
1 + nx 2
n
e
（15 分）
十．设在可侧集 X 上， f n 依测度收敛于 f ，且 f n ≤ g ，a,e 于 X，试证： f (x) ≤ g(x) ，
a,e 于 X （15 分）
南京师范大学 2004 年数学分析考研试题
一、（每小题 7 分，共 28 分）计算或证明下列极限：
{ } { } （2）为使 f (an ) 在[0,1]上一致收敛，当且仅当 an 满足什么条件？
∫ ∫ { } 1
1
（3）为使 lim n→∞
0 fn (x)dx =
0
lim
n→∞
fn (x)dx ，当且仅当
an
满足什么条件？
∑ 六、（15
分）证明级数
∞ n=1
x
+ n(−1)n x2 + n2
处必不可微。
4．设
fn,n
= 1,2....均是可测集 X 上几乎处处可测函数，若 lim mX [ n→∞
fn
−
f
> 0] = 0 则
必有 f n 依测度收敛于 f 。
5．设 mX < ∞ ，且 f (x), g(x) 在 X 上均是有界可测函数，且 f (x) < g(x) ，则必有

上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.

上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。

()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。

证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。

2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。

（1）求J 的特征多项式与最小多项式；（2）设()x f 为复数域上多项式。

证明()J f 必相似于对角阵。

3．（10分）（1）设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。

（2）设A 为复数域上n 阶方阵。

若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。

此处E 为n 阶单位阵。

4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。

5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。

证明：（1） AB=0的充要条件是0=AB A T；（2）矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。

8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。

证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。

数学三考研真题(2000-2017年)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点.(C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点. (2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0T A αα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x z xt e dt t -=⎰求du dx四、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和Y 的协方差cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，则幂级数221n n i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( )(A) 5 (B)3 (C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) T P α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布 (C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 2000arctan(1)lim (1cos )x u x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin xf x x =求()x dx .六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ；(2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ 其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ]（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛. (C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ]三、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂五、（本题满分8分）计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n n x n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+ (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=n i i a 试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠ 0，则2fu v∂=∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ ](10) 设有下列命题： (1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛. (2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu -. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 }2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A) ∑∞=-112n n a 收敛，∑∞=12n n a 发散 . （B ） ∑∞=12n n a 收敛，∑∞=-112n n a 发散.(C) )(1212∑∞=-+n n n a a 收敛. (D) )(1212∑∞=--n n n a a 收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是 (A)f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值. [ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D) 3. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ] （14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n m E o C A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P（23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ] （8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数(A) 1n n a ∞=∑收敛 . （B ）1(1)n n n a ∞=-∑收敛.(C) 11n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(B)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=； (Ⅱ) ()0lim x g x +→.（16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.（23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→）A.1-.ln(1B1C.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（） .A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++（C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p -22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则z z y x y ∂∂-=∂∂________.（14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . （24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（）()A 跳跃间断点.()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx⎰等于（）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD f u v =，其中uv D 为图中阴影部分，则F u∂=∂（）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭. ()D 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（） ()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x++=+，则2()______f x dx =⎰. （11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=. （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限201sin lim ln x xx x→.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（1）求dz（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解; （3）a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -. （22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量. （2）当0,1μσ==时，求DT .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =.(C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1). (B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0F x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C) (D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 (A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (B)**23O B AO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(C)**32O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D)**23O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为 (A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =. (B)()()()P AB P A P B =.(C)()1()P A P B =-. (D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）cos 0xx →= .（10）设()y x z x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.。

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2000考研数四真题及解析

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)=.(2) 若0,0a b >>均为常数，则30lim 2x xxx a b →⎛⎫+=⎪⎝⎭.(3) 设()1,0,1Tα=-，矩阵TA αα=，n 为正整数，则n aE A -=.(4) 已知四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2,3,4,5.E 为四阶单位矩阵，则B E -=.(5) 假设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩若若若则方差().D Y =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且[]li m ()()0x g x x ϕ→∞-=，则l i m ()x f x →∞( ) (A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在. (D)不一定存在.(2) 设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是 ( )(A)()0()0f a f a '==且 (B)()0()0f a f a '=≠且 (C)()0()0f a f a '>>且 (D)()0()0f a f a '<<且(3) 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组AX b =的三个解向量，且3A =秩（），()11234,Tα=，，， ()230,123Tαα+=，，，c 表任意常数，则线性方程组AX b =的通解X = ( )(A)11213141c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (B)10213243c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (C)12233445c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (D)13243546c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4) 设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是 ( )(A)A 与BC 独立 (B)AB 与A C ⋃独立 (C)AB 与AC 独立 (D)A B ⋃与A C ⋃独立(5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件( ) (A){}(1)0T t ≥ (B){}(2)0T t ≥ (C){}(3)0T t ≥ (D){}(4)0T t ≥三、(本题满分6分)已知,ln arctanvyz u u v x===，求dz 四、(本题满分6分)计算131.x xdxI e e +∞+-=+⎰五、(本题满分6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是112218,12,P Q P Q =-=-其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C Q =+其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即12Q Q Q =+(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.六、(本题满分7分)求函数arctan 2(1)xy x e π+=-的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(本题满分6分)设2,12,0(,)0,x y x y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其他求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中{}22(,)2D x y x y x =+≥八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续，且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分8分)设向量组，123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,)T T T Ta b c αααβ==-=-=试问,,a b c 满足什么条件时，(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ (2)β不能由123,,ααα线性表出？(3)β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. 十、(本题满分9分)设矩阵1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，已知A 有三个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.十一、(本题满分8分)设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为[]121(,)(,)(,),2f x y x y x y ϕϕ=+ 其中1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别是1133-和，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1. (1)求随机变量X Y 和的密度函数12()()f x f y 和，及X Y 和的相关系数ρ(可以直接利用二维正态密度的性质)(2)问X Y 和是否独立？为什么？十二、(本题满分8分)设,A B 是二随机事件；随机变量1,1,1,1,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩若出现若出现若不出现若不出现试证明随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】C【详解】作变量变换，令2,sin ,sin ,2sin cos .t t x t dx t tdt ====于是2sin cos sin tt tdt t =⋅⎰2cos t tdt =⎰2sin td t =⎰2[sin sin ]t t tdt =-⎰ 分部积分=2[sin cos ]t t t C ++C =+(2)【答案】32()ab【详解】33ln 203,lim ln22x x a b x xx xxx x a b a b ex +→⎛⎫++= ⎪⎝⎭求有多种方法. 方法1： ()0021ln ln 3ln 22lim 3lim1x xx x x xx x a b a a b b a b x →→+⋅++=洛323(ln ln )ln()2a b ab =+= 所以原式=32()ab .方法2 ： 0033lim ln lim ln 1122x x x x x x a b a b x x →→⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭03lim 12x x x a b x →⎛⎫+=- ⎪⎝⎭等ln(1)(0)x x x +→032lim2x x x a b x→+-=()03lim ln ln 2x xx a a b b →=+洛32ln()ab =32()ab =(3)【答案】()22na a .-【详解】方法1：由题设[]110101,0,1000,1101TA αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]11,0,1021T αα⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()()()()2222.T T T T T T A A αααααααααααα====故111112022000202n n n n n n A A +++++⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以 ()()112211112020022202n n nn n n n a aE A a a a a ++++++⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦ ()()2222n n a a a a a .=-=-方法2：[]110101,0,10001101TA αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦是对称阵，其必相似于对角阵Λ. 由于()1r A =，所以相似对角阵的秩()1r Λ=，可设300000000λ⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故0λ=是二重特征值，另一个特征值3312iii a.λ===∑n A 的特征值为200n n ,,,aE A -的特征值为2n a ,a,a.- 故()3212nn i i aE A a a λ=-==-∏(4)【答案】24B E -= 【详解】方法1：因为AB . 故B 和A 有相同的特征值2345,,,. B E -有特征值1234,,,.从而有123424B E .-=⋅⋅⋅=方法2：A B ，存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. A 有特征值2345,,,.互不相同，A Λ，其中2345⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即存在可逆矩阵Q ，使得1Q AQ -=Λ，其中1A Q Q ,-=Λ 故 1111B E P AP E P AP P P P A E P -----=-=-=-1124Q Q E Q A E Q A E .--=Λ-=-=-=(5)【答案】8.9【分析】由于题中Y 是离散型随机变量，其所取值的概率分别为{}{}0,0P X P X >=和{}0P X <. 又由于X 是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由X 的概率计算过渡到Y 的概率.【详解】{}{}0(1)110;33P Y P X --=-=<== {}{}000;P Y P X ==== {}{}20210.33P Y P X -==>==因此 121()11,333E Y =-⨯+⨯= ()2221212()111,3333E Y =-⨯+⨯=+= 所以 []2218()()()1.99D YE Y E Y =-=-=二、选择题 (1)【答案】D【详解】用排除法.例1：设22221()22x x f x x x +≤≤++, 满足条件2222211lim lim 0222x x x x x x x →∞→∞⎡⎤+-==⎢⎥+++⎣⎦, 并且 22221lim 1,122x x x x x →∞+==++, 由夹逼准则知，lim ()1x f x →∞=，则选项()A 与()C 错误.例2：设6262442()11x x x x f x x x ++≤≤++, 满足条件626224442lim lim 0111x x x x x x x x x x →∞→∞⎡⎤++-==⎢⎥+++⎣⎦, 但是由于6224()1x x f x x x +≥=+,有lim ()x f x →∞=+∞，极限不存在，故不选()B ,所以选()D .因为最终结论是“()D ：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给出相应的证明.(2)【答案】B【详解】方法1：排除法，用找反例的方式()A ：2()f x x =,满足(0)0(0)0f f '==且,但2()f x x =在0x =处可导；()C ：()1f x x =+,满足(0)10,(0)10f f '=>=>,但()1f x x =+当()1,1x ∈-,在0x =处可导；(D)：()1f x x =--,满足(0)10,(0)10,f f '=-<=-<但()1f x x =+当()1,1x ∈-，在0x =处可导；方法2：推理法.由()B 的条件()0f a =, 则()()()()()limlim lim ,x ax a x a f x f a f x f x f a x a x a x a→→→--==--- 所以 ()()()()lim lim ()x ax af x f a f x f a f a x ax a++→→--'==-- (1)()()()()lim lim ().x ax a f x f a f x f a f a x ax a --→→-⎛-⎫'=-=- ⎪--⎝⎭(2) 可见，()f x 在x a =处可导的充要条件是()()f a f a ''=-，所以()0f a '=，即()0f a '=所以当()0f a '≠时必不可导，选()B .(3)【答案】(C)【详解】因为()11234Tα=，，，是非齐次方程组的解向量所以我们有1A b α=，故1α是AX b =的一个特解又()34r A ,n ==(未知量的个数)，故AX b =的基础解系由一个非零解组成. 即基础解系的个数为1.因为()()123220A b b b ,ααα-+=--= 故()1122024132624835ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是对应齐次方程组的基础解系，故AX b =的通解为()()1231213224354c c .αααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【详解】,,A B C 相互独立⇔,,A B C 三个事件两两独立且()()()()P ABC P A P B P C =.现在题设条件中已有,,A B C 三个事件两两独立，因此只要检查()()()()P ABC P A P B P C =.当选项(A)成立时，()()()P ABC P A P BC =. 但题设条件,,A B C 三个事件两两独立，所以有()()()P BC P B P C =. 总之当(A)成立时，有()()()P ABC P A P BC =()()()P A P B P C =对于选项B 与选项D ，因为题设,,A B C 三个事件两两独立，()()()P A C P A P C =+，代入后只能得到一系列的概率多项式，而不能得到()()()()P ABC P A P B P C =对于(C)选项，有2()()()()P ABC P A P B P C =，2()P A 不一定等于()P A ，所以()()()()P ABC P A P B P C =不一定成立.(5)【答案】C【详解】随机变量(1)(2)(3)(4),,,T T T T 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E 表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于0t ，此时必定两个显示较高的温度大于等于0t ，即(4)(3)0.T T t ≥≥ 所以说断电事件就是{}(3)0T t ≥三【详解】由多元复合函数求导法则：z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂12222121(ln )21v vx y vu u u y x y x x-⎛⎫=⋅⋅+⋅- ⎪+⎝⎭+（） 12222(ln )v v x y vuu u x y x y -=⋅-⋅++22ln v u xv y u x y u ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭; 同理z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂12221211(ln )21v vy vu u u y x y x x-⎛⎫=⋅⋅+⋅ ⎪+⎝⎭+（） 22ln v u yv x u x y u ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭,故 22ln ln vu xv yv dz y u dx x u dy x y uu ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦.四【详解】被积函数的分母中含有13x x e e +-+，且当x →+∞时，13x x e e +-+→+∞，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.令1,ln ,xe u x u dx du u===, 131x x dx I e e +∞+-=+⎰()31e dueu e u u +∞-=+⎰23e du eu e +∞=+⎰221e du e e u +∞=+⎰ 22211(1)e du u e e e +∞=+⎰2221(1)e ude e u e e e+∞=+⎰2221(1)eude u e e+∞=+⎰21arctan eue e+∞=2124e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭24eπ=五【所用定理】无条件极值：设(,)z f x y =在开区域D 内可偏导，又根据实际问题可知，它在D 内有最大值或最小值，于是只需在0,0f fx y∂∂==∂∂的点中找到(,)f x y 的最大值点或最小值点【详解】记总利润函数为L ，总收益函数为R ，则总利润=总收益-总成本1122(25)L R C p Q p Q Q =-=+-+112212[2()5]p Q p Q Q Q =+-++ 112212(182)(12)[2()5]Q Q Q Q Q Q =-+--++2211221218212225Q Q Q Q Q Q =-+----221212216105Q Q Q Q =--++-其中，120,0Q Q >>，12Q Q Q =+为销售总量.(1)令121241602100L LQ Q Q Q ∂∂=-+==-+=∂∂，，解得1245Q Q ==，. 而11182P Q =-, 2212,P Q =- 故相应地1210,7.p p ==在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一，且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值，故在1245Q Q ==，处L 为最大值.22max 245164105552()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.(2) 若两地的销售单价无差别, 即12p p =,于是1218212Q Q -=-, 得1226Q Q -=, 在此约束条件下求L 的最值，以下用两个方法：方法1：若求函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，然后解方程组00(,)0F f x x x F fy yy Fx y ϕλϕλϕλ⎧∂∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂==⎪∂⎩ 所有满足此方程组的解(,,)x y λ中的(,)x y 是(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点.故用拉格朗日乘数法，其中1212(,)260Q Q Q Q ϕ=--=，构造函数2212121212(,,)216105(26),F Q Q Q Q Q Q Q Q λλ=--++-+--令112212416202100260FQ Q FQ Q FQ Q λλλ∂⎧=-++=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=--=⎪∂⎩ 解得1254Q Q ==，，在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一,且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值,故在1245Q Q ==，处L 为最大值.得22max 254165104549()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.方法2：由1226Q Q -=代入221212216105L Q Q Q Q =--++-消去一个变量得211660101L Q Q =-+-这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按(1)的做法：令1112600,dLQ dQ =-+=得15Q =，为L 的唯一驻点.当11050dL Q dQ <<>时(说明在这个区间上函数单调递增)；当15Q >时10dLdQ < (说明在这个区间上函数单调递减)故，15Q =为L 的唯一极大值点,所以是最大值点，而1226Q Q -=⇒24Q =, 故2211max 6601016560510149()L Q Q =-+-=-⨯+⨯-=万元.六【渐近线】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=，则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞，则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞，则y a x b =+为斜渐近线.【详解】原函数对x 求导，所以 arctan arctan 22(1)(arctan )2xxy ex x e πππ++''=+-⋅+arctan arctan 2221(1)1xx e x e x ππ++=+-⋅⋅+2arctan 221x x x e x π++=+ 令0y '=，得驻点120,1x x ==-.列表注：+表示函数值大于0，-表示函数值小于0；表示在这区间内单调递增；表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为(),1-∞-与()0,+∞；严格单调减的区间为()1,0-.2(0)f e π=-为极小值,4(1)2f e π-=-为极大值.以下求渐近线. 通过对函数大概形状的估计，arctan 2lim ()lim(1)lim(1)xx x x f x x ee x ππ+→∞→∞→∞=-=-=∞所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线. 所以令111()lim,lim [()]2;x x f x a e b f x a x e xππ→+∞→+∞===-=-222()lim1,lim [()] 2.x x f x a b f x a x x→-∞→-∞===-=-所以，渐近线为11(2)y a x b e x π=+=-及222y a x b x =+=-，共两条.七【详解】首先应将积分区域分析清楚, 记{}(,)12,0G x y x y x =≤≤≤≤,当(,)(,)0x y G f x y ∉≡时，所以D(,)f x y d σ⎰⎰实际上在1D DG =上进行.记(){}1,1D DG x y x y x ==≤≤≤≤12(,)DD f x y d x yd σσ=⎰⎰⎰⎰221x dx ydy =⎰22212y x dx ⎡⎛⎢= ⎢⎝⎣⎰()()2222122xx x x dx =--⎰()2431x x dx =-⎰254154x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 4920=八【证明】方法1：令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，有(0)0,F =由题设有()0F π=.又由题设()cos 0f x xdx π=⎰，用分部积分，有0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知，存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈，sin 0ξ≠，所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理，推知存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==，即 12()0,()0f f ξξ==方法2：由()0f x d x π=⎰及积分中值定理知，存在1(0,)ξπ∈，使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ，则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时，1c o s c o s x ξ>，1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时，1c o s c o s x ξ<，仍有1()(cos cos )0f x x ξ->，得到：00>. 矛盾，此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】方法1：设方程组112233x x x αααβ++= ①对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有[]123211211,,2112101105410434a a b a b c a c αααβ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦211210140031aa b a c b -⎡⎤⎢⎥→+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦(1) 当4a ≠-时，[][]1231233r ,,r ,,,ααααααβ==. 方程组①唯一解，即β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-，但310c b -+≠时，[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解，β不可由123,,ααα线性表出(3) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，此时有[]1234211,,21010000b αααβ--⎡⎤⎢⎥→--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦得对应齐次方程组的基础解系为：()120T,,ξ=-(取自由未知量11x =，回代得2320x ,x =-=)，非齐次方程的一个特解是()()0121T*,b ,b η=-++⎡⎤⎣⎦，故通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数. 方法2：设方程组112233x x x αααβ++= ①因为①是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组，故也可由系数行列式讨论，()1232121211211141054001a a A ,,a ααα----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此知道：(1) 当4a ≠-时，0A ≠，方程组有唯一解，β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-时，(有可能无解或无穷多解)对增广矩阵作初等行变换，得[]12342112111,,2110012110540015b b c c b αααβ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦21110012100031b c b ⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦ (i) 当4a =-时，且但310c b -+≠时，有[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解.(ii) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，其通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数.十【详解】因A 是三阶矩阵，有三个线性无关特征向量，λ=2是二重特征值，故对应的线性无关特征向量有2个，()21r E A -=，将2E A -作初等行变换，得11111122202333000E A x y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦①由()21r E A -=，故22x ,y ,==- 从而111242335A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.A 的另一个特征值为331211046ii i a λλλ==--=-=∑(1) 对2λ=，由()20E A X -=，由①知，其同解方程为1230x x x ++=对应的特征向量为[][]12110011TT,ξξ=-=(2) 对6λ=，由()60E A X -=，有5112221536222153032331000000E A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦对应的特征向量为[]3123Tξ=-令[]123101=-11-2013P ,ξξξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,，则 12 26-P AP ⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十一【分析】求X 和Y 的密度函数1()f x 和2()f y ，相关系数ρ可以套用公式如下：12()(,),()(,),f x f x y dy f y f x y dx ρ+∞+∞-∞-∞===⎰⎰然后判断(,)f x y =1()f x 2()f y 是否成立，这样就可以回答X Y 和是否独立.【详解】(1)1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ都是二维正态密度函数，所以其边缘密度函数都是正态密度函数. 题设边缘密度所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1. 因而1(,)x y ϕ和2(,)x y ϕ的两个边缘密度必为标准正态密度函数，故1121()(,)(,)(,)2f x f x y dy x y dy x y dy ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222221.2x x x ---⎡⎤==⎥⎥⎦同理222().y f y -=所以 (0,1),(0,1)XN Y N随机变量X 和Y 的相关系数()()()()E XY E X E Y E XY ρ==-=(,)xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰121(,)(,)2xy x y dxdy xy x y dxdy ϕϕ+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰111()0233⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦. 即X 和Y 的相关系数0.ρ=(2) 由题设1(,)x y ϕ对应正态分布1(0,0,1,1,),3N 其概率密度函数为()()()()()2211221222112221(,)21x x y y x y μρμμμϕσσσσρ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪--+⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭221213219x xy y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫=--+⎨⎬ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭2292163x xy y ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 同理22292(,)163x y x xy y ϕ⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以 []121(,)(,)(,)2f x y x y x y ϕϕ=+22229292163163x xy y x xy y e e ⎛⎫⎛⎫--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦而 1()f x 2()f y 222222211.22x y x y e ee ππ+---=⋅=显然 (,)f x y ≠1()f x 2()f y ，所以X Y 和不独立.十二【分析】随机变量X Y 和不相关(,)0Cov X Y ⇔=.事件A B 与相互独立()()()P AB P A P B ⇔=.要找出这二者之间的联系就应从(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-入手.【详解】{}(){}{}()1121E X P A P A P A =⋅+-⋅=-，同理，{}()2 1.E Y P B =- 现在求()E XY ，由于XY 只有两个可能值1和1-，所以{}(){}()1111,E XY P XY P XY =⋅=+-⋅=-其中 {}{}{}{}{}11,11,1P XY P X Y P X Y P AB P AB ====+=-=-=+{}{}{}{}{}121P AB P A B P AB P A P B =+-=--+和 {}{}{}{}{}11,11,1P X Y P X Y P X Y P A B P A B=-===-+=-==+{}{}{}2P A P B P AB =+-( 或者 {}{}{}{}{}1112P X Y P X Y P A P B P A B =-=-==+- )所以 {}{}()11E XY P XY P XY ==-=-{}{}{}4221P AB P A P B =--+ 由协方差公式，()()()()Cov XY E XY E X E Y =-{}{}{}{}{}42212121P AB P A P B P A P B =--+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ {}{}{}4P AB P A P B =-⎡⎤⎣⎦因此，()0Cov XY =当且仅当{}{}{}P AB P A P B =，即X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.。

2000年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

2000年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。

每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。

把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分)
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十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
4．
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5．
三、
四、
五、
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六、
七、
八、
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九、
十、
十一、
十二、
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十三、。

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pdf113.2009年武汉科技大学836管理学原理Ⅱ考研试题.pdf114.2009年武汉科技大学835有机化学考研试题.pdf115.2009年武汉科技大学834化工原理考研试题.pdf116.计算机组成原理考研指导117.2009考研复试面试资料大全rr.pdf118.计算机操作系统常见题型解析及模拟题119.2009年全国硕士研究生入学统一考试计算机试题120.2009年北京理工大学控制理论与控制工程考研试题（回忆版）121.2010考研热点话题英语作文范文122.超强法理结构图123.2011文登【夏徛荣】英语词汇基础班124.MBA 逻辑备考125.2008 彩色法硕指南126.北大光华，金融学研究生入学考试试题和参考答桉，2003年127.阮齐林刑法笔记总则精简版128.对外经贸商务英语考研经验全集129.考研英语复试130.高等数学知识点131.老妖精法硕指南2010之精编版132.国际金融考研备考笔记133.2010年法律硕士联考案例分析大全134.法硕联考民法必须掌握的概念(背诵版)135.华南理工大学管理学历年真题及答案1136.刑法总则"应当与可以"速记口诀 (经典)137.2009年武汉科技大学836管理学原理Ⅱ考研试题.pdf 138.2009年武汉科技大学835有机化学考研试题.pdf139.2009年武汉科技大学835有机化学考研试题.pdf140.华南理工大学管理学历年真题及答案2141.2009年武汉科技大学830界面分选原理考研试题.pdf 142.2009年武汉科技大学829生物化学考研试题.pdf143.2009年武汉科技大学828控制原理考研试题.pdf144.2009年武汉科技大学827流体力学考研试题.pdf145.2009年武汉科技大学824自然辩证法考研试题.pdf146.2009年武汉科技大学823概率论与数理统计考研试题.pdf 147.国际金融串讲笔记148.2009年武汉科技大学822管理学原理Ⅰ考研试题.pdf 149.2009年武汉科技大学820高等代数考研试题.pdf150.2009年武汉科技大学819信号与系统考研试题.pdf151.2009年武汉科技大学818电子技术考研试题.pdf152.研究生历年国家线153.2009 政治应试精华附赠2000题及其答案详解（毛概）154.2011年考研英语全程规划：五阶段复习指155.2009任汝芬最后押题讲义156.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~157.2010政治大纲解析即“红宝书”（WORD版）158.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~2159.北大历年中文系试卷分类160.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~3161.2009宪法核心考点彩色笔记162.2011启航考研高分规划导学宝典-黄涛163.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~4164.2010年法律硕士必背大题165.（考研必备）2000~2010法学真题及答案下载~5166.10政治大纲及样题完全版167.20天20题精讲笔记_第一讲168.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~169.20天20题精讲笔记_第二讲170.邓小平理论笔记（任汝芬）171.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~2172.20天20题精讲笔记_第三讲173.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~3 174.（考研必备）1990~2009西医综合真题及答案下载~4 175.★老妖精法硕指南2009历年真题00-01★176.考研英语10年真题——翻译难句解析汇总（很经典）177.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~178.中科院历年录取比例数据179.★老妖精法硕指南2009历年真题★02-03180.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~2 181.考研阅读40分满分研究182.★老妖精法硕指南2009历年真题★04-05183.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~3 184.★老妖精法硕指南2009历年真题★06-07185.考研复试决胜+专家称三类人易被淘汰186.2009老妖精法硕指南之历年真题08187.（考研必备）1990~2009中医综合真题及答案下载~4 188.2010【海天】考研政治冲刺28个重要知识点189.考研高频词汇190.2009年全国硕士研究生入学统一考试计算机试题.pdf 191.2010考研政治大纲马哲必背20条原理192.考研政治终极笔记[马哲+政经+毛概+邓193.2010考研政治思想道德修养与法律基础讲义194.《教育心理学》吴庆麟版笔记！195.2008陈文登考研数学轻巧手册（经济类196.2010鲁伟_考研政治考前必背68题197.（2011考研必备）MBA历年真题答案下载198.2011考研文都英语长难句精讲班讲义（何凯文）199.北京师大、首都师大、西南师大历年教育学真题200.（2011考研必备）MBA历年真题答案下载2201.2009考研英语核心词汇(肖克版)202.（2011考研必备）MBA历年真题答案下载3203.冯伯麟-心理测量方法（PPT+79页）204.（2011考研必备）教育学历年真题答案下载3205.新东方考研英语206.（2011考研必备）历史历年真题答案下载207.（2011考研必备）农学历年真题答案下载208.（2011考研必备）农学历年真题答案下载2209.（2011考研必备）心理学历年真题答案下载210.（2011考研必备）金融学历年真题答案下载211.（2011考研必备）金融学历年真题答案下载2212.2005年中国地质大学（武汉）运筹学考研试题.pdf213.2005年中国地质大学（武汉）中级财务会计考研试题.pdf 214.2005年中国地质大学（武汉）自然地理学考研试题.pdf215.2005年中国地质大学（武汉）综合知识（含行政法、民法总论、经济法基础理论）考研试题.pdf216.2005年中国地质大学（武汉）综合知识矿床学考研试题.pdf217.2005年中国地质大学（武汉）钻井工艺原理考研试题.pdf218.2009年中国地质大学公共管理学考研试题.pdf219.2009年中国地质大学政治学基础考研试题.pdf220.2010年中国地质大学（武汉）844工程地质学考研试题（回忆版）.pdf。

2000-历年考研数学一真题(答案+解析)

--历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）(经典珍藏版)最近三年＋回顾过去最近三年篇（2015－2０17）2０15年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题４分,共3２分.１.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （Ｂ)1 (C)２（D)３【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点，所以应该选(C)2.设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则(Ａ)321,,a b c =-==- (B ）321,,a b c ===- （C)321,,a b c =-== (D)321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=,由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=,同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A) 3．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（A)收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点（Ｃ)发散点,收敛点 (D ）发散点,发散点--【详解】注意条件级数1n n a ∞=∑条件收敛等价于幂级数1n n n a x ∞=∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=,所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点,应该选（B ）4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰( )(Ａ)1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ)231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（C ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是Ｄ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)D f x y dxdy =⎰⎰23422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）.５.设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（Ａ),a d ∉Ω∉Ω （Ｂ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：--22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立,当然应该选（D)．６.设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =,若()132,,Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为(A)2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C)2221232y y y -- (D ） 2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210001001001100010*********T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择(A ）.７.若,A B 为任意两个随机事件,则（ )（A)()()()P AB P A P B ≤ （B)()()()P AB P A P B ≥(C ）2()()()P A P B P AB +≤(D)2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C)．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===,则2(())E X X Y +-=( )(A)3- (B ）3 （C ） 5- （D)5【详解】22222(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX+-=+-=++---故应该选择（D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分２4分. 把答案填在题中横线上) 9.20ln(cos )limx x x →=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-． 10.221sin cos x x dx xππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ .【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零,所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰1１.若函数(,)z z x y =是由方程2cos ze xyz x x +++=确定,则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =,所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -１2．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域,则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内,三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1120236631()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13.n 阶行列式2002120200220012-=- ．【详解】按照第一行展开,得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+,有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==,得11122222()n n n D D -+=+-=-.１4.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ,则--{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以Ｘ，Y 都服从正态分布,1101~(,),~(,)X N Y N ,且相互独立. 则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯=三、解答题 15．（本题满分10分)设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =在0x →时为等价无穷小,求常数,,a b k 的取值.【详解】当0x →时,把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式,得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时,(),()f x g x 是等价无穷小,则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩,解得，11123,,.a b k =-=-=-１6.（本题满分１0分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =,求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =,得000()()f x x x f x =-' 曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为--00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理,得218y y '=，解方程,得118C x y =-,由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=- 17．(本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=,求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy=++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩,得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----,进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处,方向导数取到最3.= １8．(本题满分１0分)（1)设函数(),()u x v x 都可导,利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+;(２）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导,12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【详解】（１）证明:设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆---v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'lim lim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++19.(本题满分1０分）已知曲线Ｌ的方程为z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,起点为0()A ,终点为00(,)B ,计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰.【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=,终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．(本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++.（1)证明:向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基;(2)当k 为何值时,存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】(1)()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，因为201212024021201k k kk ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基.--(2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得:1132231320()()x k x x k ααααα++++=,所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解.从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k k αααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关,所以10110020kk=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关,所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,其中C 为任意常数.所以满足条件的0C C ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21.(本题满分1１分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．(1)求,a b 的值；(２)求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角矩阵.【详解】（1)因为两个矩阵相似,所以有trA trB =,A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. (2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=,得矩阵Ａ的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；--解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2２．(本题满分１１分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 对Ｘ进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y 为次数.求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布; （2）求数学期望.EY 【详解】（1）Ｘ进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本.(1)求参数θ的矩估计量；(２）求参数θ的最大似然估计量. 【详解】(1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =,解得参数θ的矩估计量:21ˆX θ=-. (2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大,只要使θ--尽可能大就可以,所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2０16年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试卷一、选择题:1~8小题，每小题4分，共３2分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

考研真题数学二(2000——2018)高数大题

数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值（19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明（1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。