指数函数求定义域_值域_单调性
新课程人高中数学必修件指数函数的图象和性质
经济学中的指数函数
理解经济学中的指数函数如GDP增长 、消费者价格指数等，会用指数函数 进行经济分析和预测。
05
指数函数在数学模型中应用
生物学中种群增长模型构建
指数增长模型
在理想条件下，种群数量会按照指数函数的形式增长，即种群数量随时间的变化率与种群数量成正比 。
逻辑斯谛增长模型
考虑到环境容纳量对种群增长的影响，种群数量增长会呈现先快后慢的趋势，最终趋于环境容纳量， 这种增长模式可以用逻辑斯谛方程来描述。
放射性衰变
放射性元素会自发地放出射线并转变为 另一种元素，这种现象称为放射性衰变 。
VS
衰变规律
放射性元素的衰变速度与其现有的数量成 正比，即衰变速度随时间的变化率与现有 的放射性元素数量成正比。这种规律可以 用指数函数来描述，即N=N0e^(-λt)， 其中N0是初始时刻的放射性元素数量，λ 是衰变常数，t是时间。
06
高考考点梳理与备考建议
历年高考真题回顾及解析
回顾历年高考中指数函数图象和性质的考查方式及题型，如选择题、填空题、解答 题等。
分析高考真题中指数函数图象和性质的考点分布，如函数的定义域、值域、单调性 、奇偶性等。
解析高考真题中指数函数图象和性质的解题思路和方法，如利用函数图象判断函数 性质、利用函数性质求解函数问题等。
积的乘方与幂的积
区分积的乘方与幂的积的不同 点，避免运算错误。
复合指数函数简化策略分享
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分解复合函数
将复合指数函数分解为基本初 等函数，便于分析和求解。
换元法
通过换元将复杂的复合指数函 数转化为简单的函数形式，降
低解题难度。
利用已知函数性质
指数函数定义域,值域,复合函数单调性,平移,轴对称
指数函数定义域,值域,复合函数单调性,平移,轴对称对你有一定的帮助!1.若函数1.若函数f ( x) = 2 x 3 + 3 的图像恒过定试求P的坐标。
点P,试求P的坐标。
2. 函数y=a x-1+4 恒过定点_____. 恒过定点_____ _____. = -3.方程2 3(2 ) 4 = 0的解为：____2x x对你有一定的帮助!一.求指数型复合函数的定义域、值域：求指数型复合函数的定义域、值域：(1) y = 0.4x1 x 1(2) y = 35 x 1(3) y = 2 + 1(4) y = 4 + 2xx+1+1对你有一定的帮助!二.求下列函数的定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(1) y = 31 2 x1 (2) y = ( ) 2x 11 x2 4x x (3) y = ( ) (4) y =3 + 1 4对你有一定的帮助!复合函数单调性复合函数的单调性，同增异减” 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理.u = g (x)增减增减f ( x) = a增减减增uf ( x) = a增增减减g ( x)对你有一定的帮助!练习讨论下列函数的定义域、值域、1、讨论下列函数的定义域、值域、单调区间(1) y = 2x 1(2) y = 3x2 2 x( 3) y = 3x1 ( 4) y = 3x2 2 x对你有一定的帮助!作业1、求函数的定义域、值域和单调区间. 求函数的定义域、值域和单调区间.(1) y = 0.5 (2) y = 21 2 x + x22x + 2 x +1对你有一定的帮助!求下列函数的的定义域、值域、求下列函数的的定义域、值域、单调区间(1) y = log2 ( x + 2x + 5)2(2) y = log 1 ( x + 4x + 5)2 3对你有一定的帮助!2 1 例已知函数f (x) = x 2 +1x(1)确定f(x)的奇偶性；(1)确定f(x)的奇偶性；奇函数确定f(x)的奇偶性(2)判断f(x)的单调性；(2)判断f(x)的单调性；R上是单调递增判断f(x)的单调性在(3)求f(x)的值域. (3)求f(x)的值域. 的值域值域( 值域(-1,1)对你有一定的帮助!练习: 练习:解下列不等式(1) 6x2 + x 211 x2 8 2x (2) ( )3 3 1 x2 x2 2 x (3) a ( ) ( a 0且a ≠ 1) a对你有一定的帮助!一、指数函数图象的变换1.说明下列函数图象与指数函数=2x的说明下列函数图象与指数函数y= 说明下列函数图象与指数函数图象关系，并画出它们的图象: 图象关系，并画出它们的图象(1) y = 2xx+1, y=2x+2;(2) y = 2x 1, y=2x 2;(3) y = 2 + 1, y = 2 1.x对你有一定的帮助!(1) y = 2xx+1, y=2-2x+2作出图象，显示出函数数据表作出图象，-3x -11 2 42 43 8y=20.125 0.25 0.5 1 0.25 0.5 0.5 1 1 2 2 4y=2y=2x+18 16x+28 16 32对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!(2) y = 2xx 1, y=2x 2作出图象，显示出函数数据表作出图象，-3x -2 0.25 0.125-1 0.5 0.250 1 0.51 2 12 3 4 8 2 4y=2y=20.125 0.0625x 1y=2x 20.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!。
学案6：4.1.2 指数函数的性质与图像（二）
4.1.2 指数函数的性质与图像（二）素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从_______到______相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数___________．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解． 知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： ①函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有_______的定义域．②当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有_______的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用 典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1； (4)55，33，2．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较． 对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是_________，值域是_________． 题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≤x 0，g x ，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，求实数m 的取值范围．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．参考答案必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)下上(2)由大变小知识点解指数型不等式(1)单调性(2)单调性(3)①相同②相同相反思考：提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a ＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1解：(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝122＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝122＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2． 总之，55＜2＜33． 对点训练1．解：(1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1． (2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212 ，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 解：令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 对点训练2．【答案】 [1，＋∞) ⎝⎛⎦⎤－∞，32【解析】令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1， 所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1) 【答案】B【解析】因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2) 解：①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2． 对点训练3．解：(1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2．(2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)． 参考答案。
指数函数知识点
指数函数一、课程标准1. 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象。
2. 探索并理解指数函数的单调性与特殊点.3.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.二、基础知识回顾 指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 3．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．三、自主热身、归纳总结1、 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2、函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <03、若函数y ＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 1<a <2 B. －2<a <－1C. 1<a <2，或－2<a <－1D. 22<a <1，或1<a <24、(2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5、已知函数f(x)＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为 ． 6. [课本题改编]若不等式223ax axx>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、例题选讲考点一 指数函数的性质与应用例1、已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b变式2、已知函数f （x ）＝（）x ，若a ＝f （20.3），b ＝f （2），c ＝f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a例2、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ；变式、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.例3、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．方法总结 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二 指数函数的图像与性质例4、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )变式1、 （2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2变式2、已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________． 变式3、 已知f(x)＝|2x －1|. (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x ＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x 2的零点的个数．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用． (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考点三 指数函数的综合运用例5 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数． (1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．变式1、设a 是实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )．(1) 试证明对于任意a ，f (x )都为增函数； (2) 试确定a 的值，使f (x )为奇函数．变式2、 已知函数f(x)＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的值．方法总结：是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间五、优化提升与真题演练 1、函数的值域为（ ）A ．B ．C ．（0，]D ．（0，2]2、2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数3、.函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )4、(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65、Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．5、(2020·河南商丘模拟)已知函数f (x )＝(a 2－2a －2)a x 是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )＋1f （x ）的奇偶性，并加以证明．6、已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．(1)若f(x)为偶函数，求实数b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a，b应满足的条件．7、设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值，(2)判断并证明．．当a>1时，函数f(x)在R上的单调性；(3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数．．．．．λ．．8、（2019·山东烟台二中模拟）已知函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.2、函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【答案】D【解析】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 3、若函数y ＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 1<a <2 B. －2<a <－1C. 1<a <2，或－2<a <－1D. 22<a <1，或1<a <2 【答案】C【解析】 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.∴数a 的取值范围是1<a <2或－2<a <－1.故选C. 4、(2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 5、已知函数f(x)＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为 ． 【答案】(3，3)【解析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)． 6. [课本题改编]若不等式223ax ax-x>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[0，1)【解析】 原不等式即为223axax->3－1，则有ax 2－2ax>－1，即ax 2－2ax ＋1>0对一切实数恒成立．当a ＝0时，满足题意；当a>0时，Δ＝(－2a)2－4a<0，即a 2－a<0，解得0<a<1. ∴实数a 的取值范围是[0，1)． 五、 六、例题选讲考点一 指数函数的性质与应用例1、已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a )【答案】 B【解析】 易知f (x )＝2x－2－x 在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b 【答案】C【解析】因为x >0时，1<b x ，所以b >1.因为x >0时，b x <a x，所以x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1.所以ab >1，所以a >b ，所以1<b <a .变式2、已知函数f （x ）＝（）x ，若a ＝f （20.3），b ＝f （2），c ＝f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞a B ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【答案】B ．【解析】根据题意，函数f （x ）＝（）x ，则f （x ）在R 上为减函数， 又由20.3＜21＜2＜log 25， 则a ＞b ＞c ；故选：B ．例2、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ； 【答案】(－3，1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－7<1，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<8，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<312-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1， 综上，a 的取值范围为(－3，1)．变式、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______. 【答案】12.【解析】(1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12. 例3、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f (－4)＞f (1)（3）13或3 【解析】（1）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝12a⎛⎫⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴函数f (x )＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]． （2）因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．（3）令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.方法总结 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二 指数函数的图像与性质例4、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x－1a 是增函数． 当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足．当0<a <1时，y ＝a x－1a 在R 上是减函数． 当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足．变式1、 （2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0，0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1，故选D 。
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章 《指数函数与对数函数》本章教材分析
《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
指数函数单调性的判断
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
指数函数及其性质
研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
…… ……
y = 2x
细胞 总数
2个 21
4个 22
8个 23
16个 24
2
x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数4次 x次
一 地 函 y = a (a > 0, a ≠1)叫 指 般 ， 数 做 数
x
函 ， 中x是 变 ， 数 定 域 数 其 自 量 函 的 义 是 R。
(1)为什么定义域为 为什么定义域为R？ 思考 (1)为什么定义域为 ？ (2)为什么规定底数 (2)为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？
认识： 认识： 关于底数a范围的说明： > 0, a ≠ 1 a
2.函数 y＝a2x＋b＋1(a>0，且 a≠1， 函数 ＝ ， ≠ ， b∈R)的图象恒过定点 的图象恒过定点(1,2)，求 b 的值． 的值． ∈ 的图象恒过定点 ，
解析： ∵函数 y＝a2x＋b＋1 的图象恒过定点(1,2) 解析： ＝ 的图象恒过定点 2×1＋b＝0 × ＋ ＝ ＝－2. ∴ 0 ，即 b＝－ ＝－ ＝ a ＋1＝2
（2） .8−0.1 ＜ 0.8−0.2 ） 0
上是减函数， 解： ∵函数 y = 0.8 在R上是减函数， 0.1>而指数-0.1>-0.2
x
∴
0 .8
−0.1
< 0 .8
−0.2
1.8
f(x) =
1.6
0.8x
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.5
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点(心血之作)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函函数数的的定定义义域域、、值值域域、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性、、对对称称性性、、 反反函函数数、、伸伸缩缩平平移移变变换换、、零零点点问问题题知知识识点点大大全全一、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05江苏卷）函数y =________________________2、求函数定义域的两个难点问题（1）知道f(x)的定义域（a ，b ），求f(g(x))的定义域：转化为解不等式a<g(x)<b ；（2）知道f(g(x)）的定义域(a ，b)，求f(x)的定义域：转化为求g(x)的值域。
例3：（1）()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2）(21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域。
例4：设2()lg2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________ 变式练习：24)2(x x f -=-，求)(x f 的定义域。
二、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
指数函数的性质及应用
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类型二
指数函数的单调性
1 【例 2】 讨论函数 y＝( )x2－2x 的单调性． 3
思路分析：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，
因此也可根据复合函数的单调性对其讨论．
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1 x2－2x 解：函数 y＝(3) 的定义域为 R， 1 令 u＝x2－2x，则 y＝(3)u.列表如下：
答案：(0,1)
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4．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和 为6，则a的值为________． 解析：∵f(x)在[1,2]上是单调函数， 则有f(1)＋f(2)＝6，∴a＋a2＝6，
解得a＝2或a＝－3(舍去)．
答案：2
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3 －∞， 上是增函数． 在 2
2
3 ＋3x＋2 在 ，＋∞上是减函数， 2
当 0<a<1 时， 原函数 f(x)＝a－x 在
2
3 ，＋∞上是增函数， ＋3x＋2 在 2
3 －∞， 上是减函数． 2
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析解决问题.
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1．指数函数图象的单调性：(1)当a>1时，函数y＝ax 在定义域 (－∞，＋∞)上为增函数；(2)当0<a<1时，函数y＝ax在定义域(－∞， ＋∞)上为减函数．
2．函数y＝2x 在定义域(－∞，＋∞)上为增函数，如果x＝f(t)在
指数函数y＝ax(a>1)为单调递增函数，在闭区间[s，t]上存在最 大、最小值：当x＝s时，函数有最小值as；当x＝t时，函数有最大值
指数函数经典例题(标准答案)
指数函数1．指数函数的定义： y a x（a 0且a 1） 的图象和性质。
a>1 0<a<1图 象111性 质（1） 定义域： R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（ 0，1），即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函（4）在 R 上是减函指数函数是高中数学中的一个基本初等函数， 有关指数函数的图象与性质的 题目类型较多， 同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点， 本文对此 部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例 1 已知函数 f (x) x 2 bx c 满足 f (1 x) f (1 x)，且 f(0) 3 ，则 f(b x)与函数 y a x（a 0且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R我 们 观 察 y= 2x ， y= 2 ， y=10x， y= 10 图 象 特 征 ， 就 可 以 得 到f(c ) 的大小关系是．分析：先求b，c的值再比较大小，要注意b x，c x的取值是否在同一单调区间内．解：∵ f (1 x) f (1 x) ，∴函数 f (x) 的对称轴是x 1 ．故b 2，又f(0) 3，∴ c 3．∴函数f(x)在∞，1 上递减，在1，∞ 上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴ f(3x)≥f(2x)；若x 0，则3x 2x 1，∴ f(3x) f(2x)．综上可得f(3x)≥ f(2x)，即f(c x)≥ f(b x)．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则x 的取值范围是_____ ．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ a2 2a 5 (a 1)2 4≥ 4 1 ，∴函数y (a2 2a 5)x在( ∞，∞) 上是增函数，∴3x 1 x，解得x 1．∴x的取值范围是1，∞ ．44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域．解：由题意可得 1 6x 2≥0，即6x 2≤1，∴x 2≤0，故x≤2．∴函数 f (x)的定义域是∞，2 ．令t 6x 2，则y 1 t ，又∵ x≤2 ，∴ x 2≤ 0．∴ 0 6x 2≤1，即0 t≤1．∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即0 ≤ y 1 ．∴函数的值域是0，1 ．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题例 4 函数 y a 2x 2a x 1（a 0且a 1）在区间 [ 1，1] 上有最大值 14，则a 的值 是 ．分析：令 t a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值 范围．解：令 t a x，则 t 0，函数 y a 2x 2a x 1可化为 y （t 1）22 ，其对称轴为 t 1 ．∴当a1 时，∵x 1，1 ，∴1≤ a x ≤ a ，即 1≤t ≤ a ． aa∴当t a 时， y max2(a 1)2214 ． 解得a 3 或a 5 （舍去） 当 0 a 1 时，∵ x 1，1 ，∴a ≤ a x≤ 1，即 a ≤ t ≤ 1， aa1 12∴ t 时， y max 1 2 14 ，aa解得a 1或a 1 （舍去），∴ a 的值是 3或1．3 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用， 比如：换元法， 整体代入等． 5．解指数方程 例 5 解方程 3x 2 32 x80 ．解：原方程可化为 9 （3x ）2 80 3x 9 0 ，令 t 3x（t 0），上述方程可化为9t 2 80t 9 0，解得 t 9或t 1 （舍去），∴ 3x 9，∴ x 2 ，经检验原方程的 9解是 x 2 ． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 y 9 3x 5的图象，可以把函数 y 3x 的图象（ ）．A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B ．向右平移 9个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C ．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数 y 9 3x5转化为t 3x 25 ，再利用图象的平移规律进 行判断．解：∵ y 9 3x5 3x 25 ，∴把函数 y 3x的图象向左平移 2 个单位长度， 再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9 3x5的图象，故选（ C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法， 利用其直观性实现数形 结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、 伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数的大小：1）若 ，比较与2） 3） 4若 ，比较 与 ； 若 ，比较 与 ； 若 ，且 ， 若 ，且 ，故解：（1）由，此时函数比较 a 与 b ； ，比较 a 与 b ． 为减函数． 由 ，．又 ，故 （3）由 ，因 ，故 ．又而．2）由 ，故．从而 ，故．从（4）应有 ．因若 ，则．又．又因 ，故 ．从而 ， （5）应有 ．因若，则．又，故 这与已知，故这样 矛，这样有．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数, 和的图象, 则与1 的大小关系是( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性, 确定, 在轴右侧令, 由小到大依次为, 故应选.小结: 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目由数到形的转化,第(2) 题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3，求下列函数的定义域与值域1(1)y ＝2 x 3; (2)y ＝4x+2x+1+1.5、设 ，求函数 的最大值和最小值．分析：注意到 ，设，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴，因端点 较 距对称．6．（9 分）已知函数 y a 2x 2a x1（a 1） 在区间［－1,1］上的最大值是 14，求 a 的值.1．解： y a 2x 2a x 1（a 1）， 换元为 y t 22t 1（ t a ） ，对称轴为 t 1. a 当a 1，t a ，即 x=1 时取最大值，略 解得 a=3 （a= －5舍去 ）7．已知函数 （ 且（1）求 的最小值； （2）若 求 的取值范围．．解：（ 1） 时， 有最小值为（ 2） ，解得当 时， ； 当 时， ．28（10分）（1）已知 f （x ） x 2m 是奇函数，求常数 m 的值；3x12）画出函数 y |3x1|的图象，并利用图象回答： k 为何值时，方程 |3Ｘk 无解？有一解？有两解？，则原来的函数成为，故函数最小值为轴 远，故函数的最大值为）解： （1）常数 m=1（2）当k<0时，直线y=k 与函数 y |3x1|的图象无交点 ,即方程无解;当k=0或k 1时, 直线y=k 与函数 y |3 1| 的图象有唯一的交点，所以方程 有一解;当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y |3x 1|的图象有两个不同交点， 所以方程有 两解。
指数对数函数图像与性质(含答案)
指数对数函数图像与性质(含答案)指数函数和对数函数是高中数学中比较重要的函数类型之一。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集，图像在点(1,0)处经过y轴且单调递增。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集，图像在点(0,1)处经过y轴且单调递增。
对数函数和指数函数是互为反函数的函数对，它们之间有着很多有趣的性质和运算规律。
对于指数函数，有以下基本运算规律：(1) $a^r\cdota^s=a^{r+s}$，(2) $a^r\div a^s=a^{r-s}$，(3) $(a^r)^s=a^{rs}$，(4) $(ab)^r=a^r\cdot b^r$。
对于对数函数，有以下恒等式：$\log_aN=N$，$\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$，以及以下几个小结论：$\log_ab^n=n\log_ab$，$\log_an^M=M\log_an$，$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$，$\log_aa=1$，$\log_a1=0$。
在解题时，我们可以利用对数函数和指数函数的性质和运算规律，来求解函数的定义域、值域、单调性等问题。
例如，对于函数$y=-x^2+2x+1$，我们可以求出它的顶点坐标为$(1,2)$，因此它的值域为$(-\infty,2]$，并且它在区间$(0,1)$上单调递减，在区间$(1,+\infty)$上单调递增。
对于函数$y=\log_2(x^2-ax+3a)-5x+6$，我们可以先求出它的定义域为$(a-3\sqrt{a},a+3\sqrt{a})$，然后判断它在该定义域内的单调性，最后求出使其在区间$[2,+\infty)$上单调递减的$a$的取值范围。
对于函数$y=4x-\frac{12}{2-a\cdot2x+2\sqrt{a^2x^2+1}}$，我们可以先求出它的定义域为$(0,2]$，然后求出它的导数，令其为0，解出$x$的值，再求出函数在该定义域上的最大值和最小值。
指数函数单调区间
指数函数单调区间指数函数单调区间指数函数是一类常见的函数，其形式为f(x) = a^x，其中a为一个正实数且不等于1。
在指数函数中，a被称为底数，x被称为指数。
指数函数在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的单调性及其单调区间。
一、定义与基本性质1. 定义指数函数是以常数e为底的幂函数，即f(x) = e^x。
2. 基本性质（1）定义域：实数集R。
（2）值域：(0,+∞)。
（3）单调性：当x1<x2时，e^x1<e^x2，即指数函数在整个定义域上是严格增加的。
（4）连续性：e^x在整个定义域上连续。
二、单调性指数函数在整个定义域上是严格增加的。
这意味着对于任意两个实数x1和x2，如果满足x1<x2，则有e^x1<e^x2。
这一特点可以通过求导来证明。
三、单调区间根据上述结论，我们可以得到指数函数的单调区间。
由于其在整个定义域上都是严格增加的，因此不存在下降的区间。
因此，指数函数的单调区间为整个定义域，即(-∞,+∞)。
四、例题解析下面通过一道例题来进一步理解指数函数的单调性及其单调区间。
例题：求指数函数y=2^x的单调区间。
解析：根据指数函数的定义和基本性质，我们可以知道2^x在整个定义域上是严格增加的。
因此，其单调区间为整个定义域，即(-∞,+∞)。
五、总结本文介绍了指数函数的定义、基本性质、单调性及其单调区间。
通过对指数函数的学习，我们可以更好地理解和应用这一类常见的函数。
求指数型函数值域的常用方法
求指数型函数值域的常用方法求指数型函数的值域是一个难点，下面举例说明常见的四种类型及其相应的求法，供同学们在学习中参考．一、观察法例1 求下列函数的值域:412)1(-=x y ;1213)2(+-=x x y ． 【解析】(1)观察可知041≠-x ，所以122041=≠=-x y ， 又0>y ，所以0>y 且1≠y ．即原函数的值域为:{}10≠>y y y 且． (2)因为21)12(23211223)12(21121≠+-=+-+=+-x x x x x ， 所以33321121=≠=+-x x y ．又0>y ，所以0>y 且3≠y ． 所以，原函数的值域为: {}30≠>y y y 且． 点评：一般的，型如d cx b ax my ++=函数的值域，可用观察法来求．观察时要注意考虑两个方面:①函数d cx b ax t ++=的值域ca t ≠;②对函数t m y =有0>y ． 二、逆求法例2 求下列函数的值域：1212)1(+-=x x y ；xx xx y --+-=10101010)2(． 【解析】(1)原函数可变为：122-=+⋅x x y y ，即:yy x +---=112．因为02>x ，即: 011>+---y y ，亦即: 011<-+y y ，所以，11<<-y ． 所以原函数的值域为: {}11<<-y y ． (2)原函数即11011022+-=x x y ，所以y y x +---=1110． 因为010>x ，所以11<<-y ．所以原函数的值域为: {}11<<-y y ． 点评：一般的，型如na m a y x x +-=函数的值域，都可用逆求法获解． 三、单调性法例3 求下列函数的值域x x y 22)21()1(+=;)1(3)2(<=-x y x ． 【解析】(1)因为11)1(222-≥-+=+x x x ． 又函数t y )21(=在R 上是减函数，所以2)21()21(122=≤=-+x x y ． 又0>y ，所以20≤<y ．所以原函数的值域为: {}20≤<y y ．(2)因为1<x ，所以0≤-x ，又t y 3=在R 上是增函数，所以1330=≤=-x y ． 又0>y ，所以10≤<y ．所以原函数的值域为: {}10≤<y y ．点评：一般的，型如)(x f ay =函数的值域，可用单调性求解．四、换元法例4 求下列函数的值域)20(524)2(;)31(29)1(121≤≤+-=⋅+=+--x y y x x x x ． 【解析】(1)令x t )31(=，则0>t ，原函数变为:)0(22>+=t t t y ． 由二次函数的图象，易知，0>y ．所以，原函数的值域为: {}0>y y(2)令x t 2=，由20≤≤x 有41≤≤t ，原函数变为: )41(52212≤≤+-=t t t y ． 由二次函数的图象知，当2=t 时，3min =y ，当4=t 时，5max =y． 所以，原函数的值域为: {}53≤≤y y ．。
数学中的幂函数与指数函数
数学中的幂函数与指数函数幂函数与指数函数是数学中常见的两种函数形式，它们在数学运算、科学实验、经济学模型等领域都有广泛的应用。
本文将对幂函数与指数函数的定义、特点以及应用进行介绍。
一、幂函数幂函数是指以自变量为底数，指数为幂的函数形式，通常表示为f(x)=axⁿ，其中a为实数，n为指数。
幂函数的特点如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域一般是实数集R，值域则取决于指数的奇偶性以及底数的正负性。
2. 对称性：当指数n为偶数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为奇数时，幂函数关于原点对称。
3. 增减性：当指数n为正数时，幂函数是增函数；当指数n为负数时，幂函数是减函数。
4. 特殊情况：当指数n为0时得到常函数，即f(x)=a⁰=1，此时幂函数的图像为一条水平直线。
幂函数在实际问题中的应用十分广泛，比如：1. 物体体积的求解：当物体的形状与其体积之间存在幂函数关系时，可以借助幂函数来求解物体的体积。
2. 经济增长模型：在经济学中，幂函数常被用来描述经济增长与时间之间的关系，其中时间通常作为指数。
二、指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数形式，通常表示为g(x)=aᵗ，其中a为底数，t为指数。
指数函数的特点如下：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0，+∞)。
2. 单调性：当底数a大于1时，指数函数是增函数；当底数a介于0和1之间时，指数函数是减函数。
3. 渐近线：当底数a大于1时，指数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴；当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像在x轴的右侧趋近于y轴。
4. 特殊情况：当底数a等于1时得到常函数，即g(x)=1ᵗ=1，此时指数函数的图像为一条水平直线。
指数函数在实际问题中也有广泛的应用，比如：1. 活化能的计算：在化学反应速率的计算中，指数函数常常用来表达活化能与温度之间的关系。
2. 金融领域的利息计算：复利计算中，指数函数常用于计算利率、本金以及复利的关系。
函数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用复习
函数复习内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一．常见函数（基本初等函数）： 1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx axy 4．xy 1=5．幂函数：)(Q a x y a∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x且 7．对数函数：)10(log≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。
如：d cx bxax y +++=23，xx y 2log1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。
二．定义域： 1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
2．求定义域：例1求下列函数定义域：（1）2()lg (31)f x x =+ （2）)25(logsin )(221x x x f -+=例2设2()lg 2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________变式练习：24)2(xx f -=-，求)(x f 的定义域。
三．值域：1．①432+=xx y ②11y 22+-=xx2． ①1+=x x y ②11+-=x x y③]5,1(,14522∈-+-=x xx xy ④1sin 10sin 7sin2+++=x x x y3． ①2123y x x =++； ②22422--=x xx y4． ①12-+-=x x y ； ②y x =-5． ①)3)(cos 3(sin ++=x x y②已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S 的最大值。
③1cos 2cos --=x x y ④2sin 1cos --=x x y6．函数23x x21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。
指数函数定义域值域复合函数单调性平移轴对称PPT讲稿
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2 4x
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2 4x
比较函数
y 2x y 2x1 y 2x2
的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
指数函数定义域值域复合函数 单调性平移轴对称课件
一.求指数型复合函数的定义域、值域： 1
(1) y 0.4 x1 (2) y 3 5x1
(3) y 2x 1
(4) y 4x 2x1 1
二.求下列函数的定义域、值域：
1
(1) y 32 x
(2) y ( 1 ) x1 2
(3) y ( 1 )x24x 4
单调区间为（ －∞ ，＋∞ ）
函数在该区间上是减函数
(2) f (x) ( 1 )|x1| 2
单调区间为： （－∞，1]、 [1，＋∞）
2 4x
(3) y 2x 1, y 2x 1. y
9
比较函数
8
y 2x
7
6
y 2x 1
5
y 2x 1
4
3
的图象关系.
2
1
-4 -2 O
2 4x
小 结：
f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象; 向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.
-2 O
2 4x
(2) y 2x1 , y 2x2
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x (0,)
u g(x) x2 1
y
f (u) (1)u 2
思考：内外函数的单调性对复合函数的单调性的影响？
u g(x)
u g(x) x2 1
y
f (u)
2u
u g(x) x2 1
y
f (u) (1)u 2
x (,0) x (0,) x (,0) x (0,)
u x2 1
例1.1)求函数y 2x21的单调区间.
y
2u
x -3 -2 -1 0 1 2
u 10 5 2 1 2 5
y 1024 32 4 2 4 32
u g(x) x2 1
y
f (u)
2u
x (,0) u g(x)
x (0,)
y f (u)
y f [g( x)]
y f (u)
y f [g( x)]
规律： 内外函数同增减，复合函数单增；
内外函数异增减，复合函数单减；
同增异减
§1.3.1单调性与最大复(小)值合(f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
定义域由 a g x b 解出。
2、若已知 f g x的定义域为[a,b],则函数 f x 的定义域
即为 当xa,b时，函数gx的值域。
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数： 令 u=g(x) 则 y=f(u)
y=f[g(x)]
y=f[g(x)] 内函数 外函数
原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
拓展1
:
2)求函数y
(
1
1
)2
x2
x1的单调区间.
2
拓展1 : 3)讨论函数y 2ax 5(a 0)的单调性.
例2、求函数y 4x 2x1 的 定 义 域 ， 值 域 ， 单 调区 间 。
知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！
2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
§七1.3.、1单复调性合与函最大数(小单)值调(三性)
例1 如果g x是[m,n]上的减函数，且
a g x b，f x是[a,b]上的增函数，求证 f g x
在[m,n]上也是减函数。
y f (x)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
注： §1.3.1单调性与最大(小)值(三)
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集
证：x1, x2 m, n,且x1 x2, Q g(x)是m, n上减函数，且a g x b
a g(x2 ) g(x1) b.
又Q f x是a,b上的增函数,
f g x2 f g x1 .
f g x 在m, n上是减函数.
拓展1 : 1)判断函数y 32x8的单调性.
指数函数的性质应用4
温故知新
复合函数如何求函数的定义域和值域？ 求函数的定义域方法：列不等式组
求复合函数的值域方法：换元
§1.3.1单调性与最大(小)值(三)
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。
定义域：
1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的
3 10 1024
例1.2)求函数y （1）x21的单调区间. 2
u x2 1
y
(
1)u 2
x -3 -2 -1 0 1 2
u 10 5 2 1 2 5
Y
11
1 1 11
1024 32 4 2 4 32
3 10
1 1024
x (,0) u g(x) y f (u) y f [g( x)]