最新241平面向量数量积的物理背景及其含义22450
平面向量数量积的物理背景及几何意义
向量的数量积运算类似于多项式运算
例2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b夹角为60 , 求： (1)(a 2b) (a 3b)
(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
A D C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条 件 B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
241平面向量数量积的物理背景及其含义(用)
复习回顾 注意 : 两向量的夹角定义,两向量必须
是同起点的,范围是0 .
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180)叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
OaA
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
练习:
一.辨 析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0.
×
4．若a ·b=0，则a,b中至少有一个为0．
×
５6..若对任a意向0量，aa有ab2 aa2 .(ac·,a则常b记作a2c)
r b
方向上
r
r
向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量,
什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B
b
O
a B1A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
3. 常用︱a︱＝ a a求向量的模.
常用 cos a b
ab
求向量的夹角.
一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为
rr
,
高一数学《241平面向量数量积的物理背景及含义》
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a |=12， |b |=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角。
平面向量平面向量数量积的背景及其含义
向量的数乘
一个数与一个向量相乘，可以得 到一个新的向量，其方向不变， 大小改变。
数量积的引入
数量积的定义
01
两个平面向量的数量积是一个标量，它等于两个向量的对应分
量之间的乘积之和。
数量积的性质
02
两个向量的数量积是一个实数，它具有一些性质，如交换律、
分配律等。
数量积的应用
03
平面向量的数量积在物理学、工程学和计算机科学等领域有着
运算规则
• 数量积的运算满足交换律和分配律，即对于任意向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$、$\overset{\longrightarrow}{b}$和 $\overset{\longrightarrow}{c}$，有$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{a} \cdot (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c}) = \overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{c}$。
广泛的应用，如计算向量的长度、角度、投影等。
02
平面向量数量积的定义与性质
定义
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。
2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。
【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。
2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。
4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。
【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。
2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。
教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。
【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。
2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
平面向量的数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积的物理背景及其含义4.1一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法．实验法：多媒体、实物投影仪。
．学案导学：见后面的学案。
．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备．学生的学习准备：预习学案。
．教师的教学准备：多媒体制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念给出有关材料并提出问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：=|F||S|cosα。
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修4第二章、第4节第1课时。
以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
二、学情分析学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。
利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。
由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
三、教材重点和难点重点：平面向量的数量积的概念和性质；平面向量数量积的运算律的探究及应用。
难点：平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。
四、教学目标知识与技能目标：（1）阐明平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）概述向量数量积的性质和运算律，会求平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
过程与方法目标：通过体验数量积定义的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想。
借助实数积的运算律推算出数量积的运算律，体会了类比的思想。
情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，获得了从特殊到一般的能力，形成了学习的主动性和合作交流的学习习惯。
六、教学过程[情景1]问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F 的作用下产生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？[设计意图]以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义
如图可知：
(a b) c a c b c
| OB1 || OB | cos | a b | cos | OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
| OB1 || OA1 | | A1 B1 | | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
A
a
1
b
2
B2
B
c (a b) | c || a b | cos c a c b
O
| c || a | cos 1 | c || b | cos 2
A1 c B1 C
(a b) c a c b c
数量积的运算规律：
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b); (3)(a b) c a c b c.
2
2
(2)(a b)(a b) a b .
2
2
(3) (a b)3 (a)3 3(a)2 b 3a (b)2 (b)3
例3.已知 | a | 6,| b | 4 ，a 与 b 的夹角60º ， 求 (a 2b) (a 3b),| a b |。
2 | a | a a _____ . | a | a a
(3) | a b | ____ ≤ | a || b | .( 填 或 )
注：常记 a a 为 a 。
2
(a)2 | a |2
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º ， 求 a b 。
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。 B
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2
2
题2、 已知 a 6， b 4， a与b的夹角为60 ，
0
求(a＋2b) (a－3b)
题3、 已知 a 3， b 4，且a与b不共线.k为 何值时，向量 a k b与a k b互相垂直.
提高练习：
1、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 (4) AB在 BC 上的投影为
(3)a (b c) a b a c (分配律)
说明：向量数量积不满足消去律，
也就是说：
当a 0, a b a c时，不一定有b c.
巩固训练
题1、求证：
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)(a b)(a b) a b
平面向量数量积 的物理背景及其 含义
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
1 | AB | 2 1 | AB | 2
2、判断下列说法的正误，并说明理由
(1)在ABC中，若AB BC ＜0，则ABC是锐角。
假
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
真
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
§241平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。
教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析1．有利因素学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
高一物理第二章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0.思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0.知识点二 平面向量数量积的几何意义1．条件：向量a 与b 的夹角为θ.2．投影 向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ 向量a 在b 方向上的投影|a |cos θ3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ.1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向. 3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a ·b |a ||b |. 5．|a ·b |≤|a ||b |.知识点四 平面向量数量积的运算律1．a ·b ＝b ·a (交换律)．2．(λa )·b ＝λ·(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)．3．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．思考 若a ·b ＝b ·c ，是否可以得出结论a ＝c?答案 不可以．已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c ，但是a ·b ＝b ·c 推不出a ＝c .理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |，b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × )2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × )3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |. 引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |.题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角．反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角．向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，①求向量a 与b 夹角的大小；②求|a －2b |的值．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 23．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－24．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( )A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 25．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |. 4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0.5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.一、选择题1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( )A ．－6B ．6C ．－6 3D ．6 33．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( )A ．16B ．256C ．8D ．644．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－256．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．57．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( )A. 6 B ．6 C ．12 D ．188．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________.11．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________．三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．。
平面向量数量积的物理背景及其含义2(新编201912)
了堂嫂。他们拜天地，拜高堂，夫妻对拜，空气中弥漫着鞭炮炸开花的呛味，非常好闻。另一头，大爷将两碗宽心面下好了，由本家嫂子用红漆木盘端给两位新人。宽心面，嫩香腆润，每碗一整根，代表一心一意，蕴含美好的寄托。这时，“传菜”的伙计捎话过来，客人已经遵照安排入
座，大爷将手勺一挥，宣布开席！ ?宴席有条不紊地进行着。从天刚破晓到日上中天，大爷在“砧板”的配合下，忙而不乱，一口炒锅在手，或翻或转，动作流畅自然。做完最后一道“四喜丸子”，他长舒一口气，额头沁出细密的汗珠，脸膛泛红，让人感觉很温暖。 ?送走宾客，伯父安
些植物追求肥沃，有些植物则追求空间，而麦子，是既追求肥沃，又追求空间的农作物。当冬日万物沉睡时，麦子则在广袤的土地之上苏醒，绿色在田野间镶上了边框，她们是那么纤细，是那么弱小，是那么新绿。此刻面对金色麦田，她们过往的绿色身影，在我们的眼前不停地晃动。绿
色，是最感人，最有情的。她们不像红色那样热，不像蓝色那样冷，她们柔和美好，给人安慰，使人安静，叫人思索。 ?手指的鲜血，给她们配上热烈的色彩，使她们显得更加美好柔和，给人安慰，给人安静，让人增添无限的思索…… （选自2017年第5期《散文选刊》?有删节） 21．根
很温情，像乡村的少女，匆匆赶路，总是散着一绺头发，低着眉，红着脸，青春的气息，舒畅而又细腻。 ③麦子是土地的女儿，也是养育乡村的母亲。就像乡村的女孩儿有一天也会感到受孕的幸福，以生命创造生命，在痛苦的幸福中祈福。 ④初夏，楝子花开，是麦子逐渐成熟的标志。
羽状的复叶是苦的，粗糙的树皮是苦的，椭圆的果实是苦的，深埋的根须也是苦的，苦心的苦楝树，淡紫色的小花朵浓郁的开满整个灌浆时节，一种独特的苦香四处弥漫。麦子的成熟，是和石榴花开相应和的，饱满的麦粒，堆满我们的院落，火红的花朵，摇曳在我们的每一段岁月。岁月
平面向量数量积的物理背景及其含义.doc
平面向量数量积的物理背景及其含义一 .教学内容分析：本课内容数学必修4平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律二.学生学习情况分析：学生在学习本节内容之前掌握了向量的概念及其线性运算，具备了力，位移等物理知识， 在力的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，教学中老师要注意引导学生分析判断.三.设计思想：通过类比利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四.教学目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
五.教学重点和难点:重点：是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角难点：是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用 六.教学过程设计：活动一：创设问题情景，引出新课现将学生每四个人一个小组分组对提出问题相互讨论合作学习。
提出问题：1、请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。
导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义活动二：探究数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，S Fα那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。
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我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
教学过程设计
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生
位移S，
问题3的（设１计）意力图在F于所使做学生的了功解 W=
。
数我（量们２积研的究）物数请理量背积同景绝学，不们让仅学 仅分生 是析知 为这道了个，数 公式的特点：
3、运算律的证明
学生独立证明运算律(1)（2）
教学过程设计
证明反思：当λ<0时，向量
与a
、a与
b
b
的方 向的关系如何？此时，向量a与 、b 与a
b的夹角与向量 与a 的b夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课 时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。
教学过程设计 问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学 生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一 样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算 又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。 一：创问题设2的问设计题意图情在景于使，学生激在与发向量学加习法类兴比的趣基础上明 了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向 问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些
Hale Waihona Puke 学W自（身的功完）善是，而是量有其，客观背景
和研F现究（实这力意种）义新的运是，算从的而愿量产望，生 。了 同进 时一 ，步 也
F
为S抽（象位数移量积）的是概念做量好铺垫。
θ是
。
S
教学过程设计
二:探究数量积的含义
１、概念的抽象 问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结 果又该如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
教学过程设计
①、在水平面上位移为10米； S
G
W0
②、竖直下降10米；
S
G
S
③、竖直向上提升10米；
G
WGS
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
这样不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从 中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯 性，而且也节约了课时。
教学过程设计
数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习
4、研究数量积的物理意义 了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是 力与位移的数量积 。为此，我设计这些问题 一方面使 问题７:（学1生）尝功试计的算数数量学积，本另质一方是面什使学么生？理解数量积的 物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
教学过程设计
2、明晰数量积的性质
（1设）向a量⊥ b与a
都是b 非 零向量，则 =0a · b
（设计2）意图当是a为与体现同b教向师只时是，教学a 活=·动|b的||
|a
b
引领当者，与而a学反生才向b是时学，习活动=的a-主|·体b|，| a| b
（让到的养学成热了3）生功情学成的，生︱特为喜不由a别学悦仅特·地习，使殊b的激学到，a︱研发生一·究学获般≤a者生得的|=，参了思a︱不与知维|a断学识品|︱b地习，质2 或体活更。| 验动培︱a︱=
241平面向量数量积的物 理背景及其含义22450
说课提纲
一、教材内容分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
五、教学过程设计
一：创设问题情景，激发学习兴趣 二: 探究数量积的含义
三：探究数量积的运算性质 四：探究数量积的运算律 五: 应用与提高 六: 课堂小结与布置作业
a a
3、性质的证明
教学过程设计
四：探究数量积的运算律 猜测①的正确性是显而易见的。 关于猜测②的正确性，我提示学生思考 下面的问题：
1、运算律的发现猜测②的左右两边的结果各是什么？它
问题９: 我们学过们一了定学实相生数等通吗过乘？讨法论的不难那发些现，运猜算测律②是？不
正确的。
这些 运算律对向量是这否时在也肯适定猜用测？③的基础上明晰数量 学生可能的积回的答运:算律：
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
教学过程设计
2已、知 明向 晰量运算a,律和b实,c数λ，则：
(( 1) a 2 a b b ) b a a b a b
(3 a b )c a c b c
教学过程设计
2（、1明）晰定数义量：积a 的b 定义a b cos
（2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么 不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
夹a角b的 的范围正0负 90 90 90180
教学过程设计
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量 积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完 例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形 式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还 不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归 纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向 量投影的概念，然后提出问题6。
教学过程设计
五:应用与提高
例 1 、已 a 6 ， b 知 4 ， a 与 b 的夹 6， 0 角 a 求 为 2b a 3b . 本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中
并 例 例 ((213 2)的和运提比由生在判、 、 )三运算出多学通继断思 aa道算过问项生过续两对 ，律程题式独类巩个已 b并的的：乘立比固向ba 考 对综规此法完这性量任 2例合范运的成一质的 a应 书 算 基 证 思 和 垂1知 3 和a意 ， 用写过础明维运直b 此 例2b，两程上，模算，3 教个类自一式律是增向 于 a24 学方似己方达的平加， ， aa时面于猜面到同面运 了量 2a b，加哪测这创时向题b与 哪 是 我强种提并新，量后b重示运出不的教数b 反算 b2不 点范算例困目给量思否 2从。？难的学积2。种 给对完目，。生的例出有 运成的另例如基1过 共 的是算计是一何本3两的数实 原算想 方利应以 k 个主量理后让面用用为 公要线 积程 的，学培数之式作下 的分进生养量一数 ，用性析一在了积，何 再是质， 结 和步类学来教类 ， 运 论 值 似 ： 算 时
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W GSco1s8 ( 0 30 )
教学过程设计
三：探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，
你能得到哪些结论？
（2）比较 a b 与 的a 大小b ，你有什么
结
论？
教材中关于数量积的三条性质是以探
究的形式出现的，为了很好地完成这一探 究活动，在完成上述练习后，我不失时机 地提出问题8：