方差分析1

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方差分析(1)

方差分析(1)

品 A B C D 合计 种 2 6 3 8.5
3 8 5 9.5
4 10 7 10.5
Tig 9 24 15 28.5 T.. 76.5
xi 3 8 5 9.5 x.. 6.4
一、线性模型与基本假定
线性模型 每个观察值的大小取决于两个方面的原因:处理 和误差。因此,任一观察值可分解为:
xij x.. (xi. x..) (xij xi.) x.. ti eij
其中 ti xi. x.. : N (0, 2 )
处理效应
eij xij xi. :
N
(0,
2 e
)
试验误差
一、线性模型与基本假定
线性模型 本例 xij x.. (xi. x..) (xij xi.)
2 6.4 (3 6.4)(2 3) 6 6.4 (8 6.4)(6 8)
然后判断品种间的差异显著性
方差分析的基本步骤
一、线性模型与基本假定 二、平方和与自由度的分解 三、方差的比较—F测验 四、平均数的比较—多重比较 五、方差分析的结论
方差分析的基本步骤
例5.1 现有四个水稻品种A、B、C和D,完全随机地种 在一个划分为12个小区的试验地中,每品种种了3个小 区。田间排列和小区产量如图7.1所示。欲了解这四个 品种的产量是否有显著差异。
第一节 方差分析的基本原理与步骤
方差分析的思路: 将总方差分解来研究
1. 将试验数据的总变异分解为各个原因变异 2. 比较各个原因变异的重要性 3. 判断各个样本所属总体平均数是否有显著差异
第一节 方差分析的基本原理与步骤
方差分析的思路: 将总方差分解来研究
1. 将试验数据的总变异分解为各个原因变异 2. 比较各个原因变异的重要性 3. 判断各个样本所属总体平均数是否有显著差异

单因素方差分析(1)

单因素方差分析(1)

H
0:
2 1
2 2
2 r
vs
H1:诸
2 i
不全相等
感谢下 载
第六章 方差分析
第一节 单因素方差分析 第二节 双因素方差分析
第一节 方差分析
一、问题的提出
方差分析(analysis of variance)就是采用数理 统计方法对数据进行分析,以鉴别各种因素及因素间 的交互作用对研究对象某些试验指标的影响大小的一 种有效方法. 注:方差分析简记为ANOVA.
水平 A1
A2

Ar 合计
重复数
m1 m2
mr n
试验数据 y11, y12 ,…., y1m1
y21, y22 ,…., y2m2
…….
yr1, yr2 ,…., yrmr
T

平均
T1
y1
T2
y2
……
Tr
yr
T
y
2. 基本假定、平方和分解、方差分析及判断准则相

计算公式稍有不同。特别注意 SA 的计算公式!
( yij
y)2,
fT
n 1
它反映了观测数据 总的变异程度
i1 j1
组间(因子A的)偏 差平方和:
r
SA m ( yi y)2, fA r 1 i1
r
m (i i )2
反映因子A的不同水平效 应间的差异
i1
rm
组和内: (误差)偏差平方Se
i 1
( yij yi
j 1
)2 ,
例2(第一节中例1续)检验不同饲料对鸡增重 的效应中,饲料因子显著.试进行多重比较.
补充:方差齐性检验
(齐性,即相等)

5第三章 方差分析1

5第三章  方差分析1
i 1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和,记为SSt,即

( x
假设某单因素试验有k个处理, 每个处理有 n 个观察值,共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解:
①建立假设 H0:各组平均数相等 HA:各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F=组间均方/组内均方” 在计算组间均方时,使用自由度为(k-1), 计算组内均方时,使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺,用新工艺重复8次提取试验,得 平均提取率=95%,标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异?
解: (1)提出假设 H0:μ=μ0=91%;即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 (2)选取显著水平α=0.05

CH6方差分析(1)_讲义版_2014

CH6方差分析(1)_讲义版_2014
P(reject in at least one test) = 1-0.857 = 0.143 0.143即是犯第一类假设检验错误的概率,远大于0.05
3
内容
• 方差分析基本概念 • 单因素方差分析 • 单因素方差分析—均数的多重比较 • 双因素方差分析(1): 无交互作用方差分析 • 附录:均数的多重比较—几种常用方法
P(reject in at least one test) = 1-0.857 = 0.143 0.143即是犯第一类假设检验错误的概率,远大于0.05
25
单因素方差分析--均数的多重比较
Bofferoni 校正法 (Bofferoni Correction)
在均值的多重检验中,设犯Ⅰ类错误的总概率为
生物统计学
第6讲 实验设计与方差分析(1)
2014.10
1
引言
对于 H0: μ1= μ2 vs. HA: μ1≠μ2 可采用两独立样本 t 检验
如果需要检验多个总体均值是否存在显著性差异, 需采用
什么方法?
若考虑仍采用两独立样本t 检验
在只有3个总体的情况下,将样本两两配对,需做3次独立 样本t 检验
方差分析应用条件 1. 各样本是相互独立的随机样本(变异的可加性) ; 2. 各样本来自正态总体; 3. 各处理组总体方差相等,即方差齐性或齐同 (homogeneity of variance)。 上述条件与两均数比较的 t 检验的应用条件相类似。 当组数为2时,方差分析与两均数比较的t检验是等价 的
MSB

SSB B
νW = N – a νB = a – 1
MS: 均方差 (Mean Square, MS)
19
单因素方差分析

完全随机设计的方差分析(1)

完全随机设计的方差分析(1)

.
21
.
22
方差分析(Analysis of variance,ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析,是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验,或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher,以F命名,故方差分析 又称F检验 。
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平,每个水平代表一个样本,只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单, 计算方便,应用广泛,是一种常用的分析方法,但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分,

即SS总=SS组间+SS组内。
2.常用符号及其意义
.
29
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计:(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法,将全部试验对象分配到g个
处理组(水平组),各组分别接受不同的处理,试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义,推 论处理因素的效应。
.
30
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
离均差平方和 X2

总体方差 样本方差
2 X 2
N
S2XX2X2X2/n
n1
n1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
.
13
试验指标(experimental index): 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低,在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有:身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。

方差分析1实验报告

方差分析1实验报告

.. . . . .实验报告课程名称生物医学统计分析实验名称方差分析1专业班级姓名学号实验日期实验地点2015—2016学年度第 2 学期组内38.842 20 1.942总数85.340 24分析:表2是方差分析的统计结果,由此可知,F=5.986,P=0.002〈0.01,可认为5个品种猪存在极显著差异,故须进行多重比较。

表3 5个品种猪增重的多重比较(LSD法)(I) 品种(J) 品种均值差 (I-J) 标准误显著性95% 置信区间下限上限LSD 1 2 3.0000*.8046 .001 1.322 4.6783 1.8667*.8439 .039 .106 3.6274 .5417 .8996 .554 -1.335 2.4185 3.5417*.8996 .001 1.665 5.4182 1 -3.0000*.8046 .001 -4.678 -1.3223 -1.1333 .8439 .194 -2.894 .6274 -2.4583*.8996 .013 -4.335 -.5825 .5417 .8996 .554 -1.335 2.4183 1 -1.8667*.8439 .039 -3.627 -.1062 1.1333 .8439 .194 -.627 2.8944 -1.3250 .9348 .172 -3.275 .6255 1.6750 .9348 .088 -.275 3.6254 1 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.3352 2.4583*.8996 .013 .582 4.3353 1.3250 .9348 .172 -.625 3.2755 3.0000*.9854 .006 .944 5.0565 1 -3.5417*.8996 .001 -5.418 -1.6652 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.3353 -1.6750 .9348 .088 -3.625 .2754 -3.0000*.9854 .006 -5.056 -.944*. 均值差的显著性水平为 0.05。

第7章 方差分析-1

第7章 方差分析-1

第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验,即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差,并作出其数量估 计。

一、数学模型

假设有k组观测数据,每组有n个观 测值,则用线性可加模型来描述每 一个观测值,有:
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df ),则 F 值在α=0.05的水平上显著,我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体,即H0:σt2=σe2,对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中,实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验,
整个试验共有3×3=9个水平组合,实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以,在多因素试验时,试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中, 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加,得:
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )

方差分析(ANOVA)1

方差分析(ANOVA)1
Duncan 检验方法,探索性研究
Dunnet 检验方法,证实性检验,常用于多 个试验组与一个对照组间的比较。
单因素方差分析
例1 在肾缺血再灌注过程的研究中,将36只雄性大鼠随机等 分成三组,分别为正常对照组、肾缺血60分组和肾缺血60 分再灌注组,测得各个体的NO数据见数据文件no.sav,试 问各组的NO平均水平是否相同?
P2,45=3.20-3.21<8.87,本次F值处于F界值之 外,说明组间均方组内均方比值属于小概率 事件,因此拒绝H0,接受H1,三个总体均 数不等或不全相等
方差分析的关键条件
第一、各组服从正态分布! 第二、各组符合方差齐性! 第三、独立性
方差齐性检验
Bartlett检验法 Levene F 检验 最大方差与最小方差之比<3,初步认为方
H0:三个总体均数相等,即三组工作人员 的体重指数总体均数相等
H1:三个总体均数不等或不全相等 a=0.05
(2)计算检验统计量F值
变异来源
组间 组内 总变异
SS 自由度(df)
MS
143.406 363.86 507.36
2
71.703
45
8.09
47
F 8.87
(3)确定p值,作出统计推断
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 7.19
一、方差分析的基本思想
思想来源: 观察值总变异可以分解为组间变异和组内变异
变异程度除与离均差平方和的大小有关外, 还与其自由度有关,由于各部分自由度不相等, 因此各部分离均差平方和不能直接比较,须将 各部分离均差平方和除以相应自由度,其比值

第八章 方差分析(1)

第八章 方差分析(1)
2.处理内误差(sum of squares for error),记为SSE § 因素的同一水平下数据误差的平方和 比如,施用A种氮肥下水稻产量的误差平方和
§ 只包含随机误差
3.处理间误差(sum of squares for category),记为SSC § 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如,不同氮肥下水稻产量之间的误差平方和
2.由误差平方和除以相应的自由度求得 3.三个平方和对应的自由度分别是
▪ SST 的自由度为nk-1,其中nk为全部观察值的个数 ▪ SSt的自由度为k-1,其中k为因素水平的个数 ▪ SSe 的自由度为k(n-1)
8 - 21
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
计算均方 MS
1.处理间均方:SSt的均方,记为MSt,计算公式为
▪SST=(242+302+…+212)-13833.8= 402.2
8 - 15
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
处理间误差SSt
2、各组平均值 与x总i 平(i均值1,2的,离差, k平) 方和
x
反映各总体的样本均值之间的差异程度
该平方和既包括随机误差,也包括系统误差
计算公式为
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij xi 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSC + SSE
▪ 前例的计算结果
402.2=301.2+101.0
8 - 20
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
均方(Mean square)
1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关,为消除观察值 多少对误差平方和大小的影响,需要将其平均,这就是均 方,记为MS

方差分析(1)

方差分析(1)

表9-2 各秩次距下的Rα
K
2
3
SSR0.05 SSR0.01
第九章 方差分析
第一节 方差分析的意义
当试验的处理数目K≥3时,不能直接应用t测验及u测验 的两两测验方法进行平均数假设测验的原因有三:
1. 当有K个处理平均数时,将有[k(k-1)]/2 个差数, 要对这诸多差数逐一进行比较测验,程序实为繁琐。
2. 试验误差估计的精确度要受到损失。
3. 两两测验的方法会随着K的增加而大大增加犯α错误 的。概率。
多重比较常用的方法有以下两种:
(一)保护性最小显著差数法,即 PLSD法。 步骤:1. 根据 dfe 查出 tα 。 2. 计算平均数差数标准误 3. 计算显著尺度PLSDα值: PLSDα = tα × 平均数差数标准误 4. 将处理平均数由大到小排序,并依次求出各处理之间的差值,
将各差值均与PLSDα相比较,作出差异显著性判断。 PLSD0.01 > 平均数差值 ≥ PLSD0.05,则两处理平均数间差异为显著; 平均数差值 ≥ PLSD0.01,则两处理平均数间差异为极显著; PLSD0.05 > 平均数差值 ,则两处理平均数间差异为不显著。
因此,当处理数目K≥3时应该采用方差分析法。方差分 析的特点是将全部数据看成是一个整体,分析构成变量的变 异原因,进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后
进行F测验,判断各样本的总体平均数是否有显著差异,在 达到差异显著的基础上,再对两两样本的总体平均数间的 差异显著性作出判断。(看表9-1解释)
二、F测验
St2 = SSt / dft
Se2 = SSe/ dfe
F = St2 / Se2
此步骤分析的目的是判断各个处理平均数之间是否存在显著差异。

方差分析1审计学审计学

方差分析1审计学审计学

课程名称:统计学
1.方差分析的定义
2.方差分析解决什么问题(举例)
3.方差分析的思路
4.方差分析在实践中有什么用处
1.检验多个总体均值是否相等
⏹通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等
2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响
⏹一个或多个分类型自变量
⏹一个数值型因变量
某饮料生产企业研制出一种新型饮料.饮料的颜色共有四种: 例
橘黄色、粉色、绿色和无色透明。

这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。

现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超市上收集了该种饮料的销售情况。

超市饮料销售额(单位:万元)
•传统方法:两两均值相等的检验
•从方差分析的目的看,是要检验四种颜色的饮料的销售均值是否相等,我们可用方差比较的方法来判断。

饮料的颜色是否对销售量产生影响?
在其他条件相同的情况下,上述问题就归结为一个检验问题,即:检验饮料颜色对销售量是否有影响?
单因素的方差分析
分析一个变量时One-Way ANOVA
多因素的方差分析
Univariate
分析多个变量时,称为多元方差分析
Multivariate
☐分析一个定性变量对定量变量的影响
☐两个定量变量间,也可数据转化应用方差分析☐数据分析中最常用的分析工具
☐应用注意数据的要求
谢谢观看。

方差分析(1)

方差分析(1)
28
例:黑龙江某地淋溶土上玉米氮肥品种肥效试 验,每亩施N6斤,小区面积54m2 ,随机区组设计, 重复四次,玉米产量见下表.请对不同品种氮肥的 肥效进行分析.
重复 1 2 3 4 Ts
CK 126.8 148.7 121.9 83.1 480.2
碳铵 233.8 231.1 226.0 221.3 911.9
(Fisher’s protected D, 或FPLSD)
13
L.S.D法是t检验法,其只适用于二个相 互独立的平均数间的比较。而复因素试验的 互比时,由于交互作用的存在,平均数间失 去了独立性,从而增大了二个平均数间的差 值,用t检验时易产生a错误。
14
(二)最小显著极差法:LSR法,采用不 同平均数间用不同的显著差数标准进行比 较。又根据标准的严格,分为新复极差法 和q法
2
二.平方和与自由度的可加性与分解性
方差分析就是将总平方和以及总自由度划分成若 干个分量,而每一个分量与试验设计中的一个因素相 关联,所以方差分析的第一步就是从总变异中分解平 方和与自由度开始。
全部资料的总平方和可以分解成组内平方和与组 间平方和两部分)——平方和的分解性。 平方和与 自由度的分解性与可加性就是方差分析的数学基础。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是将一个试验的总变异分解为各变因的相应部 分,以误差作为统计假设检验的依据,对其它可控变因进 行显著性检验,并判断各变因的重要性。
将总变异剖分为各个变异来源的相应部分,从而发现 各变异原因中相对重要程度的一种统计分析方法。
1
一.变异因素的划分 处理间变异:组间变异——试验效应 处理内变异:组内变异——试验误差
氯铵 264.6 252.9 267.5 150.3 935.2

统计学第八章 单因素方差分析(1)

统计学第八章 单因素方差分析(1)

称为处理平方 处理平方 和,记为 SSA
总平方和SST=处理平方和SSA+误差平方和SSe
即, ( y ij − y •• ) = n∑ ( y i • − y •• ) + ∑∑ ( y ij − y i• ) 2 ∑∑
2 i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 a n 2 a a n
i =1 j =1
a
n
= n∑ ( y i• − y •• ) + 2∑ [( y i• − y •• )∑ ( y ij − y i• )] + ∑∑ ( y ij − y i • )
2 i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a
a
n
a
n
j =1
∑ ( y ij − y i • ) = 0
换句话说,采用两两t检验法,要进行45次t检验,程序太繁琐。
原因(2):检验的I 型错误增大,从而检验的 可靠性低
a = 2 时, H 0 只有一个,即
µ 1= µ 2
a = 3 时, H 0 有 3 个,即 µ 1= µ 2, µ 2= µ 3, µ 1= µ 3
a = 5时,H 0 有10个,即µ1=µ 2,µ 2=µ3, , µ 4=µ5 L
二、方差分析的几个概念
1、方差分析(analysis of variance):将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异,从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。 2、试验指标(experiment index):为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低,在试验中具体测定的性状或观测的项目。 3、试验因素(experiment factor):试验中所研究的影响试验 指标的因素:单因素、双因素或多因素试验。 4、因素水平(level of factor):因素的具体表现或数量等级。

经济学第七章 统计学方差分析1

经济学第七章 统计学方差分析1

一、方差分析概述
方差分析中的常用术语
1. 因素(Factor) 因素是指所要研究的变量,它可能对因变量产生影响。
如果方差分析只针对一个因素进行,称为单因素方差分析。 如果同时针对多个因素进行,称为多因素方差分析。
2. 水平(Level) 水平指因素的具体表现,如销售的四种方式就是因素
的不同取值等级。有时水平是人为划分的,比如质量被评 定为好、中、差。
3. 单元(Cell) 单元指因素水平之间的组合。如销售方式一下有五种
不同的销售业绩,就是五个单元。
一、方差分析概述
4. 元素(Element) 元素指用于测量因变量的最小单位。一个单元里可以
只有一个元素,也可以有多个元素。例7.1中各单元中只有 一个元素。
5. 均衡(Balance) 如果一个试验设计中任一因素各水平在所有单元格中
观测值j 水平i
1
2
……
k
水平1
x11
x12
……
x1k
因 水平2 素
x 21
x 22
……
x2k
A





水平r
x r1
xr2
……
x rk
二、单因素方差分析
单因素方差分析的数据结构(不均衡试验)
观测值j 水平i
水平1
因 水平2 素
A

水平r
1
2
x11
x12
x 21
x 22


x r1
xr2
……
nk
出现的次数相同,且每个单元格内的元素数相同,则称该 试验是为均衡,否则,就被称为不均衡。不均衡试验中获 得的数据在分析时较为复杂。例7.1是均衡的。 6. 交互作用(Interaction)

方差分析1

方差分析1

3、方差分析的原理 在上述假定条件下,判断颜色对销售量是否有显著 影响,实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体 的均值是否相等的问题。
如果四个总体的均值相等,可以期望四个样本的均 值也会很接近。 四个样本的均值越接近,我们推断四个总体均值相 等的证据也就越充分。 样本均值越不同,我们推断总体均值不同的证据就 越充分。
首先,提出如下假设: H0: 1 = 2 = 3 = 4 如果原假设成立(四种颜色饮料销售的均值都 相等、没有系统误差)这意味着每个样本都来自均 值为、方差为2的同一正态总体,有充分证据表明 颜色因素对分店的日营业额没有实质性影响
f(X)
1 2 3 4
X
备择假设:H1: i (i=1,2,3,4)不全相等 如果备择假设成立(即至少有一个总体的均值是不同 的、有系统误差)这意味着四个样本分别来自均值不 同的四个正态总体,有充分证据说明颜色因素对日营 业额有显著影响。
(2)水平(level) ——又称处理(treatment) 因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为 水平。如例中橘黄色、粉色、绿色和无色四种颜色就是因 素的水平。 水平有质的不同和量的差异两种情况。
例1,所要研究的因素为性别,这个因素就可以分为男和 女两个不同的水平。 例2,要研究不同教材所产生的学习效果是否有显著性差 异,可以从四所学校同一个年级中各抽取一组学生,每组学生 用一种教材进行教学,然后比较各组学生学习成绩的高低。 例3,按IQ分数的高低把被试分成高智商、智商中等和低 智商三个水平。 例4,按考试成绩高低把学生分为高成就、成绩中等和低 成就三个水平。
应用统计
方差分析
方差分析简称ANOV, ANOVA 由英国统计学家 R.A.Fisher首创,为纪 念Fisher,以F命名, 故方差分析又称 F 检 验 (F test)。用于 推断多个总体均数有无 差异

方差分析-1

方差分析-1
j 1 i 1 k j 1 k k nj
SSt X 2 ji
j 1 i 1 nj
n
j nj
SSb
j 1
k
( X ji )
i 1
2
nj

( X ji ) 2
j 1 i 1 k j 1
n
j
SSw SSt SSb dft N 1 n j 1
析因设计的单元格
• 第一个因子的水平数 * 第二个因子的水平数 • 前面那个例子, 2 个水平的测试时间 * 2 个 水平的犯罪严重程度 = 2*2 的析因实验设 计 = 4 个单元格
下表就是一个 2Χ2 的实验设计
B1 B2
A1
A1B1
A1B2
A2
A2B1
A2B2
一个 2Χ3 的实验设计
B1 B2 B3
n
j nj
SSb
j 1
k
( X ji )
i 1
2
nj

( X ji ) 2
j 1 i 1 k j 1
n
j
SSw SSt SSb dft N 1 n j 1
j 1 k
dfb k 1 dfw dft dfb N k F MSb SSb / dfb MS w SSw / dfw
一个最简单的例子
• 研究者想知道对重要信息的回忆是否会受犯罪的 严重程度和案件过去的时间的影响 • 因变量是对重要信息的回忆,即正确回答案件相 关问题的个数 • 被试是大学生
对自变量的分析
• 第一个自变量是犯罪的严重程度 • 一个录像关于一个男小偷在一个服装店偷一 个妇女的钱包 • 一个录像用了同样的演员,但是是一个男的 持枪抢劫在同一个的服装店的收银员。在这 里录像里,导购员站在收银员的后面,另外 有两个人站在柜台旁边

方差分析-1

方差分析-1

2013年10月22日
一、完全随机设计的方差分析


完全随机设计也叫成组设计 单因素多水平(k>2)设计 K=2时,用成组t检验 K>2时,采用单因素方差分析

分组方式:

1、将受试对象随机分配到各处理组中 2、分别从不同总体中进行随机抽样 样本含量:可以相等(称平衡设计),也可 不等(称非平衡设计)。平衡设计时检验效能 较高。 2013年10月22日
2013年10月22日
(三)下结论
查附表4,F界值表,F0.05(3,35)=2.78,
F> F0.05(3,35),P<0.05拒绝H0,接受H1,四 个总体间的差异有统计学意义,可以认为不 同中药对小白鼠细胞免疫机能的影响不同。 如要了解哪两个总体间有差别,哪两个 总体间没有差别,需要进一步做多个样本均 数间的两两比较。
1 (1 0.05) 0.1426
3
1 (1 0.05) 0.2649
4
2013年10月22日
“多重比较”的几种方法
一、SNK-q检验(多个均数间全面比较) 二、LSD-t检验(有专业意义的均数间比较) 三、Dunnett检验 (多个实验组与对照组比较) 还有TUKEY 、DUNCAN、 SCHEFFE、 WALLER 、BON等比较方法
2013年10月22日
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首创, 为纪念Fisher,以F命名, 故方差分析又称 F 检验 (F test)。用于推断 多个总体均数有无差异
2013年10月22日
方差分析的基本思想
根据变异的不同来源,将全部观察值总的离
均差平方和及自由度分解为两个或多个部分
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试验指标: 薄板的厚度
因素: 机器
水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平
假定除机器这一因素外, 其他条件相同, 属于 单因素试验.
试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响.
例2 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间(以毫秒计).
X ij j ij ,
ij~N (0, 2 ),各 ij 独立 ,
i 1, 2, , nj , j 1, 2, , s ,
j 与 2 均未知 .
单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题
1.检验假设
H0 : 1 2 s , H1 : 1 , 2 , , s不全相等.
j1
检验假设
等价于
H0 : 1 2 s , H1 : 1 , 2 , , s不全相等.
检验假设 H0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s不全为零.
二、平方和的分解
X
1 n
s j 1
nj i 1
X ij
—数据的总平均
s nj
ST
( X ij X )2 —总偏差平方和(总变差)
一、单因素试验
机器设备
反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度 操作水平
反应温度
压力
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标——试验中要考察的指标.
因 素——影响试验指标的条件.

可控因素

不可控因素
水 平——因素所处的状态. 单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
表9.2 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
19 15
22 20 18
20 40
21 33 27
16 17 18
15
22
18
19
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验
试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无
显著的影响.
例3 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示.
表9.1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.238 0.248 0.245 0.243
0.257
0.253 0.255 0.254 0.261
0.258
0.264 0.259 0.267 0.262
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
0.262
问题分析 在每一个水平下进行独立试验,结果是一
个随机变量.将数据看成是来自三个总体的样本值.
设总体均值分别为1 , 2 , 3 .
检验假设 H0 : 1 2 3 ,
H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
j1 i1
1 nj
X•j
nj
X ij
i 1
— 水平Aj下的样本平均值
s nj
ST
( X ij X )2
j1 i1
s nj
[( X ij X • j ) ( X • j X )]2
j1 i1
s nj
s nj
( X ij X• j )2
(X•j X )2
j1 i1
j1 i1
ij~N (0, 2 ), 各 ij 独立,
i 1, 2, , nj , j 1, 2, , s,
改写为
j 与 2 均未知 .
X ij j ij ,
i
ij~N (0, 2
1,2, ,n
), j,
各 ij 独立 ,
j 1,2, , s,
s
nj j 0.
1,2, , s)下,进行nj (nj 2)次独立试验,得到如下表
的结果.
表 9.4
观察结果 水平
A1
A2
As
X 11
X 12
X1s
X 21
X 22
X 2s
X n11
X n2 2
样本总和
T•1
T•2
样本均值 总体均值
X1•1
X •2
2
X nss
T•s
X
•s s
假设 1.各个水平Aj ( j 1,2, , s)下的样本X1 j , X 2 j ,
2.估计未知参数1 , 2 , , s , 2 .
数学模型的等价形式
记n
snj,j1 Nhomakorabea1 n
s j 1
nj
j
.
总平均
水 平A j的 效 应,表示水平
A

j

总体
平均值与总
平均的差异.
j j , j 1,2, , s. n1 1 n2 2 ns s 0.
原数学模型 X ij j ij ,
, X nj j来自具有相同方差 2 ,均值分别为 j ( j 1, 2, , s)的正态总体N ( j , 2 ), j与 2均未知;
2.不同水平Aj下的样本之间相互独立.
因为X ij~N ( j , 2 ), 所以X ij j~N (0, 2 ).
记X ij j ij ,表示随机误差,那么X ij可写成
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
试验指标: 射程
因素: 推进器和燃料
水平: 推进器有3个,燃料有4个 双因素试验
试验目的: 考察推进器和燃料两因素对射程有 无显著的影响.
例1
表9.1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得
射程如下(以海里计). 表9.3 火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
A1
58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
检验假设 H0 : 1 2 3 ,
H1
:
1
,
2
,
不全相等
3
.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知.
问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
数学模型
设因素A有s个水平A1 , A2 , , As ,在水平Aj ( j
s nj
2
( X ij X • j )( X • j X )
j1 i1
0
s nj
s nj
ST
( X ij X• j )2
(X•j X )2
j1 i1
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