高中数学：3.1.1-3.1.2《空间向量及其加减与数乘运算》课件(新人教B版选修2-1)
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高中数学3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
1 2 1 D. (a+b-c) 2
答案:C
【做一做 1-2】 在空间四边形 ABCD 中, ������������ =a-2c, ������������ = 5a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别是 E,F,则������������ = .
解析:如图所示,取 AD 的中点 P,连接 EF,EP,FP,结合图形用������������ 和������������表示������������ . ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = (5a+6b-8c) + (a-2c)=3a+3b-5c.
(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
【做一做2-1】 下列说法正确的是( ) A.a(a≠0)与λa方向相同 ������ B.若 a=λb(b≠0),则 λ= ������ C.直线l的方向向量一定在直线l上 D.平行于同一平面的向量,叫做共面向量 解析:选项A中若λ<0,则λa与a反向; 选项B中,两向量不能作除法; 选项C中,方向向量与直线可能平行,不在同一直线上. 答案:D
【做一做2-2】 下列说法正确的是( ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 答案:D
1.向量共线的充要条件及其应用 剖析:(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们 说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条 直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b, 则b∥a. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上. (4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实 数 λ,使������������ = ������������������ (或������������ = ������������������ )即可;也可用“对空间任意一点 O,有 ������������ = ������������������ + (1 − ������)������������”来证明三点共线.
3.1.1与3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(2个课时)
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？ 思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？ 思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量， 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 关结论仍适用于它们。
( 2 ) 2 AD 1 − BD 1
= AD1 + AD1 − BD1
= AD1 + ( BC1 − BD1 ) = AD1 + D1C1 = AC1
A1 D1 B1 C1Leabharlann ∴ x = 1.A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。
(3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
(1) AB + BC ( 2 ) AB + AD + AA 1 1 ( 3) ( AB + AD + AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB + AD + CC 1 2
解： ) AB + BC＝ AC ; (1
A D B A1 G C D1 B1 M C1
( 2 ) AB + AD + AA 1 = AC + AA 1 = AC + CC 1 = AC 1
(2)AE= AA + xAB+ yAD
A
思考：空间任意两个向量是否可能异面？ 思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？ 思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量， 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 关结论仍适用于它们。
( 2 ) 2 AD 1 − BD 1
= AD1 + AD1 − BD1
= AD1 + ( BC1 − BD1 ) = AD1 + D1C1 = AC1
A1 D1 B1 C1Leabharlann ∴ x = 1.A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。
(3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
(1) AB + BC ( 2 ) AB + AD + AA 1 1 ( 3) ( AB + AD + AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB + AD + CC 1 2
解： ) AB + BC＝ AC ; (1
A D B A1 G C D1 B1 M C1
( 2 ) AB + AD + AA 1 = AC + AA 1 = AC + CC 1 = AC 1
(2)AE= AA + xAB+ yAD
A
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算
5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定 关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征 方向___相_同__或_相__反_____
特例 零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定 理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立 体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量 单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比 如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸 直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港 的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位 移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算-数学选修2-1
一、空间向量的基本概念
平面向量 空间向量
定义
表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小
a
AB
AB
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
三、空间向量的数乘运算
a 仍然是一个向量.
⑴当 ⑵当 ⑶当
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.
例如: a
3a
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 e1 ， e2
a e2 e1
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 2 使a 1e1 2e2 只有一对实数 1，
3a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算
第一章空间向量与立体几何§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____学习目标1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题3、掌握空间向量的数乘运算4、理解共线向量、共面向量的定理及推论5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）1、空间向量的有关概念（1）定义：在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量;（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。
4、空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量的乘积____，成为向量的数乘运算。
5、向量a与向量λa的关系（1）分配律：λ（a+b)=________（2）结合律：()______aλμ=7、共线向量与直线的方向向量（1）共向向量的概念：表示空间向量的有向线段所在的直线______共线向量也叫______（2）两向量共线（平行）的充要条件：对于空间任意两个向量,(0)a b b≠，则a b的充要条件是存在实数λ，使______（3)直线的方向向量：如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OA OP ta=+①，其中a叫做直线l的______8、共面向量（1）共面向量的定义：平行于______的向量（2）三个向量共面的充要条件：如果两个向量,a b______，那么向量p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,),x y使____p=【突破·核心知识】【知识梳理】【题型归纳】【随堂∙自我测评】1、对于空间非零向量AC BC AB ,,下列各式一定不成立的是（ ）A 、AB →+BC →=AC → B 、AB →-AC →=BC →C 、AB →+BC →=CA →D 、AB →-AC →=CB →2、设有四边形ABCD 中，o 为空间任意一点，且OCDO AO →→→→+=+OB ，则四边形ABCD 是A 、平行四边形B 、空间四边形C 、等腰梯形D 、矩形 3、→→→≠=ba，且ba →→、不共线时ba →→+与ba →→-的关系是（ ）A 、共面B 、不共面C 、共线D 、无法确定4、已知两个非零向量21,e e不共线，如21A B e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =- 求证：,,,A B C D 共面．5已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y 的值6.已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC=++，试判断：点P与,,A B C 是否一定共面？【课后∙知能提升】1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(111A D A A - )－AB； ② (1BC BB + )－11D C ；③ (1A D A B - )+1DD ； ④ (111B D A A -)－1DD，其中运算结果为向量11B D的是（ ） A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③2．在空间四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，M 点是BD 的中点，则下列对应关系正确的是( )A ．1()2MA a b =+B ．1()2MC a b =+C ．1()2MD b a =- D ．1()2MB b a =-3．空间四边形ABCD 中，AB a =，，，BC b AD c == 则CD =( )A ．a b c +-B ．c a b --C ．a b c --D ．b a c -+4.在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB '、AD ' 、BD是( )A .有相同起点的向量B .等长的向C .共面向量D .不共面向量5、向量,,a b c两两夹角都是60 ，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++= 。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
①在此充要条件中,要特别(tèbié)注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一定Байду номын сангаас立.例如:
若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.
②该充要条件包含两个命题: a.a∥b⇒存在唯一的实数λ,使a=λb; b.存在唯一的实数λ,使a=λb⇒a∥b. ③向量共线的充要条件可以作为(zuòwéi)判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(或b)上存 在一点不在向量b(或a)上.
3.1.1 空间向量及其加减(jiā 运算 jiǎn) 3.1.2 空间向量的数乘运算
2021/12/10
第一页，共四十三页。
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握 空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线(ɡònɡ xiàn)向量和共面向量定理及
(4)相等向量:
的向量称为相等向量,在空间,同向且等长的有向线段表示同一
向量或相等向量. 方向相同且模相等
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第五页，共四十三页。
注意:(1)单位向量(xiàngliàng)、零向量(xiàngliàng)都只是规定了向量(xiàngliàng) 的模长而没有规定方向,需注意单位向量(xiàngliàng)有无数个,它们的方向不确定, 因此,它们不一定相等;零向量(xiàngliàng)也有无数个,它们的方向任意,但规定所 有的零向量(xiàngliàng)都相等. (2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等,在空间 中,这个结论同样成立(chénglì). (3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
( 人教A版)2-1：3.1.1-3.1.2空间向量的数乘运算课件 (共35张PPT)
A．a＋b－c
B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：C→D＝C→B＋B→A＋A→D＝C→B－A→B＋A→D＝－a＋b＋c.
答案：C
3．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有O→M＝xO→A＋13O→B＋13O→C，
则 x 的值为( )
A．1
B．0
C．3
D.13
(2)A→B1＋B→1C1＋C→1D1＝A→D1. (3)设 M 是线段 AC1 的中点，则12A→D＋12A→B－12A→1A＝12A→D＋12A→B＋12A→A1＝ 12(A→D＋A→B＋AA1)＝12A→C1.
(1)如何化简向量表达式？ ①化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简； ②在化简过程中，遇到减法时，可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法 则进行运算，加减法之间可以相互转化； ③化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝C→B等．
4.理解共线向量定理及推论． 线向量的应用.
5.理解共面向量定理及推论.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、空间向量及其加减运算
1.空间向量
1定义：在空间，把具有 方向 和 大小的量
叫作空间向量.
空 2长度：向量的 大小 叫作向量的长度或 模 .
①(A→B＋B→C)＋C→C1；②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1；
③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1.
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符
数学311312空间向量及其加减与数乘运算课件新人教B版选修
第3页/共38页
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
运 加法交换律 算 加法结合律
加法交换律 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
数乘分配律
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
k(a b) ka＋kb
第17页/共38页
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D
B
M
G C
第32页/共38页
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D (1)原式＝AB BM MG AG
第24页/共38页
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
1 (AB 3
AD
AA1 )
A1 G
B1 M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
解： (1) AB BC＝AC;
A
C B
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 )
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
运 加法交换律 算 加法结合律
加法交换律 加法结合律
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
数乘分配律
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
k(a b) ka＋kb
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我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D
B
M
G C
第32页/共38页
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D (1)原式＝AB BM MG AG
第24页/共38页
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
1 (AB 3
AD
AA1 )
A1 G
B1 M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
解： (1) AB BC＝AC;
A
C B
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 )
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其加减与数乘运算省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
18/29
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足以下各式x值。
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
AB1 B1C1 C1C A1
C1 B1
AC x 1.
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
含有大小和方向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) k a＋kb 6/29
复习回顾：平面向量
1、定义：现有大小又有方向量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量 有向线段起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同向量
B
A
D
C
1/29
2、平面向量加法、减法与数乘运算
b a
向量加法三角形法则
b
a
向量减法三角形法则
b
a
向量加法平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量数乘 2/29
3、平面向量加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) k a＋kb
3/29
推广:
（1）首尾相接若干向量之和，等于由起始 向量起点指向末尾向量终点向量；
课件16：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算
思考 2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C， 满足O→P＝13O→A＋31O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否 共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． (2)由O→P＝13O→A＋13O→B＋13O→C得O→P－O→A ＝13(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) 即A→P＝13A→B＋13A→C，因此点 P 与点 A，B，C 共面．
＝a＋b
的运算
减 法
C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
加法运算 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
思考 1：(1)空间中，a，b，c 为不共面向量，则 a＋b＋c 的几何意义是什么？ (2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？
2．已知向量 a，b，c 不共面，且 p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c， n＝a＋b－c，试判断 p，m，n 是否共面．
[提示] 设 p＝xm＋yn，即 3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋ y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．
x＋y＝3， 因为 a，b，c 不共面，所以－x＋y＝2，
∴x＝－21，y＝－12．
(2)∵P→A＝P→D＋D→A＝P→D＋2Q→O ＝P→D＋2(P→O－P→Q)＝P→D＋2P→O－2P→Q， ∴x＝2，y＝－2．
类型3 共线问题
例 3 设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知A→B＝e1＋ke2， B→C＝5e1＋4e2，D→C＝－e1－2e2，且 A，B，D 三点共线， 实数 k＝________．
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解：) AB BC＝AC; (1
A D B A1 G C D1 B1 C1
M
(2) AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N
加法交换律 a b b a
加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 成立吗？ 加法结合律 数乘分配律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka
CA OA OC
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
ka
(k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
即： (a b) a b （ ） a a a ( a) ( )a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
O
正题 2:
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N F3 F1
这需要进一步来认识空间中的向量
这三个力两两之间 的夹角都为90度, 它们的合力的大小 为多少N?
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. b c 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . 2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度. c
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
B
M
C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
D1 A1 B1 C1
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
试用a , b, c来表示CD， , BD. AC
1 （ b) c a 2 1 （ b c) a 3
D
B
M
G C
'
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
' '
(1) AC x( AB BC CC )
'
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个 向量 a , b ( b 0 ), b a // b 存在 R , a b .
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c)
数乘分配律
k (a b) k a＋k b
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 定义: 数乘空间向量的运算法则 与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=
c
b
c
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
A E B C D
(2) AE AA ' x AB y AD
A
D
B
C
作业
空间四边形ABCD中， a ， ＝b ， c ， AB BC AD
如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB a , AC b , AD c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心, A 试用 a 、b 、c 表示下列向量: ⑴ DM ⑵ AG
C
D1 A1 B1
C1
a
D A C B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
B
起点
终点
a
A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a
空间向量
具有大小和方向的量
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
B
M
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
' '
(1) AC x( AB BC CC )
a 仍然是一个向量.
⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
A A1 D1 B1 C1
D B
D A B
C
a
D1 C1 B1
A1
b
D C B A
D B
C
A
A D B A1 G C D1 B1 C1
M
(2) AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N
加法交换律 a b b a
加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 成立吗？ 加法结合律 数乘分配律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka
CA OA OC
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
ka
(k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
即： (a b) a b （ ） a a a ( a) ( )a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
O
正题 2:
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N F3 F1
这需要进一步来认识空间中的向量
这三个力两两之间 的夹角都为90度, 它们的合力的大小 为多少N?
空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量. 常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. b c 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . 2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度. c
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
B
M
C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC ) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
D1 A1 B1 C1
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
试用a , b, c来表示CD， , BD. AC
1 （ b) c a 2 1 （ b c) a 3
D
B
M
G C
'
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
' '
(1) AC x( AB BC CC )
'
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个 向量 a , b ( b 0 ), b a // b 存在 R , a b .
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c)
数乘分配律
k (a b) k a＋k b
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢? 定义: 数乘空间向量的运算法则 与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
问题 1:
C
向上
B
正北
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=
c
b
c
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
A E B C D
(2) AE AA ' x AB y AD
A
D
B
C
作业
空间四边形ABCD中， a ， ＝b ， c ， AB BC AD
如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB a , AC b , AD c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心, A 试用 a 、b 、c 表示下列向量: ⑴ DM ⑵ AG
C
D1 A1 B1
C1
a
D A C B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
B
起点
终点
a
A
b
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a
空间向量
具有大小和方向的量
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
B
M
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
' '
(1) AC x( AB BC CC )
a 仍然是一个向量.
⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
A A1 D1 B1 C1
D B
D A B
C
a
D1 C1 B1
A1
b
D C B A
D B
C
A